Chuyên đề ôn thi Phương trình, bất phương trình đại số

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ
Mục lục
Loại 1. Phương pháp lũy thừa ................................................................................1
A.

Nội dung phương pháp ...............................................................................1

B.
C.

Một số ví dụ ..................................................................................................3
Bài tập ...........................................................................................................8

D.

Đáp số ...........................................................................................................9

Loại 2. Phương pháp ẩn phụ .................................................................................11
A.

Nội dung phương pháp .............................................................................11

B.
C.

Một số ví dụ ................................................................................................12
Bài tập .........................................................................................................18

D.

Đáp số .........................................................................................................20

Loại 3. Phương trình và bất phương trình tích ..................................................21
A.

Nội dung phương pháp .............................................................................21

B.

Một số ví dụ ................................................................................................22

C.
D.

Bài tập .........................................................................................................24
Đáp số .........................................................................................................25

Loại 4. Một số phương pháp đặc biệt...................................................................27
A.

Một số ví dụ ................................................................................................27

B.

Bài tập .........................................................................................................30

C.

Đáp số .........................................................................................................31

ST&BS: Cao Văn Tú

Email:

Loại 1. Phương pháp lũy thừa
A. Nội dung phương pháp
Phần này đề cập đến phương pháp cơ bản nhất khi giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ phương pháp lũy thừa. Sau đây là các quy tắc cấn nhớ khi sử dụng phương pháp này.
* Một số phép biến đổi tương đương phương trình vô tỷ
+)

f  x   g  x 

f  x  g  x  
.
f  x   0


+)

f  x   g 2  x 

f  x  g  x  
.
g  x   0


* Một số phép biến đổi tương đương bất phương trình vơ tỷ

f  x   g  x 


.
g  x   0


 f  x  g  x  


f  x   g  x 

f  x  g  x  
.
g  x   0




 g  x   0



f  x   0
f  x  g  x  
.

 g  x   0

2

 f  x   g  x 



 g  x   0



f  x   0
f  x  g  x  
.

 g  x   0

2

 f  x   g  x 



g  x   0


f  x   g  x   f  x   0
.

2
f  x   g  x 


PT, BPT Vô tỉ.

1
Blog: www.caotu28.blogspot.com


ST&BS: Cao Văn Tú



Email:

g  x   0


f  x   g  x   f  x   0
.

2
f  x   g  x 


PT, BPT Vô tỉ.

2
Blog: www.caotu28.blogspot.com


ST&BS: Cao Văn Tú

Email:

B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. GPT

1

x3  2x  5  2x  1 .
Giải

 2
 3

 x3  4x2  2x  4  0
 x3  2x  5   2x  12


Ta có 1  
.
 
1
 2x  1  0
x  2



x  2

 2   x  2 x2  2x  2   x  1  3

x  1  3









 thỏa mãn  3 
 không thỏa mãn  3  .
 thỏa mãn  3 



Vậy tập nghiệm của 1 là 1;1  3 .
Ví dụ 2. [ĐHD06] GPT

1

2x  1  x2  3x  1  0 .
Giải



1



 3

 x2  3x  1  0  32 5  x  32 5 .

 2

Ta có



2x  1  x2  3x  1

.
2x  1  x  3x  1  
x2  3x  1  0


 2
 3

 x4  6x3  11x2  8x  2  0

2

  x  1

2

 4

 x2  4x  2  0

x  1
 thoûa maõn  4 

.
  x  2  2  thỏa mãn  4  

 x  2  2  không thỏa mãn  4  






Tập nghiệm của 1 là 1;2  2 .
Ví dụ 3. [ĐHA05] GBPT

5x  1  x  1  2x  4 .

1

Giải

5x  1  0

ĐK:  x  1  0  x  2 .
 2x  4  0

PT, BPT Vô tỉ.

3

Blog: www.caotu28.blogspot.com


ST&BS: Cao Văn Tú
Ta có:

1

Email:



5x  1  2x  4  x  1

 5x  1  3x  5  2 2x2  6x  4


2x2  6x  4  x  2 (do x  2  x  2  0 )

 2x2  6x  4  x2  4x  4
 x2  10x  0

 0  x  10
Kết hợp điều kiện  tập nghiệm của 1 là  2;10 .

