BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT - LTĐH
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (139.07 KB, 8 trang )
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 1
DẠNG 1. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
A – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
●
0 1
a
< <
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
a a f x g x
a a f x g x
> ⇔ <
≥ ⇔ ≤
(ngh
ị
ch bi
ế
n)
●
1
a
>
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
g x
f x
f x g x
a a f x g x
a a f x g x
> ⇔ >
≥ ⇔ ≥
(đồng biến)
Ví dụ 1. Giải bất phương trình :
2
x x 1
x 2x
1
3
3
− −
−
≥
.
- ðiều kiện :
2
x 0
x 2x 0
x 2
≤
− ≥ ⇔
≥
.
- Bất phương trình
2
x x 1
x 2x 2
3 3 x 2x x x 1
− −
−
⇔ ≥ ⇔ − ≥ − −
(1)
+ Nếu
x 0
≤
thì
x 1 1 x
− = −
, khi đó
( )
2
1 x 2x 2x 1
⇔ − ≥ −
(lng đúng vì
x 0
≤
)
+ Nếu
x 2
≥
thì
x 1 x 1
− = −
, khi đó
( )
2 2
1 x 2x 1 x 2x 1 0
⇔ − ≥ ⇔ − − ≥
( )
( )
x 1 2 loai
x 1 2 chon
≤ −
⇔
≥ +
- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
(
]
)
S ;0 1 2;
= −∞ ∪ + +∞
.
Ví dụ 2.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình :
( )
2
3
3
log x
log x
3 x 6
+ ≤
.
- ðiều kiện :
x 0
>
.
- Ta có :
( )
(
)
2
3
3
3 3
log x
log x
log x log x
3 3 x= =
.
- Khi đó bất phương trình
(
)
3 3 3 3
log x log x log x log x
3 3
x x 6 x 3 log x log 3
⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤
( )
2
3 3 3 3
1
log x.log x 1 log x 1 1 log x 1 x 3.
3
⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
1
S ;3
3
=
.
CHUYÊN ĐỀ 2.
BẤT
PHƯƠNG
TRÌNH
MŨ – LOGARIT
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 2
BÀI TẬP.
1)
3
x 2
log
x
5 1
−
<
2)
( )
2
log x 1
2
3 1
2 3
x
log log 2 3
2
1
1
3
−
+ +
≥
3)
1 1
2
2 2 2
log x log x
log x
5 x .2 6.x+ >
4)
2 2
1 3
log x log x
2 2
2.x 2≥
.
B – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.
●
0 1
a
< <
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
log log 0
log log 0
a a
a a
f x g x f x g x
f x g x f x g x
> ⇔ < <
≥ ⇔ < ≤
(ngh
ị
ch bi
ế
n)
●
1
a
>
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
log log 0
log log 0
a a
a a
f x g x f x g x
f x g x f x g x
> ⇔ < >
≥ ⇔ < ≥
(
ñồ
ng bi
ế
n)
Ví dụ . Giải bất phương trình :
1 2
3
1 2x
log log 0
1 x
+
>
+
- Bpt
2
2
1 2x 1 2x
0 0
1 2x x
1 x 1 x
1 0
1 2x 1 2x
1 x 1 x
log 0 1
1 2x 1
1 x 1 x
2 0
1 2x 1 2x
1 x 1 x
log 1 2
1 x 1 x
+ +
> >
+
+ +
> >
+ +
+ +
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
> >
+ −
+ +
> <
+ +
+ +
< <
+ +
x 1 x 0
x 0
x 1
< − ∨ >
⇔ ⇔ >
> −
.
- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
(
)
S 0;
= +∞
.
BÀI TẬP.
1)
2
0,7 6
x x
log log 0
x 4
+
<
+
2)
(
)
2
π 2
4
log log x 2x x 0
+ − <
3)
( )
2
3 1 1
3 3
1
log x 5x 6 log x 2 log x 3
2
− + + − > −
4)
3
2x 3
log 1
1 x
−
<
−
5)
(
)
(
)
x x 2
5 5 5
log 4 144 4log 2 1 log 2 1
−
+ − < + +
6)
(
)
x x
2
log 7.10 5.25 2x 1
− > +
7)
( ) ( )
25 5 1
5
1
2log x 1 log .log x 1
2x 1 1
− ≥ −
− −
8)
2
2x
x
log 64 log 16 3.
+ ≥
Biờn son : GV HUNH C KHNH
trang 3
Bt phng trỡnh dng :
( )
(
)
log
x
f
g x a
>
, ta xột hai tr
ng h
p c
a c
s
:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
0
0
0 1
log
1
a
a
x
f
g x
g x f x
g x
g x f x
f x
g x a
f x
<
<
<
>
>
< <
>
Vớ d . Gii bt phng trỡnh :
(
)
2
x
log 5x 8x 3 2
+ >
.
