Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp Môn Toán 2011(Newfull)

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN
NĂM 2010-2011
****************************
A. CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
* Phần chung dành cho tất cả thí sinh: (7 điểm)
Câu I (3 điểm):
- Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số, cực trị,
tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước,
tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)
Câu II (3 điểm):
- Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
- Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
- Bài toán tổng hợp.
Câu III (1 điểm):
Hình học không gian (tổng hợp): Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể
tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
* Phần riêng (3 điểm):
Thí sinh học chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2):
Theo chương trình Chuẩn:
Câu IV.a (2 điểm):
Phương pháp tọa độ trong không gian:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Mặt cầu.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu V.a (1 điểm):
- Số phức: môđun của số phức, các phép toán trên số phức; căn bậc hai của số thực âm; phương trình bậc hai
hệ số thực có biệt thức D âm.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.

Theo chương trình nâng cao:
Câu IV.b (2 điểm):
Phương pháp tọa độ trong không gian:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Mặt cầu.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí
tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu V.b (1 điểm):
- Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức; căn bậc hai của số phức; phương trình bậc hai với
hệ số phức; dạng lượng giác của số phức.
- Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y = (ax
2
+ bx +c) /(px+q ) và một số yếu tố liên quan.
- Sự tiếp xúc của hai đường cong.
- Hệ phương trình mũ và lôgarit.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
B.Những điều cần biết khi ôn thi:
Không nên tăng tốc một cách ghê gớm vào những ngày cận thi mà dẫn đến tình trạng “bão hòa”,
kéo theo sự sút giảm sức khỏe, hậu quả là thi không đúng khả năng thường có của mình. Cách học
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh
hợp lý vào các ngày cận thi là giảm cường độ: chủ yếu là đọc lại, xem và hệ thống lại các nội dung đã
được học, hệ thống và liên kết các mảng kiến thức khác nhau trong chương trình, huy động các kiến
thức đã học một cách nhanh và hợp lý nhất để giải quyết các vấn đề; khơng nên tìm hiểu những điều
phức tạp mà trước đó chưa biết, chỉ nên đọc lại những điều đã học, ghi nhớ những cơng thức hay
qn hoặc thường có nhầm lẫn. Những ngày cận thi khơng nên học q nhiều, cần tạo một tâm lý
thoải mái và tăng cường sức khỏe.
Khơng nên học q khuya mà cần thay đổi thói quen: tập thức dậy sớm. Nếu thức dậy sớm một
cách tự nhiên (chứ khơng phải bị gọi dậy) thì sẽ thấy thoải mái, khi vào phòng thi sẽ dễ dàng suy nghĩ
và làm bài thi với chất lượng tốt hơn. Trong ngày thi, khơng nên đến muộn vì như thế khơng có được

tâm lý tốt. Trước khi vào phòng thi nên tránh việc cười đùa q mức với bè bạn vì điều ấy sẽ gây bất
lợi cho việc nhanh chóng tập trung suy nghĩ để thực hiện bài thi.
C. Cách làm bài thi:
a)Phần chung là mọi học sinh đều phải làm, phần riêng chỉ được chọn 1 trong 2 (nếu làm cả 2 sẽ vi
phạm qui chế và phần này khơng được chấm điểm)
b) Khi làm bài thi chú ý khơng cần theo thứ tự của đề thi mà theo khả năng giải được câu nào trước
thì làm trước. Khi nhận được đề thi, cần đọc thật kỹ để phân định đâu là các câu hỏi quen thuộc và dễ
thực hiện (ưu tiên giải trước), các câu hỏi khó nên giải quyết sau. Có thể ta đánh giá một câu hỏi nào
đó là dễ và làm vào giấy thi nhưng khi làm mới thấy là khó thì nên dứt khốt chuyển qua câu khác,
sau đó còn thì giờ hãy quay trở lại giải tiếp. Khi gặp đề thi khơng khó thì nên làm rất cẩn thận, đừng
chủ quan để xảy ra các sai sót do cẩu thả; còn với đề thi có câu khó thì đừng nên nản lòng sớm mà
cần kiên trì suy nghĩ. Phải biết tận dụng thời gian trong buổi thi để kiểm tra các sai sót (nếu có) và tập
trung suy nghĩ để giải các câu khó còn lại (nếu gặp phải). Khi làm bài thi bằng nhiều cách khác nhau
mà đắn đo khơng biết cách nào đúng sai thì khơng nên gạch bỏ phần nào hết để giám khảo tự tìm chỗ
đúng để cho điểm.
D. MỘT SỐ CHỦ ĐỀ TỰ BỒI DƯỠNG
PHẦN I: GIẢI TÍCH
Chủ đề 1: Khảo sát hàm số
I/ Khảo sát hàm đa thức
1/ Sơ đồ khảo sát hàm đa thức
1. TXĐ
2. Sự biến thiên:
a) Chiều biến thiên:
Tìm y’, giải phương trình y’= 0 và các bất phương trình y’>0, y’<0 ⇒ Khoảng đồng biến, nghịch biến
b) Cực trị của hàm số.
c) Giới hạn tại vơ cực
d) BBT
Chú ý : Hàm số bậc 3 có y
/
= 0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép thì y

/
ln cùng dấu với a trừ nghiệm kép
3.Đồ thị:
Bảng giá trị. Ghi dòng x gồm hồnh độ cực trị và lấy thêm 2 điểm có hồnh độ lớn hơn cực trị bên phải và nhỏ hơn cực
trị bên phải). Hàm bậc 3 lấy thêm điểm nằm giữa 2 cực trị
Vẽ đồ thị. .
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh
x
Ghi tập xác đònh và nghiệm của phương trình y
/
=0
f’(x)
Xét dấu y
/
f(x)
Ghi khoảng tăng, giảm , cực trò của hàm số
Các dạng đồ thò hàm bậc 3:
y y y y

0 x 0 x 0 x 0 x


' 0 có 2 nghiệm phân biệt
0
=


>

y

a

' 0
0
≥ ∀


>

y x
a

' 0 có 2 nghiệm phân biệt
0
y
a
=


<


' 0
0
≤ ∀


<

y x

a
Chú ý: Đồ thị hàm bậc 3 ln nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
Các dạng đồ thị hàm trùng phương:
y y y y
0 x 0 x 0 x
0 x

y' 0 có 3 nghiệm phân biệt
a 0
=


>


' 0 có 1 nghiệm đơn
0
y
a
=


>


' 0 có 3 nghiệm phân biệt
0
y
a
=



<


' 0 có 1 nghiệm đơn
0
y
a
=


<

II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y= 2x
3
– 9x
2
+ 12x– 4
Giải:
Miền xác định: D=
¡

y
′
= 6x
2
– 18x+ 12

y
′
= 0
⇔
6x
2
– 18x+ 12=0
⇔
1
2
x
x
=


=


y
′
> 0
⇔
<


>

1
2

x
x
;
y
′
< 0
⇔
< <1 2x
Hàm số đồng biến trong 2 khoảng:(
−∞
;1) và (2; +
∞
), nghịch biến trong khoảng: (1;2)
Hàm số đạt cực đại tại x=1; y
CĐ
=1, cực tiểu tại x=2; y
CT
=0
lim
x
y
→+∞
=
+∞
,
lim
x
y
→−∞
= −∞