Ví dụ 4. [ĐHA04] GBPT



2 x2  16

x3



x3 

7x
.
x3

1

Giải

 x2  16  0

ĐK: 
 x 4.
x  3  0

Ta có: 1





 
2  x2  16   10  2x

2 x2  16  x  3  7  x

10  2x  0

  10  2x  0


2
2
  2 x  16  100  40x  4x






x  5

 x  5

  x2  20x  66  0


x  5

 x  5

 10  34  x  10  34


 x  10  34 (TMĐK).





Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 10  34;  .

PT, BPT Vô tỉ.

4
Blog: www.caotu28.blogspot.com


ST&BS: Cao Văn Tú
Ví dụ 5. GPT

Email:

2x  3  x  6  x  5  2  x  4  .

1

Giải
ĐK: x  6 . Ta có

1



 3x  3  2 2x2  9x  18  3x  3  2 2 x2  x  20



 2x2  9x  18  2 x2  x  20





 x  2 (không TMĐK).
Vậy 1 vơ nghiệm.
Ví dụ 6. GPT

1

x  7  4x  1  5x  6  2 2x  3 .
Giải

ĐK: x  3 .
2
Ta có

1



x7 2

 2x  3 

5x  6  4x  1

 9x  5  4 2x2  11x  21  9x  5  2 20x2  19x  6
 2 2x2  11x  21  20x2  19x  6



 

 4 2x2  11x  21  20x2  19x  6



 12x2  63x  78  0
 4x2  21x  26  0

x  2
 
13 .
x  4

Thử lại ta thấy chỉ x  13 là nghiệm của 1 . Vậy 1 có nghiệm duy nhất x  13 .
4
4
Nhận xét:
+) Hai phương trình: f  x   g  x  và f 2  x   g2  x  nói chung là khơng tương đương.
Vì lý do này mà trong ví dụ nói trên, sau khi thu được kết quả cuối cùng, ta phải thử lại.
+) Việc quyết định khi nào bình phương hai về của phương trình là quan trọng. Trong ví
dụ nói trên, động tác bình phương được thực hiện sau khi chuyển vế. Nhờ thế mà sau khi
bình phương, ta giản ước được 9x  5 ở hai vế.

PT, BPT Vô tỉ.

5
Blog: www.caotu28.blogspot.com


ST&BS: Cao Văn Tú

Email:

Ví dụ 7. Biện luận số nghiệm của PT

1

 x3  x  m  1  x .
Giải

 2

 x3  x  m  x2  2x  1
 x 3  x 2  x  m  1


Ta có 1  
.
 
1  x  0
x  1




Do đó số nghiệm của 1 bằng số nghiệm thỏa mãn x  1 của  2  nên bằng số điểm chung của
đường thẳng y  m  1 với đồ thị hàm số f  x   x3  x2  x ( x  1 ).

 x  1
Ta có f '  x   3x2  2x  1 . f '  x   0  
1 .
x  3


x -∞
f '(x) +

-1
0 1

1
3

Kết luận:
1

0 +
1

f( x )
-∞

25

7

* m  1  1  m  2 : 1 vô nghiệm.
* m  1   25  m  18 : 1 có 1 nghiệm.
7
7

m  18
 m  1   25
7 : 1 có 2 nghiệm.
7  
*
m  2
 m  1  1


*  25  m  1  1  2  m  18 : 1 có 3 nghiệm.
7
7

Ví dụ 8. [ĐHB06] Tìm m để PT sau đây có hai nghiệm phân biệt

x2  mx  2  2x  1 1 .
Giải

 3x2   4  m  x  1  0
 x2  mx  2   2x  12


Ta có 1  

 
1
 2x  1  0
x   2



 2

 2

.

là phương trình bậc hai có    4  m   12  0 m   2  ln có hai nghiệm phân biệt
2

 x1  x2  m  4

3
x1 , x 2 . Theo định lý Vi-ét thì 
 x1x2   1
3


1 có hai nghiệm phân biệt

 3 .

  2  có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng  1
2

 x1   1
 x1  1  0


2
2
 
 
 x2   1
 x2  1  0

2

2

PT, BPT Vô tỉ.

