Các pp sử dụng BĐT côsi.

Mt s phng phỏp s dng bt ng thc cụsi
Nội dung đề tài:
I- Tên Đề tài: Một số phơng pháp sử dụng bất đẳng thức côsi
II. Lý do chọn đề tài:
Trong chơng trình toán THPT bất đẳng thức là phần gây cho học sinh, ngay cả học sinh khá
và giỏi nhiều bối rối nhất. Tuy nhiên đây là phần quyến rũ những học sinh say mê với Toán học và
mong giỏi Toán vì nó đòi hỏi học sinh phải động não, tìm tòi và sáng tạo.
Để giúp các em làm quen và đi đến thích thú các bài toán bất đẳng thức nên tôi viết "Một số
phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi" với mục đích cung cấp cho các em học sinh một số phơng
pháp và kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức Côsi.
III- Những biện pháp thực hiện :
A- Kiến thức cơ bản
* Bất đẳng thức cô si
1- Dạng tổng quát (nsố)

x
1
; x
2
; x
3
x
n
> 0 ta có
n
n
n
xxx
n
xxxx

21
321

++++
hoặc
(x
1
+x
2
+ +x
n
) > n
n
n
xxx
21
hoặc (
m
n
n
xxx
n
xxxx
)

21
321

++++

Dấu "=" xảy ra

x
1
= x
2
= = x
n
* HQ 1: nếu x
1
+ x
2
+ +x
n
= S (không đổi) thì Max(x
1
x
2
x
n
) =
2






n
S

Dấu "=" xảy ra

x
1
= x
2
= = x
n
* HQ2: Nếu x
1
x
2
x
n
= P (không đổi) thì Min(x
1
+x
2
+ +x
n
) = n
n
P
Dấu "=" xảy ra

x
1
= x
2
= = x

n
2- Dạng cụ thể cho 2 số:

x, y > 0 ta có
xy
yx

+
2

Dấu "=" xảy ra

x = y
3- Dạng cụ thể cho 3 số:

x, y, z > 0 ta có
3
2
xyz
zyx

++

Dấu "=" xảy ra

x = y = z
B- Một số phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi
1- Phơng pháp đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân:
VD : CMR (a
2

+
2
) (b
2
+c
2
) (c
2
+ a
2
) > 8 a
2
b
2
c
2


a, b, c

R
Sai lầm thờng gặp là:

x, y thì (x - y)
2
> 0

x
2
+ y

2
> 2xy
Do đó ta có:
ì





+
+
+
acac
bccb
abba
2
2
2
22
22
22
(a
2
+
2
) (b
2
+c
2
) (c

2
+ a
2
) > 8 a
2
b
2
c
2
(sai)
Trn Khỏnh Long NH: 2010-2011
1
Đúng
Đúng
Đúng
Đúng
Đúng
Đúng
Mt s phng phỏp s dng bt ng thc cụsi
Chẳng hạn: 4 > - 4
2 > - 6
3 > 2

4.2.3 > (- 4)(- 6).2 (sai)
Nhận xét: chỉ nhân các vế của bất đẳng thức cùng chiều (kết quả nhận đợc bất đẳng thức
cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm.
Nh vậy ta có lời giải đúng nh sau:

=+
=+
=+
cacaac
bccbcb
abbaba
22
22
22
2222
2222
2222
(a
2
+
2
) (b
2
+c
2
) (c
2
+ a
2
) > 8
222

cba
= 8 a
2
b
2
c
2

* Thông thờng ta ít gặp các bài toán sử dụng ngay bất đẳng thức Cô si nh bài toán trên mà
phải biến đổi bài toán đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng bất đẳng thức Cô si.
Bài toán 1:
0, ba
, chứng minh rằng
( )
2
8
)(64 baabba ++
Giải:
Ta có :
( )
42
8
])[( baba +=+
=
[ ]
4
2)( abba ++
2
224
4

)(.64
2.).(2
2).(2
baab
abba
abba
Cosi
+
+






+
Bài toán 2: Cho a
1
a
2
> 0 , a
1
c
1
> b
1
2
, a
2
c

2
> b
2
2
. Chứng minh rằng :
(a
1
+ a
2
) (c
1
+ c
2
) > (b
1
+ b
2
)
2

Giải: Từ giả thiết ta có: a
1
, a
2
, c
1
, c
2
cùng dấu

a
1
c
2
> 0 ; a
2
c
1
> 0
Ta có: (a
1
+a
2
) (c
1
+c
2
) = a
1
c
1
+ a
1
c
2
+a
2
c
1
+a

