ôn tập cuối năm toán 10
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (403.35 KB, 36 trang )
!"#$%$
& '()*+
!"# !
, '-(.(/
$%&'"()**+,&-
0 123456)789
./&0)("10)102
3#,"45")6
$78*(%
$:;
9:;9"<=&>&%"0%
$%;?0@A 8):)8
<
BC&')<"5*D":0-10<
=>$?
@ABC!$"D
&7+E)FEG(8HGIE)1J(/KL()
EFGH+;0IJKFK<A :D !GJKFLMJKF
⇔
GJKFNIJKFLMJKFNIJKF
FGHO;
P0IJKFQ"
∀
K
∈
D!GJKFLMJKF
⇔
GJKF6IJKFLMJKF6IJKF
P0IJKFL"
∀
K
∈
D!GJKFLMJKF
⇔
GJKF6IJKFQMJKF6IJKF
FGH!;0GJKF
≥
MJKF
≥
"
∀
K
∈
D!GJKFLMJKF
⇔
J F J FP x Q x<
,>I3()M)*+GN+()IOPQRPSG
P T
∞
b
a
−
S
∞
OP JR &08#,EF U J?>&08#,EF
S8EQET;
J F J Ff x a a f x a≤ ⇔ − ≤ ≤
J F
J F
J F
f x a
f x a
f x a
≤ −
≥ ⇔
≥
0 M()VW5X2I3+YRRZ)*+GN+)R
?E*EIJKFUEK
NKN"E
≠
"
∆
U
VE
P0
∆
L!IJKF>&08#,EJE66IJKFQF"
∀
K
∈
.
P0
∆
U!IJKF>&08#,EJE66IJKFQF"
∀
K
≠
b
a
−
P0
∆
Q!IJKF>&08#,EKLK
WKQK
XIJKF &08#,EK
LKLK
6JS8K
"K
)E#*YEIJKFK
LK
F
[(/PF2I3IJKFUEK
NKN"E
≠
"
∆
U
VEQ
P T
∞
P
&
P
,
S
∞
OP (Cùng dấu với hệ số a) U (Trái dấu với hệ số a) U Cùng dấu với hệ số a)
?IJKFUEK
NKN"E
≠
EF EK
NKNUT#*
⇔
∆
U
VE
≥
F FEK
NKNUT#* &0
⇔
E6L
F EK
NKNUT#*&
⇔
c
a
b
a
∆ ≥
>
− >
&F EK
NKNQ"
∀
K
⇔
a >
∆ <
IFEK
NKN
≥
"
∀
K
⇔
a >
∆ ≤
2F EK
NKNL"
∀
K
⇔
a <
∆ <
FEK
NKN
≤
"
∀
K
⇔
a <
∆ ≤
IF &FEK
NKNUT#*O*
⇔
c
a
b
a
∆ ≥
>
− <
\IE)1J(/KL()GN+)R
R M()(/)-R
3 !)T&IJKFQJ$WIJKF
≥
"IJKFL"IJKF
≤
F" <TIJKF
)*+E*E6JIJKFUEK
NKN"E
≠
F
G 7+)/[
Z[-E"E&'<A)\]&0E*E
Bước 1:ZW ^IJKF" =KH&0IJKF
Bước 2:_`E-KH&00YE<[)0#*YE
<>]^
& >_(/&LZ` +YR)6Za
LZ` +YR+7+)6ZaaR3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
F a X b X c b X a b
a a b c
F X X X
a a a
F X X
b c d a
= − − = + − = − + = + −
+ + − + + + −
= = = =
+ + − + + − +
= − = −
− + + + − + + +
a y x x y x x y x x y x x
x x x x x x x
b y y y y
x x x x x x x x
c y y
x x x x x x x x
, >_(/,[E)1J(/KL()
6& Gi¶I c¸c ph¬ng tr×nh :
F K e aK + = − +
F K fKx− − =
dF d − + =x x
aF aK g Kfx− + =
F aK g Kfx− + =
eF e d g− + = −x x x
bF aK df K + + =
cF K b K e bx x+ − + + − =
6, Gi¶I c¸c ph¬ng tr×nh :
F aK b ef aK b x x+ + + + =
F K gf K d + − =
0 >_(/0[GIE)1J(/KL()
6& 9- !E0;
EF
a b x x− + − ≥ −
F
J F
x x
x
− −
<
−
F
a
a
x
x x
+
− + > +
&F
a b
a
x x
x
+ +
− ≤ +
2F
J aFJ bF ax x x− + − − > − −
IF
J F J F x x− + >
6, 9- !