Bảng biến thiên:
x
−∞
1 2 +
∞

y
′
+ 0 – 0 +
y 1 +
∞

−∞
0
Điểm đặc biệt
x 0 1
3
2
2 3
y -4 1
1
2
0 5
Ví dụ 2:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y= x
4
– 2x
2
– 1
Giải:

Miền xác định: D=
¡
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh

y
′
= 4x
3
– 4x cho
y
′
= 0
⇔
4x
3
– 4x=0
⇔
0
1
1
x
x
x
=


=


= −



y
′
> 0
⇔
− < <


>

1 0
1
x
x
;
y
′
< 0
⇔
< −


< <

1
0 1
x
x
Hàm số đồng biến trong 2 khoảng: (–1;0) và (1;

+∞
), nghịch biến trong 2 khoảng: (
−∞
;–1) và (0;1)
Hàm số đạt cực đại tại x=0; y
CĐ
= -1, cực tiểu tại x= ±2; y
CT
= -2
lim
x
y
→+∞
=
lim
x
y
→−∞
= +∞
Bảng biến thiên: x
−∞
–1 0 1
+∞

y
′
– 0 + 0 – 0 +
y
+∞
–1

+∞
–2 –2
Điểm đặc biệt
x -2 -1 0 1 2
y 7 -2 -1 -2 7
Nhận xét: đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.
B/ Bài tập tự giải: Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị các hàm số sau:
1/ Dạng y = a
3
+ bx
2
+ cx +d
a/ y = 2x
3
- 3x
2
+ 1 b/ y =
1
3
x
3
– x
2
+ x -1 c/ y = - x
3
– x
2
– x -1 d/y = - x
3
+ 3x + 1 e/y = x

3
-3x+1
f/ y = x
3
+3x−4 g/ y = (1-x)
3
h/ y = 3x
2
-x
3
i/y = -
1
3
x
3
–2 x
2
-4 x +1 j/ y = x
3
+ x + 1
k/ y= x
3
- x
2
- x + 1 l/ y =
3
1
3
x
- x m/y= - x

3
+ 3x
2
n/ y = x
3
– 3x
2
+2 p/ y = x
3
– 3x + 1
q/ y = -x
3
+ 3x
2
– 1 r/ y= x
3
- 2x
2
+ x + 4 s/ y = - 2x
3
- x + 2
2/ Dạng 2 : y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0) a/ y= x
4
– 3x
2
+2 b/ y= x

4
+ x
2
– 4 c/ y=
4
2
3
2 2
x
x− + −

d/ y= 3 - 2x
2
– x
4
e/y=
4
2
5
3
2 2
x
x− +
f/ y = x
4
+ 2x
2
g/ y = - x
4
+ 2x

2
+2 h/ y = -
4
2
3
2 2
x
x− +
i/ y =
-
4
2
5
2 2
x
x+ −
j/ y =
2
1
x
2
x
2
4
+−
k/ y = x
4
+x
2
-2. l/ y=2x

2
−x
4
-1 m/ y=x
4
-1
II/ Khảo sát hàm nhất biến
1/ Sơ đồ khảo sát hàm
ax b
y
cx d
+
=
+
:
( )
0,0
≠−≠
bcadc
1. TXĐ: D = R\
d
c
−
 
 
 
2. Sự biến thiên:
a) Chiều biến thiên:
Tình y’=
( )

2
. .a d b c
cx d
−
+
⇒ Khoảng đồng biến, nghịch biến
b) Cực trị: hàm số khơng có cực trị.
c) Giới hạn tiệm cận:
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh
Tiệm cận ngang là:
a
y
c
=
vì
c
a
y
x
=
±∞→
lim
.
Tiệm cận đứng là x =
d
c
−
vì
( ) ( )
lim ; lim

d d
x x
c c
y y
− +
→− →−
= +∞ −∞ = −∞ +∞
d) BBT
3.Đồ thị:
bảng giá trị ( mổi nhánh lấy 2 điểm ).
Vẽ đồ thị. .
Dạng đồ thò hàm b1/b1
y’< 0
x D∀ ∈
y’> 0
x D∀ ∈
2/ Ví dụ: Khảo sát hàm số y =
2 2
1
x
x
−
+
.
TXĐ: D= R\
{ }
1−
y
′
=

( )
2
4
1x +
> 0
x
∀ ∈
D
⇒
Hàm số luôn đồng biến trên từng khỏang xác đònh của nó.
Tiệm cận ngang là:
2=y
vì
2lim =
±∞→
y
x
.
Tiệm cận đứng là
1
−=
x
vì
−∞=+∞=
+−
−→−→
yy
xx 11
lim;lim
Bảng biến thiên.

Điểm đặc biệt: cho
20 −=⇒= yx
và cho
10 =⇒= xy
Đồ thò:
Bài tập đề nghị: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh
x -
∞
-1 +
∞
y
/
+ +
y +
∞
2
2 -
∞

2 4 6 8-2-4-6-8
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
x

y
x
Ghi tập xác đònh của hàm số
f’(x)
Xét dấu y
/
f(x)
Ghi khoảng tăng, giảm , cực trò của hàm số
6
4
2
-2
5
x
y
a/
2 3
x
y
x
=
+
b/ y=
2 1
3 2
x
x
−
+
c/ y=

3 2
1
x
x
−
−
d/y=
2
1x +
e/y =
1
2 1
x
x
+
− +
f/y =
2 1
1
x
x
+
−
g/ y =
1x
1x
−
+
h/ y =
2x

x2
+

4 2 4 2
/ / /
2 1 2 1
x x
i y j y k y
x x x
+ +
= = =
− + +
Chủ đề 2: Một số bài tốn liên quan đến khảo sát hàm số
I. Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò
 Dùng đồ thò biện luận số nghiệm của phương trình
( )
0, =mxF
 Phương pháp giải:
B1: Biến đổi đưa về phương trình hồnh độ giao điểm
( )
)()(0, mxfmxF
ϕ
=⇔=
B2: Vẽ đồ thò (C) của hàm y = f(x) (Thường đã có trong bài toán khảo sát hàm số )
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thò (C) và đường thẳng
y =
( )m
ϕ
(cùng phương với trục hồnh vì
( )m

ϕ
là hằng số). Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kết luận
số nghiệm.
Ví dụ:
Cho hàm số y = x
3
– 6x
2
+ 9x (C).
Dùng đồ thò (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình x
3
– 6x
2
+ 9x – m = 0
Giải:
Phương trình x
3
– 6x
2
+ 9x – m = 0
⇔
x
3
– 6x
2
+ 9x = m
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thò (C) và đường thẳng d: y = m.
Dựa vào đồ thò ta có:
Nếu m > 4 phương trình có 1 nghiệm.
Nếu m = 4 phương trình có 2 nghiệm.

