Chuyen de 1 Phan tích da thuc thanh nhan tu

Chuyên đề 1
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC
THÀNH NHÂN TỬ.
1. Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử
a) Định nghĩa 1
+ Nếu một đa thức được viết dưới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì ta nói
rằng đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử.
+ Với bất kì đa thức ( khác 0 ) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích của một
nhân tử khác 0 với một đa thức khác. Thật vậy:
a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ … + a
0
= c(
c
a
n
x
n
+
c
a
n 1−
x
n – 1

+ … +
c
a
0
) ( với c
≠
0, c
≠
1 ).
b) Định nghĩa 2
Giả sử P(x)
∈
P
[ ]
x
là đa thức có bậc lớn hơn 0. Ta nói P(x) là bất khả quy trên
trường P nếu nó không thể phân tích được thành tích của hai đa thức bậc khác 0 và
nhỏ hơn bậc của P(x). Trường hợp trái lại thì P(x) được gọi là khả quy hoặc phân tích
được trên P.
2. Các định lý cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử
a)Định lý 1
Mỗi đa thức f(x) trên trường P đều phân tích được thành tích các đa thức bất khả
quy, và sự phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và các nhân tử bậc 0.”
b) Định lý 2
Trên trường số thực R, một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó là bậc nhất
hoặc bậc hai với biệt thức
∆
< 0. Vậy mọi đa thức trên R có bậc lớn hơn 0 đều phân
tích được thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với
∆

< 0”.
c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten )
Giả sử f(x) = a
0
+ a
1
x + … + a
n
x
n
, n > 1, a
n

≠
0, là một đa thức hệ số nguyên .
Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ước của a
n
nhưng p là ước của
các hệ số còn lại và p
2
không phải là ước của các số hạng tự do a
0
. Thế thì đa thức
f(x) là bất khả quy trên Q.
3.Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Qua các định lý trên, ta đã chứng tỏ rằng mọi đa thức đều phân tích được thành
tích các đa thức trên trường số thực R. Song đó là mặt lí thuyết , còn trong thực hành
thì khó khăn hơn nhiều , và đòi hỏi những “kĩ thuật” , những thói quen và kĩ năng “sơ
cấp”. Dưới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phương pháp thường dùng để phân
tích một đa thức thành nhân tử.

3.1. Phương pháp đặt nhân tử chung
Phương pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối với
phép cộng (theo chiều ngược).
Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
1
A = 2ax
3
+ 4bx
2
y + 2x
2
(ax - by)
Giải: Ta có : A = 2ax
3
+ 4bx
2
y + 2x
2
(ax –by)
= 2x
2
(ax + 2by + ax – by)
=2x
2
(2ax + by)
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = (2a
2
– 3ax)(5y + 2b) – (6a
2

– 4ax)(5y + 2b)
Giải: Ta có: P = (2a
2
– 3ax)(5y +2b) – (6a
2
– 4ax)(5y + 2b)
= (5y+2b)((2a
2
– 3ax) – (6a
2
– 4ax))
= (5y + 2b)(- 4a
2
+ ax)
= (5y + 2b)(x – 4a)a
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
B = 3x
2
(y – 2z ) – 15x(y – 2z)
2
Giải: Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là y – 2z
Do đó : B = 3x
2
(y – 2z) – 15x(y – 2z)
2
= 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z))
=3x(y – 2z)(x – 5y + 10z)
Bài 4 : phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = (2a
2

– 3ax)(5c + 2d) – (6a
2
– 4ax)(5c +2d)
Giải: Ta có: C = (2a
2
– 3ax)(5c + 2d) – (6a
2
– 4ax)(5c + 2d)
= (5c + 2d)(2a
2
– 3ax – 6a
2
+ 4ax)
= (5c + 2d)(ax – 4a
2
)
= a(5c + 2d)(x – 4a)
Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = 3x
3
y – 6x
2
y – 3xy
3
– 6xy
2
z – xyz
2
+ 3xy
Giải: Ta có: Q = 3x

3
y – 6x
2
y – 3xy
3
– 6xy
2
z – xyz
2
+ 3xy
= 3xy(x
2
– 2x –y
2
– 2yz – z
2
+ 1)
= 3xy((x
2
– 2x + 1) – (y
2
+ 2yz + z
2
))
= 3xy((x – 1)
2
– (y + z)
2
)
= 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + 9 y+ z))

= 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)
Bài 6 : Phân tích đa thức thành nhân tử:
A = 16x
2
(y – 2z) – 10y( y – 2z)
Giải: Ta có : A = 16x
2
(y – 2z) – 10y( y – 2z)
= (y – 2z)(16x
2
– 10y)
Bài 7 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
3
+ 3x
2
+ 2x + 6
2
Giải: Ta có : B = x
3
+ 3x
2
+ 2x + 6
= x
2
(x + 3) + 2( x + 3)
= (x
2
+ 2)(x + 3)
Bài 8 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = 6z
3
+ 3z
2
+ 2z +1
Giải: Ta có : A = 6z
3
+ 3z
2
+ 2z +1
= 3z
2
(2z + 1) + (2z + 1)
= (2z + 1)(3z
2
+ 1)
3.2 . Phương pháp nhóm các hạng tử
Phương pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất kết
hợp của phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử chung, rồi
sau đó vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng. Sau đây là một số
ví dụ :
Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = xy
2
– xz
2
+ yz
2
– yx
2

+ zx
2
– zy
2
Giải: Ta có : B = xy
2
– xz
2
+ yz
2
– yx
2
+ zx
2
– zy
2
= (xy
2
– xz
2
) + (yz
2
- zy
2
) + (zx
2
– yx
2
)
= x(y

2
– z
2
) + yz(z – y) + x
2
(z – y)
= x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x
2
(y – z)
= (y – z)((x(y + z) – yz – x
2
))
= (y – z)((xy – x
2
) + (xz – yz)
= (y – z)(x(y – x) + z(x – y))
= (y – z)(x – y)(z – x)
Bài 10 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A= 4x
5
+6x
3
+6x
2
+9
Giải: Ta có : A= 4x
5
+6x
3
+6x

2
+9
= 2x
3
(2x
2
+ 3) + 3(2x
3
+ 3)
= (2x
3
+ 3)(2x
2
+ 3)
Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
6
+ x
4
+ x
2
+ 1
Giải: Ta có : B = x
6
+ x
4
+ x
2
+ 1
= x