EFKJKVFJKNFL FJKNaFJaKVFJbKNeF
L F
b
a x
>
−
&F
a
a
x
x
− +
≤ −
+
2F
a
x x
x
x
+ −
> −
−
IF
b ax − <
F
ax x− > −
F
a ex x− − =
F
x x x+ ≤ − +
60 9- !E0;
EFK
NKN
≥
FK
VJN
FKNaN
Q FK
VKN
≤
&FKJKNbF
≤
JK
NF 2FK
VJ
NFKN
Q IFVaK
NdKV
≥
FJKNF
Va"b
≥
K F
a
K
VaKNcL
6\ 9- !E0;
EFJKVFJK
VFJK
NF
≤
FJVK
NaKVFJK
VbKNcF
≥
PFK
a
VaK
NKVacQ &FJaK
VdKNFJK
NKNFQ
6 9- !E0;
EF
b
x
x
−
>
+
F
b
x
x x
−
>
− −
F
b
x x
x x
+ +
<
− −
&F
a a
x x
x x
− +
≥
+ +
2F
a
a x x x
+ <
+ + +
IF
b
c d a
x
x x x
−
<
− − −
F
b c
b c
x x x
x x x
− + +
≥
+ +
F
x x x
+ − ≤
− +
6b Gi¶I c¸c ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh sau :
aFa b x x+ − ≤
FJ dFJ aFx x x+ − −
bF a a x x− − − ≥
a
cF
x x
≥
+ −
6c Gi¶I c¸c ph¬ng tr×nh :
F K e aK + = − +
F K fKx− − =
aF aK g Kfx− + =
F aK g Kfx− + =
bF aK df K + + =
cF K b K e bx x+ − + + − =
6d Gi¶I c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau:
F K dfKx− − <
F fKfK K a< +
aFfK K a b x+ − − <
F K a Kfx− − ≥
bFa fK c JKfF x+ + + >
cF aK a fK x+ + + ≥
dF K af dfK Kfe+ >
eF K a K + + + ≤
gF K K K + + > +
F fK dfKf fafK >
\ >_(/\[)eGIE)1J(/KL()
6& B ia 09-# !;
EF
b
a
c b
a
a
x
x
x
x
+
≥ −
−
< +
F
a
a b
b a
a
x x
x x
x
x
− ≤ −
< +
−
≤ −
&F
a aJ dF
b a
bJa F
x
x
x
x
−
− + >
−
− <
6, Gi¶I c¸c hÖ bÊt ph¬ng tr×nh sau:
a b g
F X F X F X F
b c
b b g
x
x x x x x x
a b c d
x x
x x x x x
+ >
− + ≥ − − ≤ + <
− + ≤
− + + < + + > − >
>_(/)1J(/KL()fGIE)1J(/KL()+)*R)RZa
6& R!* AYEE*,*<[*h !E0T#*;
EFK
NJ*NFKNaN*N*
U FJ*VFK
VJ*NaFKV*NU
6, R!* A*<[ !;
EFK
NJ*NFKNg*VbUTE#*O*O#
FK
Vc*KNV*Ng*
UTE#*&O#
FJ*
N*NFK
NJ*VaFKN*VbUTE#*&O#
60 i<A*<[E*E0)0(&8*%K;
EFK
NJ*NFKN*Nd FK
NKN*Vb FJa*NFK
VJa*NFKN*N
&F*K
VKVb
6\ i<A*<[E*E0)0(O*8*%K;
EF*K
V*KVb FJV*FK
NJ*VaFKNV*
FJ*NFK
NJ*NFKNV*
&FJ*VFK
NJ*NFKN*V
6 i<A*<[*,IJKFU
amx x m− + +
<5K<A8*%K6
6b R!* AYEE*,<[E0#*<78*%K
EFbK
VKN*Q F*K
VKVbL
F*J*NFK
N*KNQ &FJ*NFK
VJ*VFKNa*Va
≥
L
6c R!* AYEE*,<[E0(#*;
EFbK
VKN*
≤
F*K
VKVb
≥
&
!"#$%$
& '()*+<j
, '-(.(/
$%&'"()**+,&-
0 123456)789
./&0)("10)102
3#,"45")6
$78*(%
$:;
& 9:;9"<=&>&%"0%
, $%;?0@A 8):)8
<
BC&')<"5*D":0-10<
=>$?
@ABC!$"D
6R\YE<j
Z0# +&0 R:%
ELL
⇒
EL 3k]0
EL
⇔
ENLN ?+E<j8*+,
Q EL
⇔
EL OE<j8*+,
L EL
⇔
EQ
ELL&
⇒
ENLN& ?+E<j>0
EQ"Q ELL&
⇒
EL& OE<j>0
0:
&
EL
⇔
++
<
nn
ba
OEYE<j):*+
)0lmE
LEL
⇒
nn
ba
<
EQ
EL
⇔
ba <
nEoEYE*+<j
EL
⇔
aa
ba <
6?<jE&0 A0#<,
xxxxx −>>> ""
axaax ≤≤−⇔≤
JEQF
axax −≤⇔≥
W
ax ≥
bababa +≤+≤−
a63<j?(f
F"J
≥≥
+
≤ ba
ba
ab
"<j
ba
ab
+
=
K- EEU6
363pqRrG
6_6?*3ZR;
E6G
s&'\"<AtE"<4<6
s&'3ZR?(
s&'3ZRE&0 A0#<,
63
F ?a, b, cQ6?*
( )
( )
a
+ + + + ≥ + +
÷
+ + +
a b c a b c
a b b c c a
F ?x, y, zQ?*
e
+ + + ≥
÷ ÷ ÷
x y z
y z x
aF ?*
a
x
x
x
+
≥ ∀ ∈
+
¡
F ?*
e
c Q
x
x
x
+
≥ ∀
−
bF ?
" "a b c
)E,&uE*v
a
a b c+ + =
6?* ^;
a a a
a a a aa b b c c a+ + + + + ≤
JZ$bF
cF 3E,&
" "a b c
uE*v
a
a b c
+ + =
6?* ^;
J FJ FJ F ea b c+ + + ≥
JZ$
6_6S&'3ZR!*9Rw"9RYE[06
dF ?E,`
" x y≠ ≠
uE*v
J Fx y xy x y xy+ = + −
6R!*9RwYE[0
a a
A
x y
= +
JZ$cF
eF 9-C
x
y
)E,&
x y+ =
6R!*9RYE
x y
P
x y
= +
− −
JZ$F
gF R!*9RYE*,
d
J F
y x x
x
x
= + + + >
÷
JZ$cF
F 9-C
"x y
)E,&E<4uE*v<0#
b
x y+ =
6R!*9RYE[0
S
x y
= +
JZ$F
F ?
