Bài .giới hạn một bên

BÀI 5: GIỚI HẠN MỘT BÊN
(Soạn theo: ĐS&GT 11.NC)
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức:
Giúp học sinh nắm được định nghĩa giới hạn bên phải, giới hạn bên trái
của hàm số tại một điểm và quan hệ giữa giới hạn của hàm số tại một điểm
với các giới hạn một bên của hàm số tại điểm đó.
2. Về kĩ năng:
Vận dụng định nghĩa giới hạn một bên và các định lí về giới hạn hữu hạn
để tìm giới hạn một bên của hàm số.
3. Về tư duy – Thái độ:
- Rèn luyện tư duy lôgic, tính cẩn thận, chính xác cao trong quá trình tính
toán
- Tích cực tham gia xây dựng bài học.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
- Giáo viên: Giáo án, SGK, thước,…
- Học sinh; SGK, học bài và đọc bài trước khi đến lớp,…
III. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC:
Về cơ bản sử dụng phương pháp gởi mở, vấn đáp đan xen thuyết trình.
IV. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
1. Ổn định lớp, kiểm tra sỉ số lớp
2. Kiểm tra bài cũ: Tính
2
1
1
3 4
1
1
8
lim
lim

x
x
x x
x
x
→−
→
− −
+
+
3. Dạy bài mới:
Hoạt động của giáo
viên
Hoạt động của học sinh Nội dung
* Hoạt động 1: Tiếp
cận và chiếm lĩnh tri
thức về giới hạn một
bên
- Yêu cầu học sinh nhắc
lại định nghĩa giới hạn
hàm số tại một điểm
- Từ định nghĩa giới hạn
hàm số tại một điểm dẫn
dắt học sinh đi đến định
nghĩa giới hạn bên phải
- Nêu định nghĩa giới
hạn hàm số tại một điểm
- Lắng nghe
1. Giới hạn hữu hạn
* Định nghĩa 1:

Giả sử hàm số f xác định
trên khoảng (x
0
; b) (x
0

∈
R).
Ta nói rằng hàm số f có giới
hạn bên phải là số thực L
khi x dần đến x
0
( hoặc tại
điểm x
0
) nếu với mọi dãy số
(x
n
) trong khoảng (x
0
; b) mà
limx
n
= x
0
, ta đều có limf(x
n
)
= L.
1

Trường: THPT Chợ Gạo
GVHD: Nguyễn Văn Tài
SVTT: Nguyễn Thị Tuyết Lan
Ngày soạn: 27/02/2011
Ngày dạy: 4/03/2011
Tiết 3, lớp 11A11
- Yêu cầu học sinh đọc
định nghĩa giới hạn bên
phải của hàm số
- Cho ví dụ áp dụng:
* Ví dụ: Tính
2
3 6
2
lim
x
x
x
+
→
−
−
- Yêu cầu học sinh dựa
vào định nghĩa để tính
và gọi một HS lên bảng
làm bài
- Nhận xét bài làm của
HS
- Tương tư, gọi một HS
nêu định nghĩa giới hạn

bên trái của hàm số tại
một điểm
- Cho ví dụ áp dụng
* Ví dụ: Tính
2
3 6
2
lim
x
x
x
−
→
−
−
- Gọi HS lên bảng làm
bài
- Nhận xét bài làm của
HS
-Một HS đọc định nghĩa,
các HS còn lại chép định
nghĩa vào vở
- Chép ví dụ vào vở và
lên bảng làm bài, các HS
còn lại theo dõi và nhận
xét bài làm của bạn
+ Với mọi x > 2 ta có:
2
2
2

3 6
2
3 6
2
3 3
lim
lim
lim
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
→
→
→
−
−
−
=
−
= =
.
- Chép bài làm đúng vào
vở

- Đọc định nghĩa giới
hạn bên trái trong SGK,
các HS còn lại chép định
nghĩa vào vở
- Chép đề vào vở
- Một HS lên bảng làm
bài, các HS còn lại theo
dõi và nhận xét bài làm
của bạn
+ Với mọi x < 2 ta có:
2
2
2
3 6
2
(3 6)
2
( 3) 3
lim
lim
lim
x
x
x
x
x
x
x
−
−

−
→
→
→
−
−
− −
=
−
= − =−
Khi đó ta viết :
0
( )
lim
x x
f x L
+
→
=
hoặc
f(x)
→
L khi
0
x x
+
→
.
* Ví dụ: Tính
2

3 6
2
lim
x
x
x
+
→
−
−
Giải
Với mọi x > 2 ta có:
2
2
2
3 6
2
3 6
2
3 3
lim
lim
lim
x
x
x
x
x
x
x

+
+
+
→
→
→
−
−
−
=
−
= =
* Định nghĩa 2:
Giả sử hàm số f xác định
trên khoảng (a; x
0
) (x
0

∈
R).
Ta nói rằng hàm số f có giới
hạn bên trái là số thực L
khi x dần đến x
0
( hoặc tại
điểm x
0
) nếu với mọi dãy số
(x

n
) trong khoảng (a; x
0
) mà
limx
n
= x
0
, ta đều có limf(x
n
)
= L.
Khi đó ta viết :
0
( )
lim
x x
f x L
−
→
=
hoặc
f(x)
→
L khi
0
x x
−
→
.