4
(x
2
+ 1) + ( x
2
+ 1)
= (x
2
+ 1)(x
4
+ 1)
Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
2
+ 2x + 1 – y
2
Giải: Ta có: B = x
2
+ 2x + 1 – y
2
= (x
2
+ 2x + 1) – y
2
= (x + 1)
2
– y
2
3
=(x +1 – y)(x + 1 + y )

Bài 13 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
2
+ 2xy + y
2
– xz - yz
Giải: Ta có : A = x
2
+ 2xy + y
2
– xz - yz
= (x
2
+ 2xy + y
2
) – (xz + yz)
= (x + y)
2
– z(x + y)
= (x + y)(x + y – z)
Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = 2xy + z + 2x + yz
Giải: Ta có : P = 2xy + z + 2x + yz
= (2xy + 2x) + (z + yz)
= 2x(y + 1) + z(y + 1)
= (y + 1)(2x + z)
Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
m + 4
+ x

m + 3
– x - 1
Giải: Ta có : A = x
m + 4
+ x
m + 3
– x – 1
= x
m + 3
(x + 1) – ( x + 1)
= (x + 1)(x
m + 3
– 1)
Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
2
(y – z) + y
2
(z - x) + z
2
(x – y)
Giải:
Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung y - z
Ta có : P = x
2
(y – z) + y
2
z – xy
2
+ xz

2
– yz
2
= x
2
(y – z) + yz(y – z) – x(y
2
– z
2
)
= x
2
(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z)
= (y – z)((x
2
+ yz – x(y + z))
= (y – z)(x
2
+ yz – xy – xz)
= (y – z)(x(x – y) – z(x – y))
= (y – z)(x – y)(x – z)
Nhận xét : dễ thấy z – x = -((y – z) + (x – y)
nên : P = x
2
(y – z) - y
2
((y – z) + (x – y)) + z
2
(x – y)
=(y – z)(x

2
– y
2
) – (x – y)(z
2
– y
2
)
= (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y)
= (y – z) (x – y)(x + y – (z + y))
= (y – z) (x – y)(x – z)
Bài 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
4
Giải: Ta có : A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + bc
2
+ c
2
a + abc – abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + c
2
( a + b)
= ( a + b)(bc + ca + ab + c
2
)
= ( a + b)( c(b + c) + a(b + c))
= ( a + b)(b + c)(c + a)
Bài 18: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Q = a

2
b + ab
2
+ b
2
c +bc
2
+ c
2
a + ca
2
+
3abc
Giải: Ta có : Q = a
2
b + ab
2
+ b
2
c +bc
2
+ c
2
a + ca
2
+ 3abc
= (a
2
b + ab
2

+ abc) + (b
2
c +bc
2
+abc) + (c
2
a + ca
2
+ abc)
= ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c)
= ( a + b + c)(ab + bc + ca)
Bài 19: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 2a
2
b + 4ab
2
– a
2
c + ac
2
– 4b
2
c + 2bc
2
– 4abc
Giải: Ta có : A = 2a
2
b + 4ab
2
– a

2
c + ac
2
– 4b
2
c + 2bc
2
– 4abc
= (2a
2
b + 4ab
2
) – (a
2
c + 2abc) + (ac
2
+ 2bc
2
) – (4b
2
c+ 2abc)
= 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c
2
(a + 2b) – 2bc(a + 2b)
= (a + 2b)(2ab – ac + c
2
– 2bc)
= (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c))
= (a + 2b)(2b – c)(a – c)
Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

P = 4x
2
y
2
(2x + y) + y
2
z
2
(z – y) – 4z
2
x
2
(2x + z)
Giải: Ta có : P = 4x
2
y
2
(2x + y) + y
2
z
2
(z – y) – 4z
2
x
2
(2x + z)
= 4x
2
y
2

(2x + y) + z
2
(y
2
(z – y) – 4x
2
(2x + z)
= 4x
2
y
2
(2x + y) + z
2
( y
2
z – y
3
– 8x
3
– 4x
2
z)
= 4x
2
y
2
(2x + y) + z
2
(z(y
2

– 4x
2
) – (y
3
+ 8x
3
))
= 4x
2
y
2
(2x + y) + z
2
(z(y – 2x)(y + 2x) – (y + 2x)(y
2
– 2xy + 4x
2
))
= (2x + y)( 4x
2
y
2
+ z
3
– 2xz
3
– z
2
y
2

+ 2xyz
2
– 4x
2
z
2
)
= (2x + y)(4x
2
(y
2
– z
2
) – z
2
y (y – z) +2xz
2
( y – z))
= (2x + y)(y – z)(4x
2
y + 4x
2
z – z
2
y + 2xz
2
)
= (2x + y)( y – z)(y(4x
2
– z

2
) + 2xz(2x + z))
= (2x + y)( y – z) (2x + z)(2xy – yz + 2xz)
3.3. Phương pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ
Phương pháp này dùng hằng đẳng thức để đưa một đa thức về dạng tích, hoặc luỹ
thừa bậc hai, bậc ba của một đa thức khác.
5
Các hằng đẳng thức thường dùng là :
A
2
+ 2AB + B
2
= (A + B)
2
A
2
- 2AB + B
2
= (A - B)
2
A
2
- B
2
= (A + B) (A - B)
(A + B)
3
= A
3
+ 3A

2
B + 3AB
2
+ B
3

(A - B)
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
A
3
- B
3
= (A - B)( A
2
+ AB + B
2
)
A
3
+ B
3
= (A + B)( A

2
- AB + B
2
)
Sau đây là một số bài tập cụ thể:
Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4

Giải: Ta có : A = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4

= (x
4
+ 2x
2
y
2

+ y
4
) - x
2
y
2
= (x
2
+ y
2
)
2
- x
2
y
2
= (x
2
+ y
2
+ xy)(x
2
+ y
2
– xy)
Bài 22: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = a
6
– b
6

+ a
4
+ a
2
b
2
+ b
4

Giải: Ta có : B = a
6
– b
6
+ a
4
+ a
2
b
2
+ b
4

= (a
6
– b
6
) + (a
4
+ a
2

b
2
+ b
4
)
= (a
3
+ b
3
) (a
3
- b
3
) + (a
4
+ a
2
b
2
+ b
4
)
= (a + b)( a
2
- ab + b
2
) (a - b)( a
2
+ ab + b
2

