On giai phuong trinh mu

A. Phương trình mũ:
Dạng 1: Đưa về cùng cơ số :

f(x)
a
=
g(x)
a
<=> f(x) = g(x) ( với a >0 , a  1 )

f(x)
a
= b <=>





a
b 0
f(x) log b


v(x)
u
=1 <=>












u(x) 0
u 1
v 0

Bài 1: Giải các pt sau :
a) 2
x4
= 5 <=> x4 =log
2
5 <=> x=4+log
2
5
b) 2
x3
=
 
2
x 3x 5
4
<=> x3=2(x
2
+3x5) <=> 2x
2
+5x7=0 <=>

x 1
7
x
2




 


c) 9
3x1
= 3
8x2
<=> 2
3x 1

=8x2 <=>
3x 1

=4x1
<=>
4x 1 0
3x 1 4x 1
3x 1 (4x 1)
 


  





   


<=>
1
x
4
x 0
2
x
7
















(loại)
<=> x=
2
7

d) 5
2x
=3
2x
+2.5
x
+2.3
x
<=>5
2x
3
2x
=2.5
x
+2.3
x
<=> (5
x
3
x
)(5
x
+3
x
) =2(5

x
+3
x
)
<=> 5
x
3
x
=2 <=> 5
x
=3
x
+2

<=>1=
x
3
5
 
 
 
+2.
x
1
5
 
 
 
(*)
C

1
: + Ta thấy x=1 là nghiệm của pt (*)
+ Nếu x >1 thì
x
3
5
 
 
 
<
3
5

2.
x
1
5
 
 
 
<2.
1
5

=>
x
3
5
 
 

 
+2.
x
1
5
 
 
 
< 1 . Phương trình (*) vô nghiệm
+ Nếu x <1 thì
x
3
5
 
 
 
>
3
5

2.
x
1
5
 
 
 
>2.
1
5

=>
x
3
5
 
 
 
+2.
x
1
5
 
 
 
> 1 . Phương trình (*) vô nghiệm
Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của pt
C
2
: Xét hàm số f(x) =
x
3
5
 
 
 
+2.
x
1
5

 
 
 

Đạo hàm : f’(x) =
x
3
5
 
 
 
.ln
3
5
+2.
x
1
5
 
 
 
.ln
1
5
<0 ,  x  R
=> hàm số nghòch biến trên R
Và f(1) =1
Khi đó pt (*): f(1) = f(x) <=> x=1
e) 2
x

+ 2
x1
+2
x2
= 3
x
3
x1
+3
x2
<=>2
x
(1+
1
2
+
1
4
) = 3
x
( 1
1
3
+
1
9
)
<=>
7
4

.2
x
=
7
9
.3
x
<=>
x
2
3
 
 
 
=
4
9
<=> x=2
f)


x 1/ 2 x
(0,2) (0,04)
5 25
<=>
  

( x 1/ 2) 2x
2
5 5

5
5
<=>5
x3/2
= 5
2x2

<=>x
3
2
=2x2 <=> x=
1
2

g) 
2
3
log x
1
2
64
. Đk x > 0
<=>


2
3
log x
6
2 2

<=>
2
3
log x
=6 <=>log
2
x =
1
2
<=>x=
1
2
2

=
1
2

h) 2
x
.3
x1
.5
x2
=12<=>
x x x
2
2 .3 .5
3.5
=12 <=>30

x
= 900 <=>x=2
i)
 
2
x 6x 5/ 2
2
= 16
2
<=>
 
2
x 6x 5/ 2
2
=2
9/2
<=>x
2
6x 
5
2
=
9
2

<=>x
2
6x 7=0 <=> x=1 x=7
k)


 
2
2 4 x
(x 2x 2) =1. Đk : 4x
2
≥0 <=> 2 ≤ x ≤ 2
pt :
2
2
x 2x 2 1
4 x

  



<=>
x 1
x 2



 

( thỏa)
l) 7
3x
+9.5
2x
= 5

2x
+9.7
3x
<=> 9.5
2x
 5
2x
=9.7
3x
7
3x
<=>8.5
2x
=8.7
3x
<=>5
2x
=7
3x

<=>
x
2
3
5
7
 
 
 
=1 <=>x =0

Dạng 2: Đặt ẩn phụ:
 .
2.f(x)
a
+.
f(x)
a
+  = 0 . Đặt t =
f(x)
a
đk t > 0
Bài 2: Giải các phương trình :
a)

2
x 1
9
36.

