Đề cương ôn tập toán lớp 12
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (352.79 KB, 45 trang )
Chương 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
Bài 1 : Hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến.
( )
f x
1. Điều kiện đủ
•
( )
f x
!"
( )
a b
#$"% !"
( )
a b
•
( )
f x
& !"
( )
a b
#"'% !"
( )
a b
2. Điều kiện cần.
• $"% !"
( )
a b
⇒
( )
f x
≥
!"
( )
a b
• "'% !"
( )
a b
≤⇒
xf
!"
( )
a b
Chú ý: Dấu bằng của đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm x
0
∈
(a; b) hoặc không xảy ra trên (a;b).
3. Các bước xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số.
• Bước 1: (#)*+,'-
• Bước 2:(./-
o 0%!%*12"#/#,"%3
x
o (#,%4
x
5 6"7 6"+,'
• Bước 3:8)*!"%%
o 9:;!"%% 5)$"%;"'%
Chú ý
( )
f x
=
#
x
5"%3-*12"#
( )
f x
=
4. Định lí về dấu tam thức bậc hai
( ) ( )
<
+ = f x a bx c a
= + + ≠
•
<∆
#
( )
f x
+
<
>+>56?"@A;B%=
x
∀ ∈
¡
•
=∆
#
( )
f x
56?"@A;B%=
a
b
x
<
−≠∀
•
>∆
#
( )
f x
%"%3+
C
=+
<
;
( )
C <
x x
<
D%!"+E@A
+F
∞
+
C
+
<
>
∞
G+?"@A(,%@A?"@A
Chú ý:H)
( )
I
+f x bx
= +
I"%3*J%3
( )
C < I C < I
=+ = + x x x x
< <
(#!"+E@A
+F
∞
+
C
+
<
+
I
>
∞
G+?"@AKL%@AKL%@AKL%@A
C
C
Ví dụ 1:ME.$"%;"'%-,
C
I <
I Ny x x
= + −
<
I
I Cy x x
= − + −
I
I <
I I Cy x x x
= + + +
N
I
I Cy x x
= − − +
O
N <
< Cy x x
= − +
P
N <
< Ny x x
= − +
Q
N <
Cy x x
= + +
R
N <
<y x x
= − −
S
< C
I
x
y
x
+
=
+
C
N
I
x
y
x
+
=
+
CC
<
I
x
y
x
=
−
C<
N
I
y
x
=
−
BTVN:ME.$"%;"'%-,
C
I <
< Iy x x
= −
<
I
Iy x x
= − +
I
I
< Cy x x
= + +
N
I
Cy x
= +
O
N <
<y x x
= −
P
N <
< N <y x x
= − + −
Q
N <
y x x
= +
R
N <
<y x x
= − −
S
< <
I
x
y
x
−
=
+
C
I <
C
x
y
x
+
=
+
CC
<
N Iy x x
= − +
C<
C <y x x
= − − −
CI
<
C
C
x x
y
x
+ −
=
−
CN
<
< I
<
x x
y
x
− − +
=
+
CO
<
O CO
I
x x
y
x
+ +
=
+
CP
N
C
<
f x x
x
= − + −
+
Bài 2: Cực trị của hàm số
1. Định nghĩa
G++,';5%T;
( )
x a b
∈
a.$%G+&G+
=
hxhxx
+−∈∀
;+
x
≠
#%G+
:%%+
b.$%G+G+
=
hxhxx
+−∈∀
;+
x
≠
#%G+
:%4%+
2.Định lí 1:
0%!UG+5%T !"D+
V+
>;D7DWX+
Y=
;B%D%
<
<
a.
+∈∀<
=∈∀>
=
=
hxxxxf
xhxxxf
#+
5%4:%-G+
b.
+∈∀>
−∈∀<
==
=
hxxxxf
xhxxxf
#+
5%4:%4-G+
3. Định lí 2:
0%!UG+A*%";
( )
x a b
∈
D%
a.
Z
f x
f x
=
>
#+
5%4:%4-G+
b.
Z
f x
f x
=
<
#+
5%4:%-G+
4. Quy tắc tìm cực trị của y = f(x
a. Quy tắc 1:
• (#)*+,'-
• (.G/+(#,%4%G/+7G/+ 6"+,'
• 8)*!"%%([!"%%,%4:'
b. Quy tắc 2.
• (#)*+,'-
• (.G/+0%!%*G/+; .%3+
%
%C=<=I\5,"%3-
• (.G]+;G]+
%
• 9:;@A-G]+
%
.A:'-+
%
Câu hỏi:(#%^_#:'-`
5. Chú ý:
• :%;:%41a"b%5:'-
• c:'%+
#
( )
f x
=
.
