Tài liệu ôn thi THPT môn Toán

GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
Chuyên đề: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH.
2. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ.
3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN.
4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN.
5. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN
TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ.
PHẦN 2: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN
PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
I.TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH:
A. Phương pháp:
Phương pháp phân tích là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân
thành tổng các hạng tử mà nguyên hàm của mỗi hạng tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm
hoặc chỉ bằng các phép biển đổi đơn giản đã biết, sau đó áp dụng định nghĩa.
B. Ví dụ:
VD1: Tính tích phân
1
2x x
0
dx
I
e e
=
-
ò
.
Giải :
Biến đổi I về dạng
1 1

x x
x x x x
0 0
[(e 1) e ]dx
dx
I
e (e 1) e (e 1)
+ -
= =
+ +
ò ò
=
1
x x
0
1 1
( )dx
e e 1
-
+
ò
=
1
x x
x x
0
1 e 1 e
( )dx
e e 1
+ -

-
+
ò
=
1
x
x
x
0
e
(e 1 )dx
e 1
-
- +
+
ò
=
x x 1
0
( e x ln e 1)
-
- - + +
=
VD2 : Tính caùc tích phaân sau:
a/
2
2
3
1
x 2x

I dx;
x
−
=
∫
b/
x
4
4
0
J (3x e )dx.= −
∫
Giaûi:
a/ Ta coù:
2
2
2
1
1
1 2 2
I dx ln | x | (ln2 1) (ln1 2) ln2 1.
x x
x
   
= − = + = + − + = −
 ÷
 ÷
  
∫
1

GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
b/ Ta có:
4
x
2
4
0
3
J x 4e (24 4e) (0 4) 28 4e.
2
 
= − = − − − = −
 ÷
 
VD3 : Tính tích phân:
1
5
2
0
x
I dx.
x 1
=
+
∫
Giải:
Từ
5 3 2 2
x x (x 1) x(x 1) x.= + − + +
Ta được:

1
1
3 4 2 2
2
0
0
x 1 1 1 1 1
I x x dx x x ln(x 1)] ln2 .
4 2 2 2 4
x 1
   
= − + = − + + = −
 ÷
 
 + 
∫
VD4 : Tính
/ 2
0
sinx
dx.
cosx sinx
π
+
∫
Giải:
Ta có:
sinx cosx sinx (A B)cosx (A B)sinx
A B
cosx sinx cosx sinx cosx sinx

− + + −
 
= + =
 ÷
+ + +
 
Đồng nhất đẳng thức, ta được:
A B 0
1
A B .
A B 1
2
+ =

⇔ = = −

− =

Vậy:
/ 2
/ 2 / 2
0
0 0
sinx 1 cosx sinx 1 1
dx dx x ln(cosx sinx) .
cosx sinx 2 2(cosx sinx 2 2 4
π
π π
− π
   

= − − = − − + = −
   
+ +
 
 
∫ ∫
C.Bài tập :
Tính:
1)
2
4
2
4
2
sin
tg x
x
π
π
−
∫
dx 2)
3
0
π
∫
( cosxcos3x + sin4xsin3x) dx
3)
3
6

π
π
∫
tg
2
x dx 4)
4
0
∫
| x-2 | dx
5)
4
2
∫

2
6 9x x− +
dx 6)
3
4−
∫
| x
2
-4 | dx 7)
3
4
4
π
π
∫

cos2 1x +
dx
II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
2
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
1) DẠNG 1: Tính
( )
b
a
I f x dx=
∫
với giả thiết hàm số f(x) liên tục trên [a;b]
A. Phương pháp:
+) Đặt
dxxudtxut )()(
'
=⇒=
(t=u(x) có đạo hàm liên tục, f(t) liên tục trên tập xđ của t)
+)Đổi cận :
)(
)(
aut
but
ax
bx
=
=
⇒
=
=

+) Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

[ ]
∫
=
∫
=
)(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxufI
(tiếp tục tính tích phân mới)
CHÚ Ý: +, Khi gặp dạng f(x) có chứa (
1
,lnx)
x
thì đặt t = lnx.
+, Khi f(x) có chứa
n
u(x)
thì thường đặt t = u(x).
+, Khi f(x) có mẫu số thì thường đặt t = mẫu.
Nhìn chung là ta phải nắm vững công thức và vận dụng hợp lý.
B. Ví dụ:
VD1 Tính tích phân
2

e
e
dx
I
xlnx
=
ò
.
Giải
Đặt
dx
t lnx dt
x
= Þ =
2
x e t 1, x e t 2= Þ = = Þ =
2
2
1
1
dt
I ln t ln2
t
Þ = = =
ò
.
Vậy
I ln2=
.
VD2 : Tính tích phân

4
3
0
cosx
I dx
(sinx cosx)
p
=
+
ò
.
Hướng dẫn:
4 4
3 3 2
0 0
cosx 1 dx
I dx .
(sinx cosx) (tanx 1) cos x
p p
= =
+ +
ò ò
. Đặt
t tanx 1= +
ĐS:
3
I
8
=
.

VD3 :Tính tích phân:
3
1
2
dx
I
(1 x) 2x 3
=
+ +
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t 2x 3= +
ĐS:
3
I ln
2
=
.
3
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
VD4. Tính tích phân
1
0
3 x
I dx
1 x
-
=

+
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
3
2
2 2
1
3 x t dt
t 8
1 x
(t 1)
-
= Þ
+
+
ò
L
; đặt
t tanu= L
ĐS:
I 3 2
3
p
= - +
.
Chú ý:
Phân tích
1

0
3 x
I dx
1 x
-
=
+
ò
, rồi đặt
t 1 x= +
sẽ tính nhanh hơn.
VD5 :: Tính tích phân :
7
3
3
2
0
x dx
I
1 x
=
+
∫
Giải:
Đặt
3
2 3 2
t x 1 t x 1,= + ⇒ = +
khi đó:
2

2
3t dt
3t dt 2xdx dx .
2x
= ⇒ =
Đổi cận:
x= 0 t = 1
x= 7 t 2
⇒


⇒ =


Ta có:
3 3 2
3 4
3
2
x dx x .3t dt
3t(t 1)dt 3(t t)dt.
2xt
1 x
= = − = −
+
Khi đó:
2
2
5 2
4