Nếu 0 < m <4 phương trình có 3 nghiệm.
Nếu m= 0 phương trình có 2 nghiệm.
Nếu m < 0 phương trình có 1 nghiệm.
Bài tập đề nghò:
Bài 1 : Cho hàm số
23
23
+−= xxy
có đồ thị (C).
a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ ( C ) cđa hµm sè.
b) BiƯn ln theo m sè nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh: x
3
- 3x
2
+ m + 1 = 0
Bài 2: Cho hàm số y= x
3
- 3x – 2 có đồ thò (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số.
b) Dùng đồ thò (C), đònh m để phương trình x
3
- 3x = m có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 3: : Cho hàm số y = x
4
– 4 x
2
+ 5 có đồ thị (C).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
b) Dùng đồ thò (C) của hàm số vừa khảo sát biện luận theo m số nghiệm của phương trình x
4

– 4 x
2

+ 5 = m.
Bài 4: Cho hµm sè
4 2
y x 2x 1= − −
cã ®å thÞ (C)
a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C).
b) Dïng ®å thÞ (C), h·y biƯn ln theo m sè nghiƯm thùc cđa ph¬ng tr×nh

4 2
x 2x m 0 (*)− − =
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh
Bài 5: Cho hàm số
1
4 2
y
4
x x= −
có đồ thị (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b. Dùng đồ thị (C ), hãy xác định m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt

4 2
x 4x 4m 0 (*)
− − =

Bài 6 Cho hàm số y = x
3

+ 3x
2
- 2
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b/ Bằng phương pháp đồ thị, tìm m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm
03
23
=++ mxx
II. Dùng phương trình hồnh độ biện luận số giao điểm của hai đồ thị
Bài tốn. Cho hai đồ thị
( ) ( )
xfyC =:
và
( ) ( )
xgyL =:
. Tìm tạo độ giao điểm của hai đường.
Phương pháp
B1 : Lập phương trình hồnh độ giao điểm của hai đường
( ) ( ) ( )
.1xgxf =
B2 : Giải phương trình
( )
1
tìm nghiệm
yx ⇒
. Giả sử phương trình
( )
1
có các nghiệm là
n

xxx , ,,
21
, ta thế
lần lượt các nghiệm này vào một trong hai hàm sơ trên ta được các giá trị tương ứng là
n
yyy , ,,
21
suy ra tọa
độ các giao điểm.
Chú ý : số nghiệm của phương trình
( )
1
bằng số giao điểm của hai đồ thị
( )
C
và
( )
L
.
Ví dụ. Biện luận theo m số giao điểm của hai đường sau
( ) ( )
2:;
1
12
: ++=
−
+
= mmxyd
x
x

yC
Giải.
Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đường là
( )
( )
2
2 1
2 1 2 1 ( 2)( 1)
1
3 0
x
mx m x x mx m x
x
mx m
+
= + + ≠ ⇔ + = + + −
−
⇔ − + =
Th1 :
0=m
. Pt
( )
*
VN
⇒

( )
C
và
( )

L
khơng có giao điểm.
Th2 :
0≠m
. Pt
( )
*

( )
3+=∆
′
mm
Xét dấu
( )
3+=∆
′
mm

m
∞−

3
−
0
∞+
( )
3+=∆
′
mm
+ 0 - 0 +

03
<<−
m
. Pt
( )
*
VN
⇒

( )
C
và
( )
L
khơng có giao điểm.
3
−<
m
hoặc
0
>
m
. Pt
( )
*
có 2 nghiệm phân biệt
⇒

( )
C

và
( )
L
có hai giao điểm.
3
−=
m
hoặc
0
=
m
. Pt
( )
*
có 1 nghiệm kép
⇒

( )
C
và
( )
L
có 1 giao điểm.
III. Viết phương trình tiếp tuyến
Cho hàm số y = f(x) có đồ thò (C).Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C) trong các trường hợp
sau
1/ Tại điểm có toạ độ (x
0
;f(x
0

)) :
B1: Tìm f ’(x)
⇒
f ’(x
0
)
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x
0
;f(x
0
))

là: y =
/
0
f (x )
(x–x
0
) + f(x
0
)
2/ Tại điểm trên đồ thò (C) có hoành độ x
0
:
B1: Tìm f ’(x)
⇒
f ’(x
0
), f(x
0

)
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
là:y =
/
0
f (x )
(x–x
0
) + f(x
0
)
3/ Tại điểm trên đồ thò (C) có tung độä y
0
:
B1: Tìm f ’(x) .
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh
B2:Do tung độ là y
0
⇔
f(x
0
)=y
0
. giải phương trình này tìm được x
0
⇒
f
/
(x

0
)
B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y
0
là:y =
/
0
f (x )
(x–x
0
) + y
0
4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:
B1: Gọi M
0
(x
0
;y
0
) là tiếp điểm .
B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên :

)(
0
xf
′
=k (*)
B3: Giải phương trình (*) tìm x
0

⇒
f(x
0
)
⇒
phương trình tiếp tuyến.
Chú ý:
 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f
/
(x
0
)=a.
 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f
/
(x
0
).a=-1.
5/ Đi qua điểm A(x
A
,y
A
).
C I :
b1: Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A và có hệ số góc k. Suy ra phương trình có dạng
(d): y = k(x – x
A
) + y
A
b2: (d) tiếp xúc với (c) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm




=
+−=
kxf
yxxkxf
AA
)('
)()(
Giải hệ tìm k suy ra phương trình tiếp tuyến
C II :
Lập phương trình tiếp tuyến
( )
d
với đường cong
( ) ( )
: C y f x=
đi qua điểm
( )
;
A A
A x y
cho
trước, kể cả điểm thuộc đồ thị hàm số.
b1 : Giả sử tiếp điểm là
( )
0 0
;M x y
, khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( ) ( )

0 0 0
' . y f x x x y d
= − +
.
b2: Điểm
( ) ( )
;
A A
A x y d∈
, ta được:
( ) ( )
0 0 0 0
' .
A A
y f x x x y x= − + ⇒
.Từ đó lập được phương trình
tiếp tuyến
( )
d
.
Ví dụ 1 :
Cho đường cong (C) y = x
3
. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong :
a.Tại điểm A(-1 ; -1) b.Tại điểm có hoành độ bằng –2
c.Tại điểm có tung độä bằng –8 d. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
Giải:
Ta có y’= 3.x
2
a/ Tiếp tuyến tại A(-1;-1)