• :%%
x
#
Z
f x
f x
=
<
• :%4%
x
#
Z
f x
f x
=
>
• c56$"%756"'%# 6":'
• c)
( )
I <
+ = y bx cx d
= + + + ≠
o /<"%3*J%3#56%:'
o /"%3 E*7;6"%3# 6":'
• c?"*12"
( )
N <
+ = y bx c
= + + ≠
o ;?"@A#de:'
I
I
o ;,%@A#:'
Câu hỏi :(#fg;h:'-`
Ví dụ:(#,:'-,J
C
I <
I Ny x x
= − − +
<
I
I <y x x
= − +
I
I <
I Iy x x x
= − +
N
I
Cy x x
= − − +
O
N <
<y x x
= − +
P
N <
< N Cy x x
= − +
Q
N <
y x x
= − −
R
N <
< Iy x x
= + −
S
I Cx
y
x
+
=
C
Nx
y
x
+
=
−
CC
<
<
x
y
x
=
−
C<
<
<
x
y
x
−
=
BTVN:(#,:'-,J
C
I <
< Iy x x
= −
<
I
Iy x x
= − +
I
I
< Cy x x
= + +
N
I
Cy x
= +
O
N <
<y x x
= −
P
N <
< N <y x x
= − + −
Q
N <
y x x
= +
R
N <
<y x x
= − −
S
< <
I
x
y
x
−
=
+
C
I <
C
x
y
x
+
=
+
CC
<
N Iy x x
= − +
C<
C <y x x
= − − −
CI
<
C
C
x x
y
x
+ −
=
−
CN
<
< I
<
x x
y
x
− − +
=
+
CO
<
O CO
I
x x
y
x
+ +
=
+
CP
N
C
<
f x x
x
= − + −
+
Bài 3:Đường tiệm cận.
Cách tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm phân thức hữu tỉ:
P x
Q x
.
Tiệm cận đứng:
F 0%!%*12"#i+
F *12"#i+;6"%3# 5)j 6"%3)H"
F *i+"%3++
%
#.
5%
i
x x
P x
Q x
→
5%
i
x x
P x
Q x
→
= +∞
7
5%
i
x x
P x
Q x
→
= −∞
#++
%
5%3)H"
N
N
5%
i
x x
P x
Q x
→
≠ ±∞
#++
%
6"5%3)H"-$'
Tiệm cận ngang:
F )-k+&)-i+#Tl+5%3)""
F )-k+)-i+(.
5%
x
a
P x
Q x b
→±
=
µ
#
a
y
b
=
5%3)""=
"
=
12"H"53-"U)A-k+;i+
Chú ý: ,#%3)H";""-A%
+ b
y
cx d
+
=
+
.
0%!%*
d
cx d x
c
+ = ⇔ = −
(%3)H"
d
x
c
= −
;#
5%
d
x
c
y
→ −
÷
= ±∞
=fg*!%."%B%,%;*!%
(%3)""
a
y
c
=
vì
5%
x
a
y
c
→± ∞
=
.
Ví dụ 1: (#1m"%3)H";""-,
C
<
C
x
y
x
−
=
−
<
< C
< <
x
y
x
−
=
−
I
N <
< N
x
x
−
−
N
<
C
y
x
=
−
O
C
C
I
y
x
= −
−
Ví dụ 2: (#1m"%3)H";""-,
C
<
I
N
x
y
x
+
=
−
<
<
C
C
x
y
x
−
=
−
I
<
<
C
N
x x
y
x
− +
=
−
N
<
<
C
x
y
x
+
=
−
O
I
I
C
C
x
y
x
+
=
−
Bài 4 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
CCác bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi hàm số
• Bước 1(#)*+,'
=
D ?
• Bước 2:n:%%
o (.
y' ?
=
o
= ⇔ =
y' 0 x ?
#"%3
o 8)*!"%%(ghi đầy đủ mọi chi tiết).
D5)K$"%="'%%h%%-
D5)oh:'-
D5),"%B%D5),%3)
O
O
o M,'.%+H"
(J%+H"p-)5"%4q"%:%;
:%4
(J%+H"p-A%5"%%4-%%3)
c?"*12"%+H"^T"l
• Bước 3:K$'
o M,'"%%4-$';B%%Tbe
0%%4-;B%l
x 0 y ?
= ⇒ =
0%%4-;B%l+
y 0 x ?
= ⇔ =
K%4\\\
o or$'
2. Hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a
≠
"%3-/ &
• /
%"%3
*J%3
2
-2
O
2
-2
• /
"%3 E*
2
2
• /;6
"%3
2
4
2
Ví dụ : D!,;;r$'-
C
I <
I Ny x x
= − − +
<
I
I <y x x
= − +
I
I <
I I Cy x x x
= − + −
N
I
<y x x
= − − +
P
P
O
I <
P Sy x x x
= − + −
P
I
< P Ny x x
= − +
Q
I
I Ny x x
= + −
R
I
< <y x
= − +
BTVN:D!,;;r$'-
C
I <
< Iy x x
= −
<
I
Iy x x
= − +
I
I
< Cy x x
= + +
N
I
Cy x
= −
O
I <
< Iy x x
= − +
P
I
Iy x x
= −
Q
I
<y x x
= − −
R
I
<y x
= +
Câu hỏi ôn tập:
Câu 1:(.$"%;"'%-`,1B+E.$"%;"'%`
Câu 2:i_#:'-`
Câu 3 : ,1B !,;;r$')`,@"$'-)`
Câu 4(#chú ý;h.$"%="'%;:'-`
3. Hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c (a
≠
.