X a≤ ≤ ≤ ≤x
6R!*9RwYE
( ) ( ) ( )
a a= − − +A y x y x
F R!*9RYE*,E0;
EF
a
J F = +f x x
x
8KQ F
J F
= +
−
f x x
x
8KQ
aF ?
( ) ( )
J F b= + −f x x x
8
b
− ≤ ≤
x
6i<AxEIJKF<9Rw
,
!"#$%$
& '()*+
# !"E"#<,K
, '-(.(/
$%&'"()**+,&-
0 123456)789
./&0)("10)102
3#,"45")6
$78*(%
$:;
& 9:;9"<=&>&%"0%
, $%;?0@A 8):)8
<
BC&')<"5*D":0-10<
=>$?
@ABC!$"D
I)Hệ đối xứng loại I
1) Dạng: Hệ phơng trình
=
=
FXJ
FXJ
yxg
yxf
là hệ đối xứng loại I nếu
=
=
FXJFXJ
FXJFXJ
xygyxg
xyfyxf
2)Cách giải : - Đặt
x y S
xy P
+ =
=
. ĐK:
S P
.
- Biểu thị hệ qua S và P .
- Tìm S ; P thoả mãn điều kiện
PS
.
Khi đó x; y là 2 nghiệm của phơng trình :
=+ PStt
. Từ đó có nghiệm của hệ đã cho.
Chú ý 1 :
+) Nếu hệ có nghiệm (a;b) thì do tính chất đối xứng của hệ nên hệ cũng có ghiệm (b; a). Vì vậy hệ
có nghiệm duy nhất chỉ khi có duy nhất x = y.
+) Hệ có nghiệm khi và chỉ khi hệ S, P có nghiệm S, P thỏa mãn
PS
.
+) Khi
PS
=
thì x = y = -S/2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi chỉ khi có duy nhất S, P thỏa mãn
PS
=
.
Chú ý 2 :
Nhiều trờng hợp ta có thể sử dụng ĐK cần để tìm giá trị của tham số sau đó thay vào hệ kiểm tra xem
có thoả mãn hay không - (Đ/K đủ).
II)Hệ đối xứng loại I
1) Dạng Hệ :
=
=
FXJ
FXJ
yxg
yxf
là hệ đối xứng loại II nếu :
FXJFXJ yxgxyf =
2)Cách giải :
+)Đối với hầu hết các hệ dạng này khi trừ 2 vế ta đều thu đợc phơng tình :
(x-y).h(x;y) = 0
Khi đó hệ đã cho
J X F
J X F J X F
x y h x y
f x y f x y
= =
= =
( Chú ý : Có những hệ đối xứng loại II sau khi trừ 2 vế cha xuất hiện ngay x - y = 0 mà phải suy luận
tiếp mới có điều này).
+) Phơng pháp điều kiện cần và đủ:
Phơng pháp này đ ợc áp dụng tốt cho hệ đối xứng với yêu cầu: Tìm giá trị tham số để hệ có nghiệm
duy nhất.
Đ/k cần:
Nhận xét rằng: do tính đối xứng của hệ nên nếu hệ có nghiệm (x
0
;y
0
) thì (y
0
;x
0
) cũng là nghiệm của
hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi x
0
= y
0
(1)
Thay (1) vào một phơng trình của hệ, tìm đ/k của tham số để pt` có nghiệm x
0
duy nhất ,ta đợc giá trị
của tham số. Đó là đ/k cần.
Đ/k đủ: thay giá trị của tham số vào hệ kiểm tra, rồi kết luận.
e/gZ&E)1J(/KL()GN+()I56E)1J(/KL()GN+)R
1>_(/;
xKN3N?U JF
EK NKN N&KN2NIU JF
JqF
2/ 7+)/[
B ớc 1 : Rút y theo x ở phơng trình bậc nhất (1) rồi thế vào phơng trình bậc hai (2) , ta đợc phơng
trình bậc hai ẩn x có dạng : A
1
x
2
+ B
1
x + C
1
= 0 (*) .
B ớc 2 : Giải pt (*) tìm đợc x thế vào (1) ta tìm đợc y .
3/ Chú ý :
3.1.Số nghiệm của hệ ( I ) phụ thuộc vào số nghiệm của pt (*) .
Nếu pt (*) vô nghiệm thì hệ đã cho vô nghiệm .
Nếu pt (*) có nghiệm duy nhất x
0
thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x
0
; y
0
) .
Nếu pt (*) có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
thì hệ đã cho có 2 nghiệm phân biệt (x
1
; y
1
) và
(x
2
; y
2
) .
3.2. Hoàn toàn tơng tự ta có thể rút x theo y ở pt bậc nhất (1) rồi thế vào phơng trình bậc hai (2) , ta đa
về pt bậc hai ẩn y : A
1
y
2
+ B
1
y + C
1
= 0 (*)
6& Giải các hệ phơng trình sau :
1/
KfU JF
NKfbU JF
2/
gK fc U JF
KfU d JF
3/
KfNU JF
cK fa NKNaU JF
4/
KfNU JF
NKffU JF
6, Giải các hệ phơng trình sau :
KNUc
K N Uc
KNKNUf
K NK Uf
a
KNK N U
KNNKU
K N Ua
K K N Uab
x
60 Giải các hệ phơng trình sau :
KU f
UK fK
JKfF N U
K NJfF U
a
K faKU f
faUK f
K NKUaK
NKUa
/64ah_(&di\i,U&&
j'#
&
!"#$%$
& '()*+
,:
, '-(.(/
$%&'"()**+,&-
0 123456)789
./&0)("10)102
3#,"45")6
$78*(%
$:;
& 9:;9"<=&>&%"0%
, $%;?0@A 8):)8
<
BC&')<"5*D":0-10<
=>$?