1
1
t t 141
I 3 (t t)dt 3 .
5 2 10
 
= − = − =
 ÷
 
∫
C.Bài tập :
Tính các tích phân sau:
1)
2
3 2
0
cos xsin xdx
π
∫
; 2)
2
5
0
cos xdx
π
∫
; 3)
4
2
0

sin4x
dx
1 cos x
π
+
∫
; 4)
1
3 2
0
x 1 x dx−
∫
.
5)
2
2 3
0
sin2x(1 sin x) dx
π
+
∫
; 6)
4
4
0
1
dx
cos x
π
∫

; 7)
e
1
1 lnx
dx
x
+
∫
; 8)
4
0
1
dx
cosx
π
∫
.
9)
e
2
1
1 ln x
dx
x
+
∫
; 10)
1
5 3 6
0

x (1 x ) dx−
∫
; 11)
6
2
0
cosx
dx
6 5sinx sin x
π
− +
∫
; 12).
3
4
0
tg x
dx
cos2x
∫
13)
4
0
cos sin
3 sin2
x x
dx
x
π
+

+
∫
; 14)
∫
+
2
0
22
sin4cos
2sin
π
dx
xx
x
; 15)
∫
−+
−
5ln
3ln
32
xx
ee
dx
.
4
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
16)

+

2
0
2
)sin2(
2sin

dx
x
x
; 17)

3
4
2sin
)ln(


dx
x
tgx
; 18)


4
0
8
)1(

dxxtg
; 19)

+

2
4
2sin1
cossin


dx
x
xx
.

20)

+
+
2
0
cos31
sin2sin

dx
x
xx
; 21)

+
2

0
cos1
cos2sin

dx
x
xx
; 22)

+
2
0
sin
cos)cos(

xdxxe
x
;
23)

+
2
1
11
dx
x
x
; 24)

+

e
dx
x
xx
1
lnln31
; 25)

+

4
0
2
2sin1
sin21

dx
x
x
.
2) DNG 2:
A. Phng phỏp:
( )
b
a
I f x dx=

vi gi thit hm s f(x) liờn tc trờn [a;b]
Cỏch thc hin:
+) t

dttdxtx )()(
'

==
( trong ú
( )t

l hm s c la chn thớch hp: nh ca
( )t

nm trong tp xỏc nh ca f v
'
( )t

liờn tc.)
+) i cn :


=
=

=
=
t
t
ax
bx
+) Chuyn tớch phõn ó cho sang tớch phõn theo bin t ta c

[ ]

=

=



dtttfdxxfI
b
a
)(')()(
(tip tc tớnh tớch phõn mi)
Chỳ ý:
* Nu f(x) cú cha:
+,
2 2 n
(a x )-
thỡ t
x a .sint=
vi t
ẻ
;
2 2
- p p
ộ ự
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
, hoc
x a .cost=

vi
[ ]
t 0;ẻ p
.
+,
2 2 n
(a x )+
thỡ t
x a .tant=
vi
t ;
2 2
- p p
ổ ử
ữ
ỗ
ẻ
ữ
ỗ
ữ
ố ứ
, hoc
x a .cott=
vi
( )
t 0;ẻ p
.
+,
( )
n

2 2
x a-
thỡ t
a
x
sint
=
hoc
a
x
cost
=
.
+,
a x a x
;
a x a x
+ -
- +
thỡ t
x acos2t=

+,
(x a)(b x)- -
thỡ t x=a+(b-a)sin
2
t
B. Vớ d
VD1 :Tớnh tớch phõn
1

2
2
0
1
I dx
1 x
=
-
ũ
.
Gii
t
x sint, t ; dx costdt
2 2
p p
ộ ự
= ẻ - ị =
ờ ỳ
ở ỷ
5
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
1
x 0 t 0, x t
2 6
p
= ị = = ị =
6 6
2
0 0
cost cost

I dt dt
cost
1 sin t
p p
ị = =
-
ũ ũ
6
6
0
0
dt t 0
6 6
p
p
p p
= = = - =
ũ
.
Vy
I
6
p
=
.
VD2: Tớnh tớch phõn
2
2
0
I 4 x dx= -

ũ
.
Hng dn:
t
x 2sint=
S:
I = p
.
VD3:Tớnh tớch phõn
1
2
0
dx
I
1 x
=
+
ũ
.
Hng dn:
t
2
x tant, t ; dx (tan x 1)dt
2 2
ổ ử
p p
ữ
ỗ
= ẻ - ị = +
ữ

ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
x 0 t 0, x 1 t
4
p
= ị = = ị =
4 4
2
2
0 0
tan t 1
I dt dt
4
1 tan t
p p
+ p
ị = = =
+
ũ ũ
.
Vy
I
4
p
=
.
VD4:Tớnh tớch phõn

3 1
2
0
dx
I
x 2x 2
-
=
+ +
ũ
.
Hng dn:
3 1 3 1
2 2
0 0
dx dx
I
x 2x 2 1 (x 1)
- -
= =
+ + + +
ũ ũ
.
t
x 1 tant+ =
S:
I
12
p
=

.
VD5 : Tớnh tớch phaõn :
=


2
2
2
0
2
x
I dx.
1 x
Giaỷi:
6
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
Đặt x = sint, khi đó: dx = costdt .Đổi cận: với
x= 0 t = 0
2
x= t
2 4
⇒


π

⇒ =



Lại có:
2 2 2 2
2 2
x dx sin t.costdt sin t.costdt sin tcostdt 1
(1 cos2t)dt.
cost cost 2
1 x 1 sin t
= = = = −
− −
Khi đó:
/ 4
/ 4
0
0
1 1 1 1
I (1 cos2t)dt t sin2t .
2 2 2 8 4
π
π
π
 
= − = − = −
 ÷
 
∫
VD6 : Tính tích phân :
2/ 3
2
2
dx

I
x x 1
=
−
∫
Giải:
Đặt
2
1 cost
x , khi đó: dx dt
sint
sin t
= = −
Đổi cận:
x= 1 t =
2
2
x= t
3
3
π

⇒



π

⇒ =




Khi đó:
/ 2 / 2
2
/ 2
/ 3
/ 3 / 3
2
1
costdt
sin t
dt t
1
6
1
sint 1
sin t
π π
π
π
π π
−
π
= = =
−
∫ ∫
VD7 : Tính tích phân :
0
a

a x
I dx, (a 0)
a x
+
= >
−
∫
Giải:
Đặt
x a.cos2t, khi đó: dx 2a.sin2tdt.= = −
Đổi cận:
x= -a t =
2
x=0 t
4
π