) + (a
4
+ 2a
2
b
2
+ b
4
) – a
2
b
2
= (a + b)( a
2
- ab + b
2
) (a - b)( a
2
+ ab + b
2
) +(a
2
+ b
2
)
2
– a
2
b
2

= (a + b)( a
2
- ab + b
2
) (a - b)( a
2
+ ab + b
2
) +(a
2
+ab + b
2
)(a
2
- ab + b
2
)
= (a
2
+ab + b
2
)(a
2
- ab + b
2
) ((a – b)(a + b) + 1))
= (a
2
+ab + b
2

)(a
2
- ab + b
2
)(a
2
– b
2
+ 1)
Bài 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = x
4
+ x
2
+ 1 + (x
2
– x + 1)
2
Giải: Ta có : M = x
4
+ x
2
+ 1 + (x
2
– x + 1)
2
= (x
4
+ 2x
2

+ 1) – x
2
+ (x
2
– x + 1)
2
= (x
2
+ 1)
2
– x
2
+ (x
2
– x + 1)
2
= (x
2
– x + 1) (x
2
+ x + 1) + (x
2
– x + 1)
2
= (x
2
– x + 1) (x
2
+ x + 1 + x
2

– x + 1)
= 2(x
2
– x + 1)(x
2
+ 1)
Bài 24: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ y
4
+ z
4
- 2x
2
y
2
– 2x
2
z
2
- 2y
2
z
2
6
Giải: Ta có: A = x
4
+ y
4

+ z
4
- 2x
2
y
2
– 2x
2
z
2
- 2y
2
z
2
= (x
4
+ y
4
+ z
4
- 2x
2
y
2
– 2x
2
z
2
+ 2y
2

z
2
) – 4y
2
z
2
= (x
2
– y
2
– z
2
)
2
– 4y
2
z
2
= (x
2
– y
2
– z
2
– 2yz) (x
2
– y
2
– z
2

+ 2yz)
= (x
2
– (y + z)
2
)( x
2
– (y - z)
2
)
= (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z)
Bài 25: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x + y)
3
+(x - y)
3

Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách khác giải
như sau :
Cách 1: A = (x + y)
3
+(x - y)
3

= ((x + y) +(x - y))
3
– 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y)
= 8x
3
– 3.2x(x

2
– y
2
)
= 2x(4x
2
– 3(x
2
– y
2
))
= 2x(x
2
+ 3y
2
)
Cách 2: A = (x + y)
3
+(x - y)
3

= ((x + y) +(x - y))((x + y)
2
– (x + y)(x – y) + (x – y)
2

= 2x(2(x
2
+ y
2

) - (x
2
– y
2
))
= 2x(x
2
+ 3y
2
)
Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 16x
2
+ 40x + 25
Giải: Ta có: A = 16x
2
+ 40x + 25
= (4x)
2
+ 2.4.5.x + 5
2
= (4x + 5)
2
Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = (x - y)
3
+(y - z)
3
+(z - x)
3

Giải: Dễ thấy : x – y =(x – z) + (z – y)
Từ đó ta có : (x - y)
3
= (x – z)
3
+ (z – y)
3
+ 3(x – z)(z – y)((x – z) + (z – y))
= - (z - x)
3
- (y - z)
3
+ 3(z – x)(y – z)(x – y)
= 3(z – x)(y – z)(x – y)
Bài 27: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (a + b+ c) – (a
3
+ b
3
+ c
3
)
Giải: Ta có: A = (a + b+ c) –(a
3
+ b
3
+ c
3
)

= a
3
+ 3a
2
(b + c) + 3a(b + c)
2
+ (b + c)
3
- (a
3
+ b
3
+ c
3
)
= a
3
+ 3a
2
(b + c) + 3a(b + c)
2
+ b
3
+ 3b
2
c + c
3
- (a
3
+ b

3
+ c
3
)
= 3a
2
(b + c) + 3a(b + c)
2
+ 3bc(b + c)
= 3(b + c)(a
2
+ ab + ac + bc)
7
= 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)
= 3(b + c)(a + b)(a + c)
Bài 28: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
8
– 2
8

Giải: Ta có : P = x
8
– 2
8

= (x
4
+ 2
4

) (x
4
- 2
4
)
= (x
4
+ 2
4
)((x
2
)
2
– (2
2
)
2
)
= (x
4
+ 2
4
)(x
2
– 2
2
)(x
2
+ 2
2

)
= (x
4
+ 2
4
)(x
2
+ 2
2
)(x – 2)(x + 2)
Bài 29: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = (x
3
– 1) + (5x
2
– 5) + (3x – 3)
Giải: Ta có: Q = (x
3
– 1) + (5x
2
– 5) + (3x – 3)
= (x – 1)(x
2
+ x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1)
= (x – 1)( x
2
+ x + 1 + 5x + 5 + 3)
= (x – 1)( x
2
+ 6x + 9)

= (x – 1)(x + 3)
2

3.4. Phương pháp thực hiện phép chia:
Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x – a).g(x) ,g(x)
là một đa thức. Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a). Sau đó lại phân tích tiếp g(x).
Sau đây là một số ví dụ cụ thể:
Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
f(x) = x
5
+ 6x
4
+ 13x
3
+ 14x
2
+ 12x + 8
Giải:
Dễ thấy: f(-2) = (-2)
5
+ 6(-2)
4
+ 13(-2)
3
+ 14(-2)
2
+ 12(-2) + 8 = 0
Nên chia f(x) cho (x + 2), ta được:
f(x) = (x + 2)(x
4

+ 4x
3
+ 5x
2
+ 4x + 4) = (x + 2).g(x)
Dễ thấy: g(x) = x
4
+ 4x
3
+ 5x
2
+ 4x + 4 có g(-2) = 0
Nên chia g(x) cho (x + 2), ta được:
g(x) = (x + 2)(x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2)
Đặt h(x) = x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2. Ta có: h(-2) = 0
Nên chia h(x) cho(x + 2), được: h(x) = (x + 2)(x
2
+ 1)
Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x
2
+ 1)
= (x + 2)

3
(x
2
+ 1)
Khi thực hiện phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta có thể sử dụng sơ đồ
Hoocne để thực hiện phép chia được nhanh hơn.
Ví dụ chia f(x) cho (x + 2) như sau :
8
1 6 13 14 12 8
-2 1 4 5 4 4 0

Vậy f(x) = (x + 2)(x
4
+ 4x
3
+ 5x
2
+ 4x + 4)
Chia x
4
+ 4x
3
+ 5x
2
+ 4x + 4 cho (x + 2) như sau :
1 4 5 4 4
-2 1 2 2 2 0