- Bpt
2 2 2
2
2 2
2
0 x 1
0 x 1 0 x 1
1 3
x
1 3
5x 8x 3 x 4x 8x 3 0
2 2
x
2 5
3
3
5x 8x 3 0
x x 1
x x 1
3
5
5
x
x 1
x 1
x 1
5x 8x 3 x
1 3
4x 8x 3 0
x x
2 2
< <
< < < <
< <
+ < + <
< <
+ >
< >
< >
>
>
>
>
+ >
+ >
< >
2
.
- V
y nghi
m c
a b
t ph
ng trỡnh l :
1 3 3
S ; ;
2 5 2
= +
.
BI TP.
1)
(
)
2
3x x
log 3 x 1
>
2)
(
)
x 1
log 2x 2
+
>
3)
x
1
log x 2
4
4)
(
)
x
x 3
log log 9 72 1
5)
(
)
2
x 3
log 5x 18x 16 2
+ >
6)
(
)
( )
2
2
2
log x 9x 8
2
log 3 x
+
<
7)
(
)
2
log x 3x 2
2
log x log2
+
>
+
8)
(
)
( )
3
a
2
log 35 x
3.
log 5 x
>
DAẽNG 2. PHệễNG PHAP ẹAậT AN PHUẽ
A BT PHNG TRèNH M.
Vớ d 1.
Gi
i b
t ph
ng trỡnh :
x x 2
x x
2.3 2
1
3 2
+
.
- iu kin :
x x
3 2 0 x 0.
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 4
- Chia cả tử và mẫu cho
x
2
, ta ñược :
x
x x 2
x
x x
3
2. 4
2.3 2
2
1 1
3 2
3
1
2
+
−
−
≤ ⇔ ≤
−
−
(*)
-
ðặ
t :
( )
x
3
t , 0 t 1
2
= < ≠
.
- Khi
ñ
ó (*) tr
ở
thành
2t 4 t 3
1 0 0 1 t 3
t 1 t 1
− −
− ≤ ⇔ ≤ ⇔ < ≤
− −
.
- Với
x
3
2
3
1 t 3 1 3 0 x log 3
2
< ≤ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤
.
- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
3
2
S 0;log 3
=
.
Ví dụ 2. Giải bất phương trình :
2x 10 3 x 2 x 5 1 3 x 2
5 4.5 5
− − − − + −
− <
.
- ðặt :
x 5 3 x 2
X 5 0, Y 5 0
− −
= > = >
.
- Khi ñó bpt trở thành :
( )
2
2 2
X
4X 5Y X 4XY 5Y vi Y 0
Y
− < ⇔ − < >
2 2
X 4XY 5Y 0
⇔ − − <
(
)
(
)
X Y X 5Y 0 X 5Y 0 X 5Y
⇔ + − < ⇔ − < ⇔ <
x 5 1 3 x 2
5 5 x 5 1 3 x 2 x 6 3 x 2
− + −
⇔ < ⇔ − < + − ⇔ − < −
(*)
- Bpt (*)
( ) ( )
2
2
x 2 0
2 x 6
x 6 0
x 6 0
x 6
x 6
6 x 18
3 x 18
x 21x 54 0
9 x 2 x 6
− ≥
⇔ ≤ <
− <
⇔
− ≥
≥
≥
⇔ ⇔ ⇔ ≤ <
< <
− + <
− > −
.
- V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là :
[
)
S 2;18
= .
Ví dụ 3.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình :
2 2
2x 4x 2 2x x 1
2 16.2 2 0
− − − −
− − ≤
.
- Ta có :
2 2 2 2
2x 4x 2 2x x 1 2x 4x 2 2x x 1 2
2 16.2 2 0 2 16.2 2 0
− − − − − − − + −
− − ≤ ⇔ − − ≤
(
)
(
)
2 2
2 x 2x 1 x 2x 1
2 4.2 2 0.
− − − − −
⇔ − − ≤
-
ðặ
t :
2
x 2x 1
t 2 , t 0.
− −
= >
- Bpt tr
ở
thành :
( )
( )
2 3 2
1
t 4 2 0 t 2t 4 0 t 2 t 2t 2 0
t
− − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − + + ≤
( ) ( ) ( )
2
t 2 t 1 1 0 t 2 0 t 2.
⇔ − + + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤
- V
ớ
i
2
2 2
x 2x 1
t 2 2 2 x 2x 1 1 x 2x 2 0 1 3 x 1 3
− −
≤ ⇔ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ + .
- V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là :
S 1 3;1 3
= − +
.
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 5
Ví dụ 4. Giải bất phương trình :
2x 1 2x 1 x
3 2 5.6 0
+ +
− − ≤
.