( )C∈
có
0
0
x 1
f(x ) 1
= −


= −

⇒ f’(x
0
)= 3.(-1)
2
= 3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là:
y=f’(x
0
)(x-x
0
)+f(x
0
) = 3.(x+1) + (-1)
b/ Ta có x
0
= -2 ⇒
0
0
f(x ) 8
f '(x ) 12

= −


=

⇒ Ph.trình tiếp tuyến là y= 12(x+2) – 8 =12x + 16
c/ Ta có tung độä bằng y
0
= –8
⇔
f(x
0
)= -8
⇔

3
0
x
=-8
⇒
x
0
=-2
⇒
f’(x
0
)=12
⇒
Phương trình tiếp tuyến
là: y= 12(x+2) – 8 = 12x + 16

d/ Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3
⇔
f’(x
0
)=3
⇔
3.
2
0
x
=3

⇔

x
0
=
±
1
Với x
0
=1
⇒
f(x
0
)=1
⇒
Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x-1) + 1= 3x-2 .
Với x
0

=-1
⇒
f(x
0
)= -1
⇒
Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x+1) - 1= 3x+2.
Bài tập đề nghò:
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh
Bài 1: Cho hàm số y= x
3
- 3x
2
có đồ thò (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a/ Tại các giao điểm với trục hoành. b/ Tại điểm có hoành độ = 4.
c/ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= -3. d/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x + 2009.
e/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=
1
3
x + 2009.
f/Biết tiếp tuyến đi qua A(1;-2).
Bài 2: Cho
)(
2
23
c
x
x
y
+

+
=
. Viết pttt với đồ thị (c)
a/ Tại điểm có hồnh độ bằng – 1 b/ Tại điểm có tung độ bằng 2
c/ biết hệ số góc bằng 4
Bài 3: Cho
)(,23
23
cxxy +−=
. Viết pttt với đồ thị (c)
a/ Tại điểm có hồnh độ là nghiệm của phương trình
0'' =y
b/ Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng 5y – 3x + 4 = 0.
Bài 4: Cho
).(,22
24
cxxy +−=
Viết pttt với đồ thị (c) tại các giao điểm
( ) ( )
2;2,2;2 −
Bài 5: Cho
)0(;
)13(
2
≠
+
+−+
= m
mx
mmxm

y
. Xác định các giá trị của m để tại giao điểm của đồ thị với trục
hồnh, tiếp tuyến sẽ song song với đường thẳng y = x – 10. Viết pttt đó.
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh
Chuû ñeà III: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1/ GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn [ a; b]
B1: Tìm các điểm x
1
, x
2
, … ,x
n
trên (a; b), tại đó y’=0 hoặc không xác định
B2: Tính f(x
1
), f(x
2
), …, f(x
n
), f(a), f(b)
B3: Kết luận GTLN =Max {f(x
1
), f(x
2
), , f(x
n
), f(a), f(b)}và GTNN=Min{f(x
1
), f(x
2

), … f(x
n
), f(a), f(b)}
2/ GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn (a; b)
Lập bảng biến thiên và kết luận GTLN và GTNN
3/ Chú ý:
- Nếu f(x) tăng trên đoạn [a; b] thì max f(x) = f(b) và min f(x) = f(a)
- Nếu f(x) tăng trên đoạn [a; b] thì max f(x) = f(a) và min f(x) = f(b)
- Nếu f(x) liên tục trong khoảng (a; b) và chỉ có một điểm cực trị x
0
thuộc (a; b) thì f(x
0
) chính là
GTNN hoặc GTLN.
- Có thể dùng BĐT để tìm GTLN và GTNN.
4/ Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
196
23
++−= xxxy
trên đoạn [0; 4]
Giải.
+ Ta có
9123'
2
+−= xxy
, cho
( )
( )
2

1 0;4
' 0 3 12 9 0
3 0;4
x
y x x
x

= ∈

= ⇔ − + = ⇔
= ∈


+
5)4(,1)0(,1)3(,5)1( ==== ffff
+ Vậy
[ ] [ ]
1min,5max
4;04;0
== yy
Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
123
31020
2
2
++
++
=
xx
xx

y
Giải.
+ TXĐ: D = R
+ Ta có
( )




−=
−=
⇔=++⇔=
++
++
=
5
1
2
0422100';
123
42210
'
2
2
2
2
x
x
xxy
xx

xx
y
+ Giới hạn
3
20
lim =
±∞→x
y
+ BBT
x
−∞
- 2
5
1
−
+
∞
y
/
+ 0 0 +
y
7 CT
3
20
3
20
CÑ
2
5

Vậy
5
max 7,min
2
R
R
y y= =
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
5 3
5 2y x x= − +
trên đoạn
[ ]
2;3−
Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
3
3 1y x x= − +
trên đoạn
[ ]
0;3
Bài 3: Cho hàm số
4 2
4 2= − +y x x
, có đồ thị (C). Tìm GTNN và GTLN của hàm số đã cho trên đoạn
[ ]
1;4−
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh
Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
( )
16

2
+−= xxy
trên đoạn
[ ]
3;0
Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
1
38
2
+−
−
=
xx
x
y
Bài 6: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
3sinsin
2sin
2
++
+
=
xx
x
y
Bài 7: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
2
100 xy −=
trên đoạn
[ ]

8;6
Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a/ y= lnx– x b/ y= e
-x
cosx trên
[ ]
0;
π
c/ f(x) = x – e
2x
trên đoạn [−1 ; 0]
Bài 9: Định x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất :y =f(x)= lg
2
x +
2xlg
1
2
+
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
2
f (x) x ln(1 2x)= − −
trên đoạn [-2; 0].
(Đề thi TN THPT năm 2009)
Chuû ñeà IV: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số
Tóm tắt lý thuyết:
Định lý 1: Cho hàm f(x) có đạo hàm trên K ( K có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)
a) f’(x)>0,
∀
x∈K
⇒

y= f(x) tăng trong K
b) f’(x)< 0,
∀
x∈K
⇒
y= f(x) giảm trong K
c) f’(x)=0,
∀
x∈K
⇒
f(x) không đổi
Định lý 2: y = f(x) có đạo hàm trên K.Nếu f ’(x)
≥
0 (f’(x)
≤
0),
∀
x
K∈

và

f ’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì
hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K
Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :
+ Tìm TXÐ ?
+ Tính đạo hàm : y
/
= ? Tìm nghiệm của phương trình y
/

= 0 ( nếu có )
+ Lập bảng BXD y
/
(sắp các nghiệm của PT y
/
= 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần.
Nếu y
/
> 0 thì hàm số tăng, y
/
< 0 thì hàm số giảm )
+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng
II/ Bài tập
A/ Bài tập mẫu :
1/ Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) y= –2x
3
+9x
2
+24x –7
b)
2
1
1
x x
y
x
− +
=
−