⇒


π

⇒ =

Lại có:
a x a a.cos2t
dx ( 2a.sin2tdt) cott ( 2a.sin2tdt)
a x a a.cos2t
+ +
= − = −

− −
2
4a.cos t.dt 2a(1 cos2t)dt.= − = − +
7
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
Do đó:
/ 2
/ 2
/ 4
/ 4
1
I 2a (1 cos2t)dt 2a t sin2t a 1
2 4
π
π
π
π
π
   
= − + = − − = −
 ÷  ÷
   
∫
.
VD8 : Tính tích phân :
/ 3
2
/ 6
cosdx
I

sin x 5sinx 6
π
π
=
− +
∫
Giải:
Đặt x = sint, khi đó: dt = cosxdx
Đổi cận:
1
x= t =
6 2
3
x= t
3 2
π

⇒



π

⇒ =



Ta có:
2 2
cosdx dt dt

(t 2)(t 3)
sin x 5sinx 6 t 5t 6
= =
− −
− + − +
A B [(A B)t 2A 3B]dt
dt
t 3 t 2 (t 2)(t 3)
+ − −
 
= + =
 ÷
− − − −
 
Từ đó:
A B 0 A 1
2A 3B 1 B 1
+ = =
 
⇔
 
− − = = −
 
Suy ra:
2
cosxdx 1 1
dt.
t 3 t 2
sin x 5sinx 6
 

= −
 ÷
− −
− +
 

Khi đó:
3 / 2
3 / 2
1/ 2
1/ 2
1 1 t 3 3(6 3)
I dt ln ln
t 3 t 2 t 2
5(4 3)
− −
 
= − = =
 ÷
− − −
 
−
∫
C.Bài tập :
Tính các tích phân sau:
1)
1
4 2
0
x

dx
x x 1+ +
∫
2)
2
0
1
1 cos sin
dx
x x
π
+ +
∫
3)
2
2
2
2
0
x
dx
1 x−
∫
4)
2
2 2
1
x 4 x dx−
∫
5)

2
3
2
2
1
dx
x x 1−
∫
6)
3
2
2
1
9 3x
dx
x
+
∫
7))
1
5
0
1
(1 )
x
dx
x
−
+
∫

8)
2
2
2
3
1
1
dx
x x −
∫
9)
2
0
cos
7 cos2
x
dx
x
π
+
∫
10)
1
4
6
0
1
1
x
dx

x
+
+
∫
11)
2
0
cos
1 cos
x
dx
x
π
+
∫
12)
∫
++
−
0
1
2
22xx
dx
13)
∫
++
1
0
311 x

dx
14)
∫
−
−
2
1
5
1
dx
x
xx
.
III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:
A. Phương pháp:
8
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
* Kiến thức:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D vi phân của hàm số ký hiệu:
dy = f '(x).dx hay d(f(x)) = f '(x).dx.
* Để tính được nhanh các em cần nhớ những công thức sau:
+,
d(a.x b)
d(a.x b) a.dx dx (a 0)
a
+
+ = Û = ¹
.
+,
x

x x
x
d(ae b)
d(ae b) ae .dx dx
a.e
+
+ = Û =
.
+,
d(sinx)
d(sinx) cosx.dx dx
cosx
= Û =
;
d(cosx)
d(cosx) sinx.dx dx
sinx
= - Û =
-
.
+,
dx
d(lnx) .
x
=

dx 1 d(a.x b) 1
ln(a.x b)
a.x b a a.x b a
+

= = +
+ +
.
+,
2 2
2 2
x.dx
d( x a )
x a
+ =
+
.
B. Ví dụ 1 : Tính các tích phân sau:
1)
1
0
dx
2007.x 2008+
ò
; 2)
4
2
0
sin x.cosxdx;
p
ò
3)
e
x
2x

1
e .dx
4 3e-
ò
; 4)
4
6
cotx.dx
p
p
ò
.
C. Bài tập Tính các tích phân sau:
1)
1
2
3
0
2
1
x
x+
∫
; 2)
1
2
3
0
( )
2

x
x−
∫
dx; 3)
1
2
3
0
2
1
x
x+
∫
dx ; 4)
2
1
0
x
xe dx
∫
; 5)
3
1
2
1
x
x e
−
−
∫

dx .
6)
1
2 ln
e
x
x
+
∫
dx ; 7)
2
1 ln
e
e
dx
x x+
∫
; 8)
3
3
0
sin
cos
x
x
π
∫
dx ; 9)
3
cos

0
sin
x
x e
π
∫
dx ; 10)
1
x
0
dx
2e 3+
ò
.

IV. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
A. Phương pháp:
Công thức tích phân từng phần:

[ ]
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(

Hay:
[ ]
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Cách thực hiện:
+) Đặt
)(
)('
)('
)(
xvv
dxxudu
dxxvdv
xuu
=
=
⇒
=
=
+) Thay vào công thức tích phân từng từng phần :
[ ]
∫ ∫
−=

b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Chú ý:
9
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
+)Đặt
u f(x), dv g(x)dx= =
(hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm
v(x)
và vi phân
/
du u (x)dx=
không quá phức tạp.
+)Hơn nữa, tích phân
b
a
vdu
ò
phải tính được.
+)Đặc biệt:
i/ Nếu gặp
b b b
ax
a a a
P(x) sinaxdx, P(x)cosaxdx, e .P(x)dx

ò ò ò
với P(x) là đa thức thì đặt
u P(x)=
.
ii/ Nếu gặp
b
a
P(x) lnxdx
ò
thì đặt
u lnx=
.
iii/ Nếu gặp
b
x
a
e .sinaxdx
a
ò
,
b
x
a
e .cosaxdx
a
ò
thì ta tính hai lần từng phần bằng cách đặt
x
u e
a

=
.
B. Ví dụ:
VD1:Tính tích phân
1
x
0
I xe dx=
ò
.
Giải
Đặt
x
x
u x
du dx
dv e dx
v e
=
=
ì
ì
ï
ï
ï ï
Þ
í í
=
ï ï
=

ï
ïî
î
(chọn
C 0=
)
1 1
1
1
x x x x
0
0
0 0
xe dx xe e dx (x 1)e 1Þ = - = - =
ò ò
.
VD2Tính tích phân
e
1
I x lnxdx=
ò
.
Giải
Đặt
2
dx
du
u lnx
x
dv xdx

x
v
2
ì
ï
=
ï
=
ì
ï
ï
ï ï
Þ
í í
ï ï
=
ï ï
î
=
ï
ï
î
e e
e
2 2
1
1 1
x 1 e 1
x lnxdx lnx xdx
2 2 4