@'Dk%l
&K3(/GL()+9(/
x
• R y5-O,],"]0
kkkk
xfxfxfnxnxnx
N
x +++=+++= 666F666J
<T
ii
fn "
)])5)],"]0YE A
i
x
6
),)#0,:J
Nnnn
k
=+++ 666
F
• R y5-O,],"]0H)8
kkkk
cfcfcfncncnc
N
x +++=+++= 666F666J
<T
iii
fnc "
"
)])5) A<&#"],"]0YE)86
),)#0,:J
Nnnn
k
=+++ 666
F
,
M
R -O,]," AT],)8E%)*,YE*z0<5\#0
M
6
0K3(/5M
e
M
Bk`,)#0,:&v(-*JW(oF;
0){! A<
+N
<5%), 0A6
0|! 0! A<
N
+
N
), 0A6
\)1J(/aR
x
S
• R y5-O,],"]0
[ ]
FJ666FJFJFJ666FJFJ
xxfxxfxxfxxnxxnxxn
N
S
kkkkx
−++−+−=−++−+−=
<T
ii
fn "
)])5)],"]0YE A
i
x
X),)#0,:J
Nnnn
k
=+++ 666
FX
x
)
, 0!+YE,)#0<v6
• R y5-O,],"]0H)8
[ ]
FJ666FJFJFJ666FJFJ
xcfxcfxcfxcnxcnxcn
N
S
kkkkx
−++−+−=−++−+−=
<T
iii
fnc ""
)])5) A<&#"],"]0YEYE)8X),)#0,:J
Nnnn
k
=+++ 666
FX
x
), 0!+YE,)#0<v6
9Ve+)+)3m(
x
S
xx
SS =
<>]^
6&?-,:;o0)7E/0JEFo*ggeYEa}m#x D);
a a b b ab b ab b
ab b b a a a a b b
b ab ab a ab ab ab ab
EF_0#0<0 E)!~ZA<0 E~
F$v);
o 3-O,],
o 3-O,]0
F_`E10-YEO0F$vKHK08 0YE,)#0,:
6,Z,)5YEb10-J,)5\^ E*F"yE0<5*z0,)#0E0;
ec ec ec ec ed ed ee ee ee eg
eg eg eg g g g g g g g
g g g g g g ga ga ga ga
ga ga ga ga ga g g g g gb
gc gc gc gd gd
EF_0#0<0 E)!~ZA<0 E~$v AE0 *z0,)#0 :
Fw-O,,]0H)8=*)88<+&-);w8-
•ecXee€)8-•egXg€666
60?*z0,)#0T-O,],]0H)8E0;
T* n- R],J
F R]0JI
F
•ecXee€ g •
•egXg€ 6•
a •gXg€ g 6•
•gbXgd€ c a6a•
R4 Ub •
EF S‚[0<=!+], FS‚[0<=!+]0
F S‚[0<=<y7], &FS‚[0<=!10
6\Z<+&*+*J<A<+&)*FE0<5*z0,)#0E0;
6 6a 6 6b g6e b6c b6 ba6 bb6b bc6 bc6 bd6
bd6 be6 be6d be6e be6g bg6 bg6a bg6 c6 c6a c6b c6e
EFR\, 0!", 0A*,
Fw-,H)8=*c)88<+&-);T*<]0:)•XFT*
E)•XeFX666
6R\-KEYEb)8_
D yR$GRR ]
M0En-;
Fw-O,]0H)8"8)8D-:
FS‚[0<=],!+[#-:6
aKH\-KEYEb%)8_
w8\
R]
,
•"X"F
•"X"cF
•"cX"eF
•"eXa"F
•a"Xa"F
•a"Xa"F
a
c
e
b
?+ b
6bn,)5YEeb)5JYE<)5qF<5K00=JD 0()5F
Fw-O,]0H)8"8)8D-:
FS‚[0<=],!+[#-:6
aF3 ^E0<T" EK0:*E<)5"
<T;
Z)5qqT,)5R3)deE^
Z)5qqqT,)5R3)deE^
$v,)5YE)5 <qqqqqD :6
6cR,:<[*YE*+)8_
<510-E0;
Z[* a b c d e g
R]
,
a a d a g a
R!**,~R\,<[* 0!" 0A<+)#0@~
6dB-)5)7EJ<AFYECE 0+\#*T>&#\<5 !
-],E0<O;
B-)5JKF a
R,JF b e c U
EF R!*-)5 0!YECE 0+
F R!*E<+)#0@
w8,
)5
R],
•bXbbF
•bbXcbF
•cbXdbF
•dbXebF
•ebXgbF
ab
b
b
?+ eb
/64ah_(,&i\i,U&&
$ACn<
0
/64ah_(&di\i,U&&
j'#
&
!"#$%$
& '()*+
0T)5" A)5YE0"(
<4)5
, '-(.(/
$%&'"()**+,&-
0 123456)789
./&0)("10)102
3#,"45")6
$78*(%
$:;
& 9:;9"<=&>&%"0%
, $%;?0@A 8):)8
<
BC&')<"5*D":0-10<
=>$?
@'Dk%l
&3(/56/o+V1p(//7+
E6 M0E#ƒE<+ E<E
U
e
Π
E&" E&U
e
÷
Π
S8
Π
≈
a"!