6
Blog: www.caotu28.blogspot.com


ST&BS: Cao Văn Tú




  
 

Email:

 x 1  x 1 0
 x1  x2   1  0
2 2

 1 2
 
 
 4 .
1 x 1 0
x1x2  1  x1  x1   1  0
 x1 


2
4
2 2
2

Thay  3  vào  4  ta thu được

 m 4  1  0
m  1
m  1  0
 3

9
 
 

 1 1 m4 1
9  m 2.
2m  9  0
 3  2 . 3  4  0
m  2


Vậy 1 có hai nghiệm phân biệt  m  9 .
2
Chú ý: Ví dụ trên có thể được làm bằng cách khác như sau:
Biến đổi 1 về dạng:


3x2  4x 1
m 
x
.

x   1

2

1 có hai nghiệm phân biệt

PT, BPT Vơ tỉ.

2
 y  m có hai điểm chung với ĐTHS y  3x  4x 1 , x   1 .
2
x

7
Blog: www.caotu28.blogspot.com


ST&BS: Cao Văn Tú

Email:

C. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau
1) x  x2  x  2  3 .

2) x  2  x2  3x  1  0 .

3) 3x  x3  x  1  2 .

4)

x3  x2  6x  28  x  5 .

6)

x4  5x3  12x2  17x  7  6  x  1 .

2)

x2  2x  x  2  x  x2  2x  2 .

x4  4x3  14x  11  1  x .

5)

Bài 2. Giải các phương trình sau
1)

x  3  3x  1  2 x  2x  2 .

3)

x 1  1  x .
x
x

Bài 3. Giải các phương trình sau
1) 3 x  1  3 x  1  x 3 2 .
3)

3

2) 3 x  1  3 x  3  3 2 .

3

2x3  1  1  x3  x .

Bài 4. Giải các bất phương trình sau
1)

x  9  2x  4  5 .

3) 2x  5  x2  4x  3 .





2) x  1  2 x2  1 .
4)

x2  3x  2  x2  4x  3  2 x2  5x  4

.
5)  x  1 2x  1  3  x  1 .

6)

2x
 2x  2 .
2x  1  1

Bài 5. Giải và biện luận theo m các phương trình
1)

x2  1  x  m .

2)

x  m  x  m  m.

Bài 6. [ĐHB07] Chứng minh với mọi m  0 , phương trình x2  2x  8  m  x  2  có hai
nghiệm phân biệt.
Bài 7. Giải và biện luận theo m các bất phương trình sau
1)

m  2  x  x  m.

PT, BPT Vô tỉ.

2)

xm  x2.

8
Blog: www.caotu28.blogspot.com


ST&BS: Cao Văn Tú

Email:

D. Đáp số
1) 1 .

2) 3

3)  1 .

4) 1 , 12 13 .

5)  2 , 1 .

6) 2  3 .

Bài 2

1) 1 .

2) vô nghiệm.

3) 1 .

Bài 3

1) 0 ,  1 .

2) 1 , 3 .

3) 0 , 1 , 1 .

Bài 4

1) x  0 .

2) x  1 hoặc 1  x  3 .

3) 1  x  14 .
5

4) x  1 hoặc x  4 .

5) 1  x  2 .

6)  1  x  0 .

Bài 1

Bài 5

1)

32

2

m  1 hoặc 0  m  1 : vô nghiệm,
2
1  m  0 hoặc m  1 : x   m 1 .
2m

2)

m  0 hoặc 0  m  2 : vô nghiệm,
m  0: x  0,
2
m  2 : x  m 4 .
4

Bài 7

1)

m  1 : x  m  1 ,
m  1 : x  m hoặc m  2  x  m  1 .

2)

2  m  9 : x  m,
4
m 9: 9x 5,
4 4
2

m  2: x  2.

PT, BPT Vô tỉ.

9
Blog: www.caotu28.blogspot.com


ST&BS: Cao Văn Tú

PT, BPT Vô tỉ.

Email:

10
Blog: www.caotu28.blogspot.com

ST&BS: Cao Văn Tú

Email:

Loại 2. Phương pháp ẩn phụ
A. Nội dung phương pháp
Dùng ẩn phụ là một phương pháp thơng dụng để giải phương trình nói chung và phương trình vơ
tỷ nói riêng. Đối với phương trình vơ tỷ, phương pháp này có thể được phân loại như sau:
+) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chỉ chứa ẩn phụ.
+) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ.
+) Đặt một ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ.
+) Đặt hai ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa hai ẩn phụ.