* Ví dụ: Tính
2
3 6
2
lim
x
x
x
−
→
−
−
Giải
Với mọi x < 2 ta có:
2
2
2
3 6
2
(3 6)
2
( 3) 3
lim
lim
lim
x
x
x
x
x

x
x
−
−
−
→
→
→
−
−
− −
=
−
= − =−
2
- Phân tích và nêu nhận
xét trong SGK
* Ví dụ: Cho
2
2
, 2
( )
2
5 , 2
x x
x
f x
x
x x


− −
>

=
−


− ≤

Tìm
2 2
( ), ( )
lim lim
x x
f x f x
− +
→ →
,
và
2
( )
lim
x
f x
→
(nếu có).
- Gọi hai HS lên bảng
làm bài
- Nhận xét bài làm của
HS và sửa sai nếu có

* Hoạt động 2: Tiếp
cận và chiếm lĩnh tri
thức về giới hạn vô cực.
- Nếu ở định nghĩa 1 và
định nghĩa 2 ta thay L
bởi
+∞
hoặc
−∞
thì ta
- Chép bài làm đúng vào
vở
- Ghi nhận xét vào vở
- Chép ví dụ vào vở và
lên bảng làm bài
+ Ta có:
2 2
( ) (5 ) 5 2 3
lim lim
x x
f x x
− −
→ →
= − = − =
2
2 2
2
( )
2
lim lim

x x
x x
f x
x
+ +
→ →
− −
=
−

2
( 1)( 2)
( 2)
lim
x
x x
x
+
→
+ −
=
−

2
( 1) 3
lim
x
x
+
→

+ =
=
Vì
2 2
( ) ( ) 3
lim lim
x x
f x f x
− +
→ →
= =

nên
2
( )
lim
x
f x
→
= 3.
- Sửa bài vào vở
- Lắng nghe và ghi bài
* Nhận xét:
a) Nếu
0
( )
lim
x x
f x L
→

=
thì hàm
số có giới hạn bên phải và
bên trái tại điểm x
0
và
0 0
( ) ( ) .
lim lim
x x x x
f x f x L
+ −
→ →
= =
b) Nếu
0 0
( ) ( )
lim lim
x x x x
f x f x L
+ −
→ →
= =
thì hàm số có giới hạn tại
điểm x
0
và
0
( )
lim

x x
f x L
→
=
c) Các định lí 1 và định lí 2
trong bài 4 vẫn đúng khi
thay
0
x x→
bởi
0
x x
−
→
hoặc
0
x x
+
→
* Ví dụ: Cho
2
2
, 2
( )
2
5 , 2
x x
x
f x
x

x x

− −
>

=
−


− ≤

Tìm
2 2
( ), ( )
lim lim
x x
f x f x
− +
→ →
, và
2
( )
lim
x
f x
→
(nếu có)
Giải
Ta có:
2 2

( ) (5 ) 5 2 3
lim lim
x x
f x x
− −
→ →
= − = − =
2
2 2
2
( )
2
lim lim
x x
x x
f x
x
+ +
→ →
− −
=
−

2
( 1)( 2)
( 2)
lim
x
x x
x

+
→
+ −
=
−

2
( 1) 3
lim
x
x
+
→
+ =
=
Vì
2 2
( ) ( ) 3
lim lim
x x
f x f x
− +
→ →
= =

nên
2
( )
lim
x

f x
→
= 3.
2. Giới hạn vô cực
a) Các định nghĩa
0 0
( ) , ( )
lim lim
x x x x
f x f x
− −
→ →
= +∞ = −∞
3
có các định nghĩa mới.
* Ví dụ: Tìm
a)
0
0 0
1 1 1
, ,
lim lim lim
x
x x
x x x
− +
→
→ →
b)
0

0 0
1 1 1
, ,
lim lim lim
x
x x
x x x
− +
→
→ →
- Gọi 2 HS lên bảng làm
bài
- Gọi HS nhận xét bài
làm của bạn
- Nhận xét bài làm của
HS và sửa sai nếu có
mới vào vở
- Chép ví dụ vào vở
- Hai HS lên bảng làm
bài
a) Ta có:
0 0
1 1
,
lim lim
x x
x x
− +
→ →
=−∞ =+∞

Vì
0 0
1 1
lim lim
x x
x x
− +
→ →
≠
nên
0
1
lim
x
x
→
không tồn tại
b) Ta có:
0 0
1 1
lim lim
x x
x x
− +
→ →
= =+∞

nên
0
1

lim
x
x
→
=+∞
- Nhận xét bài làm của
bạn
- Lắng nghe và ghi bài
làm đúng vào vở
0 0
( ) , ( )
lim lim
x x x x
f x f x
+ +
→ →
= +∞ = −∞
Được định nghĩa tương tự
như định nghĩa 1 và 2
b) Nhận xét 1 và 2 vẫn đúng
đối với giới hạn vô cực
* Ví dụ: Tìm
a)
0
0 0
1 1 1
, ,
lim lim lim
x
x x

x x x
− +
→
→ →
b)
0
0 0
1 1 1
, ,
lim lim lim
x
x x
x x x
− +
→
→ →
Giải
a) Ta có:
0 0
1 1
,
lim lim
x x
x x
− +
→ →
=−∞ =+∞
Vì
0 0
1 1

lim lim
x x
x x
− +
→ →
≠
nên
0
1
lim
x
x
→
không tồn tại
b) Ta có:
0 0
1 1
lim lim
x x
x x
− +
→ →
= =+∞
nên
0
1
lim
x
x
→

=+∞
.
V. CỦNG CỐ
- Chú ý phần nhận xét rất quan trọng, nó giúp chúng ta trong việc giải bài
tập. Gọi HS nhắc lại
- Cho f(x) =
1, 0
0, 0
1, 0.
x
x
x
− <


=


>

. Tìm
0
0 0
( ), ( ), ( )
lim lim lim
x
x x
f x f x f x
+ −
→

→ →
(nếu có)
- Tính:
2
1
2
lim
x
x
−
→
−
- Về nhà làm các bài tập trong SGK tr.158 và phần luyện tập tr.159
4