Các bài toán về hàm số

[CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ *** DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI-HƯNG YÊN]

1

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ
I.Xét tính đơn điệu của hàm số:

1/ Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: ;

2/ Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: đồng biến trên:
a/ R ; b/ khoảng
3/ Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:
a/ Nghịch biến trên khoảng (- 1; 0) ; b/ Nghịch biến trên các khoảng của tập xác định ;
c/ đồng biến trên khoảng ( -2; 2 ) .
4/ Xác định gt của m để hs sau luôn nghịch biến trên R: .
5/ Tìm đk của a, b để hs sau luôn đb trên R: .
6/ Biết hs đơn điệu trên R; hỏi nó đb hay nb ?
II.Cực trị của hàm số:

A - Lý thuyết:
Hàm số có CTR khi PT
y’= 0 có hai nghiệm phân biệt. Hàm số (1) nếu có CTR và thì

[CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ *** DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI-HƯNG YÊN]

2

HS (2) nếu có CTR thì: và ptđt qua ĐCĐ và
ĐCT là: y = (2mx+n)/q.
ĐK để đồ thị của hs (1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt là :
B – Luyện tập:

1/ Cho hs . Viết ptđt đi qua 2 đctr của hs. Tìm gt của m để đths
cắt Ox tại 3 điểm phân biệt .
2/ Cho hs . Xác định m để đcđ & đct của đths đối xứng qua đt x – 2y = 5.
3/ Cho hàm số:
32
34y x x  
. Hãy tìm các giá trị của a để hai điểm cực trị của hàm số trên nằm về hai
phía của đường tròn (C):
2 2 2
2 4 1 0x y x ay a     
.
4/ Cho hàm số
32
3 2 4y x mx m   
(C
m
).Tìm m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía
đường phân giác góc phần tư thứ nhất.
5/ Cho hàm số
   
1133
2223
 mxmmxxy
(C
m
). Tìm m để (C
m
) cắt trục Ox tại ba điểm phân
biệt hoành độ dương.
6/ Cho hàm số

 
3223
133 mxmmxxy 
()
m
C
. Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt trong đó
có đúng hai điểm có hoành độ âm.
7/ Tìm gt của m để hs sau có .
8/ Tìm các gt của a và b để hs .
9/ Tìm các gt a,b để hs .
10/ Tìm các gt của m để hs .
[CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ *** DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI-HƯNG YÊN]

3

11/ Tìm các gt của m để hs sau có CĐ ( CT ): .
12/ (B-2007): Tìm m để đths sau có đctr và các đctr cách đều gốc tọa độ O:

13/ Cho hs . Tìm m để hs có ctr; viết pt parabôn
đi qua 3 điểm ctr của đths.
14/ Cho hs . Tìm gt của m để hs có 3 ctr; khi đó hãy cm cả 3 đctr của đths đều
nằm trên parabôn .
15/ Tìm tất cả các gt của m để hs sau có ctr và 2 ctr trái dấu: .
16/ Tìm gt của m để hs sau có ctr TMĐK : .
17/ Cho hàm số
1
8

2



x
mmxx
y
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đường
thẳng
0179  yx
.
18/ Tìm các gt của m để các hàm số sau có ctr . Tìm quỹ tích các đctr của đths :
a/
1
2
12


x
m
xy
; .
19/ (A-2005): Tìm các gt của m để hs y = mx + 1/x có ctr và k/c từ ĐCT đến t/c xiên bằng .
20/ (B-2005): Chứng minh với m bkì hs sau luôn có ctr và k/c giữa 2 đctr của đths luôn bằng
[CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ *** DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI-HƯNG YÊN]

4


21/ (A-2007): Tìm các gt của m để hs sau có ctr và các đctr của đths cùng với gốc tọa độ O tạo thành

tam giác vuông cân tại O : .
III.Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:
1/ Tìm GTNN và GTLN của các hs sau:
;


2/ Cho pt: tìm gt của a để nghiệm lớn của pt đạt GTLN .
3/ Tìm các gt của a,b để hs có GTLN = 5 và GTNN = - 1
4/ Tìm GTNN và GTLN của bt: .
5/ Tìm các gt của m để: pt
6/ Tìm các gt của m để các pt, bpt sau có nghiệm:
;

[CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ *** DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI-HƯNG YÊN]

5

7/ Biện luận theo m số nghiệm của pt:
8/ (B-2006): Tìm gt của m để pt sau có 2 nghiệm phân biệt:
9/ Tìm gt của m để bpt sau được nghiệm đúng với :

10/ Tìm các gt của m để:
11/ (A-2007): Tìm các gt của m để pt sau có nghiệm thực:
IV.Sự tương giao của đồ thị hai hàm số:
1/ Tìm các gt của m để đths cắt parabôn tại 3 điểm phân biệt .
2/ Tìm các gt của m để hpt sau có nhiều hơn 2 nghiệm:
3/ Cho hs ; xác định a để đths cắt đt y = x tại 3 điểm pb cách đều nhau .
4/ Tìm các gt của m để đths sau cắt Ox tại 4 điểm pbcđnhau: .
5/ Cho hs
a/ Xác định k để cắt mọi ; b/ Xác định m để cắt mọi .

