Hệ Thức Viét và ứng dụng

Chuyeõn ủe
Toồ Toaựn
giáo viên : Đinh Long Mỹ
Tr ờng : thcs TT Năm Căn

Giải phương trình: x
2
– 6 x + 5 = 0
Giải:
KIỂM TRA BÀI CŨ
Δ
’
= b’
2
– ac = 9 – 5 = 4 > 0 ⇒
∆
,
2=
Vậy pt có hai nghiệm phân biệt là:
∆
, ,
1
b 3 2
x 5
a 1
− + +
= = =
∆
, ,

2
b 3 2
x 1
a 1
− − −
= = =
;

Ta có : a = 1 , b’= -3 , c = 5

Tiết 58 BÀI 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. HÖ thøc vi- Ðt
Nếu phương trình bậc hai ax
2
+ bx +c = 0
có nghiệm thì dù đó là hai nghiệm phân
biệt hay nghiệm kép ta đều có thể viết các
nghiệm đó dưới dạng:
a
b
x,
a
b
x
22
21
∆−−
=
∆+−
=

H·y tÝnh : x
1
+x
2
= ?
x
1
. x
2
= ?

1. HÖ thøc vi- Ðt
1 2
2 2
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
+ = +
( )
2
2
2
b b
a
b
a
− + ∆ + − − ∆
=
−

= =
-
b
a
1 2
.
2 2
b b
x x
a a
   
− + ∆ − − ∆
= ×
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
2 2 2
2 2
2
( 4 )
4 4
4
4
b b b ac
a a
ac
a
− ∆ − −
= =
= =

c
a
Tiết 58 BÀI 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

1. HÖ thøc vi- Ðt
Phrăng-xoa Vi-ét là nhà Toán học- một
luật sư và là một nhà chính trị gia nổi
tiếng người Pháp (1540 - 1603). Ông đã
phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm
và các hệ số của phương trình bậc hai
và ngày nay nó được phát biểu thành
một định lí mang tên ông .
F.Viète
Tiết 58 BÀI 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
§Þnh lÝ vi- Ðt
NÕu x
1
, x
2

lµ hai nghiÖm cña ph ¬ng
tr×nh ax
2
+ bx + c= 0 (a≠0) th×








=
−=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21

1. Hệ thức vi ét
p dng:
Bit rng cỏc phng trỡnh sau cú
nghim, khụng gii phng trỡnh,
hóy tớnh tng v tớch ca chỳng:
a/ 2x
2
- 9x + 2 = 0
b/ -3x
2
+ 6x -1 = 0
Giải
a/ x
1
+ x
2
=
x

1
.x
2
= 1
( )
9
9
2 2

=
b/ x
1
+ x
2
=
x
1
.x
2
=
6
2
3

=

1 1
3 3

=

áp dụng
Tit 58 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
Định lí vi- ét
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của ph ơng
trình ax
2
+ bx + c= 0 (a0) thì







=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21

Hoạt Động nhóm
Nhóm 1 và nhóm 2 ( Làm ?2 )
Cho ph ơng trình 2x
2
- 5x+3 = 0 .
a) Xác định các hệ số a,b,c rồi tính a+b+c.
b) Chứng tỏ x
1
= 1 là một nghiệm của ph
ơng trình.
c) Dùng định lý Vi- ét để tìm x
2.
.
Nhóm 3 và nhóm 4 (Làm ?3)
Cho ph ơng trình 3x
2
+7x+4=0.
a) Chỉ rõ các hệ số a,b,c của ph ơng
trình v tính a-b+c
b) Chứng tỏ x
1
= -1 là một nghiệm của
ph ơng trình.
c) Tìm nghiệm x
2.
1. Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x

2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì







=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
áp dụng
Tit 58 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG

1. HÖ thøc vi Ðt
§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x
1
, x

2

lµ hai nghiÖm
cña ph ¬ng tr×nh ax
2
+ bx + c= 0 (a≠0)
th× :







=
−=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
¸p dông
T
æ
n
g

q
u
¸
t

1

:

