SKKN rèn kĩ năng cho HS qua phân tích bài toán

sở Giáo dục Đào tạo
phòng giáo dục
=======o0o=======
Sáng kiến
Rèn kỹ năng cho học sinh qua phân
tích
Tìm cách giải một số bài toán ở tr-
ờng THCS
Ngời viết: .

Tổ: Khoa học - tự nhiên

Phần thứ nhất: đặt vấn đề
1. Lý do chọn đề tài.
Trong xu thế đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay mục đích quan
trọng của việc dạy là phải phát huy đợc tính tích cực học tập, khả năng t
duy độc lập và sáng tạo của học sinh. Vì thế việc vận dụng kiến thức ở
sách giáo khoa trong chơng trình cơ bản một cách linh hoạt để giải đợc
các bài toán nâng cao, yêu cầu tổng hợp đợc kiến thức là một việc hết
sức cần thiết. Chính vì thế đổi mới phơng pháp dạy học trong nhà trờng
phổ thông theo tinh thần nghị quyết 9 của đảng đợc chỉ rõ Phơng pháp
giáo dục phổ thông phải phát huy đợc tính tích cực, tự giác, chủ động
sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,từng môn
học, bồi dỡng phơng pháp tự học,rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn, tác động đến tình cảm,đem lại niềm vui, hứng thú cho học
sinh. Để đạt đợc những điều đó tôi thấy rằng cùng với sự thay đổi về nội
dung, hình thức tổ chức dạy học thì cần coi trọng việc hình thành cho
học sinh một kỹ năng phân tích, tổng hợp, tạo cho học sinh năng lực tự
học, tự rèn luyện chủ động bồi bổ kiến thức cho mình là việc vô cùng
quan trọng.
Đối với nhà trờng THCS việc tự rèn luyện khả năng phân tích tổng

hợp là rất cần thiết đối với tất cả các bộ môn đặc biêt là bộ môn toán bởi
toán học rất quan trọng cho sự suy luận lôgic của con ngời. Hẳn các em
học sinh đều đồng ý rằng muốn học tốt môn toán và các môn tự nhiên
khác đều phải nắm vững khái niệm cơ bản thuộc và sử dụng chính xác
những công thức có trong giáo trình.
Có một số dạng toán chỉ cần ngời học nắm đợc các bớc tuần tự đã
đợc tổng kết đầy đủ trong sách vở là dễ dàng và có ngay kết quả.
Tuy nhiên các em cũng phải đơng đầu, với nhiều bài toán mà phơng h-
ớng giải quyết tỏ ra bí ẩn hơn đến nỗi nhiều em tuy chăm chỉ thuộc lầu
khái niệm, định lý công thức cơ bản song vẫn đành chịu bất lực dẫn đến
ngại và sợ học toán đặc biệt là các bài toán hình và một số bài toán khó
khác.
Trang: 2
Nguyên nhân cơ bản của tình trạng đó là vì các em cha chịu khó
đào sâu suy nghĩ, cha biết phân tích định hớng dạng bài để tìm ra cách
vận dụng linh hoạt các kiến thức cơ bản thuộc chơng trình môn học cùng
với việc tích luỹ kiến thức, rèn kỹ năng giải và khai thác bài toán.
Vậy để khuyến khích hoạt động trí tuệ của học sinh qua bộ môn
toán nhằm nâng cao chất lợng giáo dục đào tạo, chất lợng học tập của
học sinh thì việc đổi mới phơng pháp dạy học là một việc không thể
thiếu trong mỗi nhà trờng. Giải pháp quan trọng để thực hiện đổi mới ph-
ơng pháp dạy học toán ở trờng THCS là phát huy tính tích cực và sáng
tạo trong t duy của học sinh.
Chính vì vậy tôi đa ra phơng pháp Rèn luyện kỹ năng cho học
sinh qua phân tích tìm cách giải các bài toán ở trờng THCS giúp học
sinh yêu thích và say mê học tập bộ môn này.
cần thiết.
2. Mục đích nghiên cứu.
Là để rèn luyện tốt cho HS nắm đợc nắm đợc các kĩ năng phân tích
một bài toán, đa ra cách giải hợp lí nhất không bị lúng túng khi gặp các