Giải:
a) Miền xác định: D=
¡

2
6 18 24y x x
′
= − + +
, cho
1
0
4
x
y
x
= −

′
= ⇔

=

Bảng biến thiên: x –
∞
–1 4 +
∞



y

′
– 0 + 0 –
y


Hàm số nghịch biến trong các khoảng:
( ; 1),(4; )−∞ − +∞
Hàm số đồng biến trong khoảng: (–1;4)
b) Miền xác định: D=
{ }
\ 1¡

( )
2
2
2
1
x x
y
x
− +
′
=
−
, cho
0
0
2
x
y

x
=

′
= ⇔

=

GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh
Bảng biến thiên: x
−∞
0 1 2 +
∞


y
′
– 0 + + 0 –
y
Hàm số đồng biến trong các khoảng: (0;1), (1;2)
Hàm số số nghịch biến trong các khoảng:
( ;0),(2; )−∞ +∞
Ví dụ 2 :
Định m để hàm số: y= x
3
– 3mx
2
+ (m+2)x– m đồng biến trên
¡
Giải:

Miền xác định: D=
¡
y
′
= 3x
2
– 6mx+ m+ 2
′
∆
= 9m
2
– 3m– 6
Bảng xét dấu: m
−∞

2
3
−
1 +
∞

′
∆
+ 0 – 0 +
Ta phân chia các trường hợp sau:
 Nếu
2
1
3
m− ≤ ≤

Ta có:
′
∆
≤
0
⇒
0,y x
′
≥ ∀ ∈¡
⇒
hàm số đồng biến trên
¡
 Nếu
2
3
1
m
m

< −


>

Ta có:
′
∆
> 0 phương trình
y

′
=0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
(giả sử x
1
< x
2
)
Bảng biến thiên: x
−∞
x
1
x
2
+
∞

y
′
+ 0 – 0 +
y

Hàm số không thỏa tính chất luôn luôn đồng biến trên
¡
 Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài toán là:
2
1
3

m− ≤ ≤
B/ Bài tập tự giải
Bài 1. Xét tính đơn điệu của hàm số
a) y = f(x) = x
3
+3x
2
+1. b) y = f(x) = 2x
2
- x
4
.
c) y = f(x) =
2x
3x
+
−
. d) y = f(x) =
x1
4x4x
2
−
+−
.
e) y = f(x) = x+2sinx trên (-π ; π).f) y = f(x) = xlnx.
g) y = f(x) =
)5x(x
3
2
−

. h) y= f(x) = x
3
−3x
2
.
i)
1x
3x3x
f(x) y
2
−
+−
==
. j) y= f(x) = x
4
−2x
2
.
k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2π].
Bài 2. a/ Định m đề hàm số
11(
2
1
3
1
23
++++= xmxxy
luôn luôn đồng biến trên TXĐ
b/ Định m đề hàm số
13

23
−−+−= mxmxxy
luôn luôn nghịch biến trên TXĐ
Bài 3. Định m đề hàm số
1
2
2
2
++−= mx
m
xy
luôn luôn đồng biến trên
( )
+∞− ;1
Bài 4. Định m đề hàm số
mx
mx
y
+
+
=
1
luôn luôn nghịch biến trên TXĐ
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh
Chủ đề V: Cực trị
I/Tóm tắt lý thuyết:
• Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trò tại x
0
và có đạo hàm tại x
9

thì f
/
(x
0
)=0
• Dấu hiệu đủ thứ I : Cho sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (x
0
– h; x
0
+ h) với h > 0.
+Nếu y
/
đổi dấu từ dương sang âm qua x
0
hàm số đạt cực đại tại x
0
,
+Nếu y
/
đổi dấu từ âm sang dương qua x
0
hàm số đạt cực tiểu tại x
0
Qui t ắc tìm cực trò = dấu hiệu I :
+ MXĐ D=?
+ Tính : y
/
= , tìm nghiệm của ptr y
/
= 0 . Tính giá trị của hàm số tại các nghiệm vừa tìm (nếu có)

+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y
/
= 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
+ Kết luận cực trị ?
Chú ý:
1) Nếu hàm số ln tăng ( giảm) trên (a;b) thì khơng có cực trị trên (a;b).
2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y
/
= 0.
3) Nếu f(x) có đạo hàm tại x
0
và đạt cực trị tại

x
0

/
0
/
0
( ) 0
( )

=




y x
y x đổi dấu qua x

•Dấu hiệu II:
Cho hàm f(x) có đạo hàm tới cấp II trong (a;b), x
0
∈ (a;b)
+Nếu


/
0
//
0
( ) 0
( ) 0

=


>


y x
y x
thì hàm số đạt cực tiểu tại x
0
.
+Nếu


/
0

//
0
( ) 0
( ) 0

=


<


y x
y x
thì hàm số đạt cực đại tại x
0
.
Qui tắc tim cực trị = dấu hiệu II:
+ MXÐ
+ Đạo hàm : y
/
= ?
cho y
/
= 0 => các nghiệm x
1
, x
2
… .( nếu có )
+ Tính y
//

= ?. y
//
(x
i
),
1,=i n
Nếu y
//
(x
i
) > 0 thì hàm số đạt CT tại xi .
Nếu y
//
(x
i
) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại xi .
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những trường hợp mà y
/
khó xét dấu
*Cực trị của hàm hữu tỉ : Nếu h/s
( )
( )
u x
y
v x
=
đạt cực trị tại x
0
thì y
/

(x
0
)= 0 và giá trị cực trị y(x
0
) =
u (x )
0
v (x )
0
′
′
* Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại,cực tiểu): y’= 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔

a 0
0
≠


∆ >

*Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trị (có cực đại, cực tiểu): y’= 0 có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của
mẫu
* Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị : y
/
= 0 có 3 nghiệm phân biệt.
II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
 Áp dụng quy tắc 1
1/ Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y= –x
4
+ 2x
2
– 3
b) y= e
–x
(x
2
– 3x +1)
Giải:
a) Miền xác định: D=
¡

y
′
= – 4x
3
+ 4x= 4x(–x
2
+ 1)
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh

y
′
= 0
⇔
0
1
1

x
x
x
=


=


= −

Bảng biến thiên: x
−∞
–1 0 1 +
∞


y
′
+ 0 – 0 + 0 –
y –2 –2
– 3
Điểm cực đại: A(–1;–2), B(1;2)
Điểm cực tiểu: C(0;–3)
b) Miền xác định: D=
¡

y
′
= –e

–x
(x
2
– 3x +1)+ e
–x
(2x–3) = e
–x
(–x
2
+5x–4)
y
′
= 0
⇔
1
4
x
x
=


=

Bảng biến thiên: x
−∞
1 4
+∞


y

′
– 0 + 0 –
y
4
5
e

1
e
−
 Áp dụng quy tắc 2
2/ Tìm các điểm cực trị của hàm số: y= x– 2sin
2
x
Miền xác định: D=
¡

y
′
= 1– 4sinxcosx= 1– 2sin2x

y
′
=0
⇔
sin2x=
1
2
π
π

π
π

= +

⇔ ∈


= +


¢
12
5
12
x k
k
x k

y
′′
= – 4cos2x

4 cos 2
12 6
y k k
π π
π π
   
′′

+ = − +
 ÷  ÷
   
= –2
3
<0 Vậy:
12
x k
π
π
= +
,
k
∈
¢
là những điểm cực đại.