N
Õ
u

p
h

¬
n
g

t
r
×
n
h

a
x
2
+

b
x
+
c
=

0

(
a
≠

0

)

c
ã

a
+
b
+
c
=
0

t
h
×

p
h

¬
n
g

t
r
×
n
h

c
ã

m
«
t

n
g
h
i
Ö
m

x
1

=
1
,

c
ß
n

n
g
h
i
Ö
m

k
i
a

l
µ
c
a
x
2
=

Phương trình 2x
2
-5x + 3 = 0

a/ a =2 ; b = - 5 ; c = 3
a+b+c =2+(-5)+3=0
b/ Thay x=1 vào phương trình ta được:
2+(-5)+3=0
Vậy x=1 là một nghiệm của phương
trình
c/ Ta có x
1
.x
2
= => x
2
=
Tiết 58 BÀI 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
3
2
c
a
=
3
2
ĐÁP ÁN: ?2 –SGK-51

1. HÖ thøc vi Ðt
§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x
1
, x
2

lµ hai nghiÖm

cña ph ¬ng tr×nh ax
2
+ bx + c= 0 (a≠0) th×







=
−=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
¸p dông
T
æ
n
g

q
u
¸
t

1

:

N
Õ
u

p
h

¬
n
g

t
r
×
n
h

a
x
2
+
b
x
+
c

=

0

(
a
≠

0

)

c
ã

a
+
b
+
c
=
0

t
h
×

p
h

¬
n
g

t
r
×
n
h

c
ã

m
«
t

n
g
h
i
Ö
m

x
1
=
1
,

c
ß
n

n
g
h
i
Ö
m

k
i
a

l
µ
:
c
a
x
2
=

ĐÁP ÁN ?3-sgk-51
Phương trình 3x
2
+7x + 4= 0
a/ a =3 ; b = 7 ; c = 4
a-b+c =3 + (- 7) + 4 = 0

b/ Thay x= -1 vào phương trình
ta được: 3+(-7)+4=0
Vậy x= -1 là một nghiệm của
phương trình
c/ Ta có x
1
.x
2
= =>x
2
=
Tiết 58 BÀI 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
4
3
c
a
=
4
3
−

1. Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2

+ bx + c= 0(a0) thì







=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
áp dụng
?4:Tính nhẩm nghiệm của ph ơng trình
a/ - 5x
2
+3x +2 =0;
b/ 2004x
2
+ 2005x+1=0
b/ 2004x
2
+2005x +1=0
có a=2004 ,b=2005 ,c=1

=>a-b+c=2004-2005+1=0
x
2
= -
1
2004
Vậy x
1
= -1,
a/ -5x
2
+3x+2=0 có a=-5, b=3, c=2
=>a+b+c= -5+3+2= 0.
Vậy x
1
=1,
2
2 2
5 5
x

= =

Tit 58 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
Lời giải
Tổng quát 1 : Nếu ph ơng trình
ax
2
+bx+c = 0 (a0) có a+b+c =0 thì ph
ơng trình có một nghiệm là

1
1x =
Còn nghiệm kia là
Tổng quát 2:Nếu ph ơng trình
ax
2
+bx+c =o (a0) có a- b+c = 0 thì ph
ơng trình có một nghiệm là
1
1x =
Còn nghiệm kia là
2
c
x
a
=
2
c
x
a
=

1.HÖ thøc vi Ðt
§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x
1
, x
2

lµ hai nghiÖm
cña ph ¬ng tr×nh ax

2
+ bx + c= 0(a≠0) th×







=
−=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
¸p dông
Tæng qu¸t 1 :(SGK-51)
Tæng qu¸t 2:(SGK-51)
2. T×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch
cña chóng :
Tiết 58 BÀI 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Hệ thức Vi-ét cho ta biết
cách tính tổng và tích của
hai nghiệm phương trình
bậc hai
Ngược lại nếu biết tổng

của hai số bằng S và tích
của chúng bằng P thì hai
số đó là nghiệm của
phương trình nào?