dạng toán tơng tự nhau và trình bày bài toán một cách hợp lí.
3. Đối tợng nghiên cứu.
Là học sinh lớp 6 và 8
4. Phơng pháp nghiên cứu.
- Phân tích.
- Tổng hợp.
- Thử nghiệm.
- Thực hành qua quá trình học bồi dỡng, ngoại khoá cho học sinh.
- Sử dụng kết quả thu đợc để đánh giá kết quả của học sinh.
- Sử dụng phơng pháp thống kê.
5. Phạm vi nghiên cứu :
Học sinh lớp 6, 7, 8 và lớp 9
Trang: 3
6. Thời gian nghiên cứu:
PHần thứ hai: nội dung
I. Cơ sở khoa học.
1. Cơ sở lý luận.
Mỗi học sinh đang ngồi trong ghế nhà trờng cũng nh khi đã ra tr-
ờng đều phải nắm đợc lợng kiến thức cơ bản ứng với mỗi phần cơ bản
qua kiến thức đã học yêu cầu phải nắm chắc để áp dụng trong tính toán,
chứng minh hay áp dụng trong đời sống thực tế nh hình đồng dạng, hình
bằng nhau, hai đờng thẳng song song, bộ ba số pitago, hằng đẳng thức,
bất đẳng thức
Nếu chỉ nắm kiến thức đó trên cơ sở lý thuyết thì kiến thức đó sẽ
không đợc khắc sâu, dễ quên, do vậy học sinh phải đợc hình thành kỹ
năng phân tích để giải các bài toán, đó là mục tiêu quan trọng trong quá
trình dạy học toán ở trờng THCS. Qua đó tôi nhận thấy việc Rèn luyện
kỹ năng cho học sinh qua phân tích tìm cách giải các bài toán là một
vấn đề quan trọng.
Với những bài toán cụ thể thờng có những cách (định hớng) khác

nhau, để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ngời giáo viên qua
việc giảng dạy của mình nếu biết cách định hớng, hớng dẫn gợi mở vấn
đề thì học sinh sẽ nhanh chóng phát hiện tìm ra con đờng đi đến với lời
giải bài toán hay nhất, ngắn gọn nhất và sau đó lại biết cách phân tích,
khai thác kiến thức để giải các bài toán tơng tự. Mỗi chúng ta nếu biết
cách hớng dẫn cho học sinh tìm nhiều lời giải cho một bài toán, hay từ
lời giải một bài toán quen thuộc sử dụng để giải các bài toán khác, không
những có tác dụng gây hứng thú trong học tập bộ môn toán mà từng bớc
còn hình thành kỹ năng, khả năng t duy sáng tạo và nảy nở trong học
sinh trí thông minh, nhanh nhẹn lập luận chính xác khoa học. Một nhà
toán học đã nhận định rất chí lý Giải 10 bài toán bằng một phơng pháp
cũng không bằng giải một bài toán bằng 10 phơng pháp xác định đợc
điều đó ngay từ đầu năm học khi đợc phân công giảng dạy bộ môn toán
6, 8 hàng năm dự chuyên đề thay sách giáo khoa các khối lớp. Tôi nhận
thấy phải chú trọng rèn luyện kỹ năng phân tích giúp học sinh nâng cao
trình độ toán học, nắm vững hơn các kiến thức toán học phổ thông, hớng
dẫn học sinh các phơng pháp học toán theo hớng độc lập suy nghĩ tìm
Trang: 4
tòi, sáng tạo qua các giờ luyện tập, ôn tập và cũng phát huy đợc tính tích
cực, niềm say mê yêu thích toán học theo hớng dẫn đổi mới phơng pháp
giảng dạy trong giáo dục hiện nay.
2. Cơ sở thực tiễn.
Trờng trung học cơ sở Thị trấn Chi Nê nằm ở trung tâm huyện, đợc
sự quan tâm đầu t của địa phơng và ngành rất lớn, đội ngũ giáo viên đều
đạt chuẩn tiến tới trờng đợc công nhận là trờng chuẩn quốc gia. Các em
học sinh chủ yếu là con em Thị trấn, vùng ngoài tuyển vào rất ít, các em
có điều kiện để tham gia học tập và vui chơi.
Nhà trờng có 12 lớp. Các em đều đã lớn bớc đầu nhận thức đúng
đắn về vai trò của mình trong nhà trờng, song về mặt tiếp thu kiến thức
còn khá chênh lệch, số học sinh trung bình và yếu còn chiếm tỷ lệ cao,