π π
π π
   
′′
+ = − +
 ÷  ÷
   
5 5
4cos 2
12 6
y k k
= 2
3

>0 Vậy:
π
π
= +
5
12
x k
,
∈
¢k
là những điểm cực tiểu.
Các bài toán có tham số
Bài 1. Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
1)
( )
3 2
2 3y m x x mx m= + + + +
. 2)
2 2 2
2
1
x m x m
y
x
+ +
=
+
Giải
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Goø Daàu – Taây Ninh

1)
( )
3 2
2 3y m x x mx m= + + + +
Tập xác định:
D = ¡
Đạo hàm:
( )
2
' 3 2 6y m x x m= + + +
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
hay
( ) ( )
2
3 2 6 0g x m x x m= + + + =
có hai nghiệm phân biệt
( )
2 0
' 9 3 2 0
m
m m
+ ≠


⇔

∆ = − + >



( )
2
2
3 2 3 0
m
m m
≠ −


⇔

− − + >



2
3 1
m
m
≠ −

⇔

− < <

Vậy giá trị cần tìm là:
3 1m
− < <
và

2m ≠ −
.
2)
2 2 2
2
1
x m x m
y
x
+ +
=
+
Tập xác định:
{ }
\ 1D = −¡
Đạo hàm:
( )
2 2
2
2
'
1
x x m
y
x
+ +
=
+
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =

có 2 nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu qua 2 nghiệm đó hay
( )
2 2
2 0g x x x m= + + =
có hai nghiệm phân biệt khác –1
( )
2
2
' 1 0
1 1 0
m
g m

∆ = − >

⇔

− = − + ≠



1 1
1
m
m
− < <

⇔

≠ ±



1 1m⇔ − < <

Vậy giá trị cần tìm là:
1 1m
− < <
Bài 2. Định m để hàm số y = f(x) =
3
x
3
−mx
2
+(m+3)x−5m+1 đạt cực đại tại x=1:
Giải:
Txđ: D=R
f ’(x)= x
2
– 2mx + m+3
* Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại tại x=1: f ’(1) = 0 ⇔ 4-m = 0 ⇔ m = 4
* Điều kiện đủ: Với m=4 thì f ’(x)= x
2
– 8 x + 7 cho f ’(x)= 0 ⇔ x
2
– 8 x + 7 = 0 ⇔
1
7
x
x
=



=

x
-∞ 1 7 +∞
y’ + 0 - 0 +
y CĐ CT
Vậy m=4 thì hàm số đạt cực đại tại x=1
B/ Bài tập tự giải:
1/ Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a)
3 2
1
4 15
3
y x x x= − + −
b) y=
4 3 2
3
9 7
4
x x x− − +
c) y= 2sinx +cos2x trên
[ ]
0;2
π
d)
2
4y x x= −

e)
4
x x
y e e
−
= +
f) y = x + sìn2x
2) Định m để hàm số
( )
11
23
++++= xmmxxy
đạt cực đại tại x = 2.
3) Định m để hàm số
193
23
−+−= xmxxy
có cực đại và cực tiểu
4) Định m để hàm số
( )
131
23
−++== xxmxy
không có cực trị.
5) Định m để hàm số
3 2
( 2) 3 5y m x x mx= + + + −
có cực đại và cực tiểu.
6) Định a để hàm số
2

2 2x ax
y
x a
− +
=
−
đạt cực tiểu tại x = 2.
]
15
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
Chủ đề VI: Phương trình, bất phương trình mũ loga
Kiến thức cơ bản về lũy thừa :
1./ Cho
0 -n
n
1
a 0, ta có: a 1; a
a
≠ = =
2./ Cho
m m
a 0,r (m,n Z,n>0 và
n n
> = ∈
tối giản) , ta có
m
m
n
n
a a=

3./ Các qui tắc về luỹ thừa : Cho
a,b,α,β R; a>0, b>0 , ta có ∈
+
α β α β
a a .a
+
=
+
α
α β
β
a
a
a
−
=
+
( ) ( )
β α
α.β α β
a a a= =
+
α α α
a .b (a.b)=
+
α
α
α
a a
b b

 
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
Kiến thức cơ bản về loga :
1./ Định nghĩa:
0 1 0
a
log, , :
N
a a M M N M a> ≠ > = ⇔ =
Suy ra :
1 0 1
a
loglog ,
a
a= =
2./ Các tính chất và qui tắc biến đổi loga: Cho
0 1 0, , ,a a M N> ≠ >
ta có
+
log
a
M
a M=
+
log ( )
a

a
α
α
=
+
( )
log log
a
a
b b
α
β
β
α
=
;
( )
0, 0b
α
≠ >
+
( )
log . log log
a a a
M N M N= +
+
log log log
a a a
M
M N

N
 
= −
 ÷
 
+
log
log .log log log
log
a
a b a b
a
M
b M M M
b
= ⇔ =
;
( )
0 , 1< ≠a b
+
1
log
log
a
b
b
a
=
;
( )

0 1b< ≠

1/ Phương pháp giải phương trình mũ và logarit :
a/ Phương trình mũ- lôgarít cơ bản :
Dạng a
x
= b ( a> 0 ,
0a
≠
)
• b
≤
0 : pt vô nghiệm
• b>0 :
log
x
a
a b x b= ⇔ =
Dạng
log
a
x b=
( a> 0 ,
0a ≠
)
• Điều kiện : x > 0
•
log
b
a

x b x a= ⇔ =
b/Bất phương trình mũ- lôgarít cơ bản :
Dạng a
x
> b ( a> 0 ,
0a ≠
)
• b
≤
0 : Bpt có tập nghiệm R
• b>0 :
.
log
x
a
a b x b> ⇔ >
, khi a>1
.
log
x
a
a b x b> ⇔ <
, khi 0 < a < 1
Dạng
log
a
x b>
( a> 0 ,
0a
≠