2
x 1
3
+243 = 0 . Đặt t=

2
x 1
3
, đk t > 0
Phương trình : t
2

36t +243 =0 <=>
t 27
t 9






Khi t=27 <=>

2
x 1
3
=27 <=>x
2
1=3 <=> x=2
Khi t=9 <=>

2
x 1
3
=9 <=>x
2
1=2 <=> x=
3

Vậy pt đã cho có 4 nghiệm là : x=  2 ; x=
3

b)


x
5
3
+



x 10
10
3
 84=0 <=>


x
5
3
+


 
x
10
10
10
3
3
 84=0

Đặt t=


x
10
3
, đk t >0
Pt : t
2
+
t
3
84=0 <=>
t 9
28
t
3




 


(loại)
.
Khi t= 9 <=>


x

10
3
=3
2
<=>
x
10
=2 <=> x=20
c)
 
2
x x 2
4
5.
  
2
x 1 x 2
2
=6 <=>
 
2
x x 2
4

5
2
.
 
2
x x 2

2
=6
Đk : x
2
2 ≥0 <=> x≤
2
 x≥
2

Đặt t=
 
2
x x 2
2
, đk t > 0
Pt : t
2

5
2
t 6=0 <=> t=4  t=
3
2
( loại)
Khi t=4 <=>
 
2
x x 2
2
=2

2
<=>x+
2
x 2

=2 <=>
2
x 2

=2x
<=>
2 2
2 x 0
x 2 (2 x)
 


  

<=>
2 x
3
x
2








<=> x=
3
2

d)

4x 8
3 4.

2x 5
3 +28 =2
2
log 2
<=>

2(2x 4)
3 4.3.

2x 4
3 +28 =1
Đặt t=

2x 4
3 , đk t >0
Pt : t
2
12t +27=0 <=> t =9  t=3
Khi t=9 <=>


2x 4
3 =3
2
<=>2x+4=2 <=> x=1
Khi t=3 <=>

2x 4
3 =3 <=>2x+4=1 <=> x=
3
2

Vậy pt có hai nghiệm x=1 ; x=
3
2

e)



x
2 3
+



x
2 3
=4 ; vì




x
2 3
.



x
2 3
=1
Đặt t=



x
2 3
, đk t >0
Pt : t +
1
t
=4 <=>t
2
4t +1=0 <=>
t 2 3
t 2 3

 

 




Khi t= 2
3
<=>



x
2 3
=(2+
3
)
1
<=> x=1
Khi t= 2+
3
<=>



x
2 3
=(2+
3
) <=> x=1
Vậy phương trình có hai nghiệm là x=1; x=1
f)




x
3 5
+ 16.



x
3 5
=

x 3
2

Chia hai vế cho 2
x
ta có :
 

 
 
 
x
3 5
2
+16.
 

 
 

 
x
3 5
2
=8
Đặt t=
 

 
 
 
x
3 5
2
, đk t >0
P. trình : t +
16
t
=8 <=>t
2
8t +16=0 <=>t=4 <=>
 

 
 
 
x
3 5
2
=4 <=>x=

3 5
2
log 4


g) (7+
4 3
)
x
3(2
3
)
x
+2 = 0 . Chú ý : (2+
3
)
2
=7+4
3

Đặt t=



x
2 3
, đk t >0
Pt : t
2


3
t
+2=0 <=>t
3
+2t 3=0 <=>(t1)(t
2
+t+3)=0 <=>t=1
Khi t= 1<=>



x
2 3
=1 <=> x=0
h)



x
5 24
+



x
5 24
=10
Đặt t=




x
5 24
; đk t > 0
Pt : t +
1
t
=10 <=> t
2
10t +1=0 <=>
t 5 24
t 5 24

 