≈
"db E&5) E&
≈
bd
d
„
b
„„
Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:
Độ 0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
360
0
Radian 0
c
π
π
a
π
π
a
π
a
π
c
b
π
π
π
6 Z+&
l
YE0 …T,<
α
E&"\.)
l
UR
α
6 B,<YE0 …T<[*<]0x"<[*0,3);<
»
"AB k k Z
α π
= + ∈
"
R <T
α
),<YE*+0)5>†T<[*<]0:)x"<[*0,36‡h An
8*+06
0,<^<+!ET;<
»
ac "AB k k Z
α
= + ∈
&6 Z[[0&ˆ0)5T,<
α
:<y …)5"E%<[*xJXF
)*<[*<]0YE0!E}]K<A<[*0,‡ :<y …)5E
0
¼
AM
T,<
¼
AM
α
=
26 ‡h0)5
»
CD
8*+T)5J‰?"‰_F5)6B,<YE0
)5T)5) >E06
,7KMV1p(//7++YR&+3(/
a. ?\
Vụựi moùi
ta coự :
1 sin 1 hay sin 1
1 cos 1 hay cos 1
+tg xaực ủũnh
2
k
cotg xaực ủũnh k
b.
FgJE
=
X
Fe"J
=
X
N
U E6U
U
E
X EU
XNE
U
XN
U
c. !"#$%!!&
vaứ -
'
= = = = cos( ) cos ; sin( ) sin ; ( ) ; cot ( ) cottg tg g g
( Z,F
d. #$%!(!&
vaứ -
'
= = = = cos( ) cos ; sin( ) sin ; ( ) ; cot ( ) cottg tg g g
J3>F
e. #$%!)*!
&
vaứ
+
'
+ = + = + = + =cos( ) cos ; sin( ) sin ; ( ) ; cot ( ) cottg tg g g
J$H*
E"F
f. #$%!)*!
&
vaứ
2
+
'
+ = + = + = + = cos( ) sin ; sin( ) cos ; ( ) ; cot ( ) t
2 2 2 2
tg cotg g g
g. #$%!+,!&
vaứ
2
'
= = = =cos( ) sin ; sin( ) cos ; ( ) ; cot ( ) t
2 2 2 2
tg cotg g g
JG'HF
a6?()5
R -
cos( ) cos .cos sin .sin ; cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos ; sin( ) sin .cos sin .cos
tan +tan
tan( + ) = ;
1 tan .tan
+ = = +
+ = + =
tan tan
tan( ) =
1 tan .tan
+
G -.-
2 2 2 2
2
sin2 2sin .cos
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2tan
tan2
1 tan
=
= = =
=
+ -/0
X X E
+
= = =
+
2 -12342
[ ] [ ]
[ ]
α β α β α β α β α β α β
α β α β α β
= + + − = − − +
= + + −
1 1
cos .cos cos( ) cos( ) ; sin .sin cos( ) cos( )
2 2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
q -12243
cos cos 2cos .cos ; cos cos 2sin .sin
2 2 2 2
sin sin 2sin .cos ; sin sin 2cos .sin
2 2 2 2
sin( ) s
tan ; tan tan
cos cos
α β α β α β α β
α β α β
α β α β α β α β
α β α β
α β
α β α β
α β
+ − + −
+ = − = −
+ − + −
+ = − =
+
+ = − =ang
in( )
cos cos
α β
α β
−
<>]^
&>_(/&3(/56/o+V1p(//7+
6&Z4,<TE0 E<+;
a a a
X XX X X X
a b g c
π π π π π
6,Z,,<TE0 E E<E;ab
X
a
„
X
Xb
X
a
„
Xb
60‡+0 …T\b*6R!*<+&0 :<y …<TT,<;
EF
c
π
Fb
F
&Fa
6\R :<y …)5"K<A<[*‡E0 ^0
¼
AM
T,<;
EFk
π
F
k
π
F
J F
b
k k Z
π
∈
&F
J F
a
k k Z
π π
+ ∈
,7KMV1p(//7++YRZ9+3(/
6&R\ A*,)5YE0T,<;
EFfcg
Fgb
F
d
a
π
−
&F
b
π
6, EF?KU
a
b
−
e
LKLd
6\K"EK"K
F?E
α
U
a
a
π
π α
< <
6R\
α
"
α
"
α
60?EKVKU
LKLg
6R\ A)5K"K"EK"K
6\ EFiH&0b
6Jfa
F
F ?
L
α
Lg
6KH&0YEJ
α
Ng
F
6?L
α
L
π
6iH&0[0;
EF
J F
α π
+
FE
J F
α π
+
F
b
π
α
+
÷
&F
a
e
π
α
−
÷
6b.7%[0
EF
A
x x
−
=
+
F
J F J E FB x x x= + + +
6cR\ AYE[0;
EF
E
E
A
α α
α α
+
=
−
α
U
a
b
L
α
L
π
F?
E a
α
=
6R\
a
b
α α
α α
+
−
X
a a
a
b
α α
α α
−
+
6d?*<jE0;
EF
x x
x x x
+
+ =
+
F
KN
KUV
K6
K F
E
x
x
x x
− =
+
&F
c
KN
c
KUVa
K6
K 2F
6
E
x x
x x
x x
−
=
−
IF
E
x
x
x
+
= +
−
0r(/)*+V1p(//7+
6&R\ A)5YE0;
EF
π
F
b
π
F
d
π
6,?* ^;
π π π π
α α α α α α α α
+ = − = + − = − = − +)sin cos 2 cos( ) 2 sin( ); b)sin cos 2sin( ) 2 cos( )
4 4 4 4
a
60 EF3<44[0;
xxA a6b
=
R\ AYE[0;
d
b
ππ
=B
6\ 3<4\[0;
aKK ++= xA
6R\
a
π
α
−
÷
0
a
α
= −
a
π
α π
< <
6b?* ^;
EF
E
E
E
x
x
x
π
−
= −
÷
+
F
E
E
E
x
x
x
π
+
= +
÷
−
6cR\ AYE[0
EF
6 6 6
c
A
π π π π
=
F
( ) ( )
b b 6 b bC = − +
F
db B = −
6dsn(&>-)5"\ AYE[0E0;
EF
a
d d d
P
π π π
= − +
F
c
d d d
Q
π π π
= + +
6t.7[0;
EF
A
α α
α α
+
=
+ +
F
B
α
α
=
−
F
α α
α α
+ −
− −
6&U?*[0E0('0+
"
α β
EF
c 6a c
α α α
−
F
JE E F J F E 6E
α β α β α β
− − −
F
E 6E
a a a
α α α
−
÷
PhÇn h×nh häc
/64ah_(,&i\i,U&U
kCnu@<f^@<
,
!"#$%$
& '()*+
#)5 E*
, '-(.(/
$%&'"()**+,&-
0 123456)789
./&0)("10)102
3#,"45")6
$78*(%
$:;
& 9:;9"<=&>&%"0%
, $%;?0@A 8):)8
<
BC&')<"5*D":0-10<
=>$?