&
• /
"%3
*J%3
-2
2
• /
e"%3
+
2
-2
Ví dụ: : D!,;;r$'-
C
N <
<y x x
= − +
<
N <
< N Cy x x
= − +
I
N <
y x x
= − −
N
N <
< Iy x x
= + −
O
N <
N Iy x x
= − +
P
N <
P Oy x x
= − +
Q
N <
< Iy x x
= − +
R
N <
< <y x x
= − − −
BTVN: : D!,;;r$'-
Q
Q
C
N <
< <y x x
= − +
<
N <
< N <y x x
= − + −
I
N <
<y x x
= − − +
N
N <
< Cy x x
= + −
O
N <
N Iy x x
= − + −
P
N <
P Oy x x
= − + −
Q
N <
< Iy x x
= − − −
R
N <
Ny x x
= + −
Câu hỏi: ,1B !,;;r$'?"*12"`,@"$'-?"*12"`
4. Hàm số nhất biến: y =
ax b
cx d
+
+
. K%h %3
= c ad bc
≠ − ≠
9@V 9@V&
4
2
4
2
-2
Ví dụ:D!,;;r$'-
C
< <
C
x
y
x
+
=
−
<
C
<
x
y
x
+
=
−
I
<
C
x
y
x
=
−
N
N
<
y
x
=
−
O
< I
<
x
y
x
−
=
−
P
< C
<
x
y
x
+
=
−
Q
<
x
y
x
=
+
R
<
C
y
x
−
=
−
BTVN:D!,;;r$'-
C
< C
C
x
y
x
+
=
+
<
C
<
x
y
x
−
=
+
I
<
C
x
y
x
−
=
+
N
<
<
y
x
−
=
+
R
R
O
< I
<
x
y
x
+
=
+
P
< C
< C
x
y
x
−
=
+
Q
C
x
y
x
−
=
−
R
C
<
y
x
−
=
−
Câu hỏi:,1B !,;r$'A%`,@"$'A%`
Bài 5: Bài toán liên quan đến đồng biến, nghịch biến, cực trị và đồ của thị hàm số.
Vấn đề 1:Bài toán liên quan đến đồ thị.
Dạng 1:Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị (C).
F
( )
y f x=
$'
F Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình
( )
f x m
=
?
o s%L%*12"#
( )
f x m
=
;h@"
( ) ( )
f x g m=
o Trong đó:
( )
y f x=
$'
( )
y g m
=
5e1m"q"@"";B%T
o n"%3-*12"#
( ) ( )
f x g m
=
.t""%%4-$';
1m"q"@
o 9:;$'5)*!"
( )
g m
n"%%4-
@;
n"%3-
*12"#
S
S
( )
g m
K
( )
g m
K
( )
g m
(
( )
g m
&(
(&
( )
g m
&K
Ví dụ 1:
I <
I Cx x
− +
$'
CD!,:%%;;r$'-j
<9:;$'%35)"%3*12"#
I <
I C x x m
− − + =
I9:;$'%35)"%3*12"#
I <
< P < < x x m
− + + =
Ví dụ 2:
I
C
I
N
x x
−
$'
CD!,:%%;;r$'-j
<9:;$'%35)"%3*12"#
I
C< N N x x m
− + − =
BTVN:
I <
P S Cx x x
− + −
$'
CD!,:%%;;r$'-j
<9:;$'%35)"%3*12"#
I <
P Sx x x
− +
>
I9:;$'%35)"%3*12"#
I <
P Sx x x
− + −
><
Ví dụ 3:
N <
<x x
−
$'
CD!,:%%;;r$'-j
<9:;$'%35)"%3*12"#
N <
<x x
− +
><FN
I9:;$'%35)"%3*12"#
N <
C C
N <
x x
−
F>
C
<
Ví dụ 4:
N <
< Cx x
− +
$'
CD!,:%%;;r$'-j
<9:;$'%35)"%3*12"#
N <
<x x
−
F<>
I9:;$'%35)"%3*12"#
N <
<x x
− +
><FC
BTVN:
N <
<x x
− +
$'
CD!,:%%;;r$'-j
<9:;$'%35)"%3*12"#
N <
<x x
−
F<>
C
C
I9:;$'%35)"%3*12"#
N <
<x x
− +
><FN
Ví dụ 5:
C
C
x
y
x
−
=
+
$'
CD!,:%%;;r$'-j
<9:;$'%35)"%3*12"#
C
C
x
x
−
+
I9:;$'%35)"%3*12"#
C
C
x
x
−
+
FC>
Ví dụ 6:
<
C
x
y
x
−
=
−
$'
CD!,:%%;;r$'-j
<9:;$'%35)"%3*12"#
<
C
x
x
−
−
I9:;$'%35)"%3*12"#
<
C
x
x
−
−
FC><
Câu hỏi:,1B%35)"%3*12"#t"$'`
Dạng 2:Tìm tham số m để đường thẳng song song trục hoành cắt đồ thị (C).