PT, BPT Vơ tỉ.

11
Blog: www.caotu28.blogspot.com


ST&BS: Cao Văn Tú

Email:

B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải các PT

1

1) x2  x2  11  31 .

2)  x  5 2  x   3 x2  3x

1

1)

2) .
Giải

1) Đặt t  x2  11



 2

t  11  3

, ta thu được phương trình
 
 x2  t 2  11


t  6
t 2  11  t  31  t2  t  42  0  
t  7




Thay t  6 vào  2  ta có

 thỏa mãn  3 
 không thỏa mãn  3 

x2  11  6  x2  11  36  x2  25  x  5 .

Vậy tập nghiệm của phương trình là 5 .
2) 1  x2  3x  3 x2  3x  10  0 .
Đặt t  x2  3x

 2

t  0  3 

, ta thu được phương trình
 
2
2
 x  3x  t


t  2
t2  3t  10  0  
t  5

Thay t  2 vào  2  ta có

 thỏa mãn  3 
.
 không thỏa mãn  3 

x  1
.
x2  3x  2  x2  3x  4  x2  3x  4  
 x  4

Vậy tập nghiệm của phương trình là 1; 4 .
Ví dụ 2. Giải các phương trình
1) x2  2x x  1  3x  1
x

1 .

3

2) x2  x4  x2  2x  1

1 .

Giải
1) Ta thấy x  0 không phải nghiệm của 1 nên

1
PT, BPT Vô tỉ.





 x 2 x 1  3 1  x 1  2 x 1  3  0 .

x
x
x
x
12
Blog: www.caotu28.blogspot.com


ST&BS: Cao Văn Tú
Đặt t  x  1

x

 2

Email:

t  0  3 

, ta thu được phương trình
 
2
1
x  x  t


t  1  thỏa maõn  3 
.
t2  2t  3  0  
t  3  không thỏa mãn  3 


Thay t  1 vào  2  ta có

x  1  1  x  1  1  x2  x  1  0  12 5 .
x
x

 

Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 5 .
2

2) Ta thấy x  0 không phải nghiệm của 1 nên

1





 x 3 x 1  2 1  x 1  3 x 1  2  0 .
x
x
x
x

Đặt t  3 x  1

x

 2

 x  1  t 3 , ta thu được phương trình
x





t 3  t  2  0   t  1 t 2  t  2  0





2
 t  1  0 (do t 2  t  2  t  1  7  0 x )
2
4

 t  1.
Thay t  1 vào  2  ta có 3 x  1  1  x  1  1  x2  x  1  0  12 5 .
x
x

 

Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 5 .
2

Ví dụ 3. Giải các phương trình
1) 2x  x  1  x  2 x2  x  1 1 .

2) x2  2x  x  3  2x x  3  9 .
Giải

1) Đặt t  x  1  x

 2

t  1  3 

.
 
2
2
 2x  2 x  x  t  1


Với phép đặt ẩn phụ như trên 1 trở thành

t  1 ( thỏa mãn  3 )
.
t2  1  t  1  t2  t  2  0  
t  2 ( không thỏa mãn  3 )

Thay t  1 vào  2  ta được
PT, BPT Vô tỉ.

x  1  x  1  4 .

13
Blog: www.caotu28.blogspot.com


ST&BS: Cao Văn Tú
Xét  4  :

Email:

ĐK: x  0 .
* Dễ thấy x  0 là nghiệm của  4  .
* x  0  VT  4  1  x không phải nghiệm của  4  .
Vậy 1 có nghiệm duy nhất x  0 .





2) 1  x2  x  x  x  3  2x x  3  9 .
Đặt t  x  x  3

 2

t  3  3 

.
 
2
2
 x  x  2x x  3  t  3



Với phép đặt ẩn phụ như trên 1 trở thành

t  3
( thoûa maõn  3 )
.
t2  3  t  9  t2  t  12  0  
t  4 ( không thỏa mãn  3 )

Thay t  3 vào  2  ta được x  x  3  3  4  .
Xét  4  :
ĐK: x  3 .
* Dễ thấy x  1 là nghiệm của  4  .
* x  1  VT  4  4  x không phải nghiệm của  4  .
* 3  x  1  VT  4  4  x không phải nghiệm của  4  .
Vậy 1 có nghiệm duy nhất x  1 .
Ví dụ 4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x2  2x  2m 5  2x  x2  m2

1 .