@ABC!$"D
5#6!*
?E*x3?T3?UE"x?U"x3U" 00x‡U
a
m
"3‡U
b
m
"?‡U
c
m
7$6;
E
U
N
V6x
UE
N
VE63
UE
N
VE6?
89
xU
bc
acb
−+
3U
ac
bca
−+
?U
ab
cba
−+
7$
C
c
B
b
A
a
==
U.J8.)\<y …E*x3?F
:7;4<#=1%!!*
FJ
acbacb
m
a
−+
=−
+
=
X
FJ
bcabca
m
b
−+
=−
+
=
FJ
cabcab
m
c
−+
=−
+
=
>-3;3!*
• BU
a
a
U
b
b
U
c
c
BU
E6?U
6xU
E63
• BU
R
abc
BU BU
FFJFJJ cpbpapp −−−
8U
JENNF
<>]^
6&?
∆
ABCTUab"U"xUc
6R\
E
X.X
6,?
∆
ABCTx3U"x?UxUc6R\0YE
∆
ABC"\E?
60?
∆
ABCTxUc
"?xUe*"x3Ub*
EF R\3? FR\&#\
∆
ABC FiHK2*T3>E%~
F R\<+&<yEx$ 2F R\.
6\R
∆
ABC"EVU"xUa
"
U6R\B3
6?
∆
ABCTEUa*"U*"Ub*
EF R\&#\
∆
ABC F9T3>E%~R\3
FR\\." &FR\<+&<y 0
0*
6b?
∆
ABCTEUa*"U*"Ub*
EFR\&#\
∆
ABC F9T3>E%~R\3
FR\\<y …." &FR\<+&<y 00
6c?
∆
ABCT3?U"?xUa" 00x‡Ue6R\&#\
∆
ABC ~R\T3~
6d?
∆
x3?TagXbXd6R\TYEE*~R\-mx<3?
6t?* ^
∆
ABC)0(T(
b c a
A
S
+ −
=
6&U?
∆
ABC
EF?* ^B3UBJxN?FF?xUc
"3Udb
"x3U"\
…)YE
∆
x3?
6&&?
∆
ABCT9) %O*69%EU3?"U?x"Ux36?* ^;
9x
N93
N9?
U
J F
a
a b c+ +
6&,RE*ABCT3?UE"?xU"x3U6?* ^;EUb6CNc6B
6&0RE*ABCT3?UE"?xU"x3U<y 00x‡UUx36?*
^;
EF a
2
= (b
2
– c
2
) F B
AUJB
BVB
CF
6&\;?* ^ E*ABCET;
EFb
2
– c
2
UaJb6CVc6BF FJb
2
– c
2
FAUaJc6CVb6BF F?UBx3N
3x
6&;?* ^ E*ABCET;ANBNCU
a b c
R
abc
+ +
6&b;‡+!EOx3?_TE<x3UE"?_U
·
BCD
α
=
6R\\YE
<y …!E6
6&cR\&#\YE
∆
ABC, 0E*^"T
µ
x
Ub
"
µ
3
Uc
6
6&ds?* ^0TYE
∆
ABCuE*v<0#3Ux6?"!
∆
<T
O6
6&ts?*<j<78*%
∆
ABC;
EF
6a b c S A= + −
F
J F J F J F a B C b sinC sinA C sinA sinB− + − + − =
F
J F6 xNEJ F6 3NEJE F6 ?Ubc b c c a c b c− − −
6,UR\<+&*
E
" ^U"Ua"
·
BAC
Uc
/64ah_(,&i\i,U&U
vw
0
!"#$%$
& '()*+
!<yj *Wj
, '-(.(/
$%&'"()**+,&-
0 123456)789
./&0)("10)102
3#,"45")6
$78*(%
$:;
& 9:;9"<=&>&%"0%
, $%;?0@A 8):)8
<
BC&')<"5*D":0-10<
=>$?
