Cong thuc Toan 11 can nho

 HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
A. Các Tính Chất :
1. Tam giác thường:
- Diện tích của tam giác :
*
µ
1
. . .sin
2
ABC
S AB AC A
∆
=
;
1
. .
2
ABC
S BC AH
∆
=
2. Các tam giác đặc biệt :
a. Tam giác vuông :
+ Định lý pitago:
2 2 2
BC AB AC= +
+ Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông

µ
= =
Ñoái

sin
Huyeàn
b
B
a
;
µ
= =
Keà
cos
Huyeàn
c
B
a
;
µ
= =
Ñoái
tan
Keà
b
B
c
+ Diện tích tam giác vuông:
1
. .
2
ABC
S AB AC
∆

=
b. Tam giác cân:
+ Đường cao AH cũng là đường trung tuyến
+ Tính đường cao và diện tích :
µ
.tanAH BH B=
,
1
. .
2
ABC
S BC AH
∆
=
c. Tam giác đều:
+ Đường cao của tam giác đều :
= =
3
.
2
h AM AB
( đường cao h = cạnh x
3
2
)
+ Diện tích :
2
3
( ) .
4

ABC
S AB
∆
=
2. Tứ giác
a. Hình vuông

+ Diện tích hình vuông :
2
( )
ABCD
S AB=
( Diện tích bằng cạnh bình phương)
+ Đường chéo hình vuông
= = . 2AC BD AB
+ OA = OB = OC = OD ( đường chéo hình vuông bằng cạnh x
2
)
b. Hình chữ nhật
+ Diện tích hình vuông :
.
ABCD
S AB AD=
( Diện tích bằng dài nhân rộng)
+ Đường chéo hình chữa nhật bằng nhau và OA = OB = OC = OD
Trang 1
h
H
A
B

C
c
a
b
C
B
A
A
B
C
H
B
A
G
C
M
O
B
D
A
C
O
A
B
D
C
Thông thường bài toán về hình chóp được phân thành 2 dạng như sau:
Cho hình chóp
Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Hình chóp đều
A

C
B
S

A
C
B
S
O
- Đa giác đáy : Hình chóp tam giác đều
− Tam giác vuông Hình chóp tứ giác đều
− Tam giác cân
− Tam giác đều
− Hình vuông, chữ nhật
 Các khối chóp đặc biệt :
a) Khối tứ diện đều:
+ Tất cả các cạnh đều bằng nhau
+ Tất cả các mặt đều là các tam giác đều
+ O là trọng tâm của tam giác đáy và AO
⊥
(BCD)
b) Khối chóp tứ giác đều
+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau
+ Đa giác đáy là hình vng tâm O
+ SO
⊥
(ABCD)
Trang 2
O
C

D
B
A
S
A
C
D
M
O
 LIÊN QUAN ĐẾN GÓC
Góc
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng

A
C
B
S
M
O
Nhắc lại cách xác định góc :
1. Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
a. Tìm hình chiếu d
/
của d lên mặt phẳng (P)
b. Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d
/

Bài 5 : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vng, SA vng góc với (ABCD) và góc giữa SC với
(ABCD) bằng 45
0

. Hãy xác định góc đó.
Giải
Ta có :
=
( )ABCD
AC hc SC

⇒

·
·
·
= = =( ,( )) ( , ) 45
o
SC ABCD SC AC SCA
2. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) :
c. Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)
d. Tìm trong (P) đường thẳng a
⊥
(d) , trong mặt phẳng (Q) đường thẳng b
⊥
(d)
e. Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b
Bài 6 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vng, và góc giữa mặt bên với mặt đáy
bằng 60
0
. Hãy xác định góc đó.
Giải
Gọi M là trung điểm BC
Ta có : (SBC)

∩
(ABCD) = BC
(ABCD)
⊃
AM
⊥
BC
(SBC)
⊃
SM
⊥
BC ( vì
( )
SM
ABCD
AM hc=
)
⇒

·
·
·
(( ),( )) ( , ) 60
o
SBC ABCD SM AM SMA= = =
Trang 3
45
O
S
C

D
B
A
60
M
O
S
A
B
C
60
S
B
C
A
60
M
O
S
A
B
C
Baøi Toaùn 2 .3:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB =
3a
, BC = a, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 60
0
.Tính thể tích khối chóp
S.ABC

Giải
 Sai lầm của học sinh:
− Gọi M là trung điểm BC
− Ta có AM
⊥
BC
SM
⊥
BC

⇒

·
·
·
(( ),( )) ( , ) 60
o
SBC ABC SM AM SMA= = =
(Hình vẽ sai)
 Lời giải đúng:
* Ta có : AB =
3a
,
(SBC)
∩
(ABC) = BC
AB
⊥
BC ( vì
∆