1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì







=
=+
a
c
x.x
a
b
xx

21
21
áp dụng
Tổng quát 1 :(SGK-51)
Tổng quát 2:(SGK-51)
2. Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P
thì hai số đó là hai nghiệm của ph ơng
trình x
2
Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S
2
-4P 0
+ giả sử hai số có tổng l S và tích
bằng P. Gọi một số là x thì số kia là
x(S x) = P
Nếu = S
2
- 4P 0,
thì ph ơng trình (1) có nghiệm.Các nghiệm này
chính là hai số cần tìm.
áp dụng
Ví dụ 1: Tìm hai số, biết tổng của chúng
bằng 27, tích của chúng bằng 180.
Giải :
Hai số cần tìm là nghiệm của ph ơng trình.
x
2_

27x +180 = 0
= 27
2
- 4.1.180 = 729-720 = 9 >0
12
2
327
15
2
327
21
=

==
+
= x,x
Vậy hai số cần tìm là 15 và 12
S -x .
Theo giả thiết ta có ph ơng trình
<=> x
2
- Sx + P= 0 (1)
Tit 58 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG

9
=
= 3

1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x

1
, x
2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì







=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
áp dụng
Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2. Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng :

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P
thì hai số đó là hai nghiệm của ph ơng
trình x
2
Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S
2
-4P 0
áp dụng
?5. Tìm hai số biết tổng của chúng
bằng 1, tích của chúng bằng 5.
Giải
Hai số cần tìm là nghiệm của ph ơng trình
: x
2
- x + 5 = 0
= (-1)
2
4.1.5 = -19 < 0.
Ph ơng trình vô nghiệm.
Vậy không có hai số nào có tổng bằmg 1
và tích bằng 5.
Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của ph ơng
trình x
2
-5x+6 = 0.
Giải.

= 25 24 = 1>0
Vì: 2+3 =5; 2.3 = 6,

nên x
1
= 2, x
2
= 3 là hai nghiệm
của ph ơng trình đã cho.
Tit 58 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG

1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét:
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của ph ơng trình
ax
2
+ bx + c= 0 (a0) thì







=
=+
a
c

x.x
a
b
xx
21
21
áp dụng
Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2.Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
ph ơng trình x
2
Sx
+ P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S
2
-4P 0
Luyện tập
Bài tập 25: Đối với mỗi ph ơng trình sau, kí
hiệu x
1
và x
2
là hai nghiệm (nếu có).
Không giải ph ơng trình, hãy điền vào
những chỗ trống ( ).
a/ 2x

2
- 17x+1= 0, = x
1
+x
2
=
x
1
.x
2
=
b/ 5x
2
- x- 35 = 0, = x
1
+x
2
=
x
1
.x
2
=
c/ 8x
2
- x+1=0, = x
1
+x
2
=

x
1
.x
2
=
d/ 25x
2
+ 10x+1= 0, = x
1
+x
2
=
x
1
.x
2
=
281
17
2
1
2
701
1
5
-7
-31
0
2
5

1
25
Khụng cú
Khụng cú
Tit 58 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG

1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì







=
=+
a
c
x.x
a

b
xx
21
21
áp dụng
Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2.Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
ph ơng trình x
2
Sx
+ P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S
2
-4P 0
Bài 27/ SGK.Dùng hệ thức Vi-ét
để tính nhẩm các nghiệm của ph
ơng trình.
a/ x
2
7x+12= 0 (1)
b/ x
2
+7x+13=0 (2)
Nửa lớp làm câu a .
Nửa lớp làm câu b.
Giải

a/ =(7)
2
4.1.12 = 49 48 =1 > 0.
Vì : 3 + 4 = 7 và 3. 4 = 12
nên x
1
=3, x
2
= 4
là hai nghi m c a ph ơng trình
(1)
Tit 58 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
b/ =(-7)
2
4.1.13 = 49 52 = -3 < 0.
V y: Ph ơng trình (2) vô nghiệm.