việc học toán có nhiều khó khăn. Phơng pháp dạy học mới là gợi mở học
sinh chủ động trong tiếp thu, thật sự cha có hiệu quả. Để tiết giảng thu
hút đợc số học sinh này thì việc cải tiến phơng pháp dạy học cho phù hợp
với đối tợng học sinh là rất cần thiết. Có nhiều phơng pháp tiếp cận mang
lại hiệu quả cao, một trong những phơng pháp đó là rèn luyện kỹ năng
cho học sinh phân tích tìm cách giải cho một bài toán, sao cho kết quả
nhanh nhất, là một trong những phơng pháp đợc tôi lựa chọn và áp dụng
có kết quả.
II. Nội dung cụ thể.
Qua thực tế giảng dạy và học tập, qua nghiên cứu các tài liệu tham
khảo, tôi đa ra một số bài toán cơ bản có nhiều cách giải, mục đích khai
thác triệt để kiến thức đã học để phân tích tìm ra phơng hớng giải hay
nhất, ngắn gọn nhất. Gpolia nhà toán học và là nhà s phạm Mỹ đã
khuyên rằng ngay khi lời giải mà tìm đợc là đã tốt rồi, thì tìm đợc một
lời giải khác vẫn ích lợi. Thật là sung sớng khi thấy rằng kết quả tìm đợc
xác nhận nhờ hai lý luận khác nhau, cũng nh chúng ta thích biết một vật
nào đó nhờ 2 giác quan khác nhau. Có đợc một chứng cớ rồi chúng ta
còn muốn tìm thêm một chứng cớ nữa cũng nh chúng ta muốn sờ vào
một vật mà ta đã trông thấy.
Nh vậy việc trang bị vốn kiến thức cho học sinh là rất cần thiết,
giáo viên không phải chỉ giải bài tập cho học sinh mà phải biết cách h-
ớng dẫn cho học sinh cách giải toán, phải tận dụng tối đa hớng đa ra vấn
Trang: 5
đề, nêu tình huống để học sinh tự tìm tòi, tự khai thác, tự xác định phơng
hớng giải qua phân tích, đặc biệt là phải biết khai thác mở rộng vốn kiến
thức đã học cho các vấn đề khác có liên quan.
Để đạt đợc điều đó, tôi đa ra một số phơng pháp sau:
1. Tìm kiếm cái hay, cái mới trong toán học
Bài toán: Chứng minh rằng a
4

+ b
4
a
3
b + ab
3
a, b
Đây là một bài toán bất đẳng thức quen thuộc đối với học sinh khá
giỏi các lớp 8, 9 và hầu hết các em đều cho lời giải sau:
a
4
+ b
4
a
3
b + ab
3
a
4
- a
3
b + b
4
- ab
3
0
a
3
(a - b ) - b
3

(a - b) 0 (a - b) (a
3
- b
3
) 0
(a - b)(a - b)(a
2
+ ab + b
2
) 0 (a - b)
2
[(a
2
+ ab +
2
2
4
3
)
4
b
b
+
] 0
(a - b)
2
[(a +
22
4
3

)
2
b
b
+
] 0
Bất đẳng thức đúng, vậy ta có điều phải chứng minh
Nhng! hầu hết các em học sinh đều bằng lòng với cách giải trên mà
không chịu len lỏi để tìm thêm lời giải khác.
Trong thực tế cho thấy tìm kiếm lời giải khác của một bài toán đôi
khi cũng giúp ta đi đến những kỳ thú trong toán học. Suy nghĩ và tìm tòi
ta đi đến với 2 cách giải nữa:
Cách 1: Ta có (a
2
- b
2
)
2
0 a
4
+ b
4
2a
2
b
2

2(a
4
+ b

4
) (a
2
+ b
2
)
2
(1)
Và ( a - b)
2
0 a
2
+ b
2
2ab
(a
2
+ b
2
)
2
2ab (a
2
+ b
2
) (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2(a
4
+b
4

) 2ab( a
2
+ b
2
)
a
4
+ b
4
a
3
b + ab
3
(đpcm)
Cách 2: a
4
+ b
4
a
3
b + ab
3
a
4
- a
3
b + b
4
- ab
3