- Ta có :
x x
2x 1 2x 1 x 2x 2x x
2
3 2 5.6 0 3.3 2.2 5.6 0 3. 2. 5 0
3
2 3
+ +
− − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤
.
- ðặt :
x
3
t , t 0
2
= >
.
- Bpt trở thành :
2
1 1
3t 2. 5 0 3t 5t 2 0 t 2
t 3
− − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤
.
-
ðối chiếu ñiều kiện ta chọn :
0 t 2
< ≤
.
- Với
x
3
2
t 2
3
2 x log 2
2
≤ ⇔
≤ ⇔ ≤
.
- V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là :
3
2
S ;log 2
= −∞
.
BÀI TẬP.
1)
1 x x 1 x
8 2 4 2 5
+ +
+ − + >
2)
2 1
1
x x
1 1
3. 12
3 3
+
+ >
3)
x x x
2.14 3.49 4 0
+ − ≥
4)
2x x x 4 x 4
3 8.3 9.9 0
+ + +
− − ≥
.
B – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.
Ví dụ 1.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình :
(
)
2
x 4 2
log 8 log x log 2x 0
+ ≥
.
- ðiều kiện :
0 x 1
< ≠
.
- Bpt
( ) ( )
1
2
2
4 2 2 2
8 2
1 3 1
log x log 2x 0 log x . 1 log x 0
log x log x 2
⇔ + ≥ ⇔ + + ≥
- ðặt :
2
t log x
= .
- Bpt trở thành :
( ) ( )
2
t 1
3 1 1 3 t 1 t
t . 1 t 0 1 t 0 0
t 0.
t 2 2 t t
≤ −
+ +
+ + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ ⇔
>
- Với
2
2
1
log x 1
t 1
x
2
t 0 log x 0
x 1.
≤ −
≤ −
≤
⇔ ⇔
> >
>
- ðối chiếu ñiều kiện ta chọn :
1
0 x
2
x 1.
< ≤
>
- V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là :
( )
1
S 0; 1;
2
= ∪ +∞
.
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 6
Ví dụ 2. Giải bất phương trình :
( ) ( )
3
4 2 2
2 1 2 1
2
2 2
x 32
log x log 9log 4log x
8 x
− + <
.
- ðiều kiện :
x 0
>
.
- Bpt
( ) ( )
1 1
3
4 2 2
2 2
2
2 2
x 32
log x log 9log 4log x
8 x
− −
⇔ − + <
( ) ( )
( )
[ ] [ ]
( )
2
4 3 2 2
2 2 2 2 2 2
2
4 2
2 2 2 2
log x log x log 8 9 log 32 log x 4log x
log x 3log x 3 9 5 2log x 4log x .
⇔ − − + − <
⇔ − − + − <
-
ðặ
t :
2
t log x
=
.
- Bpt tr
ở
thành :
2
4 2 2
2
3 log x 2
3 t 2
t 13t 36 0 4 t 9
2 t 3 2 log x 3
− < < −
− < < −
− + < ⇔ < < ⇔ ⇔
< < < <
1 1
x
8 4
4 x 8.
< <
⇔
< <
- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
( )
1 1
S , 4,8
8 4
= ∪
.
BÀI TẬP.
1)
(
)
(
)
2 2
4 2
1 log 2x 3x 2 log 2x 3x 2
+ + + > + +
2)
(
)
x
x
2
3 2
log 3 2 2.log 2 3 0
+
+ + − >
.
DAÏNG 3. MOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP KHAÙC.
Dạng :
log log
a
b
u v
<
, ta thường giải như sau : ðặt
log
a
t u
=
( hoặc
log
b
t v
=
) ñể ñưa
về bất phương trình mũ và sử dụng chiều biến thiên của hàm số.
Ví dụ : Giải bất phương trình :
(
)
5 4
log 3 x log x
+ >
.
- ðiều kiện :
x 0
>
.
- ðặt :
t
4
t log x x 4
= ⇔ =
.
- Bpt trở thành :
( )
t t
t t t
5
1 2
log 3 2 t 3 2 5 3. 1
5 5
+ > ⇔ + > ⇔ + >
. (*)
- Hàm số
( )
t t
1 2
x 3.
5 5
f
= +
nghịch biến trên
ℝ
và
(
)
1 1.
f
=
- Bpt (*)
(
)
(
)
t 1 t 1
f f
⇔ > ⇔ <
.
- Với
4
t 1 log x 1 0 x 4.
< ⇔ < ⇔ < <
- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
(
)
S 0;4
= .
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 7
Dạng :
1 1
log log
a
b
u v
>
, ta thường giải như sau :
● Lập bảng xét dấu của
log
a
u
và
log
b
v
trong tập xác ñịnh của phương trình.