+
Þ = - =
ò ò
.
VD3Tính tích phân
2
x
0
I e sinxdx
p
=
ò
.
Giải
Đặt
x x
u sinx
du cosxdx
dv e dx v e
=
=
ì
ì
ïï
ï ï
Þ
í í
ï ï
= =
ï ï

î
î
2 2
x x x
2
2
0
0 0
I e sinxdx e sinx e cosxdx e J
p p
p
p
Þ = = - = -
ò ò
.
10
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
t
x
x
u cosx
du sinxdx
dv e dx
v e
=
= -
ỡ
ỡ
ù
ù

ù ù
ị
ớ ớ
=
ù ù
=
ù
ùợ
ợ
2 2
x x x
2
0
0 0
J e cosxdx e cosx e sinxdx 1 I
p p
p
ị = = + = - +
ũ ũ
2
2
e 1
I e ( 1 I) I
2
p
p
+
ị = - - + ị =
.
VD4 :Tớnh tớch phaõn:

2
2
1
ln(1 x)
I dx.
x
+
=

Giaỷi:
ẹaởt:
2
1
u ln(1 x)
du dx
1 x
dx
1
dv
v
x
x

= +
=



+

=

=



Khi ủoự:
2
2 2
1
1 1
1 1 1 1 1
I ln(x 1) dx ln3 ln2 dx
x x(x 1) 2 x 1 x

= + + = + + +
ữ
+ +


2
1
1 3
ln3 ln2 (ln | x | ln(x 1)) ln3 3ln2.
2 2
= + + + = +
VD5 :Tớnh tớch phaõn:
1
2 2x

0
(x x)e dx+

Giaỷi:
1
2 2x
0
(x x)e dx+

. ẹaởt
2
2x
u x x
dv e dx

= +


=



( )
2x
du 2x 1 dx
1
v e
2

= +

=


I =
1
1
2x 2 2x 2
1
0
0
1 1
e (x x) (2x 1)e dx e I
2 2
+ + =

I
1
=
1
2x
0
(2x 1)e dx+

, ẹaởt
2x
u 2x 1
dv e dx
= +

=



2x
du 2x 1dx
1
v e
2
= +



=


I
1
=
1 1
1
2x 2x 2 2x
0
0 0
1 1 1
e (2x 1) e dx (3e 1) e
2 2 2

+ =


=
( )
2 2 2
1 1
3e 1 (e 1) e
2 2
=
. Vaọy I =
2
2 2
1 e
e e
2 2
=
11
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
VD6 :Tính tích phân:
3
0
5 x
1
x .e dx
−
−
∫
Giải:
I =

3
0
5 x
1
x .e dx
−
−
∫
. Đặt t = –x
3
⇒ dt = –3x
2
dx ,
° x = 0 ⇒ t = 0 , x = –1 ⇒ t = 1
⇒ I =
0 1
t t
1
1 0
1 1 1
( t).e dt t.e dt I
3 3 3
 
− − = − = −
 
 
∫ ∫
. Với I
1
=

1
t
0
t e dt
∫
.
° Đặt
t
u t
dv e dt
=



=


⇒
t
du dt
v e
=



=


⇒ I
1

=
1 1
1
t t t
0
0 0
e .t e d t e e 1− = − =
∫
. Vậy I =
1
1 1
I
3 3
− = −
VD7 :Tính tích phân:
/ 2
2
0
I (x 1)sinxdx.
π
= +
∫
Giải:
Đặt:
2
du 2xdx
u (x 1)
v cosx
dv sinxdx


=

= +
⇒
 
= −
=


Khi đó:
/ 2 /2
/ 2
2
0
0 0
I (x 1)cosx 2 xcosxdx 1 2 xcosxdx
π π
π
= − + + = +
∫ ∫
(1)
Xét tích phân
/ 2
0
J xcosxdx.
π
=
∫
Đặt:
u x du dx

dv cosxdx v sinx
= =
 
⇒
 
= =
 
Khi đó:
/ 2
/ 2 / 2
0 0
0
J xsinx sinxdx cosx 1
2 2
π
π π
π π
= − = + = −
∫
(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
I 1 2 1 1.
2
π
 
= + − = π −
 ÷
 
VD8 :Tính tích phân:
1

x
0
xe dx
∫
Giải:
1
x
0
xe dx
∫
. Đặt t =
x
⇒ t
2
= x ⇒ 2tdt = dx
12
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
° x = 1 ⇒ t = 1 , x = 0 ⇒ t = 0
⇒ I =
1 1
2 t 3 t
1
0 0
t e 2tdt 2 t e dt 2I= =
∫ ∫
. Đặt
3
t
u t
dv e dt


=


=


⇒
2
t
du 3t dt
v e

=


=


⇒ I
1
=
1
1
t 3 t 2
2
0
0
e .t 3 e .t dt e 3I− = −
∫

. Với I
2
=
1
t 2
0
e .t dt
∫
.
Đặt
2
t
u t
dv e dt

=


=


⇒
t
du 2tdt
v e
=



=



⇒ I
2
=
1
1
t 2 t
3
0
0
e .t 2 e t dt e 2I
1
− = −
∫
. với I
3
=
1
t
0
e tdt
∫
.
Đặt
t
u t
dv e dt
=




=


⇒
t
du dt
v e
=



=


⇒ I
3
=
1 1
1
t t t
0
0 0
e .t e d t e e e (e 1) 1− = − = − − =
∫
Vậy I = 2I
1
= 2(e – 3I
2

) = 2e – 6I
2
= 2e – 6(e – 2I
3
) = 12I
3
– 4e = 12 – 4e
VD 9 :Tính tích phân:
2x 2
0
I e sin xdx.
π
=
∫
Giải:
Biến đổi I về dạng:
2x 2 2x
0 0
1
I e sin xdx e (1 cos2x)dx
2
π π
= = −
∫ ∫
(1)
• Xét tích phân:
2
2x 2x
1
0

0
1 e 1
I e dx e
2 2 2
π
π
π
= = = −
∫
(2)
• Xét tích phân:
2x
2
0
I e cos2xdx
π
=
∫
Đặt:
2x
2x
du 2sin2xdx
u cos2x
1
v e
dv e dx
2
= −