0
a
3
(a - b) - b
3
(a - b) 0 (a - b)(a
3
- b
3
) 0 (*)
+) Nếu a b a
3
b
3
; a - b 0
a
3
- b
3
0; a - b 0 (*) đúng
+) Nếu a < b a
3
< b
3
; a - b < 0
a
3
- b
3
< 0; a - b < 0 (*) đúng

Vậy sao đúng với mọi a, b
a
4
+ b
4
a
3
b + ab
3
(đpcm)
* Ta nhận đợc gì qua 2 cách giải này ?
Trang: 6
- Với cách giải 1 cho ta bài toán:
Chứng minh rằng: a
4
+ b
4

2
)(
222
ba +
a
3
b + ab
3
Bài toán chặt hơn nhng lại là bài toán dễ hơn.
- Với cách giải 2 giúp ta khẳng định rằng (a - b)(a
k
- b

k
) 0 kz
+
k lẻ. Từ đó đem đến cho ta bài toán thật hay, bài toán tổng quát sau:
Chứng minh rằng: a
2n
+ b
2n
a
2n - 1
b + ab
2n - 1
nz
+
Bài toán có còn gì nữa không? mong các bạn tiếp tục tìm tòi để tìm
ra các điều mới hơn. Hy vọng đây cũng là một phong cách để học giỏi
toán và góp phần nhỏ vào việc tìm kiếm cái mới trong toán học
2. Thay đổi cách phát biểu bài toán, một thủ thuật tìm kiếm lời giải
Một trong các phơng pháp thờng đợc sử dụng để tìm kiếm lời giải của
một bài toán là thay đổi cách phát biểu bài toán, thay đổi cách biểu thị
các mối liên quan giữa các dữ kiện của bài toán.
Đó cũng là một cách thay thế bài toán đã cho bằng một bài toán tơng
đơng với nó nhng đơn giản hơn hoặc quen thuộc với ta hơn.
Bài toán 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n o phân số
B =
)13)(12(
25
++
+
nn

n
là phân số tôí giản.
Chúng ta phát biểu lại bài toán: Chứng minh rằng với mọi số tự
nhiên n o ớc số chung lớn nhất của các số 5n + 2 và ( 2n + 1) (3n + 1)
bằng 1.
Muốn vậy chỉ cần chứng minh.
( 5n + 2, 2n + 1 ) = 1 và ( 5n +2, 3n + 1 ) = 1
Thật vậy: Giả sử ( 5n + 2, 2n + 1 ) = d
Vậy ( 5n + 2; 2n + 1 ) = 1
Chứng minh tơng tự ta cũng có ( 5n + 2, 3n + 1 ) = 1
Vậy B =
)13)(12(
25
++
+
nn
n
là phân số tối giản với mọi n 0, n N (đpcm)
Bài toán 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c nguyên dơng ta có
Trang: 7
5n + 2 d 10n + 4 d
1 d d = 1
2n + 1 d 10n + 5 d
cbcaccbba
++
>
+
+
+
+

+
3111
Nếu quy đồng mẫu số hoặc áp dụng bất đẳng thức Côsi ta đều dẫn
tới chỗ bế tắc. Nếu thay đổi cách xem xét bài toán:
bacacbcbaaccbba
++
+
++
+
++
>
+
+
+
+
+
111111
Ta nhận thấy chỉ cần chứng minh.
acbcbcbaba
++
>
+++
>
+
1

1
;
11
;

bacac
++
>
+
11
Các bất đẳng thức này dễ dàng chứng minh đợc vì:
a + b + c > a + b,
a + b + c > b + c
a + b + c > c + a
Vậy ta có điều phải chứng minh
Nh vậy nếu biết cách thay đổi cách phát biểu bài toán từ khó
hiểu trở nên dễ hiểu hơn cũng là một phơng pháp không thể thiếu đợc
trong khi học toán.
3. Sáng tạo toán học từ bài toán quen thuộc.
Sáng tạo toán học đó là một trong những nhiệm vụ hàng đầu của
ngời là toán nhng sáng tạo toán học là một việc làm không dễ và có
nhiều con đờng khác nhau để thực hiện điều đó, tôi đa ra một bài toán
quen thuộc để bớc đầu tập dợt sáng tạo.
Bài toán 1: (SBT Hình 8)
Trên 2 cạnh góc vuông AB và AC của tam giác vuông cân ABC,
lấy các điểm D và E tơng ứng sao cho AD = AE. Nối BE, từ A và D vẽ
các đờng vuông góc với DE cắt cạnh BC theo thứ tự tại H và K. Chứng
minh rằng CH bằng HK
*Một trong những cách
giải đơn giản của bài toán là kéo
dài DK cắt AC tại F.
Xét ABE và AFD có:
FDA = AEB ( góc có
cạnh tơng ứng vuông góc)
AD = AE (gt)