)
• Điều kiện : x > 0
•
log
b
a
x b x a> ⇔ >
, khi a >1

log
b
a
x b x a> ⇔ <
, khi 0 < x < 1
16
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
Bài tập đề nghò:
Phương trình mũ:
o Dạng 1. Đưa về cùng cơ số :
f (x)
a
=
g(x)
a
(a>0, ≠1) ⇔ f(x) = g(x)
Bài 1 : Giải các phương trình sau
a)
4
3
2 4

x−
=
b)
2
5
6
2
2 16 2
x x− −
=
c)
2
2 3 3 5
3 9
x x x− + −
=
d)
2
8 1 3
2 4
x x x− + −
=
e) 5
2x + 1
– 3. 5
2x -1
= 110 f)
5 17
7 3
1

32 128
4
x x
x x
+ +
− −
=
f) 2
x

+ 2
x -1
+ 2
x – 2
= 3
x
– 3
x – 1
+ 3
x - 2
g) (1,25)
1 – x
=
2(1 )
(0,64)
x+

Dạng 2. đặt ẩn phụ
α.
2f (x)

a
+β.
f (x)
a
+ γ = 0 ; Đặt : t =
f (x)
a
Đk t > 0
α.
f (x)
a
+β.
f (x)
b
+ γ = 0 ; ( với a.b=1) Đặt : t =
f (x)
a
(Đk t > 0) ⇒
1
t
=
f (x)
b
α.
2f (x)
a
+β.
( )
f (x)
a.b

+ γ.
2f (x)
b
= 0 ; Đặt t =
f (x)
a
b
 
 ÷
 
Bài 2 : Giải các phương trình
a) 2
2x + 5
+ 2
2x + 3
= 12 b) 9
2x +4
- 4.3
2x + 5
+ 27 = 0
c) 5
2x + 4
– 110.5
x + 1
– 75 = 0 d)
1
5 2 8
2 0
2 5 5
x x+

   
− + =
 ÷  ÷
   
e)
3
5 5 20
x x−
− =
f)
( ) ( )
4 15 4 15 2
x x
− + + =
g)
(
)
(
)
5 2 6 5 2 6 10
x x
+ + − =
2 1
)3 9.3 6 0
x x
h
+
− + =
i)
1

7 2.7 9 0
x x−
+ − =
(TN – 2007) j)
.055.625 =+−
xx
(TN-2009)
Dạng 3. Logarit hóạ: a
f(x)
=b
g(x)
( a, b>0, ≠1) ⇔ f(x)=g(x). log
a
b
Bài 3 Giải các phương trình
a) 2
x - 2
= 3 b) 3
x + 1
= 5
x – 2
c) 3
x – 3
=
2
7 12
5
x x− +
d)
2

2 5 6
2 5
x x x− − +
=
e)
1
5 .8 500
x
x
x
−
=
f) 5
2x + 1
- 7
x + 1
= 5
2x
+ 7
x
Dạng 4. sử dụng tính đơn điệu
Bài 4: giải các phương trình
a) 3
x
+ 4
x
= 5
x
b) 3
x

– 12
x
= 4
x
c) 1 + 3
x/2
= 2
x
Phương trình logarit
o Dạng 1. Đưa về cùng cơ số: log
a
f(x) = log
a
g(x) ⇔
f (x) 0 g(x) 0
f (x) g(x)
> >
=



Nếu chưa có dạng này cơng việc đầu tiên là đặt điều kiện cho các biểu thức dưới dấu loga có nghĩa rồi mới giải
Bài 5: giải các phương trình
a) log
4
(x + 2) – log
4
(x -2) = 2 log
4
6 b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3)

c) log
4
x + log
2
x + 2log
16
x = 5 d) log
4
(x +3) – log
4
(x
2
– 1) = 0
e) log
3
x = log
9
(4x + 5) + ½ f) log
4
x.log
3
x = log
2
x + log
3
x – 2
g) log
2
(9
x – 2

+7) – 2 = log
2
( 3
x – 2
+ 1)
h)
( ) ( )
3 3 3
log 2 log 2 log 5x x+ + − =
Dạng 2. đặt ẩn phụ
Bài 6: giải phương trình
a)
1 2
1
4 ln 2 lnx x
+ =
− +
b) log
x
2 + log
2
x = 5/2
17
hoặc
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
c) log
x + 1
7 + log
9x
7 = 0 d) log

2
x +
2
10log 6 9x + =
e) log
1/3
x + 5/2 = log
x
3 f) 3log
x
16 – 4 log
16
x = 2log
2
x
g)
4loglog3log
2
12
2
2
=++ xxx
h)
2
2
lg 16 l g 64 3
x
x
o+ =
Dạng 3 mũ hóa

Bài 7: giải các phương trình
a) 2 – x + 3log
5
2 = log
5
(3
x
– 5
2 - x
) b) log
3
(3
x
– 8) = 2 – x
Bất phương trình mũ:
f (x)
a
>
g(x)
a
⇔
f (x) g(x) khi a 1
f (x) g(x) khi 0 a 1
> >
< < <



Bài 8: Giải các bất phương trình
a) 16

x – 4
≥ 8 b)
2 5
1
9
3
x+
 
<
 ÷
 
c)
6
2
9 3
x
x+
≤
d)
2
6
4 1
x x− +
>
e)
2
4 15 4
3 4
1
2 2

2
x x
x
− +
−
 
<
 ÷
 
f) 5
2x
+ 2 > 3. 5
x
Bài 9: Giải các bất phương trình
a) 2
2x + 6
+ 2
x + 7
> 17 b) 5
2x – 3
– 2.5
x -2
≤ 3 c)
1 1
1 2
4 2 3
x x
− −
> +
d) 5.4

x

+2.25
x
≤ 7.10
x
e) 2. 16
x
– 2
4x
– 4
2x – 2
≤ 15
f) 4
x +1
-16
x
≥ 2log
4
8 g) 9.4
-1/x
+ 5.6
-1/x
< 4.9
-1/x

Bài 10: Giải các bất phương trình
a) 3
x +1
> 5 b) (1/2)

2x - 3
≤ 3 c) 5
x
– 3
x+1
> 2(5
x -1
- 3
x – 2
)
Bất phương trình logarit:

log ( ) log ( ) log ( ) log ( )
( ) 0 ( ) 0
* *
( ) ( ) ( ) ( )
1 0 1
a a a a
f x g x f x g x
g x f x
f x g x f x g x
a a
 
> >
 
> >
 
⇔ ⇔
   
> <

> < <
 
 
 
Nếu chưa có dạng này cơng việc đầu tiên là đặt điều kiện cho các biểu thức dưới dấu loga có nghĩa rồi mới giải
Bài 11: Giải các bất phương trình
a) log
4
(x + 7) > log
4
(1 – x) b) log
2
( x + 5) ≤ log
2
(3 – 2x) – 4
c) log
2
( x
2
– 4x – 5) < 4 d) log
1/2
(log
3
x) ≥ 0
e) 2log
8
( x- 2) – log
8
( x- 3) > 2/3 f) log
2x