 



Khi t= 5
24
<=>



x
5 24
=(5+
24
)

1
<=>
x
2
=1 <=> x=2
Khi t= 5+
24
<=>



x
5 24
=(5+
24
) <=>
x
2
=1 <=> x=2
Phương trình có hai nghiệm là : x=  2
i) 5.4
x
7.10
x
+ 2.25
x
=0 <=> 5.
x
4
25

 
 
 
7.
x
10
25
 
 
 
+2=0
<=>5.
2x
2
5
 
 
 
7.
x
2
5
 
 
 
+2=0 . Đặt t=
x
2
5
 

 
 
; đk t > 0
Ptrình : 5t
2
7t +2=0 <=> t=1  t =
2
5

Khi t=1 <=>
x
2
5
 
 
 
=1 <=> x=0
Khi t=
2
5
<=>
x
2
5
 
 
 
=
2
5

<=> x=1
Phương trình có hai nghiệm là : x= 0; x=1
k) 4
x
+4
x
+ 2
x
+2
x
= 10 <=>4
x
+
x
1
4
+2
x
+
x
1
2
=0
Đặt t=2
x
+
x
1
2
; đk t ≥ 2 và t

2
=4
x
+
x
1
4
+2.2
x
.
x
1
2
=> 4
x
+
x
1
4
=t
2
2
Pt : t
2
2 +t =10 <=> t
2
+t12=0 <=> t=3  t=4 ( loại)
Khi t=3 <=>2
x
+

x
1
2
=3 <=> 2
2x
3.2
x
+1=0 <=> 2
x
=
3 5
2

(thỏa)
<=>x= log
2
3 5
2


Bài 3: Giải phương trình :
a) 5
2x
7
x
35.5
2x
+35.7
x
= 0<=> 34.5

2x
+34.7
x
=0 <=> 7
x
=5
2x
<=> x =0
b) x
2
.2
x+1
+2
x3+2
= x
2
.2
x3+4
+ 2
x1

<=> x
2
.2
2
(2
x1
2
x3+2
) +2

x3+2
2
x1
=0
<=>(2
x1
2
x3+2
)(x
2
.4 1) =0 <=>
2
x 3 2
x 1
4x 1 0
2 2 0
 


 

 


<=>
1
x
2
x 3 2 x 1


 


   



<=>
1
x
2
x 3 x 3

 


  


<=>
1
x
2
x 3 0

 


 


<=>
1
x
2
x 3

 





c) 2x.5
x
3 = 6x 5
x
<=> 2x(5
x
3) +5
x
3=0 <=> (5
x
3)(2x+1)=0
<=>
x
5 3 0
2x 1 0

 


 

<=>
5
x 3
1
x
2
log




 



d) (x
2
+x)2
x
= 2
x+1
+6 3x
2
3x <=> (x
2
+x2)2
x
+3(x

2
+x2) =0
<=> (x
2
+x2)(2
x
+3)=0 <=> x
2
+x2=0 ( vì 2
x
+3 > 0 )
<=> x=1  x=2
Dạng 3: Logarít hóa hai vế
A = B <=> 
a a
log A log B

A> 0 , B > 0
Bài 4: Giải phương trình :
a)


x 5
x 7
32
= 0,25.


x 7
x 3

128

Giải : Đk : x≠ 7; x≠ 3
Pt :
x 5
5
x 7
2

 
 

 
=2
2
.
x 7
7
x 3
2

 
 

 
<=>
x 5
5
x 7
2


 
 

 
=
x 7
7 2
x 3
2

 

 

 
<=>
5(x 5)
x 7


=
7(x 7)
x 3


2
<=> (5x+25)(x3) =(7x+49)(x7) 2(x7)(x3)
<=> 5x
2

+10x75 = 7x
2
343 2( x
2
10x +21)
<=> 10x =310 <=> x=31
b)


2
x 2x x
3
2 .3
2

Lấy logarít cơ số 2 hai vế : log
2
(

2
x 2x x
2 .3
) =log
2
3
2

<=> log
2
(


2
x 2x
2
) + log
2
x
3
=log
2
3 log
2
2 <=> x
2
2x +x.log
2
3 = log
2
3 1
<=> x
2
+(2+log
2
3).x +1log
2
3 =0
Ta có  =(2+log
2
3)
2