FAB = CAB = 90
0
Trang: 8
ABE = AFD (g.c.g) AF = AB = AC
Mà AH// FK ( cùng vuông góc với BE)
KH = CH ( đpcm)
Bây giờ ta hãy để ý đến quan hệ của các đoạn thẳng trong bài
toán
AB = AC, AD = AE HC = HK hay
11 ===
HK
HC
AE
AD
AC
AB
Từ đó nảy ra một suy nghĩ:
Nếu
k
AE
AD
AC
AB
==
thì
HK
HC
bằng bao nhiêu?
Hoặc nếu
k

AD
AE
AC
AB
==
thì
HK
HC
bằng bao nhiêu?
Do đó ta có các bài toán sau:
* Bài toán 1a. Trên 2 cạnh góc vuông AB và AC của tam giác
vuông ABC, lấy các điểm D và E tơng ứng sao cho
k
AC
AB
AE
AD
==
(k > 0 ).
Nối BE , từ A và D vẽ các đờng vuông góc với BE cắt cạnh BC lần lợt tại
H và K Tính tỷ số
HC
HK
(theo k)
Chứng minh : Tơng tự ở cách giải
trên ta có:
Kéo dài DK cắt AC tại F
Ta có FDA = AEB (góc có cạnh
tơng ứng vuông góc)
FAB = BAC ( = 90

0
)
AFD ABE ( g.g)

k
AE
AD
AB
AF
==

22
. k
AC
AF
HC
HK
hayk
AC
AB
AB
AF
AC
AF
====
* Bài toán 1b: Thay giả thiết bài toán 1a bằng
k
AC
AB
AD

AF
==
Chứng minh tơng tự ta cũng có
AFD ABE (g.g)

ACAF
AB
AC
AE
AD
AB
AE
===
Trang: 9
mà HA // FK (cùng BE) HK = HC
vậy
1=
HC
HK
Nh vậy bằng cách thay đổi một chút giả thiết: Coi 2 đoạn thẳng
bằng nhau là 2 đoạn thẳng có tỷ số bằng 1. Chúng ta có thể tự khai thác
đợc 2 bài toán thú vị mà bài toán ví dụ chỉ là một trờng hợp đặc biệt.
4. Phơng pháp giải đợc xác định từ nội dung loại toán do lý thuyết
trang bị.
Bài toán 1:
Tìm số d và số chia, biết rằng số bị chia bằng 112 thơng bằng 5.
* Lý thuyết trang bị: Khi giải các bài toán về phép chia có d trong
đó số bị chia là a, số chia bằng b, thơng bằng q và số d bằng r ta có:
a = b.q + r ( 0

r < | b | ).
Vận dụng công thức này ta có cách giải sau:
Cách 1: Ta thấy 112 : 5 = 22 d 2
Do đó: 112 : 22 = 5 d 2
112 : 21 = 5 d 2 + 5 = 7
112 : 20 = 5 d 7 + 5 = 12
112 : 19 = 5 d 12 + 5 = 17
Cách 2: Gọi số chia là k, số d là r.
Ta có: r = 112 - 5k và 0 r < k.
Do r 0 nên 112 - 5k 0 5k 112
k 112 : 5 = 22 (d 2)
Do r < k nên 112 - 5k < k 112 < 6k
k > 112 : 6 = 18 (d 4)
Vậy 18 < k 22 Ta tìm đợc.
K 19 20 21 22
R 17 12 7 2
Bài toán 2:
Tam giác ABC có góc ABC = 30
0
, góc ACB = 20
0
. Đờng trung
trực của AC cắt BC ở E và cắt tia BA ở F. Chứng minh rằng: AF = EF
và AC = BE
Để giải đợc bài tập này dựa vào kiến thức:
- Tổng 3 góc trong tam giác
Trang: 10
- Tính chất đờng trung trực, tam giác cân
- Tính chất cạnh và góc trong tam giác vuông
Với bài toán yêu cầu chứng minh