F
( )
y f x=
$'
F 1m"q"@
( )
y g m
=
"";B%T
o Tìm tham số m để đường thẳng d cắt đồ thị (C)?
o Cách giải:9@""T@:;$%
Ví dụ 1:
I <
P Sx x x
− + −
$'
CD!,:%%;;r$'-j
<(#41m"q">C_$'%%4*J%3
I(#41m"q"CF<_$'%%%4*J%3
N(#41m"q"FN_$'%e%4@A
Ví dụ 2:
N <
< N <x x
− +
$'
CD!,:%%;;r$'-j
<(#41m"q">C_$'%%4*J%3
I(#41m"q"CF<_$'%%4*J%3
N(#41m"q"FN_$'%%%4*J%3
BTVN 1:
I
< Px x
− +
$'
CD!,:%%;;r$'-j
<(#41m"q">C_$'%%4*J%3
I(#41m"q"CF<_$'%%%4*J%3
N(#41m"q"FN_$'%e%4@A
BTVN 2:
N <
< Nx x
− +
$'
CD!,:%%;;r$'-j
CC
CC
<(#41m"q">C_$'%%4*J%3
I(#41m"q"CF<_$'%%4*J%3
N(#41m"q"FN_$'%%%4*J%3
Câu hỏi:,1B#4e1m"q"""T_$'%
%4jd`
Vấn đề 2:Tìm giao điểm của hai đồ thị.
Dạng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C).
o
y f x
=
$%;1m"q"@
y g x
=
o Tìm giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d?
Cách giải:
F Bước 1:8)**12"#e"%%4
f x g x
=
u
F Bước 2: n"%3*ut";B%"%%4-;@
o *ue"%3#_@%e%4
o *u%"%3#_@%%%4
o *u"%3#_@%%4
o *u"%3#_@%%4
o *u;6"%3# 6"_@
Chú ý:,#"%%4-%$'
o
y f x
=
$%
C
;
y g x
=
$'
<
o Tìm giao điểm của (C
1
) và (C
2
)?
Cách giải:
F Bước 1:8)**12"#e"%%4
f x g x
=
u
F Bước 2: n"%3*ut";B%"%%4-
C
;
<
Ví dụ 1: (#"%%4-$'
< C
C
x
y
x
+
=
−
;1m"q"+F>I
Ví dụ 2: (#"%%4-$'
< C
<
x
y
x
+
=
−
;1m"q"FO+><
Ví dụ 3: (#"%%4-$'
I <
P R Cy x x x
= − + +
;1m"q"+>FC
Ví dụ 4: (#"%%4-$'
N <
< Cy x x x
= − + +
;1m"q"<+F>C
BTVN
C (#"%%4-$'
< C
<
x
y
x
+
=
−
;1m"q"+F
< (#"%%4-$'
I <
I I Ny x x x
= + + −
;1m"q"I+FFN
I (#"%%4-$'
I <
I Cy x x
= − +
;1m"q"+F<
N (#"%%4-$'
I
N Iy x x
= −
;1m"q"+><
C<
C<
Ví dụ 5:(#"%%4-%1m""
C
N < <
< C= < Cy x x y x
= − + = +
<
N < <
< C= < <y x x y x
= − + = −
I
<
<
= C
<
y y x
x
= = +
−
N
< N
C
x
y
x
− −
=
+
=
<
Ny x
= −
O
< <
< I= <y x x y x x
= + − = − − +
P
I <
< I Cx x
+ +
=<+
<
>C
Câu hỏi:,1B#"%%4-1m"q"@;1m""
Dạng 2: Biện luận số giao điểm theo tham số m.
o
y f x m
=
$%
C
;1m"q"@
y g x m
=
o Tìm giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d?
Cách giải:
F Bước 1:
o 8)**12"#e"%%4
f x m g x m
=
u
o ("b*12"#e"%%4
F Bước 2:
o n"%3*ut";B%"%%4-;@
o 9:;*12"#e"%%4%35)"%%4v
Ví dụ 1:
N
N
y
x
=
−
$';1m"q"@+F<s%35)v"%
%4-;@
Ví dụ 2:
C
x
y
x
=
−
$';1m"q"@+>C(#41m"q"@_
$'%%%4*J%3
Ví dụ 3:(#4$'
( )
I <
I < Iy x x m x
= − + −
_T%%4*J%3
BTVN:
Câu 1: (#41m"q"+>_$'
<
<
x
x
−
=
+
%%%4*J%3
Câu 2: (#41m"q"+>_$'
<
<
x
x
−
=
+
%%%4*J%3e%
, ,
Câu 3:(#4$'
( ) ( )
I <
< C Cy mx m x m x
= − − + +
_T%%4*J%3
Câu 4:(#41m"q"
R
I
y mx
= +
_$'
I <
< R
N
I I
y x x x
= − − +
%I%4*J%3
Câu 5:(#4$'
N <
< Cy x mx
= − +
_T%%4*J%3
CI
CI
Ví dụ 3: H"%t"$'-
C
C
x
x
−
+
5656_1m"q"@F+;B%
b%"%,'
Ví dụ 4:H"%t"$'-
<
N
C
x x
y
x
− +
=
−
5656_1m"q"@
<+>;B%b%"%,'
BTVN
Câu 1: H"%t"1m"q"@F+>5656_$'-
< C
<
x
x
+
+
%%
%4*J%3
Câu 4:H"%t"1m"q"<+>_$'
< <
C
x
x
+
=
−
%%%4*J%3e
%, ,
Câu 5:H"%t"1m"q"+>_$'
<
<
x
x
+
=
−
%%%4*J%3e
%, ,
Câu hỏi:,1B%35)"%%4-$';1m"q"@
Câu hỏi:,1BH"%1m"q"_$'%%%4*J%3`
Vấn đề 3: Phương trình tiếp tuyến.