Vậy x
4

+ 4x
3
+ 5x
2
+ 4x + 4 = (x + 2)(x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2)
Chia x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2 cho (x + 2) như sau :
1 2 2 2
-2 1 0 1 0
Vậy x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2 = (x + 2)(x
2
+ 1)
Vậy h(x) = (x + 2)
3
(x
2
+ 1)
Bài 31: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x

4
– 2x
3
– 11x
2
+ 12x + 36
Giải: Tìm nghiệm nguyên của đa thức (nếu có) trong các ước của 36 :
±
1;
±
2;
±
3;
±
4;
±
6 ;
±
9;
±
12;
±
18;
±
36.
Ta thấy : x = -2
P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = 0
Ta có: P = x
4
+ 2x

3
– 4x
3
– 8x
2
– 3x
2
– 6x + 18x + 36
= x
3
(x + 2) – 4x
2
(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2)
= (x + 2)(x
3
– 4x
2
– 3x + 18)
Lại phân tích Q = x
3
– 4x
2
– 3x + 18 thành nhân tử
Ta thấy: Q(-2) = (-2)
3
– 4(-2)
2
– 3(-2) + 18 = 0
Nên chia Q cho (x + 2), ta được :
Q = (x + 2)(x

2
– 6x + 9)
= (x + 2)(x – 3)
2
Vậy: P = (x + 2)
2
(x – 3)
2
3.5. Phương pháp đặt ẩn phụ
Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến) ta có thể đưa một đa
thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thức này sẽ dễ
9
dàng phân tích được thành nhân tử. Sau đây là một số bài toán dùng phương pháp đặt
ẩn phụ.
Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x
2
+ x) + 4(x
2
+ x) - 12
Giải: Đặt : y = x
2
+ x , đa thức đã cho trở thành :
A = y
2
+ 4y – 12
= y
2
– 2y + 6y – 12
= y(y – 2) + 6(y – 2)

= (y – 2)(y + 6) (1)
Thay : y = x
2
+ x vào (1) ta được :
A = (x
2
+ x – 2)(x
2
+ x – 6)
= (x – 1)(x + 2)(x
2
+ x – 6)
Bài 33: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x
2
+ x + 1)( x
2
+ x + 2) - 12
Giải: A = (x
2
+ x + 1)( x
2
+ x + 2) - 12
Đặt y = (x
2
+ x + 1). Đa thức đã cho trở thành :
A = y(y + 1) – 12
= y
2
+ y – 12

= y
2
– 3y + 4y – 12
= y(y – 3) + 4(y – 3)
= (y – 3)(y + 4) (*)
Thay: y = (x
2
+ x + 1) vào (*) ta được :
A = (x
2
+ x + 1 - 3)(x
2
+ x + 1 + 4)
= (x
2
+ x – 2) (x
2
+ x + 6)
= (x – 1)(x + 2)(x
2
+ x + 6)
Bài 34: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
12
– 3x
6
+ 1
Giải: B = x
12
– 3x

6
+ 1
Đặt y = x
6
(y
0
≥
)
Đa thức đã cho trở thành :
B = y
2
– 3y + 1
= y
2
– 2y + 1 – y
= (y – 1)
2
– y
= (y – 1 -
y
)(y + 1 +
y
) (*)
Thay : y = x
6
vào (*) được :
B = (x
6
– 1 -
)1)(

66
xyx ++

= (x
6
– 1 – x
3
)(x
6
+ 1 + x
3
)
10
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
3
- 3
2
x
2
+ 3x +
2
- 2
Giải: Đặt : y = x -
2
, ta có x = y +
2
A = (y +
2
)

3
- 3
2
(y +
2
)
2
+ 3(y +
2
) +
2
- 2
= y
3
+ 3y
2
2
+ 3y.2 + 2
2
- 3
2
(y
2
+ 2
2
y + 2) + 3(y +
2
) +
2
- 2

= y
3

- 3y – 2
= y
3

- y – 2y – 2
= y(y
2
– 1) – 2(y + 1)
= y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1)
= (y + 1)(y(y – 1) – 2)
= (y + 1)(y
2
– y – 2)
= (y + 1)(y + 1)(y – 2)
= (y + 1)
2
(y – 2) (*)
Thay : y = x -
2
vào (*), được :
A = (x -
2
+ 1)
2
(x -
2
- 2)

Bài 36: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
Giải: Ta có:
M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
= ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15
= (x
2
+ 8x + 7)( x
2
+ 8x + 15) + 15
Đặt : y = (x
2
+ 8x + 7). Đa thức đã cho trở thành :
M = y(y + 8) + 15
= y
2
+ 8y + 15
= y
2
+ 3y + 5y + 15
= y(y + 3) + 5(y + 3)
= ( y + 3)(y + 5)
Thay : y = (x
2
+ 8x + 7), ta được :
M = (x
2
+ 8x + 10)(x
2
+ 8x + 12)

= (x
2
+ 8x + 10)( x
2
+ 2x + 6x + 12)
= (x
2
+ 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2))
= (x
2
+ 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
Nhận xét: Từ lời giải bài toán trên ta có thể giải bài toán tổng quát sau : phân tích đa
thức sau thành nhân tử :
A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m
Nếu a + d = b + c . Ta biến đổi A thành :
A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1)
11
Bằng cách biến đổi tương tự như bài 36, ta đưa đa thức (1) về đa thức bậc hai
và từ đó phân tích được đa thức A thành tích các nhân tử.
Bài 37: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
- 6x + 1
Giải: Giả sử x
0
≠

, ta viết đa thức dưới dạng :
A = x
2
((x
2
+
2
x
1
) + 6( x -
x
1
) + 7 )
Đặt y = x -
x
1
thì x
2
+
2
x
1
= y
2
+ 2
Do đó : A = x
2
(y
2
+ 2 + 6y + 7)

= x
2
( y + 3)
2

= (xy + 3x)
2

Thay y = x -
x
1
, ta được
A =
2
3)
1
(






+− x
x
xx
= (x
2
+ 3x – 1)
2

Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0
Nhận xét :
Từ lời giải bài tập này, ta có thể giải bài tập tổng quát sau : Phân tích đa thức
sau thành nhân tử :
A = a
0
x
2n
+ a
1
x
n – 1
+…….+ a
n – 1
x
n – 1
+a
n
x
n
+ a
n – 1
x
n – 1
+ … + a
1
x + a
0