ABC vuông tại B)
SB
⊥
BC ( vì
( )
SB
ABC
AB hc=
⇒

·
·
·
(( ),( )) ( , ) 60
o
SBC ABC SB AB SBA= = =
Nhận xét:
- Nếu đáy là tam giác vuông tại B (hoặc C), hình vuông và SA vuông góc với đáy thì góc giữa mặt bên
và mặt đáy sẽ là góc được xác định tại một trong hai vị trí đầu mút của cạnh giao tuyến
- Nếu đáy là một tam giác cân (đều) và SA vuông góc với đáy hoặc là hình chóp đều thì góc giữa mặt
bên và mặt đáy là góc ở tại vị trí trung điểm của cạnh giao tuyến.
GIẢI TÍCH 11
A. ĐẠO HÀM :
1/ Đạo hàm của một số hàm số thường gặp:
2/ Các qui tắc tính đạo hàm:
1/ QT1:
( )
/
/
. .k u k u=

2/ QT2:
( )
/
/ /
u v u v± = ±
3/ QT3:
( )
/
/ /
. . .u v u v u v= +
4/ QT4:
/
/ /
2
. .u u v u v
v v
−
 
=
 ÷
 
5/ QT5: ( Đạo hàm của hàm số hợp):
/ / /
.
x u x
y y u=
Trang 4
1/
( )
/

0C =
2/
( )
/
1x =
3/
( )
/
2
2x x=
4/
( )
/
1n n
x nx
−
=
5/
/
2
1 1
x x
 
= −
 ÷
 
6/
( )
/
1

2
x
x
=

( )
/
1 /
.
n n
u nu u
−
=

/
/
2
1 u
u u
 
= −
 ÷
 

( )
/
/
2
u
u

u
=
60
M
S
B
C
A
60
S
B
C
A
a/ Các hệ quả:
+ HQ1:
/
/
2
1 v
v v
 
= −
 ÷
 
+ HQ2:
/
/
2
C Cv
v v

 
= −
 ÷
 
b/ Nhận xét:

( )
/
2
ax b ad bc
cx d
cx d
+ −
 
• =
 ÷
+
 
+

( )
/
2 2
2
.2ax bx c adx ae x be cd
dx e
dx e
 
+ + + + −
• =

 ÷
+
+
 
3/ Đạo hàm của các hàm số lượng giác:
1/ ( sinx )
/
= cosx
2/ ( cosx )
/
= -sinx
3/
( )
/
2
1
tan
cos
x
x
=
4/
( )
/
2
1
cot
sin
x
x

= −
5/ ( sin
2
x )
/
= sin2x
6/ ( cos
2
x )
/
= -sin2x
7)
( )
/
1
n .sin .cos
n n
si x n x x
−
=
8)
( )
/
1
os .cos .sinx
n n
c x n x
−
= −
9/

( )
/
1
2
1
tan .tan .
os
n n
x n x
c x
−
=
10/
( )
/
1
2
1
t . t .
sin
n n
co x n co x
x
−
= −
1/ ( sinu )
/
= u
/
.cosu

2/ ( cosu )
/
= - u
/
.sinu
3/
( )
/
/
2
tan
cos
u
u
u
=
4/
( )
/
/
2
cot
sin
u
u
u
= −
5/ ( sin
2
u )

/
= u
/
sin2u
6/ ( cos
2
u )
/
= - u
/
sin2u
7)
( )
( )
/
'
1
n .sin sinu
n n
si u n u
−
=
8)
( )
( )
/
'
1
os .cos cosu
n n

c u n u
−
=
9/
( )
( )
/
/
1
tan .tan t anu
n n
u n u
−
=
10/
( )
( )
/
/
1
t . t t
n n
co u n co x co u
−
=
A. Dạng toán cơ bản:
1) Tính góc giữa hai đường thẳng:
Trang 5
Vấn đề 1:
Vấn đề 1:

Hai đường thẳng vuông góc:
Hai đường thẳng vuông góc:
PP1: Áp dụng định nghĩa:

( ) ( )
a'//a
a,b = a';b'
b'//b

⇒


PP2: Sử dụng tích vô hướng:
( )
( )
a.b
cos a;b = cos a;b =
a . b
r r
r r
r r
1) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
PP1:
a b a.b=0⊥ ⇔
r r
PP2:
a//b
a c
b c


⇒ ⊥

⊥

A. Dạng toán cơ bản:
1) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
PP1:

⊥ ⊥

⊂ ⇒ ⊥



d a ,d b
a ,b mp(P) d mp(P)
a,b caét nhau
PP2:
a//b
a mp(P)
b (P)