o Có hai dạng phương trình tiếp tuyến.
(%*%%4
( )
M x y
t$'-
(%*3" 1B
o Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến và hệ số góc của tiếp tuyến.
(#%4e$'wj;h.A-3"
(#wj;h.A-3"
• Các dạng phương trình tiếp tuyến:
Dạng 1: (%*%%4
( )
M x y
e$'
Bước 1:
k12"#%*%%4
( )
M x y
@"
y f x x x y
= − +
C
Bước 2:
o h+
#.
.3"5
f x
o h
#.+
.3"5
f x
Bước 3:
(+
=
;
f x
;*12"#
y f x x x y
= − +
"b1a*
CN
CN
Chú ý:,1m"a*
• (%*tại giao điểm-$';B%T"
o (
x
=
=.
y
• (%*tại giao điểm-$';B%T
o (
y
="%!%*12"##
x
• (%*tại giao điểm-$';1m"q"@
o Bước 1:("%!%*12"#e"%%44#"%%4-@;
o Bước 2:o%*12"#%*tại,"%%4;[#1a
Ví dụ 1:
I <
I Ny x x
= + −
$'
C o%*12"#%*%%4et"F<
< o%*12"#%*%%4"et"FN
I o%*12"#%*%"%%4-$';T"
N o%*12"#%*%"%%4-$';T
BTVN:
I <
I Ny x x
= − − +
$'
C o%*12"#%*%%4et"F<
< o%*12"#%*%%4"et"N
I o%*12"#%*%"%%4-$';T"
N o%*12"#%*%"%%4-$';T
Ví dụ 2:
N <
< Cy x x
= − +
$'
C o%*12"#%*%%4et"F<
< o%*12"#%*%%4"et"C
I o%*12"#%*%"%%4-$';T"
N o%*12"#%*%"%%4-$';T
BTVN:
N <
< Cy x x
= − + −
$'
C o%*12"#%*%%4et"F<
< o%*12"#%*%%4"et"FC
I o%*12"#%*%"%%4-$';T"
N o%*12"#%*%"%%4-$';T
Ví dụ 3:
<
C
x
y
x
+
=
−
$'
C o%*12"#%*%%4et"<
< o%*12"#%*%%4"et"
O
<
I o%*12"#%*%"%%4-$';T"
N o%*12"#%*%"%%4-$';T
BTVN:
< <
<
x
y
x
−
=
+
$'
CO
CO
C o%*12"#%*%%4et"FI
< o%*12"#%*%%4"et"FN
I o%*12"#%*%"%%4-$';T"
N o%*12"#%*%"%%4-$';T
Ví dụ 4:o%*12"#%*-
( )
C
tại điểm1ad
( )
( )
4 2
: 6 5C y f x x x= = - +
%%4e5"%3-*12"#
( )
f x
=
( )
( )
3 2
: 6 9 1C y f x x x x= = - + +
%%4e+
=%
( )
P C< f x x
+ − =
( )
( )
2 1
:
2
x
C y f x
x
-
= =
+
%%4e+
=%
( )
Of x
=
BTVN:o%*12"#%*-
( )
C
tại điểm1ad
( )
( )
4 2
1
: 2 1
4
C y f x x x= = - +
%%4e5"%3-*12"#
( )
Rf x
=
( )
( )
4 2
1
: 2
4
C y f x x x= = -
%%4e+
=%
( )
Cf x
= −
( )
( )
3 2
: 3 2C y f x x x= = - +
%%4e+
=%
( )
< y x
+ =
@
( )
( )
2
:
2
x
C y f x
x
= =
-
%%4e+
=%
( )
N f x
+ =
Ví dụ 5:
2x 1
y
x 1
+
=
−
. o%*12"#%*;B%$'%%4hoành độ
5"%3-*12"#
( )
3y' x 1 0
+ =
Ví dụ 6: o%*12"#%*%"%%4-
< C
C
x
y
x
+
=
−
;1m"q"+F>I
Ví dụ 7: o%*12"#%*%"%%4-
< C
<
x
y
x
+
=
−
;1m"q"FO+><
Ví dụ 8: o%*12"#%*%"%%4-$'
I <
P S Sy x x x
= − + − +
;1m"
q"+>FS
BTVN: o%*12"#%*-
( )
C
tại các giao điểm-
( )
C
;B%,1m"1ad
( )
3 2
: 2 3 9 4 & : 7 4C y x x x d y x= - + - = +
( )
3 2 2
: 2 3 9 4 & : 8 3C y x x x d y x x= - + - = - + -
CP
CP
( ) ( )
3 2 3 2
: 2 3 9 4 & ' : 4 6 7C y x x x C y x x x= - + - = - + -
Dạng 2: (%*3" 1B
• Đề đã cho hệ số góc k, ta đi tính x
0
và y
0
.