Bằng cách đưa x
n
làm nhân tử của A, hay :
A = x
n
(a
0
x
n
+ a
1
x
n – 1
+ …….+ a
n – 1
x + a
n
+
x
a
n 1−
+… +
1
1
−n
x
a
+
n
x

a
0
Sau đó đặt y = x +
x
1
ta sẽ phân tích được A thành nhân tử một cách dễ dàng như
bài tập trên.
Bài 38: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
2
+ 2xy + y
2
– x – y - 12
Giải: Ta có: A = x
2
+ 2xy + y
2
– x – y – 12
= (x + y)
2
– (x + y) – 12
- Đặt X = x + y, đa thức trên trở thành :
A = X
2
– X – 12
= X
2
- 16 – X + 4
= (X + 4)(X - 4) - (X - 4)
= (X - 4)(X + 4 - 1)

= (X - 4)(X + 3) (1)
- Thay X = x + y vào (1) ta được :
12
A = (x + y – 4)( x + y + 3)
Bài 39: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x
2
+ y
2
+ z
2
)( x + y + z)
2
+ (xy + yz + zx)
2
Giải: A = (x
2
+ y
2
+ z
2
)( x + y + z)
2
+ (xy + yz + zx)
2

Đặt : x
2
+ y
2

+ z
2
= a
xy + yz + zx = b

⇒
( x + y + z)
2
= x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2(xy + yz + zx) = a + 2b
Đa thức A trở thành :
A = a(a + 2b) + b
2

= a
2
+ 2ab + b
2

= (a + b)
2
(*)
Thay : a = x
2
+ y

2
+ z
2

b = xy + yz + zx vào (*) ta được :
A = (x
2
+ y
2
+ z
2
+

xy + yz + zx)
2
Bài 40: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = (x – y)
3
+ (y – z)
3
+ (z – x)
3

Giải: Đặt : A = x – y ; B = y – z; C = z – x
Ta có : A + B + C = 0. Nên
A + B = - C
Lập phương hai vế :
(A + B)
3
= - C

3
↔
A
3
+ 3AB(A + B) + B
3
= - C
3
↔
A
3
+ B
3
+ C
3
= - 3AB(A + B)
↔
A
3
+ B
3
+ C
3
= 3ABC
Thay : A = x – y ; B = y – z; C = z – x, ta được :
(x – y)
3
+ (y – z)
3
+ (z – x)

3
= 3(x – y)(y – z)(z – x)
3.6. Phương pháp đề xuất bình phương đủ ( tách số hạng)
Phương pháp đề xuất bình phương đủ là phương pháp thêm, bớt các hạng tử
trong đa thức để làm xuất hiện các đa thức có thể đưa về hằng đẳng thức đáng nhớ.
Sau đây là một số ví dụ :
Bài 41: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
2
– 6x + 5
Giải: Ta có thể giải bài toán trên đây bằng một số cách như sau:
Cách 1: A = x
2
– 6x + 5
= x
2
– x – 5x + 5
= x(x – 1) – 5(x – 1)
= (x – 1)(x – 5)
13
Cách 2 : A = x
2
– 6x + 5
= (x
2
- 2x + 1) – 4x + 4
= (x – 1)
2
– 4(x – 1)
= (x – 1)(x – 1 - 4)

= (x – 1)(x – 5)
Cách 3 : A = x
2
– 6x + 5
= (x
2
– 6x + 9) – 4
= (x – 3)
2
– 4
= (x – 3 – 2) (x – 3 + 2)
= (x – 1)(x – 5)
Cách 4 : A = x
2
– 6x + 5
= (x
2
– 1) – 6x + 6
= (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1)
= (x – 1)( x + 1 – 6)
= (x – 1)(x – 5)
Cách 5 : A = x
2
– 6x + 5
= (3x
2
– 6x + 3) – 2x
2
+ 2
= 3(x – 1)

2
- 2(x
2
– 1)
= 3(x – 1)(3(x – 1) – 2 ( x + 1))
= (x – 1)(x – 5)
Cách 6 : A = x
2
– 6x + 5
= (5x
2
– 10x + 5) – 4x
2
+ 4
= (x – 1)
2
– 4x(x – 1)
= (x – 1)( (5(x – 1) – 4x))
= (x – 1)(x – 5)
Cách 7 : A = x
2
– 6x + 5
= (6x
2
– 6x) – 5x
2
+ 5
= 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1)
= (x – 1)(6x – 5(x + 1))
= (x – 1)(x – 5)

Cách 8 : A = x
2
– 6x + 5
Đặt f(x) = x
2
– 6x + 5
Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 hay f(x) = 0 nên f(x) chia hết cho
(x- 1). Thực hiện phép chia f(x) cho (x –1) được thương là (x – 5). Vậy
A = (x – 1)(x – 5)
Chú ý: Để phân tích đa thức ax
2
+ bx + c (c
≠
0) bằng phương pháp tách số hạng ta
làm như sau :
14
Bước 1 : lấy tích a.c = t
Bước 2 : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trường hợp) t = p
i
.q
i
Bươc 3 : tìm trong các cặp nhân tử p
i
, q
i
một cặp p
a
, q
a
sao cho : p

a
+ q
a
= b
Bước 4 : viết ax
2
+ bx + c = ax
2
+ p
a
x + q
a
x + c
Bước 5 : từ đây nhóm các số hạng và đưa nhân tủ chung ra ngoài dấu ngoặc.
Bài 42: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
4
+ 2x
2
- 3
Giải:
Cách 1: B = x
4
+ 2x
2
- 3
= x
4
– x
2

+ 3x
2
– 3
= x
2
(x
2
– 1) + 3(x
2
– 1)
= (x
2
– 1) (x
2
+ 3)
= (x – 1)(x + 1)(x
2
+ 3)
Cách 2: B = x
4
+ 2x
2
- 3
= x
4
+ 3x
2
– x
2
– 3

= x
2
(x
2
+ 3) - (x
2
+ 3)
= (x
2
+ 3)(x
2
– 1)
= (x
2
+ 3)(x – 1)(x + 1)
Cách 3 : B = x
4
+ 2x
2
- 3
= (x
4
) + 2x
2
– 1 – 2
= (x
4
– 1) + 2x
2
– 2