Giải
Đặt t  5  2x  x2

 2

 x2  2x  5  t2 . Phương trình 1 trở thành:

Khi đó phương trình trở thành: t 2  2mt  m2  5  0

 3

 t  m 5.

Xét hàm f  x  5  2x  x2 . Ta có f  x   6   x  1 . Ta thấy f  x   0 x , dấu bằng xảy
2

ra  x  1  6 ; f  x   6 x , dấu bằng xảy ra  x  1 . Do đó tập giá trị của hàm f là

 0; 6  , thành thử  2  có nghiệm  t   0; 6  .




PT, BPT Vô tỉ.

14
Blog: www.caotu28.blogspot.com


ST&BS: Cao Văn Tú
Vậy 1 có nghiệm

Email:

  2  có nghiệm t   0; 6 



0  m  5  6

 5  m  6  5
.
 
 
0  m  5  6
 5m 6 5


Chú ý:


Điều kiện phương trình f  x   m
o

*

* có nghiệm:

có nghiệm  đường thẳng y  m có điểm chung với đồ thị hàm

số y  f  x  .
o



*

có nghiệm  m thuộc tập giá trị của hàm số y  f  x  .

Trong ví dụ trên, ta dùng điều kiện thứ hai để tìm điều kiện phương trình

có nghiệm. Về việc tìm tập giá trị của hàm số y  f  x  , ta có thể dùng khẳng
định sau: Nếu f đạt giá trị nhỏ nhất là m tại a , đạt giá trị lớn nhất là M tại b và

f liên tục trên đoạn với hai đầu mút a , b thì tập giá trị của f là m;M .
Ví dụ 5. Giải phương trình 2 1  x x2  2x  1  x2  2x  1

1 .

Giải
Đặt t  x2  2x  1

 2 , 1 trở thành:

t  0
.
2  1  x  t  t 2  t t  2  1  x    0  


t  2 1  x   0  t  2 1  x 
Thay t  0 vào  2  ta có

x2  2x  1  0  x2  2x  1  0  x  1  2 .

Thay t  2 1  x  vào  2  ta có

 2 1  x   0

x2  2x  1  2 1  x   
2

2
x  2x  1  4x  8x  4


x  1

  2
 3x  10x  5


x  1

x  5  3 10 .
 
5  10 
x  3






Vậy tập nghiệm của phương trình là 1  2; 5 10 .
3

Ví dụ 6. Giải phương trình x 35  x3  x  35  x3   30





3

PT, BPT Vô tỉ.

3

1 .
15
Blog: www.caotu28.blogspot.com


ST&BS: Cao Văn Tú

Email:
Giải

3
Đặt t  35  x3  t3  35  x3  x3  t 3  35

Thay t  35  x3 vào 1 , ta có xt  x  t   30
3

 2 .

 3 .

Ta có hệ gồm hai phương trình  2  và  3  :

 x  t 3  3xt  x  t   35
x3  t 3  35



 

xt  x  t   30
 xt  x  t   30


 x  t 3  125

(thay phương trình dưới vào phương trình trên)
 
xt  x  t   30



x  t  5

 
xt  x  t   30


x  t  5
(thay phương trình trên vào phương trình dưới)
 
 xt  6
x  2

T  2
t  3

2
Ta có T  5T  6  0  
. Do đó, hệ nói trên tương đương với 
.
x  3
T  3

 t  2

Vậy tập nghiệm của 1 là 2;3 .
Chú ý: Định lý Vi-ét đảo

x  y  S
xy  P

Xét hệ 

(1) và phương trình t 2  St  P  0

(2) .

Khi đó:

 (1) có nghiệm  (2) có nghiệm.
  x  t1

y  t2
 Trong trường hợp (2) có nghiệm t1 và t 2 thì: (1)  
x  t .
2


  y  t1

Ví dụ 7. [ĐHA09] Giải phương trình 23 3x  2  3 6  5x  8  0

1 .

Giải

PT, BPT Vô tỉ.

