ĐỀ THI THỬ CHUYÊN TOÁN TIN ĐHSP HÀ NỘI

ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN-TIN
ðỀ THI THỬ

ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC, CAO ðẲNG 2011
Môn thi : TOÁN - khối A.
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao ñề)

I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm)
Câu I (2,0 ñiểm).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số
3
1
x
y
x
−
=
+
.

2.
Viết phương trình ñường thẳng d ñi qua ñiểm
(
)
1;1
I −
và cắt ñồ thị (C) tại hai ñiểm M, N sao
cho I là trung ñiểm của ñoạn MN.
Câu II

(2,0 ñiểm).


1.
Giải phương trình
( )
(
)
3
sin 2 cos 3 2 3 cos 3 3 cos2 8 3 cos sinx 3 3 0
x x x x x
+ − − + − − =
.

2.
Giải hệ phương trình
(
)
3 3
2 2
3 4
9
x y xy
x y

− =



=


.
Câu III
(2,0 ñiểm).

1.
Cho x, y là các số thực thoả mãn
2 2
4 3
x xy y .
+ + =

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức:

3 3
8 9
M x y xy
= + − .


2.
Chứng minh
( )
2 2 2
1
2
a b c
ab bc ca a b c
a b b c c a
+ + + + + ≥ + +

+ + +
với mọi số dương
; ;
a b c
.
Câu IV
(1,0 ñiểm). Cho lăng trụ tam giác ñều
. ' ' '
ABC A B C
có cạnh ñáy là
a và khoảng cách từ A
ñến mặt phẳng (A’BC) bằng
2
a
. Tính theo a thể tích khối lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
.

II. PHẦN RIÊNG
(3,0 ñiểm):
Tất cả thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần:

A hoặc B.

A. Theo chương trình Chuẩn
Câu Va
(1,0 ñiểm). Trong mặt phẳng tọa ñộ (Oxy). Lập phương trình ñường thẳng qua
(
)

2;1
M
và
tạo với các trục tọa ñộ một tam giác có diện tích bằng
4
.
Câu VI.a (
2,0 ñiểm
)
.

1. Giải bất phương trình
(
)
(
)
2 2
2
1 log log 2 log 6
x x x
+ + + > −
.
2. Tìm m ñể hàm số
3 2 2
3( 1) 2( 7 2) 2 ( 2)
y x m x m m x m m
= − + + + + − +
có cực ñại và cực tiểu.
Viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm cực ñại và cực tiểu khi ñó.

B. Theo chương trình Nâng cao
Câu Vb
(
1,0 ñiểm
).

Trong mặt phẳng tọa ñộ
(Oxy)
, cho ñiểm
1
3;
2
M
 
 
 
. Viết phương trình chính
tắc của elip ñi qua ñiểm
M
và nhận
(
)
1
3;0
F
−
làm tiêu ñiểm.

Câu VI.b (
2,0 ñiểm
)
.

1. Giải hệ phương trình
2 2
1
2 3
x y
y x x y
+

+ = +


=


.

2. Tìm trên mặt phẳng tọa ñộ tập hợp tất cả các ñiểm mà từ ñó có thể kẻ ñược hai tiếp tuyến ñến ñồ
thị hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
− +

=
−
và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.
HẾT


ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
========================================================================


Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952

1



ðÁP ÁN VÀ THANG ðIỂM
Môn thi : TOÁN - khối A.

CÂU Ý NỘI DUNG ðIỂM
Tập xác ñịnh:
{
}
\ 1
D R
= −
.
0,25 ñ
Sự biến thiên:
•

Giới hạn và tiệm cận:
lim 1; lim 1 1
x x
y y y
→−∞ →+∞
= = ⇒ =
là TCN.

( ) ( )
1 1
lim ; lim 1
x x
y y x
− +
→ − → −
= +∞ = −∞ ⇒ = −
là TCð
0,25 ñ

( )
2
4
' 0,
1
y x D
x
= > ∀ ∈
+
.
•

BBT:
-
∞
+
∞
+
∞
-
∞
-1
+
+
1
1
y
y'
x

Hàm số ñồng biến trên các khoảng
(
)
(
)
; 1 , 1;
−∞ − − +∞

Và không có cực trị.
0,25 ñ
Ý 1
(1,0ñ)

ðồ thị: ðT cắt Ox tại (3;0), cắt Oy tại (0;-3) và ñối xứng qua
(
)
1;1
−
.
4
2
-2
-5 5
x = -1
y = 1
y
x
O












0,25 ñ
Gọi d là ñường thẳng qua I và có hệ số góc k

(
)
: 1 1
d y k x
= + +
.
Ta có: d cắt ( C) tại 2 ñiểm phân biệt M, N
3
: 1
1
x
PT kx k
x
−
⇔ = + +
+

có 2 nghiệm PB khác
1
−
.
0,25 ñ
Câu I
(2,0ñ)


Ý 2
(1,0ñ)

Hay:

(
)
2
2 4 0
f x kx kx k
= + + + =
có 2 nghiệm PB khác
1
−

0,25 ñ
ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
========================================================================


Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952

2


( )
0
4 0 0
1 4 0
k
k k
f

≠


⇔ ∆ = − > ⇔ <


− = ≠

.
Mặt khác: 2 2
M N I
x x x
+ = − = ⇔
I là trung ñiểm MN với
0
k
∀ <
.
0,25 ñ
KL: PT ñường thẳng cần tìm là
1
y kx k
= + +
với
0
k
<
.
0,25 ñ
Chú ý: Có thể chứng minh ñồ thị ( C) có I là tâm ñối xứng, dựa vào
ñồ thị ( C) ñể kết luận kết quả trên.