= (x
2
– 1)(x
2
+ 1) + 2(x
2
– 1)
= (x
2
– 1)(x
2
+ 3)
= (x – 1)(x + 1)(x
2
+ 3)
Cách 4 : B = x
4
+ 2x
2
- 3
= (x
4
+ 2x
2
+ 1) - 4
= (x
2
+ 1)
2
– 4

= (x
2
+ 1)
2
– 2
2

= (x
2
+ 1 – 2)(x
2
+ 1 + 2)
= (x
2
– 1) (x
2
+ 3)
= (x – 1)(x + 1)(x
2
+ 3)
Cách 5 : B = x
4
+ 2x
2
- 3
= (x
4
– 9) + 2x
2
+ 6

= (x
2
+ 3)(x
2
- 3) + 2(x
2
+ 3)
= (x
2
+ 3)( x
2
- 3 + 2)
= (x
2
+ 3)(x
2
– 1)
= (x
2
+ 3)(x – 1)(x + 1)
15
Cách 6 : B = x
4
+ 2x
2
- 3
= (3x
4
– 3) – 2x
4

+ 2x
2
= 3(x
4
– 1) – 2x
2
(x
2
– 1)
= 3(x
2
– 1)(x
2
+ 1) - 2x
2
(x
2
– 1)
= (x
2
– 1)(3( x
2
+ 1) - 2x
2
)
= (x
2
– 1) (x
2
+ 3)

= (x – 1)(x + 1)(x
2
+ 3)
Bài 43: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ x
2
+ 1
Giải:
Cách 1 : A = x
4
+ x
2
+ 1
= (x
4
+ 2x
2
+ 1) - x
2
= (x
2
+ 1)
2
- x
2
= (x
2
+ 1 - x)(x

2
+ 1 + x)
Cách 2 : A = x
4
+ x
2
+ 1
= (x
4
+ x
3
+ x
2
) – (x
3
+ x
2
+ x) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ 1 - x)(x
2
+ 1 + x)
Cách 3 : A = x
4
+ x
2
+ 1

= (x
4
- x
3
+ x
2
) + (x
3
- x
2
+ x) + (x
2
- x + 1)
= x
2
(x
2
- x + 1) + x(x
2
- x + 1) + (x
2
- x + 1)
= (x
2
- x + 1)(x
2
+ x + 1)
Bài 44: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
F = 5x
2

+ 6xy + y
2
Giải:
Cách 1 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (5x
2
+ 5xy) + (xy + y
2
)
= 5x(x + y) + y(x + y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 2 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (6x
2
+ 6xy) – (x
2
- y
2
)
= 6x(x + y) – (x – y)(x + y)
= (x + y)(6x – x + y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 3 : F = 5x
2

+ 6xy + y
2
= (4x
2
+ 4xy) +(x
2
+ 2xy + y
2
)
= 4x(x + y) + (x + y)
2

= (x + y)(4x + x + y)
16
= (x + y)(5x + y)
Cách 4 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (3x
2
+ 6xy + 3y
2
) + (2x
2
– 2y
2
)
= 3(x + y)
2

+ 2(x
2
– y
2
)
= (x + y)(3x + 3y + 2x – 2y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 5 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (5x
2
+ 10xy + y
2
) – (4xy + 4y
2
)
= 5(x + y)
2
– 4y(x + y)
= (x + y)(5(x + y) – 4y))
= (x + y)(5x + y)
Cách 6 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (5x
2
- 5y

2
) + (6xy + y
2
)
= 5(x
2
– y
2
) + 6y(x + y)
= 5(x – y)(x +y) + 6y(x + y)
= (x + y)(5x – 5y + 6y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 7 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (9x
2
+ 6xy + y
2
) – 4x
2
=(3x + y)
2
– 4x
2
= (3x + y – 2x)(3x + y + 2x)
= (x + y)(5x + y)
Bài 44: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x

4
+ x
2
y
2
+ y
4
Giải:
Ta có : P = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4
= (x
4
+ 2x
2
y
2
+ y
4
) – x
2
y
2
= (x
2

+ y
2
)
2
– (xy)
2
= (x
2
+ y
2
– xy)(x
2
+ y
2
+ xy)
Bài 45: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ x
2
+ 1 + (x
2
– x + 1)
2
Giải: Ta có : A = x
4
+ x
2
+ 1 + (x
2

– x + 1)
2
= x
4
+ (x
2
– x + 1) + (x
2
– x + 1)
2
+ x
= (x
2
– x + 1)(x
2
– x + 2) + x(x + 1)(x
2
– x + 1)
= (x
2
– x + 1)((x
2
– x + 2) + x(x + 1))
= (x
2
– x + 1)(2x
2
+ 2)
Bài 46: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
17

P = 4x
4
+ 81
Giải: Ta có : P = 4x
4
+ 81
= 4x
4
+ 36x
2
+ 81 – 36x
2
= (2x
2
+ 9)
2
– (6x)
2
=(2x
2
+ 9 – 6x)(2x
2
+ 9 + 6x)
Bài 47: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = 3x
3
– 7x
2
+ 17x - 5
Giải: Ta có : Q = 3x

3
– 7x
2
+ 17x - 5
= 3x
3
– x
2
– 6x
2
+ 2x + 15x – 5
= x
2
(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1)
= (3x – 1)(x
2
– 2x + 5)
Bài 48: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
3
– x
2
– x - 2
Giải: Ta có : A = x
3
– x
2
– x - 2
= x
3

– 1 – (x
2
+ x + 1)
= (x – 1)(x
2
+ x + 1) - (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)(x – 1 – 1)
= (x
2
+ x + 1)(x – 2)
Bài 49: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
3
+ x
2
– x + 2
Giải: Ta có : B = x
3
+ x
2
– x + 2
= (x
3
+ 1) + (x
2
- x + 1)

= (x + 1)(x
2
- x + 1) + (x
2
- x + 1)
= (x
2
- x + 1)(x + 1+ 1)
= (x
2
- x + 1)(x + 2)
Bài 50: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = x
3
– 6x
2
– x + 30
Giải: Ta có : C = x
3
– 6x
2
– x + 30
= x
3
+ 2x
2
– 8x
2
– 16x + 15x + 30
= x