2
c
2
> b
1
2
+ a
1
c
2
+a
2
c
1
+b
2
2
2
21
2
21
2
2
2
2
2
1
2
1
2

22121
2
1
)(
)(
2
2
bb
bb
bbbb
bccaab
Cosi
+
+
++
++
Bài toán 3:Chứng minh (1+a+b)(a+b+ab) > 9ab
Bài toán 4: Cho a, b,c,d > 0 và
3
1
1
1
1
1
1
1
1

+
+

+
+
+
+
+ dcba
; Chứng minh rằng: abcd <
81
1
Giải:Từ giả thiết ta có:
Trn Khỏnh Long NH: 2010-2011
2
Mt s phng phỏp s dng bt ng thc cụsi
3
111
3
111
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
))()((
)()()(
dcb

bcd
d
d
c
c
b
b
dcba
+++

+
+
+
+
+

+
+
+
+
+

+
Ta có
0
)1)(1)(1(
3
1
1
3

+++

+ dcb
bcd
a
Tơng tự ta có:
0
)1)(1)(1(
3
1
1
3

+++

+ dca
acd
b
0
)1)(1)(1(
3
1
1
3

+++

+ dba
abd

c
0
)1)(1)(1(
3
1
1
3

+++

+ cba
abc
d
;Nhân vế ta đợc:
abcd
dcba
abcd
dcba

++++

++++ 81
1
)1)(1)(1)(1(
81
)1)(1)(1)(1(
1
Bài toán5:
Cho
81

1
1
1
1
1
1
0




=++
>
))()((:
,,
cba
CMR
cba
cba
Giải:
VT=
c
ba
b
ac
a
cb
c
c
b

b
a
a +++
=

))()((
111
8
2
=
abc
abcabc
Cosi

Bài tập áp dụng:
1)






+
++
+
+
+
>
1
1

1
1
1
1
1
30
21
21
n
aaa
Nnnaaacho
n
n

,,, ,
Chứng minh rằng a
1
a
2
a
n
<
nn )( 1
1

2) CMR:
Nnmababnmbnam
nmnm
++
+

,;)( 10
3) Cho



=+++
>
1
0
21
21
n
n
aaa
aaa

, ,
CMR:
n
n
n
aaa
)( 11
1
1
1
1
1
21

(tự giải)
2. Phơng pháp tách nghịch đảo
* Kỹ thuật tách nghịch đảo là kỹ thuật tách phần nguyên theo mẫu số đề khi chuyển sang trung bình

nhân thì các phần chứa biến số bị triệt tiêu chỉ còn lại hằng số.
Bài toán 1: CMR:
Ra
a
a

+
+
2
1
2
2
2
Giải:
Trn Khỏnh Long NH: 2010-2011
3
Mt s phng phỏp s dng bt ng thc cụsi
1
1
1
1
11
1
2
2
2
2
2
2
2

+
++=
+
++
=
+
+
a
a
a
a
a
a )(
2
1
1
12
2
2
=
+
+
a
a
Cosi
.
Bài toán 2: CMR:
1a.bvà =>

+

ba
ba
ba
22
22
Bài toán 3: CMR:
03
1
>

+ ba
bab
a
)(
Bài toán 4: CMR:
22
1
2


+
)( bab
a
Giải:
22
1
22
4
1
22

4
2
2
=




+

+

+=
)(
.
)(
.
)(
.
)(
baa
baba
b
aba
baba
bVT
3. Phơng pháp đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng
Bài toán 1: CMR:
0>+++ cbadbcacdab ,,))((
Giải:

Bất đẳng thức tơng đơng với
1
++
+
++ ))(())(( dbca
cd
dbca
ab
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
1
2
1
2
1
2
1
=






+
+
+
+
+
=

+
+
+
+






+
+
+

db
db
ca
ca
db
b
ca
c
db
b
ca

a
VT
Bài toán 2:
Chứng minh :
00 >>>>+ cbcaabcbccac ;)()(
Bài toán 3: CMR:
010111
3
3
>++++ cbacbaabc ,,)()((
Bài toán 4:
Tổng quát:
( )( ) ( )
n
nn
n
n
n
n
babababbbaaa ++++
22112121
Với a
i
; b
i
>0 ; i = 1,n
Bài toán 5:CMR: 16ab(a-b)
2
< (a+b)
4

0 ba,
Bài toán 6:
CMR:
2
1
11
1
2
1
22

++
+

))((
))((
ba
abba
Giải:
Trn Khỏnh Long NH: 2010-2011
4
Mt s phng phỏp s dng bt ng thc cụsi
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2
11
1

