Đề thi HSG Toán A+B cấp tỉnh

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011

Môn thi: TOÁN - BẢNG A
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4,0 điểm).
a) Cho các số nguyên a
1
, a
2
, a
3
, , a
n
. Đặt S =
3 3 3
1 2 n
a a a+ + +

và
1 2 n
P a a a= + + +
.
Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.
b) Cho A =
6 4 3 2
n n 2n 2n− + +
(với
n N,∈

n > 1). Chứng minh A không phải là số
chính phương.
Câu 2 (4,5 điểm).
a) Giải phương trình:
3 2
10 x 1 3x 6+ = +
b) Giải hệ phương trình:
1
x 3
y
1
y 3
z
1
z 3
x

+ =



+ =



+ =


Câu 3 (4,5 điểm).
a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và

1 1 1
4
x y z
+ + =
.
Chứng minh rằng:
1 1 1
1
2x+y+z x 2y z x y 2z
+ + ≤
+ + + +
b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn
2011 2011 2011
x y z 3+ + =
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2
M x y z= + +
Câu 4 (4,5 điểm).
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác.
Gọi M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. (M không trùng với B và C). Gọi N và P
lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB và AC.
a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng.
b) Khi
·
0
BOC 120=
, xác định vị trí của điểm M để
1 1
MB MC

+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5 (2,5 điểm).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC
không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường
thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh
rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.
- - - Hết - - -
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011

Môn thi: TOÁN - BẢNG B
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (5,0 điểm).
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì
2
n n 2+ +
không chia hết cho 3.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho
2
n 17+
là một số chính phương.
Câu 2 (5,0 điểm)
a) Giải phương trình:
2
x 4x+5 = 2 2x+3+

b) Giải hệ phương trình:
2
2
2x+y = x
2y+x = y





Câu 3 (3,0 điểm).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
4x+3
A
x 1
=
+
Câu 4 (4,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE, CF của
tam giác ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng BH.BE + CH.CF =
2
BC
b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh rằng K
∈
(O).
Câu 5 (2,5 điểm).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC
không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường

thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh
rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.
- - - Hết - - -
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
ĐỀ CHÍNH THỨC