2
(x + 2) – 8x(x + 2) + 15 ( x + 2)
= (x + 2)(x
2
– 8x + 16 – 1)
= (x + 2)((x – 4)
2
– 1))
= (x + 2)(x – 4 – 1)(x – 4 + 1)
= (x + 2)(x – 5)(x – 3)
3.7. Phương pháp hệ số bất định
Phương pháp này dựa vào định nghĩa hai đa thức bằng nhau, ta có thể tính được
các hệ số của sự biểu diễn đòi hỏi bằng cách giải một hệ phương trình sơ cấp.
18
Sau đây là một số ví dụ :
Bài 51 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = x
4
– 6x
3
+ 12x
2
– 14x + 3
Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng :
x
4
– 6x
3
+ 12x
2

– 14x + 3 = (x
2
+ ax + b)(x
2
+ cx + d)
x
4
– 6x
3
+ 12x
2
– 14x + 3 = x
4
+ (a+c )x
3
+ (ac + b + d)x
2
+ (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện :








=
−=+
=++

−=+
3
14
12
16
bd
bcad
dbac
ca
Xét bd = 3 với b, d
Z∈
, b
∈
}{
3;1
với b = 3; d = 1
Hệ điều kiện trở thành :






−=+
=
−=+
143
8
6
ca

ac
ca
Suy ra 2c = - 14 + 6 = - 8, Do đó c = - 4 , a = -2
Vậy M = x
4
– 6x
3
+ 12x
2
– 14x + 3
= (x
2
– 2x + 3)(x
2
– 4x + 1)
Bài 52: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 3x
2
+ 22xy + 11x + 37y + 7y
2
+ 10
Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng :
A = ( ax + by + c )( dx + ey + g )
= adx
2
+ aexy + agx + bdxy + bey
2
+ bgy + cdx + cey + cg
= adx
2

+ ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey
2
+ ( bg + ce )y + cg
= 3x
2
+ 22xy + 11x + 37y + 7y
2
+ 10
Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện :












=
=+
=
=+
=+
=
10
37
7

11
22
3
cg
cebg
be
cdag
bdae
ad

⇒












=
=
=
=
=
=
2

7
1
5
1
3
g
e
d
c
b
a
Vậy A = 3x
2
+ 22xy + 11x + 37y + 7y
2
+ 10
= ( 3x + y + 5 )( x + 7y + 2 )
Bài 53: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
4
– 8x + 63
19
Giải: Ta có thể biểu diễn B dưới dạng :
B = x
4
– 8x + 63
= (x
2
+ ax + b)(x
2

+ cx + d)
= x
4
+ (a+ c)x
3
+ (ac + b + d)x
2
+ (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hai đa thức ta được hệ điều kiện:







=
−=+
=++
=+
63
8
0
0
bd
bcad
dbac
ca

⇔








=
=
=
−=
9
4
7
4
d
c
b
a
Vậy : B = x
4
– 8x + 63 = (x
2
- 4x + 7)(x
2
+ 4x + 9)
3.8. Phương pháp xét giá trị riêng
Đây là một phương pháp khó, nhưng nếu áp dụng nó một cách “linh hoạt” thì có
thể phân tích một đa thức thành nhân tử rất nhanh. Trong phương pháp này ta xác

định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để
xác định thừa số còn lại.
Sau đây là một số ví dụ :
Bài 54: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
2
(y – z) + y
2
(z – x) + z
2
(x – y)
Giải: Thử thay x bởi y thì P = y
2
(y – z) + y
2
(z – y) = 0
Như vậy P chứa thừa số x – y
Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi ( ta nói
đa thức P có thể hoán vị vòng quanh x
→
y
→
z
→
x . Do đó nếu P chứa thừa số x – y
thì cũng chứa thừa số y – z, z – x . Vậy P có dạng :
k(x – y)(y – z)(z – x)
Ta thấy k phải là hằng số, vì P có bậc đối với tập hợp các biến x, y, z, còn các
tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z.
Vì đẳng thức x

2
(y – z) + y
2
(z – x) + z
2
(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng với
mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2; y = 1; z =
0 (*), ta được:
4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2)
2 = -2k
k = -1
Vậy P = -1(x – y)(y – z)(z – x)
= (x – y)(y – z)(x – z)
Chú ý: (*) các giá trị của x, y, z có thể chọn tuỳ ý chỉ cần chúng đôi một khác nhau
để (x – y)(y – z)(z – x)
≠
0.
Bài 55: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
2
y
2
(y – x) + y
2
z
2
(z – y) + z
2
x
2

(y – z)
Giải: Thay x = y thì P = y
2
z
2
(z – y) + z
2
x
2
(y – z) = 0
Như vậy P chứa thừa số x – y.
20
Ta thấy đa thức P có thể hoán vị vòng quanh x
→
y
→
z
→
x. Do đó nếu P chứa
thừa số x – y thì cũng chứa thừa số y – z, z – x . Vậy P có dạng :
k(x – y)(y – z)(z – x)
Mặt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z, nên trong phép chia A cho
(x – y)(y – z)(z – x) thương là hằng số k, nghĩa là :
P = k(x – y)(y – z)(z – x) , k là hằng số.
Cho : x = 1; y = -1; z = 0 ta được :
1
2
.(-1)
2
.(-2) + (-1)

2
.0.(0 + 1) + 0
2
.1
2
.(1 – 0) = k. 2.(-1).(-1)
-2 = 2k
k = -1
Vậy P = -1(x – y)(y – z)(z – x)
= (x – y)(y – z)(x – z)
Bài 56: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
Giải:
Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì A không thay đổi. Thay a=b vào A ta
có:
A = 0 + bc(b – c) + cb(c – b) = 0
Do đó A

(a – b)
Suy ra A

(b – c) và A

(c – a). Từ đó :
A

(a – b)(b – c)(c – a)
Mặt khác A là đa thức bậc ba đối với a, b, c, nên trong phép chia A cho
(a – b)(b – c)(c – a) thương là hằng số k, nghĩa là :
A = k(a – b)(b – c)(c – a)

Cho a = 1; b = 0; c = 1 ta được 2 = -2k hay k = - 1
A = -1(a – b)(b – c)(c – a)
= (a – b)(b – c)(a – c)
Bài 57: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x(y
3
– z
3
) + y(z
3
– x
3
) + z(x
3
– y
3
)
Giải:
Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh x, y, z thì P không thay đổi. Thay z = y vào P ta
có:
P = 0 + z(z
3
- x
3
) + z(x
3
–z
3
) = 0
Do đó : P