4(1log
2
3) = 44.log
2
3

+ (log
2
3)
2
4 +4log
2
3=(log
2
3)
2

Pt có hai nghiệm là : x=1  x=1log
2
3
c) 5
x
.

x 1
x
8
=500 ; đk x ≠ 0
Lấy logarít cơ số 2 hai vế : log
2

5
x
+ log
2

x 1
x
8
=log
2
(5
3
.2
2
)
<=> x.log
2
5 +3.
x 1
x

=3log
2
5 +2 <=>x
2
.log
2
5

+3x3 =3x.log

2
5+2x
<=> x
2
.log
2
5

+(13log
2
5).x 3=0
Ta có  =(13log
2
5)
2
4(3)log
2
5 =16.log
2
5+9.(log
2
5)
2
+12.log
2
5

=(1+3log
2
5)

2

Pt có hai nghiệm là :
2 2
2
2 2
2
1 3 5 1 3 5
x
2 5
1 3 5 1 3 5
x
2 5
log ( log )
.log
log ( log )
.log
   





   



<=>
2
1

x
5
x 3
log









<=> x= log
5
2  x=3
d)



3
log x 1
x
=3 . Đk x> 0
Lấy logarit cơ số 3 hai vế : log
3



3

log x 1
x
=log
3
3
<=> (log
3
x 1).log
3
x
=1<=>
1
2
(log
3
x 1).log
3
x =1 <=> (log
3
x)
2
log
3
x 2=0
<=>
3
3
x 1
x 2
log

log
 




<=>
1
x
3
x 9








e)

2
log x 4
x
=32 ; đk x >0
Lấy logarit cơ số 2 hai vế : log
2


2

log x 4
x
=log
2
32 <=>(log
2
x +4).log
2
x=5
<=> (log
2
x)
2
+4.log
2
x 5=0 <=>
2
2
x 1
x 5
log
log



 

<=>
5
x 2

x 2






<=>
x 2
1
x
32








f)
2
2log x
x
=10x
3
; đk x >0
Lấy logarit cơ số 10 hai vế : log
2
2log x

x
=log(10x
3
)<=>2(logx)
3
=1+3.logx
<=>2(logx)
3
3.logx1=0 <=>(logx+1)(2log
2
x 2logx 1) =0
<=>
2
x 1 0
2 x 2 x 1 0
log
log log
 


  

<=>
x 1
1 3
x
2
log
log
 








<=>
1 3
2
1
x
10
x 10










g) 2
x+3
.5
34x
=16
Lấy logarit cơ số 2 hai vế : log

2
2
x+3
+ log
2
5
34x
=log
2
16
<=> x+3 +(34x)log
2
5

=4 <=> (14.log
2
5).x = 13log
2
5 <=> x=
2
2
1 3 5
1 4 5
log
log



h) 3
x

.

x
x 2
8
=6 <=> log
3
(3
x
.
x
x 2
8

)=log
3
6

đk x ≠ 2
<=> log
3
3
x
+ log
3
x
x 2
8

= log

3
2

+ log
3
3
<=> x+
3x
x 2

log
3
2 = log
3
2 +1 <=> x
2
+2x + 3x.log
3
2 =(x+2)( log
3
2

+1)
<=> x
2
+(1+2log
3
2)x 2log
3
2

2=0
Ta có  = ( 1+2log
3
2)
2
4( 2log
3
2 2) = 1+ 4log
3
2 +4


2
3
log 2
+ 8log
3
2 +8
= (3+ 2.log
3
2 )
2

Suy ra nghiệm phương trình là :
x=
3 3
(1 2log 2) (3 2log 2)
2
   

=2 
3
2log 2
hoặc x=1
Dạng 4: Đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất :
Bài 5: Giải các phương trình sau :
a) 3
x
+4
x
=5
x

Giải : Viết lại :
x
3
5
 
 
 
+
x
4
5
 
 
 