2
1
11
1
22
22
ba
abba
ba
abba
++
+

++
+

( ) ( )
( )
abbaabba
abba
abbaVT
Cosi
21
2
2
2
1
1
2222
2

2
22
++++

++

+=
)(
( )( )
pcm)Đ
2
11
22
(VP
ba
=
++

Bài toán 7: Cho
baabcCMR
cba
cba
+



=++
>
16
1

0
:
,,
Giải:

( )
ba
cbadoba
cba
bacbaba
c
ba
abcVT
Cosi
Cosi
+
=+++
++
+++
+
=
1
2
1
4
2
44
2
1616
2

2
2
)).((
]
)(
)[(.)(
.)(
Bài toán 10:
729
8
1
0
+++



=++

))()((:
,,
accbbaabcCMR
cba
cbaCho
Bài toán 11:
27
8
1
0
++

=++

abccabcabCMR
cba
cbaCho
:
,,
4. Phơng pháp thêm hằng số
Để sử dụng bất đẳng thức Cô si từ trung bình nhân sang trung bình cộng ta cần chú ý: Chỉ số căn
thức là bao nhiêu thì số các số hạng ở trong căn là bấy nhiêu. Nếu số các số hạng nhỏ hơn chỉ số căn
thì ta phải thêm hằng số để số các số hạng bằng chỉ số căn.
Bài toán 1:
CMR:
111 + abababba
Giải: Ta có:
( )
22
11
111
ab
b
ababa =
+
= .).(
Trn Khỏnh Long NH: 2010-2011
5
Mt s phng phỏp s dng bt ng thc cụsi
22

11
111
aba
babab =
+
=
)(
.).(
Cộng vế
ababba + 11
(đpcm)
Bài toán 2:

6
1
0
+++++



=++

)()()(:
,,
accbbaCMR
cba
cbaCho
Bài toán 3: Cho

2
4
3
c
b
a
Tìm Max
abc
bcaabcab
f
432 ++
=
Bài toán 4: Cho





40
30
y
x
tìm Max A = (3-x)(4-y)(2x+3y)
Giải: A = (3-x)(4- y)(2x+3y)

=
6
1
(6-2x)(12-3y)(2x+3y)

36
6
1
3
3231226
3
=






+++
.
)()()( yxyx
Cosi
Dấu "=" xảy ra

6-2x=12-3y=2x+3y=6



=
=

2
0
y
x
Vậy Max A = 36
Bài toán 5: Cho x, y > 0. Tìm Min
2
3
xy
yx
yxf
)(
),(
+
=
5. Phơng pháp ghép đối xứng
* Chú ý
Phơng pháp cộng:





+
+
+
+
+
=++

+++++=++
222
2
xzzyyx
zyx
xzzyyxzyx )()()()(
Phơng nhân:





=
=
zxyzxyxyz
zxyzxyzyx

)).().((
222
với x,y, z >0
Bài toán 1: CMR:
0>++++ cbacba
c
ab
b
ca
a
ba
,,
Giải: áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có

c
ab
abc
b
ca
a
bc
=






+
2
2
1
Trn Khỏnh Long NH: 2010-2011
6
Mt s phng phỏp s dng bt ng thc cụsi
c
c
ab
b
ca
c
ab
b
ca

=






+ .
2
1
b
a
bc
c
ab
a
bc
c
ab
=






+ .
2
1
Cộng vế

cba
b
ca
c
ab
a
bc
++++
Bài toán 2: CMR:
0
2
2
2
2
2
2
>++++ cba
a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
,,

Giải: áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
c
a
c
a
c
b
b
a
c
b
b
a
=






+
2
2
2
2
2
2
2
2
2

1
.
;
a
b
a
b
a
c
c
b
a
c
c
b
=






+
2
2
2
2
2
2
2

2
2
1
.
b
c
b
c
b
a
a
c
b
a
a
c
=






+
2
2
2
2
2
2

2
2
2
1
.
;Cộng vế ta đợc:
a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
++++
2
2
2
2
2
2
Bài toán 3:CMR: a
3
+b
3
+c

3
> a
2
0
22
++ cbaabcacbbc ,,
Bài toán 4: Cho

ABC CMR:
1) (p-a)(p-b)(p-c) <
8
abc
2)
)(
cbacpbpap
111
2
111
++

+

+

6. Phơng pháp ghép cặp nghịch đảo 3 số:
Chú ý ta có: (x+y+z)(
09
111
>++ zyx
zyx

,,(*))
Thật vậy VT > 3
9
1
3
3
3
=
xyz
xyz
Bất đẳng thức trên có ý nghĩa rất lớn trong vai trò nhận dạng và đa các bài toán xa lạ trở thành bài
toán quen thuộc. Các ví dụ sau chứng tỏ điều đó.
Bài toán 1: CMR: h
a
+ h
b
+ h
c
> 9r
ABC
(1)
Giải: Ta có : S
ABC
=
a
S
hha
aa
2
2