2 3 2

2
2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3cos 3 3 8( 3.cos sin )
3 3 0
2cos ( 3cos sin ) 6.cos ( 3cos sin ) 8( 3cos sin ) 0
x x x x x x x x
x x x x x x x x
⇔ + − − + + − − =
⇔− − − − + − =

.
0,50 ñ

2
2
( 3 cos sin )( 2cos 6cos 8) 0
tan 3
3 cos sin 0
cos 1
cos 3cos 4 0
cos 4( )
x x x x
x
x x
x
x x
x loai
⇔ − − − + =

=


− = 
⇔ ⇔ =


+ − =



=

.




0,25 ñ
Ý 1
(1,0ñ)


,
3
2
x k
k
x k
π
π
π


= +

⇔ ∈ Ζ

=


0,25 ñ
Ta có :
2 2
9 3
x y xy
= ⇔ = ±
.
0,25 ñ
. Khi:
3
xy
=
, ta có:
3 3
4
x y
− =
và
(
)
3 3
. 27
x y

− = −

Suy ra:
(
)
3 3
;
x y
− là nghiệm PT
2
4 27 0 2 31
X X X− − = ⇔ = ±

0,25 ñ
Vậy ngiệm của PT là
3 3
2 31, 2 31
x y= + = − −
Hay
3 3
2 31, 2 31
x y= − = − + .
0,25 ñ
Câu II
(2,0ñ)

Ý 2
(1,0ñ)

Khi:

3
xy
= −
, ta có:
3 3
4
x y
− = −
và
(
)
3 3
. 27
x y
− =

Suy ra:
(
)
3 3
;
x y
− là nghiệm PT
2
4 27 0( )
X X PTVN
+ + =
0,25 ñ
Ta ñặt
2

t x y
= +
, từ giả thiết suy ra
2
3
3
t
xy
−
= .
ðiều kiện
2 30
5
t ≤
0,25 ñ
•

Khi ñó
( ) ( )
3
3 3
8 9 2 6 2 9
M x y xy x y xy x y xy
= + − = + − + −

(
)
3 2
3 6 9
t t t f t

= − − + + =
0,25 ñ
Câu III
(2,0ñ)

Ý 1
(1,0ñ)

•

Xét hàm f(t) với
2 30 2 30
5 5
t ;
 
∈ −
 
 
, ta ñược:
0,5 ñ
ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
========================================================================


Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952

3

( ) ( )
35 12 30 35 12 30

5 5
min f t ; max f t
− +
= =


Ta có:
2
1
2
2
a ab ab
a a a ab
a b a b
ab
= − ≥ − = −
+ +
(1)
0,50 ñ
Tương tự:
2
1
2
b
b bc
b c
≥ −
+
(2),
2

1
2
c
c ca
c a
≥ −
+
(3).
0,25 ñ
Ý 2
(1,0ñ)

Cộng (1), (2), (3), ta có:
( )
2 2 2
1
2
a b c
ab bc ca a b c
a b b c c a
+ + + + + ≥ + +
+ + +

0,25 ñ
Gọi M là trung ñiểm BC, hạ AH vuông góc với A’M
Ta có: ( ' )
'
BC AM
BC AA M BC AH
BC AA

⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

.
0,25 ñ
Mà ' ( ' )
2
a
AH A M AH A BC AH
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =
.
0,25 ñ
Mặt khác:
2 2 2
1 1 1 6
'
4
'
a
AA
AH A A AM
= + ⇒ = .
0,25 ñ
Câu IV
(1,0ñ)

KL:

3
. ' ' '
3 2
16
ABC A B C
a
V = .
0,25 ñ
Gọi d là ðT cần tìm và
(
)
(
)
;0 , 0;
A a B b
là giao ñiểm của d với Ox,
Oy, suy ra:
: 1
x y
d
a b
+ =
. Theo giả thiết, ta có:
2 1
1, 8
ab
a b
+ = =
.
0,25 ñ

Khi
8
ab
=
thì
2 8
b a
+ =
. Nên:
1
2; 4 : 2 4 0
b a d x y
= = ⇒ + − =
.
0,25 ñ
Khi
8
ab
= −
thì
2 8
b a
+ = −
. Ta có:

2
4 4 0 2 2 2
b b b+ − = ⇔ = − ±
.
Với

(
)
(
)
2
2 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0
b d x y
= − + ⇒ − + + − =

0,25 ñ
Câu Va
(1,0ñ)

Với
(
)
(
)
3
2 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0
b d x y
= − − ⇒ + + − + =
. KL
0,25 ñ
ðK:
0 6
x
< <
. BPT
(

)
( )
2
2
2 2
log 2 4 log 6
x x x
⇔ + > − .
0,25 ñ
Hay: BPT
( )
2
2 2
2 4 6 16 36 0
x x x x x
⇔ + > − ⇔ + − >

0,25 ñ
Vậy:
18
x
< −
hay 2
x
<

0,25 ñ
Ý 1
(1,0ñ)

So sánh với ñiều kiện. KL: Nghiệm BPT là
2 6
x
< <
.
0,25 ñ
Ta có
2 2
' 3 6( 1) 2( 7 2)
y x m x m m
= − + + + +

0,25 ñ
Câu VIa

(2,0ñ)

Ý 2
(1,0ñ)


HS có Cð, CT khi phương trình
2 2
3 6( 1) 2( 7 2) 0
x m x m m
− + + + + =
có
hai nghiệm phân biệt. Hay
4 17
m < − hoặc

4 17
m > +
0,25 ñ
ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
========================================================================


Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952

4

Chia y cho y’ ta có
'( ) ( ) ( )
y y x q x r x
= +
;
2 3 2
2 2
( ) ( 8 1) ( 5 3 2)
3 3
r x m m x m m m
= − − − + + + +

0,25 ñ
Toạ ñộ ñiểm cực trị là nghiệm của hệ
'( ) 0
( )
'( ). ( ) ( )
y x
y r x

y y x q x r x
=

⇒ =

= +



Vậy phương trình ñường thẳng cần tìn là
2 3 2
2 2
( 8 1) ( 5 3 2)
3 3
y m m x m m m
= − − − + + + +

0,25ñ
PTCT elip có dạng:
2 2
2 2
1( 0)
x y
a b
a b
+ = > >


0,25 ñ
Ta có:

2 2
2 2
3
1
4
3 1
a b
a b
− =
+ =






0,25 ñ
Ta có:
4 2 2 2
3
4 3 0 1( ), ( )
4
b b b th b kth
− − = ⇔ = = −
0,25 ñ
Câu Vb
(1,0ñ)

Do ñó:
2

4
a
=
. KL:
2 2
1
4 1
x y
+ =

0,25 ñ

(
)
(
)
2 2
1 0 , 1
y x x y y x y x y x y x
+ = + ⇔ − + − = ⇔ = = −
.
0,50 ñ
Khi:
1
y x
= −
thì
2
6
2 3 6 9 log 9

x x x
x
−
= ⇔ = ⇔ =

0,25 ñ
Ý 1
(1,0ñ)

Khi:
y x
=
thì
1
2
3
2
2 3 3 log 3
3
x
x x
x
+
 
= ⇔ = ⇔ =
 
 
.

0,25 ñ

Gọi M(a;b) là một ñiểm thoả mãn ñề bài. Khi ñó ñường thẳng qua M
có dạng
( )
y k x a b
= − +


Sử dụng ñiều kiện tiếp xúc cho ta hệ
2
1
1
1 ( )
1 ( ) (1)
1
1
1
1
1 (*)
1 ( 1) (2)
( 1)
1
x k x a b
x k x a b
x
x
k
x k x
x
x



− + = − +
− + = − +


−
 
−
⇔
 
 
− =
− − = −

−

−



0,25 ñ
Lấy (1) – (2) ta có
[ ]
1 1
(1 )
1 2
k a b
x
= − +

−


Kết hợp với (*) cho ta
[ ]
2
2 2 2
1
1
(1 )
( 1) 2 (1 ) 2 4 0
1
2
k
k
k a b
a k a b k b
k
≠

≠

 
⇔
 
− +
 
− + − + + − =
− =


 
 
 


0,25 ñ
Câu VIb

(2,0ñ)

Ý 2
(1,0ñ)

ðể từ M kẻ ñược hai tiếp tuyến vuông góc ñến ñồ thị hàm số thì hệ
phương trình trên phải có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,
k k
sao cho
1 2
. 1
k k
= −


ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
========================================================================


Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952

5

Hay
[ ]
2
2 2
2
2 2
1 0
1
4
1 ( 1) 4
( 1)
1 0
( 1) 2 (1 ) 2 4 0
a
a
b
a b
a
a b
a a b b

− ≠
≠


−



= − ⇔ − + =
 
−
 
− + + ≠


− + − + + − ≠


0,25 ñ
Vậy tập hợp ñiểm M thoả mãn yêu cầu bài toán thuộc ñường tròn
( )
2
2
1 4
x y
− + =
trừ bỏ ñi 4 giao ñiểm của ñường tròn này với 2 ñường
thẳng : x = 1 và –x + y + 1 = 0.
0,25 ñ
HẾT