@ABC!$"D
5?#@!*%!<
∆
+=
+=
tuyy
tuxx
8‡J
X yx
F∈∆
FXJ
uuu =
)2}JSR?GF
:?#@29%!<
∆
EJKV
x
FNJV
y
FUEEKNNU
J8UVE
x
V
y
E
N
≠F <T‡J
X yx
F∈∆
FXJ ban =
)20
• )1J(/KL()81x(/)y(/+z)RK{+|R89E<[*xJEXF3JXF);
=+
b
y
a
x
• )1J(/KL()81x(/)y(/8}3R8~Z
X yx
+o)ea/o+T&;
V
y
UJKV
x
F
>A6B*C*&
X yx
'1<
∆
EKNNU
&J‡X∆FU
ba
cbxax
+
++
DE$#3%!!<
∆
Q
cybxa ++
Q
∆
Q
cybxa ++
Q
∆
k
∆
⇔
a b
a b
≠
XR%E<+E<[*YE
∆
∆
)#*YE#
U
U
a x b y c
a x b y c
+ +
+ +
∆
⁄⁄
∆
⇔
a b c
a b c
= ≠
X
∆
≡
∆
⇔
a b c
a b c
= =
J8
a
"
b
"
c
F
<>]^
F/5E1+#@<
6&w !E*,410YE<yjJ
∆
F;
EF J
∆
F10E‡JVXaFTSRGR
n
r
UJbXF FJ
∆
F10E‡JXFTSR?G
JaXFu =
r
6,w !<yjJ
∆
F;J
∆
F10E‡JXFT#,TU
60?<[*xJaXF3JXVF6S !<yjx36
6\?a<[*xJVXF"3JXF"?JaXVF
EF S<yjx3"3?"?x
F 9%‡) 0<[*YE3?6SE*,YE<yjx‡
F S !<yj<10E<[*xO*<y …
∆
6S !<yj&<10EE<[*YEE<yj&
"&
T !
)])5);aKVdNU"gKNVgU<[*‡JXF6
6bw !<yjJ
∆
F;J
∆
F10ExJXF8<yjKNa
VU
6cw !<yjJ
∆
F;J
∆
F10E?JaXF<yOJqF
YE*Wj%E<+
6d? 0<[*EYE*+E*)‡
JXFX‡
JbXaFX‡
a
JaXVF6w
!EYEE*<T6
6tR *Wj%E<+E*8‡JVXF) 0<[*YE*+"EET
!);KNVU"KNcNaU6i<A%E<+<}YEE*6
6&Uw !YE<yjJ_F y5E0;
EF J_F10E‡JXVF0(T8<
∆
;aKNU6 FJ_F10E,%E<+0(T8
<
b
x t
y t
= −
= +
6&&S<yj<10E,%E<+<[*‡JaXF*+-)86
6&,?E*x3?T<}xJXF
EFw !YEE*<yE{m3?)])5T
!;
gKVaVUKNVU
Fw !<yj10Ex0(Tx?6
6&0?
∆
x3?T !Jx3F;bKVaNUX<yE10E<}x3)])5
);KVaNUXdKNVU6w !Ex?"3?<yEE6
F/:=C2;/+#@<
6&?<yj&;
a
x t
y t
= +
= − −
")E*,6$v !410YE&6
6,S !E*,YE<yj;KVaVU
60S !410"E*,"\kJ0TFYE '%E<+
6\S !E*,YE<yjNaUKVbU
F/>E$#3G!!<
6&iHA \<,YE*hW<yjE0;
EF &
;KVbNcU&
;VKNVaU F&
;VaKNVdU&
;cKV
VdU
F&
;
b
x t
y t
= − −
= +
&
;
c b
x t
y t
= − +
= −
&F&
;eKNVU&
;
c b
c
x t
y t
= − +
= −
F/D HI46
6&R\TƒEE<yj
EF &
;KVbNcU&
;VKNVaU F&
;eKNVU&
;
c b
c
x t
y t
= − +
= −
F&
;KNNU&
;KVNcU
6,?<[*‡JXF<yj&;KVcNaU6S !<yj&„<10E
‡58&*+Tb
6
60S<yj<10E,%E<+8<‰K*+Tc
6
6\S<yj<‡JXF8<‰*+Tc
6
6Z[*xJXF)<}YEE*x3?6?<yEYEE*{m<}3"?^* :
<yjT);gKVaVU"KNVU6S<yj10Ex
8x?*+Tb
6
6b?<[*‡JXbFJbXF6S !<yj&<10E‡<[**+
-^a6
6cS !<yj&<10E,%E<+<[*‡JXF*+-^6
6dS !<yj
<0<yjKNVaUKNNdU
6
6tsJZ$$0,_VggeF?<yj&;aKVN<&„
&-
ƒE<yj<T^6
6&US<yj0(T8<yj&;aKVU<[*‡JXVF*+
-^a6
6&&s?<yj
∆
;KVVU<[*‡JXF6
EF S !<yjJ
∆
„F<10E‡0(T8
∆
6
F R!*%E<+!0$YE‡ :
∆
6 FR!*<[*‡„<,K8‡
10E
∆
6
/64ah_(,&i\i,U&U
v•
JB,;F
!"#$%$
& '()*+
!<y …
, '-(.(/
$%&'"()**+,&-
0 123456)789
./&0)("10)102
3#,"45")6
$78*(%
$:;
& 9:;9"<=&>&%"0%
, $%;?0@A 8):)8
<
BC&')<"5*D":0-10<
=>$?
@ABC!$"D
G !<y …O*R€G\T&;
JKVEF
NJVF
U.
JF
EK
N
VEKVNUJF8UE
N
V.
• S8<0#E
N
VQ! !K
N
VEKVNU) !
<y …O*qJEXF\.
• Zy …J?FO*qJEXF\.K78<yj∆;αKNβNγU
};&JqX∆FU
66
βα
γβα
+
++ ba
U.
∆kJ?F
⇔
&JqX∆FL.
∆(T<[*08J?F
⇔
&JqX∆FQ.
∆K78J?F
⇔
&JqX∆FU.