16
Blog: www.caotu28.blogspot.com


ST&BS: Cao Văn Tú

Email:

Đk: 6  5x  0  x  6 .
5

u  3 3x  2

Đặt 
 v  6  5x

Ta

có

 2

 2a 
 2
 2b 


5u3  3v2  8  0

 v  0.

u3  3x  2

 2
 v  6  5x


5u3  15x  10

 2
 3v  18  15x






5u3  3v2  8



 3 .

Thay  2  vào 1 , ta được 2u  3v  8  0  v   2  u  4 
3

 4 .

Thay  4  vào  3  , ta có:
2

5u3  3   2  u  4    8  0
 3


 3





 5u3  4 u2  8u  16  8  0
3

 15u3  4u2  32u  40  0





  u  2  15u2  26u  20  0

u  2  0
 
2
15u  26u  20  0


  '  131  0 

 u  2 .
Thay u  2 vào  2a  , ta được 3 3x  2  2  3x  2  8  x  2 .
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  2 .

PT, BPT Vô tỉ.

17
Blog: www.caotu28.blogspot.com


ST&BS: Cao Văn Tú

Email:

C. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
1)

1  x  1  x  2 1  x2  4 .

2)

3x  2  x  1  4x  9  2 3x2  5x  2 .

 x  23  6x  0 .

4)

3 x  6x  3

6)

7x  7  7x  6  2 49x2  7x  42  181  14x

3)

x3  3x2  2

5)

2x2  x2  5x  6  10x  15 .

 3  x  6  x  .

.
7)

5 x

5
2 x

 2x 

1
 4.
2x

8)

3 x  6 x 

Bài 2. Cho phương trình

x2
.
1 x  1 x  2 
4

 3  x  6  x   m .

1) Giải phương trình với m  3 .
2) Tìm m để phương trình có nghiệm.
Bài 3. Tìm m để BPT m  x2  2x  2  1   x  2  x   0 có nghiệm x  0;1  3  .








 2  x  4  x   x2  2x  m nghiệm đúng với mọi x   2;4 .

Bài 4. Tìm m để BPT
Bài 5. Giải các PT sau:
1) 1  1  x2  2x2 .

2) x3 

 1  x2 

3



 x 2 1  x2



3)

1  x2  4x3  3x .

.
Bài 6. Giải các PT sau:





1) 5 x3  1  2 x2  2 .



2)

5x2  14x  9  x2  x  20  5 x  1 .







4) 2 x2  3x  2  3 x3  8 .

3) 2x2  5x  2  4 2 x3  21x  20 .

4

Bài 7. [ĐHA07] Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3 x  1  m x  1  2 x2  1 .
Bài 8. Giải các phương trình:
1) 3 24  x  12  x  6 .

2)

3) 4 x  4 17  x  3 .

2

2
4) 3  2  x   3  7  x   3  2  x  7  x   3

x 3  3 x  3.

.

PT, BPT Vô tỉ.

18
Blog: www.caotu28.blogspot.com


ST&BS: Cao Văn Tú

Email:
6) 4 x  4 x  1  4 2x  1 .

5) 3 x  3 x  16  3 x  8 .

Bài 9. Với giá trị nào của a thì phương trình: 3 1  x  3 1  x  a có nghiệm.
Bài 10. Giải các phương trình sau
1) x3  1  23 2x  1 .

PT, BPT Vô tỉ.

2) 2x2  4x 

x3
.

2

3) 2x3  1  3

x1
.
2

19
Blog: www.caotu28.blogspot.com


ST&BS: Cao Văn Tú

Email:

D. Đáp số
Bài 1 1) 0 .

2) 2 .

3) 2 , 2  2 3 .

4) 0 , 3 .

5)  ; 5 3 5    5 3 5 ;   .


2   2


 


6)  6 ;6 .
7 



 2



7) 0; 3  2  3  2;  .
2

Bài 2 1) 3 , 6 .
Bài 4 m  4 .Bài 5

3) 

Bài 6 1)

3)

2)
1) 

6 2 9
 m  3 .Bài 3
2

3
.
2

2)

m

2
.
3

2 1 2  2  2
,
.
2
2

1
2 2
, 
.
4
2

5  37
.
2

9  193 17  3 73
,
.
4
4

Bài 8 1) 24 , 88 , 3 .
3) 1 , 16 .
5) 8 ,

8)  1;1 .