=1 (*)
Xét hàm số f(x) =
x

3
5
 
 
 
+
x
4
5
 
 
 
, x  (∞ ; +∞ )
Đạo hàm : f’(x) =
x
3
5
 
 
 
ln
3
5
+
x
4
5
 
 
 

ln
4
5
< 0
=> hàm số nghòch biến trên (∞ ;+∞ ) và f(2) =1
Phương trình (*) <=> f(x) =f(2) => x=2
b) 1+
x
2
3
=2
x
<=> 1=
x
3
2
 
 
 
 
+
x
1
2
 
 
 
<=>
x
3

2
 
 
 
 
+
x
1
2
 
 
 
1=0 .
Đặt f(x) =
x
3
2
 
 
 
 
+
x
1
2
 
 
 
1
Ta có : f ‘(x) =

x
3
2
 
 
 
 
ln
3
2
+
x
1
2
 
 
 
ln
1
2
< 0
Hàm số nghòch biến trên R và f(2) = 0
Phương trình viết lại là : f(x) = f(2) <=> x=2
c) 2
x
+3
x
= 5
x
<=>

x
2
5
 
 
 
+
x
3
5
 
 
 
=1 (*)
Xét hàm số f(x) =
x
2
5
 
 
 
+
x
3
5
 
 
 
, x  (∞ ; +∞ )
Đạo hàm : f’(x) =

x
2
5
 
 
 
ln
2
5
+
x
3
5
 
 
 
ln
3
5
< 0
=> hàm số nghòch biến trên (∞ ;+∞ ) và f(1) =1
Phương trình viết lại là : f(x) = f(1) <=> x=1
d) 3
x
= cos
x
. Đk x 0
Khi đó : VT =3
x
 3

0
=1 ; VP = cos
x
 1
Vậy pt <=>
x
3 1
x 1
cos







<=> x =0
e) 3
x
= 63x<=> 3
x
+3x =6 (*)
Đặt f(x) =3
x
+3x ; f’(x) = 3
x
.ln3 +3 >0 , x  R và f(1) =6
Phương trình (*) viết lại là : f(x) = f(1) <=> x=1
f)  
2 3

log (1 x) log x
; đk x  0
Đặt t= log
3
x =t <=> x =3
t
(1)
Và khi đó : 
2
log (1 x)
=t <=> 1+
x
=2
t
(2)
Thay (1) vào (2) ta có : 1+
t
3
=2
t
<=>
t
3
2
 
 
 
 
+
t

1
2
 
 
 
=1
Đặt f(t) =
t
3
2
 
 
 
 
+
t
1
2
 
 
 

Ta có : f ‘(t) =
t
3
2
 
 
 
 

ln
3
2
+
t
1
2
 
 
 
ln
1
2
< 0
Hàm số nghòch biến trên R và f(2) = 1
Phương trình viết lại là : f(t) = f(2) <=> t=2 . Suy ra x=3
2
=9
Bài 6: Giải phương trình :
a)
 
2
log x logx
10 x 20
. Đk x>0 . Chú ý :
2
log x
10
=



logx
logx
10 =x
logx

Pt <=> 2.
2
log x
10
=20 <=>
2
log x
10
=10 <=> log
2
x =1 <=>
x 1
x 1
log
log



 

<=>
x 10
1
x

10








b)
2
3
log x
3
+
3
log x
x
=162. Đk x>0 . Chú ý :
2
3
log x
3
=


3
3
log x
log x

3 =
3
log x
x

Ptrình <=> 2.
2
3
log x
3
=162 <=>
2
3
log x
3
=3
4
<=>
2
3
x
log
=4
<=>
3
3
x 2
x 2
log
log




 

<=>
x 9
1
x
9








c) x
2
+(32
x
)x +2(12
x
) = 0 <=> x
2
+3x+2 2
x
(x+2) =0
<=> (x+1)(x+2) 2

x
(x+2) =0 <=> (x+2)(x+12
x
) =0 <=>
x
x 2 0
x 1 2 0
 


  