1.HƯ thøc vi Ðt
§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x
1
, x
2

lµ hai nghiƯm
cđa ph ¬ng tr×nh ax
2
+ bx + c= 0(a≠0) th×








=
−=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
¸p dơng
Tỉng qu¸t 1 :(SGK)
Tỉng qu¸t 2:(SGK)
2.T×m hai sè biÕt tỉng vµ tÝch
cđa chóng :
NÕu hai sè cã tỉng b»ng S vµ tÝch
b»ng P th× hai sè ®ã lµ hai nghiƯm cđa
ph ¬ng tr×nh x
2
- Sx +
P = 0
§iỊu kiƯn ®Ĩ cã hai sè ®ã lµ S
2
-4P ≥0
Tiết 58 BÀI 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Hai số u và v là hai nghiệm của

phương trình: x
2
– 32x + 231 = 0
∆’ = 256 – 231 = 25 > 0
⇒ = 5
x
1
= 16 + 5 = 21
x
2
= 16 – 5 = 11
Vậy u = 21, v = 11 ho c u = 11,v = ặ
21
25
Bài tập: 28 (a) /SGK.
Tìm hai số u và v biết u +
v=32, u.v = 231.
Gi¶i

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Chän c©u tr¶ lêi ®óng ?
B
A
C
D
x
2
- 2x + 5 = 0
x
2

+ 2x – 5 = 0
x
2
- 7x + 10 = 0
x
2
+ 7x + 10 = 0
sai
ún
g
Đ
Sai
Hai số 2 và 5 là nghiệm của phương trình nào:

Tớnh nhaồm nghieọm cuỷa caực phửụng trỡnh
sau
. 4x
2
-

6x + 2 = 0 => x
1
= ; x
2
=
. 2x
2
+ 3x + 1 =0 => x
1
= ; x

2
=
x
2
- 5x + 6 = 0 => x
1
= .; x
2
=
2x
2
+ x + 5 = 0 => x
1
= ; x
2
=.
x
2
+ 3x - 10 = 0 => x
1
=.; x
2
=
1
2
3
4
5
- 5
2

Khụng cú
Khụng cú
1
1/2
- 1
-1/2
32

Qua bi hc ta cú th nhm nghim ca pt
x
2
6x + 5 = 0 bng my cỏch?
* Dựng iu kin a+b+c=0 hoc a-b+c=0 tớnh nhm nghim
Giải
Ta có a=1, b= - 6, c=5
=>a + b + c = 1+(- 6) + 5 = 0.
Nờn phng trỡnh cú hai nghim l:
1 2
1; 5
c
x x
a
= = =
* Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm.
Vì : 1 + 5 = 6 và 1. 5 = 5
nên x
1
=1 ,x
2
= 5 là hai nghi m c a

ph ơng trình
Giải
= 9 5 = 4>0

1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét:
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của ph ơng trình
ax
2
+ bx + c= 0 (a0) thì







=
=+
a
c
x.x
a
b
xx

21
21
áp dụng
Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2.Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
ph ơng trình x
2
Sx
+ P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S
2
-4P 0
Hng dn t hc:
a) Bi va hc:
-Hc thuc nh lớ Vi-ột v
cỏch tỡm hai s bit tng v tớch.
-Nm
vng cỏch nhm nghim: a+b+c=0;
a-b+c=0
-Trng hp tng v tớch
ca hai nghim ( S v P) l nhng s
nguyờn cú giỏ tr tuyt i khụng quỏ
ln.
Tit 58 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
BTVN: 28bc /tr53, 29/tr54 (SGK)
B sung thờm: Bi tp 38,41 trang

43,44 SBT

HƯỚNG DẪN BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài: 28 (SGK) Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
b/ u+v= -8, u.v = -105 c/ u+v=2, u.v=9
Chú ý: u+v= S và uv= P
-Hai số u và v là hai nghiệm của phương trình:
x
2
– Sx + P=0 (Δ = S
2
- 4P Δ0)
Bài 29: (SGK) Không giải phương trình ,hãy tính tổng và tích các
nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau: .
a/ 4x
2
+ 2x - 5 = 0 b/ 9x
2
- 12x + 4 = 0
c/ 5x
2
+ x + 2 = 0 d/ 159x
2
- 2x -1 = 0
Chú ý: -Xét phương trình có nghiệm : (hay ac < 0)
-Rồi tính tổng x
1
+x
2 ;
tích x

1
x
2
0∆ ≥
b) Bài sắp học:
Tiết 58 : luyện tập (các em sử dụng hệ thức Vi-ét chuẩn bị
trước các bài tập 30 đến 33 (SGK/ tr 54) )


Chuyeân ñeà
Toå Toaùn