56  3010
.
7

2)

5  61
, 8.
2

4) x  3  13 Bài 7 1  m 

1
.
3

2) 1 .
4) 1 , 6 .

6) 0 .

Bài 9 0  a  2 .
Bài 10 1) 1 ,

1  5
.
2

2)

3  17 5  13
,
.
4
4

1
3)  .
2

PT, BPT Vô tỉ.

20
Blog: www.caotu28.blogspot.com


ST&BS: Cao Văn Tú

Email:

Loại 3. Phương trình và bất phương trình tích
A. Nội dung phương pháp
Phần này đề cấp đến việc giải phương trình, bất phương trình vơ tỷ bằng cách đưa phương trình,
bất phương trình cần giải về phương trình, bất phương trình tích.
Nhân tử chung có thể thấy ngay hoặc nhận được sau một số phép biến đổi đơn giản. Việc sử
dụng biểu thức liên hợp đôi khi cho ta lời giải bất ngờ.
Về biểu thức liên hợp, ta cũng cần biết:



Biểu thức liên hợp của




a b



a  b là

a b:



a  b  ab.

 

 

2
2
Biểu thức liên hợp của 3 a  3 b là 3 a  3 ab  3 b :

 3 a  3 b   3 a 

2

 

2
 3 ab  3 b   a  b .


….

PT, BPT Vô tỉ.

21
Blog: www.caotu28.blogspot.com


ST&BS: Cao Văn Tú

Email:

B. Một số ví dụ
x  3  2x x  1  2x  x2  4x  3

Ví dụ 1. Giải phương trình

1 .

Giải

1

x  3  2x x  1  2x 







 x  3 x  1

(ĐK: x  1 )

 x  1  1  0
x  3  0

 x  3 1  x  1  2x






x  1  1 2x 

 x1 1  0

 2x  x  3  0


 x1  1

 x  3  2x


x  1  1

   2x  0

  x  3  4x2



x  0
.

x  1

Ta thấy cả 2 giá trị 0 và 1 đều thỏa mãn điều kiện để phương trình có nghĩa. Vậy tập nghiệm
của phương trình là 0;1 .



Ví dụ 2. [ĐHD02] Giải bất phương trình x2  3x



2x2  3x  2  0

1 .

Giải

x   1
2.
Đk: 2x2  3x  2  0  
x  2

 x2  3x  0
 x2  3x  0

hoặc 
1   2
 2x  3x  2  0
 2x2  3x  2  0



x  0
x  0

x  3

x  3

  x  2 hoặc 
1
x   2



x   1

2
x  2

x  0
x  3
x   1

2.
  x  2 hoặc 
x  3


1
x   2

PT, BPT Vô tỉ.

22
Blog: www.caotu28.blogspot.com

ST&BS: Cao Văn Tú

Email:
Kết hợp với điều kiện để 1 có nghĩa, ta có tập nghiệm của 1 là: ;  1   2   3;   .
2



1 .

Ví dụ 3. Giải phương trình x3  x  2  0

Giải
Đk: x  0 .



 



Ta có 1  x3  1 

x 1  0





  x  1 x2  x  1 

x 1
0
x 1

1 

  x  1  x 2  x  1 
0
x 1

 x  1  0 (do x2  x  1 





2
1
1
3
  0 x  0 )
= x 1 
2
x 1
x 1 4

 x  1 (thỏa mãn điều kiện để 1 có nghĩa).
Vậy 1 có nghiệm duy nhất x  1 .

Ví dụ 4. [ĐHB10] Giải phương trình

3x  1  6  x  3x2  14x  8  0

1 .

Giải

3x  1  0
 1 x6
3
6  x  0

Đk: 

Ta có 1 





 2 .

 



3x  1  4  1  6  x  3x2  14x  5  0
3  x  5

x5
  x  5  3x  1  0
3x  1  4 1  6  x


3
1



  3x  1   0
  x  5 
 3x  1  4 1  6  x

 x  5  0 (do

3
1

  3x  1  0 x :  1  x  6 )
3
3x  1  4 1  6  x

 x  5 (thỏa mãn  2  ).
Vậy 1 có nghiệm duy nhất x  5 .

PT, BPT Vô tỉ.

23
Blog: www.caotu28.blogspot.com