Bước 1:
k12"#%*%%4
( )
M x y
@"
y f x x x y
= − +
C
Bước 2:
o hhệ số góc k#"%!%*12"#
f x
4#+
$%.
o h%*song song;B%1m"q"+>#
(%*3"
("%!%*12"#
f x
4#+
$%.
o h%*vuông góc;B%1m"q"+>#
(%*3"
Ck a
= −
C
a
−
("%!%*12"#
f x
C
a
−
4#+
$%.
Bước 3:
(+
=
;3"
( )
f x k
=
;*12"#
y f x x x y
= − +
*
Chú ý:
"%3-*12"#
f x
.5e%*%4
K%4
( )
M x y
5be%*%4-%*;B%$'
Ví dụ 1o%*12"#%*
D
-
( )
C
=%t"
D
có hệ số góc
k
1ad
( )
3
: 3 2; 9C y x x k= - + =
( )
2 1
: ; 3
2
x
C y k
x
-
= = -
-
BTVN:o%*12"#%*;B%$'=%%*3" 1B
( )
3 2
: 6 9 3; 9C y x x x k= - + - =
( )
2
: ; 4
2
x
C y k
x
= = -
-
CQ
CQ
Ví dụ 2:o%*12"#%*;B%$'=%%*"";B%1m"q"@
1B
( )
@S+>
3 2
: 6 9 ,C y x x x= - + -
( )
@I+><
5
: ;
2
x
C y
x
-
=
-
BTVN:o%*12"#%*;B%$'=%%*"";B%1m"q"@
1B
( )
@N+><
3 2
1 1 4
: 2 ,
3 2 3
C y x x x= + - -
( )
@NFN+
2
: ;
2
x
C y
x
- +
=
+
Ví dụ 3:o%*12"#%*;B%$'=%%*;6"";B%1m"q"@
1B
( )
@+FN
3 2
2 8
: 4 ,
3 3
C y x x x= - - +
( )
@+>>C
1
: ;
2
x
C y
x
+
=
+
( )
@+FI
2
3 6
. : ;
1
x x
c C y
x
+ +
=
+
BTVN:o%*12"#%*;B%$'=%%*;6"";B%1m"q"@
1B
( )
@+>S
3
: 3 2,C y x x= - +
( )
C C
@F +>
< <
1
: ;
1
x
C y
x
-
=
+
Ví dụ 4o%*12"#%*
D
-
( )
C
=%
D
tạo với chiều dương trục hoành
Ox
một
góc
a
Chú ý: 1m"q"@ +>a*;B%%h@12"Tl+e"
α
#
k
α
=
( )
3
2
. : 2 4 ; 45
3
o
x
a C y x x a= - + - =
CR
CR
( )
3 2
. : ; 45
1
o
x
b C y
x
a
+
= =
+
Ví dụ 5.o%*12"#%*
D
-
( )
C
=%
D
tạo với đường thẳng
d
một góc
a
Chú ý:
@ +>;@/ /+>/@;@/a*;B%e"
a
#
C
k k
k k
α
−
=
+
( )
3
2
. : 2 4 & : 3 7 ; 45
3
o
x
a C y x x d y x a= - + - = + =
( )
4 3
. : & : 3 ; 45
1
o
x
b C y d y x
x
a
-
= = =
-
Ví dụ 6. (.@%3."%,_%Tbex%%*-$'
( )
C
%%41ad
( )
5 11
. :
2 3
x
a C y
x
+
=
-
%%4
A
e5
2
A
x =
( )
2
. : 27 25b C y x x= - +
%%4
B
0
B
x =
Ví dụ 7.(#
m
4%*-$'
( )
C
%%41ad_%Tbee"%,
@%3.
S
1B
( )
2
. :
1
x m
a C y
x
+
=
-
%%4
A
2
A
x =
;
1
2
S =
( )
( )
3
. : 1 1b C y x m x= + - +
%%4
C
0
C
x =
;
8S =
Ví dụ 8:
N <
C C
< <
y x x
= − +
$'(#,%4
M
e$'=%%*
%
M
"";B%1m"q"CFC<+
Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểm háy xuất phát từ điểm A.
• Điều kiện để hai đường tiếp xúc nhau
FK%h %3y;-4%1m"
( ) ( )
1
:C y f x=
;
( ) ( )
2
:C y g x=
%*+f53*12"
#
( ) ( )
( ) ( )
( )
' '
f x g x
f x g x
ì
ï
=
ï
ï
*
í
ï
=
ï
ï
î
"%3
FNghiệm của hệ
( )
*
là hoành độ của tiếp điểm của hai đư?ng đó.