<>]^
F/5J0;/+<#KL@*.*I43%!<#K
6&R !E0" ![0&ˆ<y …~R!*O*\0
T;
EFK
Na
VcKNeNU FK
N
VKNeVU
FJKVbF
NJNdF
Ub &FK
N
NKNNbU
6,? !K
N
V*KVJ*VFNbUJF"*)E*,
EF S8 AYE*!JF) !<y …~
F 0JF)<y …v!*%E<+O*\YE<y …2*6
F/:M0++#@<#K
6&S !<y … y5E0;
EFRO*qJXaFT\ FRO*qJXaF<10E,%E<+
FZy\)x38xJXF3JbXVbF &FRO*qJXaF<10E<[*xJaXF
6,S !<y …<10Ea<[*xJXFX3JXVF?JVaXF
60S !<y …E*x3?8xJXFX3JXaF?JVXF
6\EFS !<y …O*qJXFK78<yj_;KVVU
FS !<y …O*qJaXFK78<yj_;aKNNdU
6R!*%E<+E<[*YE<yj
x 1 2t
:
y 2 t
= +
∆
= − +
<y …J?F;JKVF
NJVF
Uc
6bsS !<y …<10ExJXF"3JXFTO*
∈
<yj&;KVVU
6csS !<y …<10ExJXF"3JVXFT\.U
6dsS !<y …<10ExJaXF"3JXFK78 '‰K
6tsS !<y …<10ExJXF"T\.U
TO*^* :‰K
6&U?qJXVF6S !<y …O*qK78&;KNVU
F/>M0++#@1+=1
6&w !08<y …JCF;
J F J F acx y− + + =
<[*‡
JXF0+
<y …6
6,S !08<y …JC F;
J F J F ax y− + − =
<[*‡0+<y
…T<+^K
U6
60S !08<y …JCF;
a x y x y+ + + − =
<10E<[*‡JXaF
6\S !0YE<y …JCF;
J F x y− + =
{m,%E<+6
6?<y …JCF;
c b x y x y+ − + + =
<yj&;KNVU6S !
0
∆
∆
&XR!*%E<+<[*6
6b?<y …JCF;
J F J F ex y− + − =
6S !08JC F" ^
0<T&T !;KNVdU6
6cS !08<y …JC F;
bx y+ =
" ^0<T0(T
8<yjKVU6
6d?<y …JCF;
c c x y x y+ − + + =
<[*xJXaF
EF ?* ^x^*<y … FS0YEJCF{
mx
F S0YEJC F00(T8<yjJ&F;aKVNU
6tsS !<y …+E*x3? !YEx3;aKN
VcUXx?;KNaVUX3?;U
6&UsiHA \<,YE<yj
∆
<y …JCFE0<O;aKNN*UK
N
VKNNU
6&&sS<y …JC F<10E<[*xJ"FK78<&
;KNVU&
;KN
NU6
/64ah_(,&i\i,U&U
v•C
&
!"#$%$
& '()*+
!<y …
, '-(.(/
$%&'"()**+,&-
0 123456)789
./&0)("10)102
3#,"45")6
$78*(%
$:;
& 9:;9"<=&>&%"0%
, $%;?0@A 8):)8
<
BC&')<"5*D":0-10<
=>$
@ABC!$"D
&R *Wj‰K<[*Š
JfXF"Š
JXFŠ
Š
UEJEQQ"EUF6‹)J‹F)
5<[*‡;Š
‡NŠ
‡UE6$EJ‹FU
Œ •M F M F M a+ =
,?#@3N%!O+&P'4
x y
a b
+ =
JE
U
N
F
04+Q%!O+&P'4
$E:0<[*;Š
JfXF"Š
JXF
3,<};x
JfEXF"x
JEXF"3
JfXF"3
JXF
Z+& ')8;x
x
U
Z+& 'u;3
3
U
R:0`Š
Š
U
\8@;/%!O+&P'R
J‹FT '<,K)‰K"‰TO*<,K),%E<+
‡%<[*YEJ‹F m<}<0^* !ƒT\E8
D<yjKU
±
E"U
±
6$!ƒ<T%)!ƒDYE2)6
<>]^
F/5S$=1%!O+
6&R!*<+& '"%E<+:0<[*"<}YEJ‹FT !E0;
EF
d c x y+ =
F
g cx y+ =
F
x y+ − =
&F
J " Fmx ny n m m n+ = > > ≠
6,?J‹FT !
x y
+ =
EF R!*%E<+:0<[*"<}"<+& ')8 'uYEJ‹F
F R!* :J‹Fƒ<[*‡E‡!<j,E:0<[*&8*+T
0(6
60?J‹FT !
b g
x y
+ =
6$v !<y …JC FT<y\Š
Š
<TŠ
Š
):0<[*YEJ‹F
6\R!*:0<[*YE2)J‹F;
Jb g Fx y
α α α
+ = < <
F/:M0++#@%!O+
6&;w !\kYE2)J‹F;
EF ‡+<} : ')8)xJfXF*+:0<[*ŠJf
XF
F $E<} : ')8)‡J
a
X
b
F"
a
J X
b
−
F
6,w !\kYE2)J‹F;
EF G !YE!ƒD)
"U ax = ± ±
F Z10E<[*
JX aFM
J X aFN −
FR:0<[*Š
JfcXF},
a
c
a
=
60w !\kYE2)J‹F;
EF R:0`^c"},
a
b
c
a
=
FZ10E<[*
a
J X F
b b
M
∆
‡Š
Š
0(
‡
F $E:0<[*Š
JXFŠ
JXF"<+& ')8^6
F/>7C*;#T*O+
6&R *Wj%E<+‰K<[*‡JKXF&<+T%E<+)0(uE*v
d
b
x t
y t
=
=
"
<T)E*,6$vu‡&<+ :*+2)6
6,R!*ƒ<[* :2)J‹F;
g
x
y+ =
uE*v
EF!:0<[*&8*+T0( F!:0<[*&8*+Tc
60?J‹FT !
c a
x y
+ =
6R!*ƒ<[* :2)<0<[*xJXF3Jf
XF
6\?J‹FT !
e c
x y
+ =
<yj&;UK6R!*ƒ<[* :J‹FE
-m<[*<T<&^
a
6