1
=.
;Tơng tự:
b
S
h
b
2
=
và
c
S
h
c
2
=
mà S =p.r
Nên (*)
p
S
c
S
b
S
a
S
9
222
++
1 1 1 1 1 1

2 ( ) 9 ( )( ) 9p a b c
a b c a b c
+ + + + + +
Theo (*)

đúng

ddcpcm
Bài toán 2: CMR: r
a
+r
b
+r
c
> 9 r
ABC

Trn Khỏnh Long NH: 2010-2011
7
Mt s phng phỏp s dng bt ng thc cụsi
Chú ý:
cp
S
r
bp
S
r
ap
S
r

cba

=

=

= ;;
(S là diện tích
ABC
) mà S =p.r
Bài toán 3: CMR
6
+
+
+
+
+
c
ba
b
ac
c
ab
với
0> cba ,,
Bài toán 4: CMR: a)
0
9222
>
++

+
+
+
+
+
cba
cbabaaccb
,,
b)
0
2
3
>
+
+
+
+
+
cba
ba
c
ac
b
cb
a
,,
Bài toán 5: CMR:
0
2

222
>
++

+
+
+
+
+
cba
cba
ba
c
ac
b
cb
a
,,
Gợi ý:
)( cba
ba
c
c
ac
b
b
cb
a
a ++

+
++






+
++






+
+
2
3
222
Bài toán 6: Cho
2
9111
1

0

+
+
+
+
+



=++

baaccb
CMR
cba
cba ,,
Bài toán 7: Cho
9
2
1
2
1
2
1
1
0
222

+
+

+
+
+



++

abccabbca
CMR
cba
cba ,,
7. Ph ơng pháp đánh giá mẫu số:
Bài toán 1: CMR
0
2
111
222
>
++







+
+
+

+
+
cba
abc
cba
abcacbbca
,,
Giải: áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có
2 2
2
1
( )
1 1 1 1
2
2 2 4
2
2
b c
bc b c
a bc abc abc a bc abc
a bc
a bc
+
+
= =
+ +
Tơng tự:
abc
ca
cab 4

1
2
+

+
;
abc
ba
abc 4
1
2
+

+
; Cộng vế
abc
cba
abccabbca 2
111
222
++

+
+
+
+
+

8. Phơng pháp đổi biến số:Đổi biến số nhằm mục đích chuyển bài toán từ tình thế khó biến đổi đại
số (với các biến ban đầu) sang trạng thái dễ biến đổi đại số hơn với biến mới

Bài toán 1: CMR:
01
2
3
>
+
+
+
+
+
cba
ba
c
ac
b
cb
a
,,)(
Trn Khỏnh Long NH: 2010-2011
8
Mt s phng phỏp s dng bt ng thc cụsi
Giải: Đặt

+
=
+
=
+
=






>=+
>=+
>=+
z
zyx
c
z
yxz
b
xzy
a
zab
yca
xcb
0
0
0

(1)
3
222

+
+
+
+
+

z
zyx
y
yxz
x
xzy
6
+++++
z
x
z
x
y
x
y
z
x
z
x
y

;Thật vậy: VT =








++






++








+
z
y
y
z

z
x
x
z
y
x
x
y
6222 =++
Cosi
đpcm
Bài toán 2: Cho

ABC có các cạnh a, b, c
CMR:
cba
cba
c
bac
b
acb
a
++
+
+
+
+
+
222
Bài toán 3: Cho

ABC có các cạnh a, b, c CMR:(b+c+-a)(c+a-b)(a+b-c)

abc (1)
Bài toán 4: Cho

ABC có các cạnh a, b, c ; diện tích S. CMR:
)(1
2
33111
4
S
bacacbcba

+
+
+
+
+
HD:Đặt





>=+
>=+
>=+
0
0

0
zcba
ybac
xacb
C. Lời kết:
Trong đề tài này chủ yếu tôi đa ra một số phơng pháp phân tích, đánh giá để có đợc lời giải các bài
toán bất đẳng thức liên quan đến bất đẳng thức Cô si cùng với các ví dụ minh hoạ cơ bản đợc su tập
chủ yếu trong bộ đề thi tuyển sinh đại học. Tuy nhiên trong quá trình thực hiện đề tài chắc sẽ không
tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong muốn có đợc sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp, bạn đọc
về nội dung đề tài, tôi xin chân thành cảm ơn!
Krụngpk, ngày 19/2/2011.
Trn Khỏnh Long NH: 2010-2011
9