CS
CS
Ví dụ 1:o%*12"#%*;B%$'
I <
C
I
y x x
= −
=%%*%^%4
zI
Bài giải
F 0b%@51m"q"%^zI;3"5
F k12"#1m"q"@@"
( )
y k x x y
= − + ⇔
+FI
F K41m"q"@%*+f;B%$' %;d %3*12"#
( )
( )
I <
<
C
I C
I
< <
x x kx k
x x k
− = −
− =
"%3
F (<;C"%!%*12"#1a
I I I S
x k y
x k y x
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ = −
BTVN:
C o%*%*;B%
I <
< P Oy x x
= − + −
=%%*%^%4zFCFCI
< o%*%*;B%
< C
C
x
y
x
+
=
+
=%%*%^%4zFCI
Ví dụ 2:
I
< CPy x mx
= − +
$'
(#4
%*+f;B%T
Bài giải
F (T*12"#5
F
*12"#5
I
< CPy x mx
= − +
F K4
%*+f;B%l+ %;d %3*12"#
( )
( )
I
<
< CP C
I < <
x mx
x m
− + =
− =
"%3
o ([<<I+
<
o (;C=1a
I I I
I CP < CP x x x
− + = ⇔ − + =
I I
< CP R <x x x
⇔ − = − ⇔ = ⇔ =
o);B%+<=P
BTVN:
C (#4
I
y x mx m
= − + +
%*+f;B%Tl+
< (#4$'
( )
I <
< C Cy x m x m
= − + + − −
%*+f;B%1m"q"<+FFC
• fg
( )
1
:C y px q= +
;
( )
2
2
:C y ax bx c= + +
#
( )
1
C
%*+f;B%
( )
2
C
Û
*12"#
2
ax bx c px q+ + = +
"%3 E*
Vấn đề 4: Bài toán tham số m về tính đồng biến và nghịch biến của hàm số.
<
<
Dạng 1.(#4)56$"%756"'%
¡
Phương pháp:
()*+,'9
¡
(./v%+
K45656$"%
¡
⇔
/
≥
=
x
∀ ∈
¡
a
>
⇔
∆ ≤
K45656"'%
¡
⇔
/
≤
=
x
∀ ∈
¡
a
<
⇔
∆ ≤
.
Cần nhớ:H)%
( ) ( )
<
+ = f x a bx c a
= + + ≠
<
+ = + ;
a a
a bx c
> >
+ + ≥ ∀ ∈ ⇔
∆ ≤ ∆ ≤
¡
<
+ = + ;
a a
a bx c
< <
+ + ≤ ∀ ∈ ⇔
∆ ≤ ∆ ≤
¡
.
Ví dụ:
1. (#4
I <
C
P < C
I
y x mx m x m
= + + + − +
5656$"%)*+,'
2. (#4
I <
C
<
I
x mx mx
− − + −
5656"'%)*+,'-
3. (#4,+
I
>I+
<
>I+"'%, !"+,'-
4. H"%t" 6""%,'4
I < <
C < I < < Cx m x m m x m m
− + − − + + −
5656$"%
¡
;B%b%
BTVN :
1. (#4
I <
< I < P C I Ox m x m x m
− + + + − +
5656$"%
¡
2. (#4
I <
N Ix m x mx
+ + +
5656$"%)*+,'-
3. H"%t"
I < <
< Cy x mx m m x m
= − + − − + +
5656"'% ;B%b%
Dạng 2 : (#4
+ b
cx d
+
+
= c ad bc
≠ − ≠
5656$"%756
"'%[" !"+,'-
Phương pháp:
()*+,'9
W
d
c
−
¡
(./
<
ad bc
cx d
−
+
c$"%[" !"+,'
=y x D
⇔ > ∀ ∈
c"'%[" !"+,'
=y x D
⇔ < ∀ ∈
Ví dụ.
<C
<C
1. (#4
C
C
mx
x
+
−
$"%)*+,'-
2. (#4
< I <
<
m x
x
− −
=
−
"'%)*+,'-
3. H"%t"
C
<
mx
x m
−
+
5656$"%)*+,'-
BTVN.
1. (#4
<mx m
x m
− +
+
"'%[" !"+,'-
2. H"%t"
<
<
mx
x m
+
−
5656"'%)*+,'-
Vấn đề 5: Bài toán tham số m về cực trị của hàm số.
Dạng 1:(#4bậc ba:':%;:%4
Cách giải:
- ()*+,'9
¡
F(./\/u
FK4:%;:%4
⇔
k12"#u%"%3*J%3
⇔
a
≠
∆ >
Ví dụ.
C (#4
I <
I I Cx x mx m
− + + −
:%;:%4:'
< (#4
I <
C C
C
I <
x x m x
+ + +
:%;:%4:'
I H"%t"
I <
< C
I <
x mx
x
− − +
56:%;:%4
N H"%t"
I
< < <
C C
I
x
mx m x m
− + − + −
56:%;:%4
BTVN.