6/ Tìm gt của k để đt y = 2kx – k cắt đths sau tại 2 điểm pb thuộc 2 nhánh của nó: .
7/ (D-2006): Gọi (d) là đt đi qua điểm A(3;20) và có hsg là m. Tìm gt của m để đt (d) cắt đths sau tại 3
điểm pb: .
[CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ *** DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI-HƯNG YÊN]

6

8/ (D-2008): CMR mọi đt đi qua điểm I(1;2) với hsg k (k > -3) đều cắt đths tại 3
điểm pb cách đều nhau .
9/ (D-2009): Tìm các gt của m để đt y = -1 cắt đths sau tại 4 điểm pb có hoành độ đều nhỏ hơn 2:

10/ (A-2010): Tìm các gt của m để đths cắt Ox tại 3 điểm pb có tổng
bình phương các hoành độ nhỏ hơn 4 .
11/ (B-2010): Tìm các gt của m để đt y = -2x + m cắt đths sau tại 2 điểm pb A, B sao cho tg OAB có dt
bằng .
V.Các bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
1/ Cho hs . M là điểm bất kì trên (C); tiếp tuyến tại M cắt 2
tiệm cận tại A và B. Gọi I là gđ của 2 t/c. CM: MA = MB và dt tg IAB không đổi .
2/ Tìm các gt của m để đths sau t/x với Ox: .
3/ Chứng minh họ đường cong luôn t/x với nhau .
4/ Cho hs . Tìm các gt của m để đths cắt đt y = 1 – x tại 3 điểm phân biệt A(0;1), B,
C sao cho các tiếp tuyến của đths tại B và C vuông góc với nhau.
5/ Tìm các gt của m để đths sau t/x với Ox tại 2 điểm pb: .
6/ Tìm các gt của m để đt 2 hs sau t/x với nhau:
7/ Tìm các gt của m để đths sau t/x với đt y = m :
[CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ *** DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI-HƯNG YÊN]

7

8/ Tìm các gt của m để đt 2 hs sau t/x với nhau:

9/ (D-2005): Cho hs . M là điểm nằm trên đths có hđộ bằng -1. Tìm gt của m
để tiếp tuyến với đths tại M song song với đt 5x – y = 0 .
10/ (B-2006): Viết pttt của đths biết tt vuông góc với t/c xiên .
11/ (D-2007): Cho hs y = 2x/(x + 1) . Tìm tđộ điểm M nằm trên đths biết tt của đths tại M cắt Ox, Oy
tại A, B sao cho dt tg OAB bằng 1/4.
12/ (B-2008): Viết pttt của đths biết tt đi qua điểm M( -1; -9) .
13/ (A-2009):Cho hs y = (x + 2)/(2x + 3). Viết pttt của đths biết tt tạo với 2 trục tọa độ thành tgvc tại O.
14/ (D-2010): ): Viết pttt của đths biết tt vgóc với đt
VI.Một số bài toán khác:
1/ Tìm điểm cố định của họ đường cong:
2/ Chứng minh với mọi m, đths luôn đi qua 3 điểm cố định và
các điểm cố định này thẳng hàng .
3/ Chứng minh trên đths có 2 điểm không thuộc đths dù m
lấy bất kì gt nào .
4/ Tìm trên đths y = (x – 1)/(x + 2) các điểm cách đều hai t/c của nó .
5/Tìm các gt của m để đt y =m –x cắt đths tại 2 điểm đ/x nhau qua đt y=x.
6/ Tìm trên đths các điểm đ/x nhau qua điểm I(0; 2,5) .
[CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ *** DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI-HƯNG YÊN]

8

7/ Tìm trên đths các cặp điểm đ/x qua đt y = x – 1 .
8/ Tìm pt đường cong đ/x với đths qua đt y = 2 .
9/ Cho hàm số:
)(
2
54
2
H
x

xx
y




Tìm M thuộc (H) sao cho khoảng cách từ M đến (D):
063  yx
nhỏ nhất.
10/ Cho hàm số:
 
2
1
2



x
x
y
(C)
Hãy xác định hàm số y = g(x) sao cho đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua A(1;1).
11/ Cho hàm số
 
31
3
x
yC
x




.
Tìm một hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đường thẳng (D):x + y -3 = 0.
12/ Cho hàm số:
3
1
1
3
y x x  
(C) và hai điểm A(0;1), B(3;7) trên (C). Tìm M thuộc cung AB của (C)
sao cho diện tích ΔMAB lớn nhất.
13/ (A-2006): Tìm các gt của m để pt sau có 6 nghiệm pb:
14/(A-2008): Tìm các gt của m để góc giữa 2 t/c của đths sau bằng

15/(B-2009): Với gt nào của m thì pt sau có đúng 6 nghiêm thực pb:

o0o
[CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ *** DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI-HƯNG YÊN]

9