● Trong TXð, nếu
log
a
u
và
log
b
v
cùng dấu thì :
1 1
og og .
log log
a
b
a
b
l
u l v
u v
⇔
> <
Ví dụ : Giải bất phương trình :
( ) ( )
2 2
1 1
log x 1 log 3 2x
>
+ −
.
-
ð
i
ề
u ki
ệ
n :
1 x 0 3
0 x 1 1
1 x
2
3
0 3 2x 1
1 x
x 0;1
2
− < ≠
< + ≠
− < <
⇔ ⇔
< − ≠
≠ <
≠
●
(
)
2
log x 1 0 x 1 1 x 0.
+ > ⇔ + > ⇔ >
●
(
)
2
log 3 2x 0 3 2x 1 x 1.
− > ⇔ − > ⇔ <
- Ta có b
ả
ng xét d
ấ
u :
- T
ừ
ñ
ó ta có các tr
ườ
ng h
ợ
p sau :
1)
V
ớ
i
1 x 0
− < <
thì
VT 0, VP 0
< >
, suy ra bpt vô nghi
ệ
m.
2)
V
ớ
i
0 x 1
< <
thì
VT 0, VP 0.
> >
Khi
ñ
ó bpt
(
)
(
)
2 2
log x 1 log 3 2x
⇔ + < −
2
3 2x x 1 x .
3
⇔ − > + ⇔ <
3) Với
3
1 x
2
< <
thì
VT 0, VP 0,
> <
suy ra bpt vô nghiệm.
- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
2
S 0 x
3
= < <
.
BÀI TẬP.
1)
( )
2
1
1
3
3
1 1
log x 1
log 2x 3x 1
>
+
− +
2)
( ) ( )
3x 5 6x 2
log 4 log 16 0
− − − −
− ≥
.
Dạng :
log log log
a a a
u
v u u u v v
v
< − ⇔ + < +
, ta th
ườ
ng gi
ả
i nh
ư
sau : Xét hàm s
ố
(
)
log
a
f t t t
= +
ñồ
ng bi
ế
n khi
0
t
>
, suy ra
(
)
(
)
.
f u f v u v
< ⇔ <
Ví dụ : Giải bất phương trình :
2
2
3
2
x x 1
log x 3x 2
2x 2x 3
+ +
> − +
− +
.
- ðặt :
(
)
2 2
u x x 1; v 2x 2x 3 u 0, v 0
= + + = − + > >
. Suy ra :
2
v u x 3x 2
− = − +
.
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 8
- Bpt trở thành :
3 3 3 3 3
u
log v u log u log v v u log u u log v v
v
= − ⇔ − = − ⇔ + > +
. (*)
- Xét hàm số :
(
)
3
t log t t
f
= +
, ta có :
( )
1
' t 1 0, t 0
tln3
f
= + > ∀ >
nên hàm số ñồng biến khi
t 0
>
. Do ñó (*)
(
)
(
)
u v u v
f f
⇔ > ⇔ >
.
- V
ớ
i
2 2 2
u v x x 1 2x 2x 3 x 3x 2 0 1 x 2.
> ⇔ + + > − + ⇔ − + < ⇔ < <
- V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là :
(
)
S 1;2
= .
Dùng phương pháp ñánh giá : Dùng bất ñẳng thức, trị tuyệt ñối, biểu thức chứa căn,…
Ví dụ :
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình :
( )
2 3
1
log x 2 4 log 8
x 1
− + ≤ +
−
.
-
ð
i
ề
u ki
ệ
n :
x 2.
≥
.
- Ta có :
●
(
)
2
x 2 4 4 log x 2 4 2 VT 2.
− + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≥
●
1
x 2 x 1 1 x 1 1 1
x 1
≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤
−
3
1 1
8 9 log 8 2 VP 2
1 1x x
⇔ + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤
− −
.
- Vậy bpt có nghiệm khi và chỉ khi
VT 2
x 2 0
x 2
VP 2
x 2
=
− =
⇔ ⇔ =
=
=
.
- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
{
}
S 2
= .
BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
1)
2
2
2x x
x 2x
1
9 2 3
3
−
−
− ≤
1)
2 3 2 3
log x log x 1 log x.log x
+ < +
2)
( )
2
2
2
2
x 3
1 1 1
log x 6 2 log
2 12 64
+
− < +
3)
1 1
x x
6 6
1
log 3.4 2.9 log 5
x
− −
+ + =
4)
2 2
3
2 2
x x 1 x x 1
x 1 2x 1
log log
2x 1 x 1
− − + −
+ +
>
+ +
5)
(
)
2 2 2
2 1 4
2
log x log x 3 5 log x 3
+ − > −
6)
( ) ( )
25 5 1
5
1
2log x 1 log .log x 1
2x 1 1
− ≥ −
− −
HẾT