=



⇒
 
=
=



Khi đó:
2
2x 2x 2x
2
0
0 0
1 e 1
I e cos2x e sin2xdx e sin2xdx
2 2 2
π
π π
π
= + = − +
∫ ∫
(3)
• Xét tích phân:
2x
2, 1
0
I e sin2xdx
π

=
∫
Đặt:
2x
2x
du 2cos2xdx
u sin2x
1
v e
dv e dx
2
=

=


⇒
 
=
=



13
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
Khi ủoự:
2
2x 2x
2, 1 2
0

0
I
1
I e sin e cos2xdx I .
2


= =

1 442 4 43
(4)
Thay (4) vaứo (3), ta ủửụùc:
2 2
2 2 2
e 1 e 1
I I I .
2 2 4 4

= =
(5)
Thay (2), (5) vaứo (1), ta ủửụùc:
2 2
2
1 e 1 e 1 1
I [ ( )] (e 1).
2 2 2 4 4 8


= =
I

1
=
1 1
1
t t t
0
0 0
e .t e d t e e 1 = =

. Vaọy I = 2
C. Bi tp
Tớnh tớch phõn
1)
3
2
0
x sinx
dx
cos x

+

2)
2
0
xsinxcos xdx


3)
4

2
0
x(2cos x 1)dx



4)
2
2
1
ln(1 x)
dx
x
+

5)
1
2 2x
0
(x 1) e dx+

6)
e
2
1
(xlnx) dx

7))
2
0

cosx.ln(1 cosx)dx

+

8)
2
1
ln
( 1)
e
e
x
dx
x +


9))
1
2
0
xtg xdx

10)


1
0
2
)2( dxex
x

IV PHUNG PHP S DNG TNH CHT LIấN TC V TNH CHN L CA HM S
A Phng phỏp:
-Dng 1:Nu f(x) l v liờn tc trờn [-a;a] (a>0) thỡ :
a
a
f(x)dx 0

=

- Dng 2:Nu f(x) chn v liờn tc trờn [-a;a] (a>0) thỡ :
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx

=

.
- Dng 3:Nu f(x) liờn tc v chn trờn R thỡ
+
0
( )
( ) vụựi R vaứ a > 0
1
x
f x
dx f x dx
a

=
+

- Dng 4: Nu hm s f(x) liờn tc trờn on [a; b] v tho món f(x) = f( a +b - x) thỡ

b b
a a
a b
x.f(x)dx . f(x).dx
2
+
=
ũ ũ
B. Vớ d
VD1: Tớnh tớch phõn
Gii: nhn xột hs

=
+
1 x
f(x) cosx.ln( )
1 x
tha:
14


=
+

1/ 2
1/ 2
1 x
I cos x.ln( )dx
1 x
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
* Liên tục trên [-1/2;1/2]
* f(x) +f(-x) = = 0
Theo tc 1 ta được I=0
VD2 :Tính tích phân
I=
2
2
2
cosx.ln(x x 1)dx
p
- p
+ +
ò
VD3
Cho f (x) là hàm số liên tục trên R thoả mãn f (x) + f (- x) =
2 2.cos2x-
.
Tính tích phân
3
2
3
2
I f(x).dx

p
- p
=
ò
VD4:
Tính tích phân
a)
2
0
I x.sinx.cos x.dx
p
=
ò
;
2
2
2
0
1
b)J ( tan (sinx)).dx
cos (cosx)
p
= -
ò
.
VD5:
Tính các tích phân
a)
2
2

0
I ln(sinx 1 sin x)dx;
p
= + +
ò

b)
2008
2007
0
J sin x.dx
p
=
ò
.
VD6:
Tính các tích phân sau:
a)
1
4
1
2 1
x
x
dx
−
+
∫
b)
1

2
1
1
1 2
x
x
dx
−
−
+
∫
c)
2
sin
3 1
x
x
dx
π
π
−
+
∫
PHẦN 2: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN
I.TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
1. Dạng bậc lẻ với hàm sin.
Phương pháp chung: Đặt t = cosx khi đó dt = - sinx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân
theo biến t.
Chú ý:
2 2 2

2n 1 2 n 2 n
sin x 1 cos x 1 t .
(sinx) (sin x) .sinx (1 t ) .sinx
+
= - = -
= = -
Ví dụ 1 (bậc sin lẻ). Tính tích phân
2
2 3
0
I cos x sin xdx
p
=
ò
.
Giải
Đặt
t cosx dt sin xdx= Þ = -
x 0 t 1, x t 0
2
p
= Þ = = Þ =
15
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
0
2
2 2 2 2
0 1
I cos x(1 cos x)sinxdx t (1 t )dt
p

Þ = - = - -
ò ò
1
1
3 5
2 4
0
0
t t 2
(t t )dt
3 5 15
æ ö
÷
ç
= - = - =
÷
ç
÷
ç
è ø
ò
.
Vậy
2
I
15
=
.
2. Dạng bậc lẻ với hàm cos.
Phương pháp chung: Đặt t = sinx khi đó dt = cosx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân

theo biến t.
Chú ý:
2 2 2
2n 1 2 n 2 n
cos x sin x 1 t .
(cosx) (cos x) .cosx (1 t ) .cosx
+
= = -
= = -
Ví dụ 2 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân
2
5
0
I cos xdx
p
=
ò
.
Giải
Đặt
t sinx dt cosxdx= Þ =
x 0 t 0, x t 1
2
p
= Þ = = Þ =
2 2
5 2 2
0 0
I cos xdx (1 sin x) cosxdx
p p

Þ = = -
ò ò
1
1
3 5
2 2
0
0
2t t 8
(1 t ) dt t
3 5 15
æ ö
÷
ç
= - = - + =
÷
ç
÷
ç
è ø
ò
.
Vậy
8
I
15
=
.
3. Dạng bậc chẵn với hàm sin và cos.
Phương pháp chung: Sử dụng công thức hạ bậc

Chú ý:
2 2
1 cos2x 1 cos2x 1
cos x ;sin x ;sinx.cosx sin2x
2 2 2
+ -
= = =
Ví dụ 3 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân
2
4 2
0
I cos xsin xdx
p
=
ò
.
Giải
2 2
4 2 2 2
0 0
1
I cos xsin xdx cos x sin 2xdx
4
p p
= =
ò ò
2 2
2
0 0
1 1