TH1: x+2 =0 <=> x =2
TH2: x+12
x
=0 Đặt f(x) =x+1 2
x
; f’(x) =1 2
x
.ln2 ; f’’(x) = 2
x
(ln2)
2
< 0
=> hàm số f’(x) nghòch biến trên R
Vì f ’(0) =1ln2 > 0 ; f ‘(1) =12ln2 <0
Nên trong khoảng (0;1)
phương trình f ‘(x) =0 có duy nhất nghiệm x= α
Bảng biến thiên :

x ∞ 0 α 1 +∞
f ‘(x) + 0 
f(x) CT
∞ ∞
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm
Mặt khác : f(0) =0 ; f(1) = 0
=> phương trình (2) có hai nghiệm là x=0 ; x=1
Vậy pt ban đầu có 3 nghiệm là x =2; x=0 ; x=1
c) 27
x
13.9
x
+13.3
x+1
27 = 0 <=>27
x
13.9
x
+13.3.3
x
27 = 0
Đặt t= 3
x
, đĐk t >0
Phương trình : t
3
13t
2
+39.t 27 =0 <=>
t 9

t 1
t 3








<=>
x 2
x
x
3 3
3 1
3 3









<=>
x 2
x 0
x 1










Phương trình có 3 nghiệm là : {0;1;2}
d)
 

2
x 8x 7
x 3 = (x3)
2
. Đk :
x 3

>0 <=> x≠ 3
Phương trình :
2
x 3 1
x 8x 7 2
  

  



<=>
2
x 3 1
x 3 1
x 8x 9 0

 

  


  

<=>
x 4
x 2
x 1
x 9






 




Phương trình ban đđầu có nghiệm là : x  {1;2;4;9}

e) 2
3x

3x
8
2
6.(2
x

x
2
2
) =1 . Hằng đđẳng thức : (ab)
3
= a
3
b
3
3ab(ab)
Đặt t= 2
x

x
2
2
; t
3
=2
3x


3x
8
2
3.2
x
.
x
2
2
(2
x

x
2
2
) =2
3x

3x
8
2
6t
Suy ra : 2
3x

3x
8
2
=t
3

+6t
Phương trình trở thành: t
3
+6t 6t =1 <=> t=1 <=>2
x

x
2
2
=1 <=> 2
2x
+2
x
2=0
<=> 2
x
=1  2
x
=2 ( loại) <=> 2
x
=1 <=> x=0
f) 3.25
x2
+(3x10).5
x2
+3x = 0 <=> 3.25
x2
10.5
x2
+3 +3x.5

x2
x =0
<=> (3.5
x2
1)(5
x2
3) +x(3.5
x2
1) =0 <=>(3.5
x2
1) (5
x2
3+x ) =0
<=>
x 2
x 2
3.5 1 0 (1)
5 3 x 0 (2)



 

  



Giải (1) : 3.5
x2
1=0 <=> 5

x2
=
1
3
<=> x2 = log
5
1
3
<=> x=2 log
5
3

Giải (2): đđặt f(x) = 5
x2
3+x ; f ’(x) = 5
x2
.ln5 +1 > 0
=> Hàm số đđồng biến trên tập xác đđịnh và f(2) = 5
0
3+2 =0
Phương trình (2) <=> f(x) = f(2) <=> x =2
Vậy pt ban đầu có hai nghiệm là : x=2log
5
3

; x=2
g)
2
x x
4


+
2
1 x
2

=
2
(1 x)
2

+1 <=>
2
2x 2x
2

+
2
1 x
2

=
2
x 2x 1
2
 
+1
<=>
2
2x 2x

2


2
x 2x 1
2
 
+
2
1 x
2

1=0 <=>
2
2x 2x
2

(1
2
1 x
2

)+(
2
1 x
2

1)=0
<=> (1
2

1 x
2

)(
2
2x 2x
2

1) =0 <=>
2
2
1 x
2x 2x
2 1 0
2 1 0



 


 

<=>
2
2
1 x
2x 2x
2 1
2 1










<=>
2
2
1 x 0
2x 2x 0

 

 


<=>
x 1
x 0 x 1
 


   

.
Vậy phương trình có ba nghiệm : x =  1; x=0