AF=EF, AC= BE mà giả thiết chỉ cho
biết số đo góc do vậy phải dựa vào các
kiến thức vừa khai thác ở trên để đa ra
cách giải cụ thể.
Chứng minh:
a. Gọi K là giao điểm của AC và EF
EAC cân tại E EAK = ECK = 20
0
Mặt khác FAC = ABC + ACB = 50
0
(góc ngoài )
FAE = 70
0
(1)
Lại có: AEK = KEC = 90
0
- KCE = 70
0
(2)
Từ (1) và (2) FAE cân tại F AF = EF
b. Cách 1: Hạ EH AF ( H AF)
BHE có H = 90
0
, B = 30
0
EH =
2
1
BE
Mặt khác AK =

2
1
AC AC = BE
Cách 2: Trên tia KE lấy điểm P sao cho PAC đều
Ta có FAP = FAC + CAP = ABC + ACB + CAP
= 50
0
+ 60
0
=110
0
.
FEB = 90
0
+ ECK = 110
0
.
FAP = FEB FAP = FEB (c.g.c)
BE = AP = AC (đpcm)
Những dạng toán này đòi hỏi học sinh chủ yếu là nắm chắc và vận
dụng tốt các kiến thức cơ bản, thực chất là rèn luyện t duy thuật giải .
5. Phân tích tìm nhiều lời giải cho 1 bài toán, biết khai thác bài toán.
Bài toán 1: Cho D là trung điểm của đoạn thẳng AM. Trên cùng
nửa mặt phẳng bờ AM ta vẽ nửa đờng tròn đờng kính AM và nửa đờng
tròn đờng kính AD. Tiếp tuyến tại D của đờng tròn nhỏ cắt nửa đờng
tròn lớn tại C và các tiếp tuyến tại C và A của đờng tròn lớn cắt nhau tại
B. Nối P bất kỳ trên cung nhỏ AC với điểm D cắt nửa đờng tròn nhỏ tại
K. Chứng minh AP là phân giác của góc BAK
Trang: 11
Phân tích tìm cách giải theo sơ đồ mũi tên

Cách 1: Muốn chứng minh
AD là phân giác
BAP = KAP
cung AP = cung PQ
DP AQ tại
K
AKD chắn nửa đờng tròn đờng kính AD
Chứng minh
Ta có AKD = 90
0
(góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn, đờng kính
AD)
Vậy DP AQ tại K
cung AP = cung PQ
BAK = KAP ( cùng chắn 2 cung bằng nhau)
Vậy AD là phân giác của BAK
Cách 2: AP là phân giác của BAK

BAP = KAP

Tạo 2 vuông và chứng minh vuông NAP = vuông KAP
( hạ PN AB)

NPA = KPA

NPA = PAD, PAD = KPA
Chứng minh: Ta có DA = DP ( cùng bán kính)
ADP cân tại D
PAD = APK
Kẻ PN AB ( N AB) PN//DA PAD = NPA ( SLT)

NPA = KPA
Trang: 12
vậy Vuông NAP = Vuông PKA
( vì cạnh huyền AP chung, NPA = KPA cmt)
Do đó NAP = KAP
Hay AP là phân giác của BAK
Cách 3:
Ta chứng minh NAP và NAP cùng bằng 2 góc bằng nhau
Nối A với P cắt đờng tròn đờng kính AD tại T.
Nối D với T ta chứng minh đợc TDP = TDA ( ADP là cân)
mà DT AP
Lại có KAP = TDP = TDA
Ta chỉ cần chứng minh TDP = TDA = NAP đpcm.
Chứng minh
Ta có: AD = DP ( bán kính) ADP cân ở D.
Nối A với P cắt đờng tròn đờng kính AD tại T
DT AP (bài toán quỹ tích) TDP = TDA
mà TDP = KAP( cùng chắn cung TK)
TDA = NAP ( 2 góc nhọn có cạnh tơng ứng )
KAP = NAP AP là phân giác của BAK (đpcm)
Sau khi đã giải đợc bài toán trên ta có thể suy ra các bài toán mới t-
ơng tự nh bài toán đã cho, chẳng hạn phát biểu nó dới một dạng khác và
có lời giải gần nh lời giải đã tìm đợc, ta có bài toán tơng tự nh sau:
* Bài toán 1a: Trong hình vuông ABCD vẽ nửa đờng tròn đờng
kính là cạnh AD và vẽ cung AC mà tâm là D. Nối D với điểm P bất kỳ
trên cung AC, DP cắt nửa đờng tròn đờng kính AD ở K. Chứng minh
rằng PK bằng khoảng cách từ P đến cạnh AB .
Việc giải bài toán này hoàn toàn tơng tự nh cách ta đã làm ở trên,
khi đã chứng minh đợc KAP = NAP AP là phân giác của góc
NAK P cách đều 2 cạnh của góc NAK nghĩa là PK bằng khoảng cách