(1 cos4x)dx cos2x sin 2xdx
16 4
p p
= - +
ò ò
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos4x)dx sin 2xd(sin2x)
16 8
p p
= - +
ò ò
3
2
0
x 1 sin 2x
sin4x
16 64 24 32
p
æ ö
p
÷
ç
= - + =
÷
ç
÷
ç

è ø
.
Vậy
I
32
p
=
.
Nhận xét:
Ví dụ 4. Tính tích phân
2
0
dx
I
cosx sinx 1
p
=
+ +
ò
.
Giải
Đặt
( )
2
2
x 1 x 2dt
t tg dt tg 1 dx dx
2 2 2
t 1
= Þ = + Þ =

+
x 0 t 0, x t 1
2
p
= Þ = = Þ =
16
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
1
2 2
0
2 2
1 2dt
I .
1 t 2t 1 t
1
1 t 1 t
Þ =
- +
+ +
+ +
ò
1
1
0
0
dt
ln t 1 ln2
t 1
= = + =
+

ò
.
Vậy
I ln2=
.
4. Dạng liên kết
Ví dụ 1. Tính tích phân
0
xdx
I
sinx 1
p
=
+
ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt= p - Þ = -
x 0 t , x t 0= Þ = p = p Þ =
( )
0
0
( t)dt
t
I dt
sin( t) 1 sint 1 sint 1
p
p
p -

p
Þ = - = -
p - + + +
ò ò
0 0
dt dt
I I
sint 1 2 sint 1
p p
p
= p - Þ =
+ +
ò ò
( )
( )
2
2
0 0
dt dt
t
t t
2 4
cos
sin cos
2 4
2 2
p p
p p
= =
p

-
+
ò ò
( )
( )
( )
2
0
0
t
d
t
2 4
tg
t
2 2 2 4
cos
2 4
p
p
p
-
p p p
= = - = p
p
-
ò
.
Vậy
I = p

.
Tổng quát:
0 0
xf(sinx)dx f(sin x)dx
2
p p
p
=
ò ò
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
2
2007
2007 2007
0
sin x
I dx
sin x cos x
p
=
+
ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt
2
p
= - Þ = -
x 0 t , x t 0

2 2
p p
= Þ = = Þ =
( )
( ) ( )
2007
0
2007 2007
2
sin t
2
I dx
sin t cos t
2 2
p
p
-
Þ = -
p p
- + -
ò
2
2007
2007 2007
0
cos t
dx J
sin t cos t
p
= =

+
ò
(1).
Mặt khác
2
0
I J dx
2
p
p
+ = =
ò
(2). Từ (1) và (2) suy ra
I
4
p
=
.
Tổng quát:
2 2
n n
n n n n
0 0
sin x cos x
dx dx ,n
sin x cos x sin x cos x 4
p p
+
p
= = Î

+ +
ò ò
Z
.
Ví dụ 3 . Tính tích phân
6
2
0
sin x
I dx
sin x 3cosx
p
=
+
ò
và
6
2
0
cos x
J dx
sinx 3cosx
p
=
+
ò
.
Giải
17
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh

+,
6 6
2 2
0 0
sin x 3cos x
I 3J dx (sinx 3cosx)dx
sin x 3cosx
p p
-
- = = -
+
ũ ũ

( )
6
0
cosx 3sinx 1 3
p
= - - = -
(1).
+,
( )
6 6
0 0
dx 1 dx
I J dx
2
sinx 3cosx
sin x
3

p p
+ = =
p
+
+
ũ ũ
t
t x dt dx
3
p
= + ị =
x 0 t , x t
3 6 2
p p p
= ị = = ị =
2 2
2
3 3
1 dt 1 sintdt
I J
2 sint 2
sin t
p p
p p
ị + = =
ũ ũ
( )
2 2
2
3 3

d(cost)
1 1 1 1
d(cost)
2 4 cost 1 cost 1
cos t 1
p p
p p
= = -
- +
-
ũ ũ

2
3
1 cost 1 1
ln ln3
4 cost 1 4
p
p
-
= =
+
(2).
T (1) v (2)
3 1 3
I 3J 1 3
I ln3
16 4
1
1 1 3

I J ln3
J ln3
4
16 4
ỡ
-
ù
ỡ
- = -
ù
ù
= +
ù
ù
ù
ù
ị
ớ ớ
ù ù
-
+ =
ù ù
= -
ù ù
ợ
ù
ợ
.
Vy
3 1 3 1 1 3

I ln3 , J ln3
16 4 16 4
- -
= + = -
.
Vớ d 4. Tớnh tớch phõn
1
2
0
ln(1 x)
I dx
1 x
+
=
+
ũ
.
Gii
t
2
x tgt dx (1 tg t)dt= ị = +
x 0 t 0, x 1 t
4
p
= ị = = ị =
( )
4 4
2
2
0 0

ln(1 tgt)
I 1 tg t dt ln(1 tgt)dt
1 tg t
p p
+
ị = + = +
+
ũ ũ
.
t
t u dt du
4
p
= - ị = -
t 0 u , t u 0
4 4
p p
= ị = = ị =
( )
0
4
0
4
I ln(1 tgt)dt ln 1 tg u du
4
p
p
p
ộ ự
ị = + = - + -

ờ ỳ
ở ỷ
ũ ũ
4 4
0 0
1 tgu 2
ln 1 du ln du
1 tgu 1 tgu
p p
-
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ố ứ ố ứ
+ +
ũ ũ
( )
4 4
0 0
ln2du ln 1 tgu du ln2 I
4
p p
p
= - + = -
ũ ũ
.