⇒ ⊥

⊥

2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng :
PP1
a (P)
a b

b (P)
⊥

⇒ ⊥

⊂

PP2: Sử dụng định lý ba đường vuông
góc
3) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
Định nghĩa: Góc giữa đường
thẳng d và mặt phẳng(P) là góc giữa
đường thẳng d và hình chiếu d’ của nó
trên (P)
PP: d’ là hình chiếu của d trên (P) ⇒
(d;(P))=(d;d’)
Trang 6
b'
b
a'
a
Vấn đề 2:
Vấn đề 2:
Đường thẳng vuông góc với mặt
Đường thẳng vuông góc với mặt


ph ngẳ
ph ngẳ
d

a
b
P
a
b
(P)
a'
a
b
P
P
a'
a
4) ĐL: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước
.
A. Dạng toán cơ bản:
1) Góc giữa hai mặt phẳng : Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau là góc giữa hai đường thẳng
lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.
PP1:
( ) ( )
( ), (( );( )) ( ; )
( ),
P Q
a P a P Q a b
b Q b
∩ = ∆


⊂ ⊥ ∆ ⇒ =



⊂ ⊥ ∆

PP2: Sử dụng định lý về diện tích hình chiếu
'
' . os os
S
S S c c
S
ϕ ϕ
= ⇔ =

2) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:
PP1: (P)⊥(Q)⇔((P);(Q))=90
0
PP2:
( )
( ) ( )
( )
a P
P Q
a Q
⊂

⇒ ⊥

⊥

3) Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng :
PP:

(P) (R)
(Q) (R)Δ (R)
(P) (Q)=Δ
⊥


⊥ ⇒ ⊥


∩

4) Cho đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P). Có duy nhất một mặt phẳng chứa a và
vuông góc với (P).
A. Dạng toán cơ bản:
1) Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng
∆
:
Hạ MH vuông góc với ∆ tại H ⇒ d(M;∆)=MH
2) Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P):
Hạ MH vuông góc với (P) tại H ⇒ d(M;(P))=MH
3) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Lấy M bất kì thuộc (P) ⇒ d((P);(Q))=d(M;(Q))
3) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
a) Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:
Trang 7
Vấn đề 3:
Vấn đề 3:
Hai mặt phẳng vuông góc
Hai mặt phẳng vuông góc
ph ngẳ

ph ngẳ
b
a
Q
P
P
Q
a
b
d
Q
P
a
a
R
Q
P
Vấn đề 4:
Vấn đề 4:
Khoảng cách
Khoảng cách
c
b
a
M
H
C
B
A
 Nếu a⊥b thì ta dựng mặt phẳng(P) chứa b và vuông góc với a tại M, kẻ MN⊥b tại N.

Khi đó MN là đoạn vuông góc chung của a và b
 Nếu a không vuông góc với b thì:
- Dựng mặt phẳng(Q) chứa b và song song với a
- Dựng hình chiếu a’ của a trên (Q), a’ cắt b tại J
- Dựng đường thẳng qua J và vuông góc với (Q) cắt a tại I.
Khi đó: IJ là đoạn vuôn góc chung của a và b.
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: d(a;b)=MN
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông :
Cho
ABC
∆
vuông ở A ta có :
a) Định lý Pitago :
2 2 2
BC AB AC
= +

b)
2 2
BA =BH.BC; CA =CH.CB
c) AB. AC = BC. AH=2S
ABC

d)
2 2 2
1 1 1
= +
AH AB AC

e) BC = 2AM

f)
b c b c
sinB= , cosB= , tanB= , cotB=
a a c b
g) b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB,
a =
sin cos
b b
B C
=
, b = c. tanB = c.cot C
2.Hệ thức lượng trong tam giác thường:
* Định lý hàm số Côsin: a
2
=b
2
+c
2
-2bc.cosA
2 2 2
b +c -a
cosA=
2bc
⇒
* Định lý hàm số Sin:
a b c
= = =2R
sinA sinB sinC
* Độ dài đường trung tuyến:
( )

2 2 2
a
2 b +c -a
m =
4
3. Các công thức tính diện tích.

a/ Công thức tính diện tích tam giác:

a
1 1 a.b.c
S = a.h = a.bsinC = = p.r = p.(p-a)(p-b)(p-c)
2 2 4R
với
a+b+c
p=
2
Đặc biệt : *
ABC
∆
vuông ở A :
1
S= AB.AC
2
,
*
ABC
∆
đều cạnh a: diện tích
2

a 3
S=
4
; đường cao:
a 3
h=
2
b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh
c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng
d/ Diên tích hình thoi : S =
1
2
(chéo dài x chéo ngắn)
d/ Diện tích hình thang :
1
2
S =
[(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao]
e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao
f/ Diện tích hình tròn :
2
S .R
π
=
Trang 8
a
b
P
M
N