từ P đến cạnh AB.
* Bài toán 1b: Trong hình vuông ABCD vẽ nửa đờng tròn đờng
kính là cạnh AD và vẽ cung AC mà tâm là D trên cùng nửa mặt phẳng bờ
AD. Nối D với P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nửa đờng tròn đờng kính
AD ở K. Từ P hạ PN vuông góc với AB. Chứng minh tam giác AKI cân
tại A.
* Giải bài toán này hoàn toàn tơng tự nh cách giải ở bài toán 1. ở
đây việc chứng minh góc NAP bằng góc KAP đợc thay bằng việc chứng
Trang: 13
minh AN bằng AK. Bài toán 1a, b dành cho học sinh về nhà tham khảo
rèn thêm kỹ năng phân tích, diễn đạt.
*Bài toán 2: Chứng minh rằng nếu x + y = 2 thì x y 1
Cách 1:
Đặt x = 1 + m thì y = 2 x = 2 ( 1 + m ) = 1 m
Ta có x y = ( 1 + m ) ( 1 m ) = 1 m
2
Vì m
2
> 0 1 m
2
1
Vậy x . y 1 dấu = xẩy ra m = 0 tức là x = y = 1
Cách 2:
Từ x + y = 2 y = 2 x
Xét hiệu 1 x y = 1 x ( 2 x ) = 1 2 x + x
2
=( 1 x )
2

0

x.y 1
Cách 3:
Có thể viết x + y = 2 thành x 1 = 1 y
do đó ( x - y )
2
= ( x 1 ) ( 1 y ) 0 x x y 1 + y 0
1 x y 0 x y 1
Cách 4:
Ta có ( x + y )
2
= 4
và - ( x y )
2
0
Hay: x
2
+ y
2
+ 2 x y = 4 (1)
- x
2
y
2
+ 2 x y 0 (2)
Cộng từng vế của (1) và (2) ta đợc 4 x y 4 x y 1
Cách 5:
Giả sử x y > 1 Từ giả thiết x + y = 2 và do x
2
+ y
2

2 x y với x,
y
Nên 4 = x
2
+ y
2
+ 2 x y 4 x y do đó > 4 vô lý
Vậy x y 1
Sở dĩ tìm đợc nhiều cách giải là vì ta biết khai thác giả thiết theo
nhiều cách khác nhau, có nhiều cách suy luận khác nhau trong đó có một
cách là cách giải hay sáng tạo.
Việc lựa chọn các công cụ và biết phân tích tìm hớng giải là việc
làm cần thiết mà có thể đợc đối với một số bài toán. Các cách giải đó
không phải tuỳ tiện, mò mẫm mà chúng đợc lựa chọn trên cơ sở phân
tích đặc điểm của bài toán.
Trên đây là một số phơng pháp đợc trình bầy qua một số bài toán cơ bản đã
đợc tôi áp dụng triệt để trong các giờ luyện tập, ôn tập. Tôi nhận thấy ngời dạy
Trang: 14
cũng nh ngời học toán phải coi trọng bớc phân tích tìm nhiều cách giải cho bài toán
giúp chúng ta linh hoạt, sáng tạo hơn trong quá trình học tập.
III/ Hiệu quả
Rèn luyện kỹ năng cho học sinh qua phân tích cách giải các bài
toán đã góp phần nâng cao chất lợng học tập, giúp học sinh yêu thích bộ
môn, đặc biệt tăng sự linh hoạt, sáng tạo trong toàn bộ quá trình t duy.
Hình thành kỹ năng phân tích giải các bài toán làm cho chất lợng
giờ dạy đợc nâng cao hơn, làm thoả mãn đợc hứng thú của học sinh.
Trong việc tiếp cận kiến thức mới nâng cao khả năng tìm tòi nghiên cứu
của các em học sinh, tạo điều kiện cho các em chủ động chiếm lĩnh tri
thức, hình thành kỹ năng kỹ xảo.
Rèn đợc kỹ năng này cho học sinh một phần cũng giúp cho giáo