Vy
I ln2
8
p
=
.
18
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
Ví dụ 5. Tính tích phân
4
x
4
cosx
I dx
2007 1
p
p
-
=
+
ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt= - Þ = -
x t , x t
4 4 4 4
p p p p
= - Þ = = Þ = -
4 4

t
t t
4 4
cos( t)
2007 cost
I dt dt
2007 1 1 2007
p p
-
-
p p
-
-
Þ = - =
+ +
ò ò
( )
4 4
t
t t
4 4
(1 2007 ) 1
1
costdt 1 costdt
1 2007 2007 1
p p
p p
- -
+ -
= = -

+ +
ò ò
4 4 4
0
4 4
1 2
costdt I I costdt costdt
2 2
p p p
p p
- -
= - Þ = = =
ò ò ò
.
Tổng quát:
Với
a > 0
,
0a >
, hàm số
f(x)
chẵn và liên tục trên đoạn
[ ]
; - a a
thì
x
0
f(x)
dx f(x)dx
a 1

a a
- a
=
+
ò ò
.
Ví dụ 6. Cho hàm số f(x) liên tục trên
¡
và thỏa
f( x) 2f(x) cosx- + =
.
Tính tích phân
2
2
I f(x)dx
p
p
-
=
ò
.
Giải
Đặt
2
2
J f( x)dx
p
p
-
= -

ò
,
x t dx dt= - Þ = -
x t , x t
2 2 2 2
p p p p
= - Þ = = Þ = -
[ ]
2 2
2 2
I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx
p p
p p
- -
Þ = - = Þ = + = - +
ò ò
2 2
0
2
cosxdx 2 cosxdx 2
p p
p
-
= = =
ò ò
.
Vậy
2
I
3

=
.
Vậy
I
2
p
=
.
Chú ý:
19
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
Đơi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.
Ví dụ 7. Tính tích phân
2
4
0
I cos xdx
p
=
ò
.
Giải
Đặt
2
t x x t dx 2tdt= Þ = Þ =
2
x 0 t 0, x t
4 2
p p
= Þ = = Þ =

( )
2
2
0
0
I 2 tcostdt 2 tsint cost 2
p
p
Þ = = + = p -
ò
.
Vậy
I 2= p -
.
Câu 8 :: Tính tích phân :
1
2008
1
I x sinxdx
−
=
∫
Giải:
Viết lại I về dưới dạng:
0 1
2008 2008
1 0
I x sinxdx x sinxdx.
−
= +

∫ ∫
(1)
Xét tích phân
0
2008
1
J x sinxdx.
−
=
∫
Đặt
x t dx dt= − ⇒ = −
khi đó:
2
2
3t dt
3t dt 2xdx dx .
2x
= ⇒ =
Đổi cận:
{
x= -1 t = 1
x=0 t 0
⇒
⇒ =
Khi đó:
0 1
2008 2008
1 0
I ( t) sin( t)dt x sinxdx.= − − − = −

∫ ∫
(2)
Thay (2) vào (1) ta được I = 0.
Câu 9 :: Tính tích phân :
/ 2
4
4 4
0
cos x
I dx.
cos x sin x
π
=
+
∫
Giải:
Đặt
t x dx dt
2
π
= − ⇒ = −

Đổi cận:
x= 0 t =
2
x= t 0
2
π

⇒



π

⇒ =


20
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
Khi đó:
4
0 / 2 / 2
4 4
4 4 4 4
4 4
/ 2 0 0
cos ( t)( dt)
sin tdt sin x
2
I dx.
cos t sin t cos x sin x
cos ( t) sin ( t)
2 2
π π
π
π
− −
= = =
π π
+ +

− + −
∫ ∫ ∫
Do đó:
/ 2 / 2
4 4
4 4
0 0
cos x sin x
2I dx dx I .
2 4
cos x sin x
π π
+ π π
= = = ⇒ =
+
∫ ∫
Câu1 0 :: Tính tích phân:
1/ 2
1/ 2
1 x
I cosx.ln dx.
1 x
−
−
 
=
 ÷
+
 
∫

Giải:
0 1/ 2
1/ 2 0
1 x 1 x
I cosx.ln dx cosx.ln dx
1 x 1 x
−
− −
   
= +
 ÷  ÷
+ +
   
∫ ∫
. (1)
Xét tính chất
0
1/ 2
1 x
J cosx.ln dx
1 x
−
−
 
=
 ÷
+
 
∫
Đặt

x t dx dt= − ⇒ = −
Đổi cận:
1 1
x= - t =
2 2
x=0 t 0


⇒


⇒ =

Khi đó:
0 1/ 2 1/ 2
1/ 2 0 0
1 t 1 t 1 x
I cos( t).ln dt cost.ln dt cosx.ln dx
1 t 1 t 1 x
+ − −
     
= − − = − = −
 ÷
 ÷  ÷
− + +
 
   
∫ ∫ ∫
(2)
Thay (2) vào (1) ta được I = 0.

Câu1 1 :: Tính tích phân:
1
4
x
1
x dx
I
2 1
−
=
+
∫
Giải:
Biến đổi I về dạng:
0 1
4 4
x x
1 0
x dx x dx
I
2 1 2 1
−
= +
+ +
∫ ∫
(1)
Xét tích phân
0
4
x

1
x dx
J
2 1
−
=
+
∫
Đặt x = –t ⇒ dx = –dt
Đổi cận:
{
x= -1 t = 1
x=0 t 0
⇒
⇒ =
. Khi đó:
0 1 1
4 4 t 4 x
t t x
1 0 0
( t) dt t .2 .dt x .2 .dx
J
2 1 2 1 2 1
−
−
= − = =
+ + +
∫ ∫ ∫
(2)
21

GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
Thay (2) vào (1) ta được:
1 1 1 1
4 x 4 4 x
4
x x x
0 0 0 0
x .2 .dx x dx x (2 1)dx 1
I x dx .
5
2 1 2 1 2 1
+
= + = = =
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
Câu 12 : Tính tích phân:
/ 2
n
n n
0
cos xdx
I
cos x sin x
π
=
+
∫
Giải:
Đặt
t x dx dt

2
π
= − ⇒ = −
Đổi cận:
x= 0 t =
2
x= t 0
2
π

⇒


π

⇒ =

Khi đó:
n
0 /2 /2
n n
n n n n
n n
/ 2 0 0
cos t ( dt)
sin tdt sin x
2
I dx.
cos t sin t cos x sin x
cos t sin t

2 2
π π
π
π
 
− −
 ÷
 
= = =
π π
    + +
− + −
 ÷  ÷
   
∫ ∫ ∫
Do đó:
/ 2 /2
n n
n n
0 0
cos x sin x
2I dx dx I .
2 4
cos x sin x
π π
+ π π
= = = ⇒ =
+
∫ ∫
Câu1 3 :: Tính tích phân:

2
0
xsinxdx
I .
4 cos x
π
=
−
∫
Giải:
Biến đổi I về dạng:
2 2
0 0 0
xsinxdx xsinxdx
I xf(sinx)dx.
4 (1 sin x) 3 sin x
π π π
= = =
− − +
∫ ∫ ∫
Đặt
x t dx dt= π− ⇒ = −
Đổi cận:
{
x= t = 0
x=0 t
π ⇒
⇒ = π
Khi đó:
0