C (#4
I < < <
I C I Q C Cx m x m m x m
− + + − + − + −
:%;:%4
< (#4
I
I < Iy m x mx
= − − +
:%;:%4
I H"%t"
I <
< C
I <
x mx
x
− − +
56:%;:%4
N H"%t"
I
< < <
C C
I
x
mx m x m
− + − + −
56:%;:%4
O H"%t"
I < <
< Cx mx m m x m
− + − − + +
6":'
<<
<<
P (#4
y
=
( ) ( )
<
< C Cx m x m
x m
− + + + −
−
:'
Q (#4
y
=
<
<
C
x mx
x
− +
+
:%;:%4
R H"%t"
( )
( )
< <
C < Cx m x m
y
x m
− + − +
=
−
6":';B%b%
Dạng 2: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x
0
.
Loại 1: (#4:%%+
F()*+,'9
¡
F (.
y
y
=
=
F c:%%+
y x
y x
=
⇔
<
Loại 2: (#4:%4%+
F ()*+,'9
¡
F (.
y
y
=
=
F c:%4%+
y x
y x
=
⇔
>
Ví dụ 1.
( )
N <
C N <y m x mx
= + − +
C (#4:%%+
< (#4:%4%+C
I (#4:%4%+FC
Ví dụ 2.
1. (#4
I < <
C
C C
I
x mx m m x
− + − + +
:%%+C
BTVN.
2. (#4
I <
< C O Cx m x m x
− − − + − +
:%4%+C
3. (#4
I <
<
O
I
x mx m x
− + − +
:%4%+C
4. (#4
I <
Cx mx
+ +
:%%+
Chú ý : %,dy'4:'(tức đạt cực đại hoặc cực tiểu)%+
#
,*@T"%h %3:
c:'%+
%;d %
f x
f x
=
≠
.
Ví dụ. K'4
I <
< C O Cx m x m x
− − − + − +
:'%+C
BTVN.
1. K'4
I <
I O <mx x x
+ + +
:'%+<
<I
<I
2. K'4
I < < <
C
< I C
I
x m m x m x m
+ − + + + +
:'%+F<
Dạng 3: Tìm m để hàm trùng phương y=ax
4
+bx
2
+c có cực trị.
Loại 1:(#4:%;:%4
(hay hàm số có ba cực trị)
Loại 2: (#4:%hoặc:%4
(hay hàm số chỉ có một cực trị)
F ()*+,'9{
F (./N+
I
F<+
F /
I
<
<
N <
N <
N < u
ax bx
x ax b
x
f x ax b
⇔ − =
⇔ − =
=
⇔
= − =
F K4:%;:%4 %;d
%*u%"%3*J%3 ,
f
∆ >
⇔
≠
- ()*+,'9{
F (./N+
I
F<+
F/
I
<
<
N <
N <
N < u
ax bx
x ax b
x
f x ax b
⇔ − =
⇔ − =
=
⇔
= − =
F K4e%4:' %;d
%*u;6"%37"%3 E*
7"%3t"
f
∆ ≤
⇔
=
Ví dụ 1:(#4:'
C
N <
< Cy x mx m
= − + +
<
N < <
C Cy mx m x
= + − +
BTVN. (#4:'
C
N <
<y mx x m
= − +
<
N <
< Cy mx mx
= + −
Ví dụ 2.(#4e:'
C
N <
< Cy x mx m
= − + +
<
N < <
N Cy mx m x
= + − +
BTVN.(#4e:'
C
N < <
N Cmx m x
+ − −
<
N <
< O Cmx m x m
+ − − +
Vấn đề 5Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số thỏa điều kiện cho trước.
Dạng 1: Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ là các số nguyên.
Cách giải:
(:%3*E*%%L%;h@"
+ b B
y A
cx d cx d
+
= = +
+ +
hoặc
<
+ b x c B
y x
cx d cx d
α β
+ +
= = + +
+ +
F 0b%|+5%4e$'be5,"
F K4+="
⇔
s%+>@(hay cx+d là ước của B).
<N
<N
C
<
cx d x y M
cx d x y M
+ = ⇒ = ⇒ =
⇔ + = ⇒ = ⇒ =
Ví dụ. (#$',%4be5}""
C
< C
C
x
x
+
+
<
I
C
x
x
+
+
I
<
<
C
x x
x
+ +
−
BTVN. (#$',%4be5}""
C
C
C
x
x
+
−
<
<
< N
N
x x
x
− −
−
I
<
C
x
x
−
Dạng 2: Tìm trên đồ thị hàm số các điểm cách đều hai trục tọa độ.
Phướng pháp.
F 0b%|+5%4e$';,h%Tbe
F K4|+,h%Tl+;l
y x
x y
y x
=
⇔ = ⇔
= −
F o)|5"%%4-$';%1m"*J"%,+;F+
Ví dụ.(#$',%4,h%Tbe
C
< C
C
x
y
x
+
=
+
<
<
C
<
x x
y
x
− +
=
+
I
< I
C
x
y
x
+
=
−
N
<
I C
C
x x
y
x
− +
=
−
BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I
<O
<O