viên năng động sáng tạo, luôn trăn trở tìm ra cái mới đáp ứng đợc yêu
cầu dạy học nâng cao tay nghề, là một phơng pháp tự học, tự bồi dỡng có
hiệu quả.
Qua rèn kỹ năng phân tích giải toán cho học sinh tôi thấy chất lợng
đợc nâng lên, cụ thể là:
+/ Khi cha áp dụng:
Lớp số HS
Giỏi Khá TB Yếu
SL % SL % SL % SL %
8 39 2 5,1 11 28,2 15 38,3 11 28,2
6 39 7 17,9 12 30,8 14 35,9 6 15,4
+/ Sau khi áp dụng:
Lớp số HS
Giỏi Khá TB Yếu
SL % SL % SL % SL %
8 39 5 12,8 15 38,5 15 38,5 4 10,2
6 39 10 25,6 16 41,1 11 28,2 2 5,1
Nhìn vào số liệu các lớp 8 và 6 khi cha áp dụng và khi áp dụng ph-
ơng pháp phân tích giải toán ta thấy:
Số học sinh khá giỏi tăng, số học sinh trung bình giảm, đặc biệt số
học sinh yếu đã vơn lên trung bình. Số học sinh yếu chỉ còn ở lớp 8 là
10,2% lớp 6 là 5,1%.
Chứng tỏ phơng pháp rèn luyện kỹ năng phân tích tìm cách giải
cho các bài toán là một phơng pháp dạy học phù hợp với các trờng THCS
hiện nay.
Trang: 15

Phần thứ ba: kết luận chung
Đợc phân công giảng dạy bộ môn toán 6, 8 tôi đã có nhiều cố gắng
trong chuyên môn để áp dụng sáng kiến của mình cho phù hợp với yêu

cầu về đổi mới giáo dục. Qua 2 năm áp dụng phơng pháp phân tích tìm
lời giải cho bài toán tôi thấy phơng pháp này có thể tiến hành ở rất nhiều
bộ môn khoa học tự nhiên đặc biệt là bộ môn toán ở tất cả các khối lớp.
Muốn làm tốt đợc công việc này thì giáo viên phải nắm chắc đối t-
ợng học sinh, phân loại học sinh ngay từ đầu năm học để có hớng bồi d-
ỡng phù hợp và kịp thời.
Quan tâm tới sách vở, tài liệu mà học sinh sử dụng, giáo viên có
thể hớng dẫn học sinh su tầm, mua những loại sách cần sử dụng.
Phân công các nhóm học sinh để các em có điều kiện giúp đỡ nhau
khi không có giáo viên.
Bên cạnh phơng pháp này phải tiến hành đồng bộ các phơng pháp
lên lớp khác rèn kỹ năng chọn phơng pháp và công cụ cũng nh công thức
biến đổi thích hợp, khả năng kiểm tra lại kết quả của bài toán. Khả năng
tìm bài toán có liên quan và sáng tạo bài toán mới Giúp cho việc t duy
dễ dàng.
Kiểm tra đánh giá thờng xuyên những việc đã giao cho học sinh
thực hiện. Rút kinh nghiệm sau mỗi bài giải để tìm ra hớng giải quyết
chung (áp dụng cho các bài sau).
Với cách làm trên tôi nghĩ phơng pháp này sẽ thành công ở bất kỳ
nhà trờng THCS nào và với tất cả giáo viên có tâm huyết.
Tài liệu tham khảo
- Tạp chí khoa học giáo dục
- Toán học và tuổi trẻ.
- Sách giáo khoa, sách bài tập toán 6, 7, 8.
Trang: 16
- Sách nâng cao và phát triển toán 6, 7, 8.
- Các bài toán chọn lọc cấp 2.


- Thực hành qua quá trình học bồi dỡng, ngoại khoá cho học sinh.

- Sử dụng kết quả thu đợc để đánh giá kết quả của học sinh.
- Sử dụng phơng pháp thống kê.
Trang: 17