2 2 2 2
0 0 0
( t)sin( t)dt ( t)sintdt sintdt tsintdt
I
4 cos ( t) 4 cos t 4 cos t 4 cos t
π π π
π
π − π − π − π
= − = = −
− π − − − −
∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2
0 0 0
d(cost) d(cost) d(cost)
I 2I
4 cos t 4 cos t cos t 4
π π π
= −π − ⇔ = −π = π
− − −
∫ ∫ ∫
2
0
0
d(cost) 1 cost 2 ln9
I . ln .
2 2 4 cost 2 8
cos t 4
π
π
π π − π

⇔ = = =
+
−
∫
22
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
Câu1 4 :: Tính tích phân:
2
3
0
I x.cos xdx
π
=
∫
Giải:
Đặt
x 2 t dx dt= π − ⇒ = −
Đổi cận:
{
x= 2 t = 0
x=0 t 2
π ⇒
⇒ = π
Khi đó:
0 2
3 3
2 0
I (2 t).cos (2 t)( dt) (2 t).cos tdt
π
π

= π − π − − = π −
∫ ∫
2 2 2
3 3
0 0 0
2 cos tdt t cos tdt (cos3t 3cost)dt I
2
π π π
π
= π − = + −
∫ ∫ ∫
2
0
1
2I sin3t 3sint 0 I 0.
2 3
π
π
 
⇔ = + = ⇔ =
 ÷
 
Câu1 5 : Tính tích phân:
/ 2
0
1 sinx
I ln dx.
1 cosx
π
+

 
=
 ÷
+
 
∫
Giải:
Đặt
t x dx dt
2
π
= − ⇒ = −
Đổi cận:
x= 0 t =
2
x= t 0
2
π

⇒


π

⇒ =

Khi đó:
0 / 2
/ 2 0 0
1 sin t

1 cost 1 sint
2
I ln ( dt) ln dt ln dt
1 sint 1 cost
1 cos t
2
π π
π
 π
 
+ −
 ÷
 ÷
+ +
   
 
= − = = −
 ÷
 ÷  ÷
π
+ +
 
   
 ÷
+ −
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫ ∫

/ 2
0
1 sinx
ln dx I 2I 0 I 0.
1 cosx
π
+
 
= − = − ⇔ = ⇔ =
 ÷
+
 
∫
Câu1 6 :: Tính tích phân:
/ 4
0
I ln(1 tgx)dx.
π
= +
∫
Giải:
Đặt
t x dx dt
4
π
= − ⇒ = −
23
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
Ñoåi caän:
x= 0 t =

4
x= t 0
4
π

⇒


π

⇒ =

Khi ñoù:
0 / 4 / 4
/ 4 0 0
1 tgt 2
I ln[1 tg( t)dt ln(1 )dt ln dt
4 1 tgt 1 tgt
π π
π
π −
= − + − = + =
+ +
∫ ∫ ∫
/ 4 /4 / 4
/ 4
0
0 0 0
[ln2 ln(1 tgt)]dt ln2 dt ln(1 tgt)dt ln2.t I
π π π

π
= − + = − + = −
∫ ∫ ∫
ln2 ln2
2I I .
4 8
π π
⇔ = ⇔ =
II. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1 tính tích phân
b
a
I f(x) dx=
ò
+) lập bảng xét dấu f(x) : giả sử bxd f(x) là
x
a

1
x

2
x

b
f(x)

+

0

-

0

+
+) Tính
1 2
1 2
b x x b
a a x x
I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx= = - +
ò ò ò ò
.
Ví dụ 1. Tính tích phân
2
2
3
I x 3x 2 dx
-
= - +
ò
.
Giải
Bảng xét dấu
x
3-

1

2

2
x 3x 2- +

+

0

-

0
( ) ( )
1 2
2 2
3 1
59
I x 3x 2 dx x 3x 2 dx
2
-
= - + - - + =
ò ò
.
Vậy
59
I
2
=
.

Ví dụ 2. Tính tích phân
2
2
0
I 5 4cos x 4sinxdx
p
= - -
ò
.
Giải
2 2
2
0 0
I 4sin x 4sinx 1dx 2sinx 1 dx
p p
= - + = -
ò ò
.
Bảng xét dấu
x
0

6
p

2
p

2sinx 1-

-

0

+

24
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
( ) ( )
6 2
0
6
I 2sinx 1 dx 2sin x 1 dx 2 3 2
6
p p
p
p
= - - + - = - -
ò ò
.
Vậy
I 2 3 2
6
p
= - -
.
2. Dạng 2
Giả sử cần tính tích phân
[ ]
b

a
I f(x) g(x) dx= ±
ò
, ta thực hiện
Cách 1.
Tách
[ ]
b b b
a a a
I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx= ± = ±
ò ò ò
rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
Ví dụ 1. Tính tích phân
( )
2
1
I x x 1 dx
-
= - -
ò
.
Giải
Cách 1.
( )
2 2 2
1 1 1
I x x 1 dx x dx x 1 dx

- - -
= - - = - -
ò ò ò
0 2 1 2
1 0 1 1
xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx
- -
= - + + - - -
ò ò ò ò
0 2 1 2
2 2 2 2
1 0 1 1
x x x x
x x 0
2 2 2 2
- -
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= - + + - - - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Cách 2.
Bảng xét dấu
x –1 0 1 2
x – 0 + +

x – 1 – – 0 +
( ) ( ) ( )
0 1 2
1 0 1
I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx
-
= - + - + + - + - +
ò ò ò
( )
1
2
0 2
1 1
0
x x x x 0
-
= - + - + =
.
Vậy
I 0=
.
3. Dạng 3
Để tính các tích phân
{ }
b
a
I max f(x), g(x) dx=
ò
và
{ }

b
a
J min f(x), g(x) dx=
ò
, ta thực hiện các
bước sau:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số
h(x) f(x) g(x)= -
trên đoạn [a; b].
Bước 2.
+ Nếu
h(x) 0>
thì
{ }
max f(x), g(x) f(x)=
và
{ }
min f(x), g(x) g(x)=
.
+ Nếu
h(x) 0<
thì
{ }
max f(x), g(x) g(x)=
và
{ }
min f(x), g(x) f(x)=
.
25