(y – z)
Suy ra P

(z – x) và P

(x – y). Từ đó :
P

(y – z)(z – x)(z – x)
Mặt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z nên trong phép chia P cho
(y – z)(z – x)(z – x)được thương là hằng số k, nghĩa là :
21
P = k(y – z)(z – x)(z – x)
Cho : x = 2; y = 1; z = 0, ta được :
2.1
3
+ 1.(-2)
3
+ 0 = k.1.(-2)
- 6 = - 2k
k = 3
Vậy P = 3(y – z)(z – x)(z – x)
Hay x(y
3
– z
3
) + y(z
3
– x

3
) + z(x
3
– y
3
) = 3(y – z)(z – x)(z – x)
Bài 58: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = a(b +c – a)
2
+ b(c +a – b)
2
+ c(a +b – c)
2
+ (a + b – c)(b +c – a)(c +a – b)
Giải: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì M không thay đổi.
Thay a = 0 vào M ta có :
M = 0 + b(c – b)
2
+ c(b – c)
2
+ (b – c)(b + c)(c – b) = 0
Do đó M

a
Suy ra M

b và M

c. Từ đó :
M


abc
Mặt khác M là đa thức bậc ba đối với a, b, c nên trong phép chia M cho abc thương là
hằng số k, nghĩa là :
M = k.abc
Cho a = b = c = 1, ta được :
1.1
2
+ 1.1
2
+ 1.1
2
+ 1.1.1 = k.1.1.1
k = 4
Vậy M = 4.abc
Hay: a(b +c – a)
2
+ b(c +a – b)
2
+ c(a +b – c)
2
+ (a +b – c)(b +c – a)(c +a – b) = 4abc
3.9. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử:
Mục đích: Thêm, bớt cùng một hạng tử để nhóm với các hạng tử đã có trong đa
thức nhằm xuất hiện nhân tử chung mới hoặc xuất hiện hằng đẳng thức, đặc biệt là
xuất hiện hiệu của hai bình phương.
1) Dạng 1: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai
bình phương: A
2
– B

2
= (A – B)(A + B)
CÁC BÀI TOÁN
Bài 1: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử:
4 4
4 4
4 4 4
4 4 4 2
1, 4 2, 64
3, 64 1 4, 81 4
5, 4 81 6, 64
7, 4 8, 1
x x
x x
x x y
x y x x
+ +
+ +
+ +
+ + +
2) Dạng 2: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung
CÁC BÀI TOÁN
22
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
7 2 7 5
5 4 5
8 7 5 4
5 11
1, 1 2, 1
3, 1 4, 1

5, 1 6, 1
7, 1 8, 1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + +
+ + + +
+ + − −
+ − + +
Đáp án
7 2 7 6 5 6
5 4 3 3 5 2 2
8 2 7 2 5 4 3 3
5 4 3 4 3 2
1, 1 2, 1
3, 1 4, 1
5, 1 6, 1
7,
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x
+ + − + + + − +
+ + − + − + + +
− + − + + + − + − −
− + + − +
2
11 2 2
1

8, 1
x x
x x x x
− + −
− + + +
CÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC
1. Bài toán rút gọn biểu thức.
a) Ví dụ: Cho A = (
65
2
2
3
3
2
2
++
−
+
+
−
−
+
−
xx
x
x
x
x
x
)

a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A với x = 998.
c) Tìm giá trị của x để A > 1
b) Đường lối giải: Dựa trên cơ sở của tính chất cơ bản của phân
thức đại số, phân tích tử và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử
chung rồi rút gọn, đồng thời tìm tập xác định của biểu thức thông qua các nhân
tử nằm ở dưới mẫu.
Với học sinh: Rèn luyện kỹ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử vào loại bài toán rút gọn, giúp học sinh thấy được sự liên hệ chặt
chẽ giữa các kiến thức phát triển trí thông minh.
2. Bài toán giải phương trình:
a) Đường lối giải: Với các phương trình bậc hai trở lên việc áp dụng các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử rất quan trọng, vì sau khi phân
tích vế chứa ẩn thì được dạng phương trình tích A.B = 0 khi và chỉ khi A = 0
hoặc B = 0.
b) Ví dụ:
+) Giải phương trình: ( 4x + 3)
2
– 25 = 0
Giải : áp dụng phương pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đưa
phương trình về dạng.
8(2x – 1)( x+ 2) = 0
⇒
x = 1/2 hoặc x = -2
23
+) Giải phương trình: 3x
2
+ 5x - 2 = 0
Giải: áp dụng phương pháp phân tích tam thức bậc 2 ở vế trái thành nhân
tử đưa phương trình về dạng

( 3x – 1)( x + 2) = 0
⇒
x = 1/3 hoặc x = -2
3. Bài toán giải bất phương trình
a) Đường lối giải: Với các bất phương trình bậc cao hoặc các bất phương
trình có chứa ẩn ở mẫu thì việc rút gọn biểu thức và phương trình thành đa thức
tử và mẫu thành nhân tử đóng vai trò rất quan trọng khi đưa bất phương trình về
dạng bất phương trình tích
( A.B < 0) hoặc A.B > 0) hay bất phương trình thường
b) Ví dụ: Giải bất phương trình
1
3
2
2
>
−
−
− xx
x

0
3)(2(
2
>
−−
−
xx
Vì - 2 < 0
⇒
( x- 2)(x- 3) < 0

⇒
2 < x< 3
3x
3
– 10x – 8 > 0
⇒
( 3x + 2)( x – 4) > 0 lập bảng xét dấu tích.
⇒
x < - 2/3 hoạc x > 4
4. Bài toán chứng minh về chia hết
a) Đường lối giải: Biến đổi đa thức đã cho thành một tích trong đó
xuất hiện thừa số có dạng chia hết.
b) Ví dụ: * Chứng minh rằng
∀
x
∈
Z ta có biểu thức:
P = ( 4x + 3)
2
– 25 chia hết cho 8
Phân tích P = 8( 2x – 1)( x + 1) chia hết cho 8.
* Chứng minh rằng:
∀
n
∈
Z thì biểu thức

623
32
nnn

++
là số nguyên
Biến đổi biểu thức về dạng
6
32
32
nnn ++
Và chứng minh ( 2n + 3n
2
+ n
3
) chia hết cho 6
2n + 3n
2
+ n
3
= n( n+ 1)( n +2) là tích của 3 số
nguyên liên tiếp vì vậy ít nhất có một thừa số chia hết cho 2 và chia hết cho 3
mà (2;3) = 1 nên tích này chia hết cho 6
Vậy
∀
n
∈
Z thì biểu thức
623
32
nnn
++
là số nguyên
24