(x
2
-5x + 6) < 1
g)
1
3
3 1
log 1
2
x
x
−
>
+
Bài 12: Giải các bất phương trình
a) log
2
2
+ log
2
x ≤ 0 b) log
1/3
x > log
x
3 – 5/2
c) log
2
x + log
2x
8 ≤ 4 d)

1 1
1
1 log logx x
+ >
−
e)
16
2
1
log 2.log 2
log 6
x x
x
>
−
f)
4 1
4
3 1 3
log (3 1).log ( )
16 4
x
x
−
− ≤
Bài 13. Giải các bất phương trình
a) log
3
(x + 2) ≥ 2 – x b) log
5

(2
x
+ 1) < 5 – 2x
c) log
2(
5 – x) > x + 1 d) log
2
(2
x
+ 1) + log
3
(4
x
+ 2) ≤ 2
Chủ đề VII: NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I/TÌM NGUN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ:
18
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
1/Các kiến thức cần nắm vững :
- Các định nghĩa ngun hàm và họ ngun hàm, các tính chất của ngun hàm.
- Bảng ngun hàm thường dùng.
Bảng ngun hàm của một số hàm số thường gặp :
dx x C
= +
∫
. .k dx k x C
= +
∫
1
( 1)

1
x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
1
( )
( ) ( 0, 1)
( 1)
ax b
ax b dx C a
a
α
α
α
α
+
+
+ = + ≠ ≠ −
+
∫
ln ( 0)
dx
x C x

x
= + ≠
∫
ln
( 0, 0)
ax b
dx
C a ax b
ax b a
+
= + ≠ + ≠
+
∫
2
1 1
( 0)dx C x
x x
−
= + ≠
∫
2
1 1
( ; 0)
( ) ( )
− −
= + ≠ ≠
+ +
∫
b
dx C x a

ax b a ax b a
x x
e dx e C= +
∫
ax+b
(ax+b)
e
e dx C
a
= +
∫
(0 1)
ln
x
x
a
a dx C a
a
= + < ≠
∫
. (0 1, 0)
.ln
bx c
bx c
a
a dx C a b
b a
+
+
= + < ≠ ≠

∫
sinx.dx cos x C= − +
∫

cos( )
sin(ax+b).dx
ax b
C
a
− +
= +
∫

cosx.dx= sinx + C
∫

sin(ax+b)
cos(ax+b).dx= + C
a
∫

2
tan
os
dx
x C
c x
= +
∫
2

tan( )
os ( )
dx ax b
C
c ax b a
+
= +
+
∫
2
cot
sin
dx
x C
x
= − +
∫
2
cot( )
sin ( )
dx ax b
C
ax b a
+
= − +
+
∫
2/Một số dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Tìm nguyên hàm của một hàm số bằng đònh nghóa và tính chất.
Phương pháp giải:

Thường đưa nguyên hàm đã cho về nguyên hàm của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng
nguyên hàm thường dùng
⇒
kết quả.
Ví dụ: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
a) f(x) = x
3
– 3x +
x
1
b) f(x) =
x
2
+
x
3
c) f(x) = (5x + 3)
5
d) f(x) = sin
4
x cosx
Giải
a/
4
3 3 2
1 1 x 3
( ) (x - 3x + ) x 3 ln
x x 4 2
f x dx dx dx xdx dx x x c
= = − + = − + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫
b/
x x
2 3
( ) (2 + 3 ) 2 3
ln2 ln3
x x
x x
f x dx dx dx dx c
= = + = + +
∫ ∫ ∫ ∫
c/
6
5 5
(5 3) (5 3)
( ) (5x+ 3) (5x+ 3)
5 30
d x x
f x dx dx c
+ +
= = = +
∫ ∫ ∫
d/
5
4 4
sin
( ) sin x cosx sin x (sin )
5
x
f x dx dx d x c

= = = +
∫ ∫ ∫
Dạng 2: Tìm ngun hàm của một hàm số thoả điều kiện cho trước.
19
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
Phương pháp giải:
B1: Tìm họ ngun hàm của hàm số đã cho
B2: Thay điều kiện đã cho vào họ ngun hàm tìm được C thay vào họ ngun hàm
⇒
ngun
hàm cần tìm.
Ví dụ: Tìm một ngun hàm F(x) của hàm số f(x)=1+ sin3x biết F(
6
π
)= 0.
Giải
Ta có F(x)= x –
1
3
cos3x + C. Do F(
6
π
) = 0
⇔

6
π
-
1
3

cos
2
π
+ C = 0
⇔
C = -
6
π
.
Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x –
1
3
cos3x -
6
π
Bài tập đề nghò:
1. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=sin
2
x.cosx, biết giá trò của nguyên hàm bằng
−
3
8

khi x=
π
3

2. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e
1-2x
, biết F(

=
1
) 0
2

3. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =
12
133
2
23
++
−++
xx
xxx
, biết F(
1
1)
3
=
II/ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN :
1/Các kiến thức cần nắm vững :
Bảng nguyên hàm thường dùng.
Đònh nghóa tích phân, các tính chất của tích phân.
Các phương pháp tính tích phân
2/Một số dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Tính tích phân bằng đònh nghóa và tính chất.
Phương pháp giải:
Thường đưa tích phân đã cho về tích phân của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên
hàm thường dùng
⇒

kết quả.
Ví dụ: Tìm tích phân các hàm số sau:
a/
3
3
1
( 1)x dx
−
+
∫
b/
4
4
2
4
( 3sin )
cos
x dx
x
π
π
−
−
∫
c/
2
2
1x dx
−
−

∫
Giải
a/
3
3
1
( 1)x dx
−
+
∫
=
3
3 3
4
3
1 1
1
81 1
1 ( ) ( 3) ( 1) 24
4 4 4
x
x dx dx x
− −
−
+ = + = + − − =
∫ ∫
b/
4 4 4
4 4 4
2 2

4
4
4 1
( 3sin ) 4 3 sin (4 3cos )
cos cos
x dx dx xdx tgx x
x x
π π π
π π π
π
π
− − −
−
− = − = + =
∫ ∫ ∫
=
(4 3cos ) [4 ( ) 3cos( )]
4 4 4 4
tg tg
π π π π
+ − − + −
=8
c/
2
2
1x dx
−
−
∫
=

1
2
1x dx
−
−
∫
+
2
1
1x dx−
∫
=
1
2
(1 )x dx
−
−
∫
+
2
1
( 1)x dx−
∫
=(x-
2 2
1 2
2 1
) ( )
2 2
x x

x
−
+ −
=5
Bài tập đề nghò:
Tính các tích phân sau:
20
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
1/I=
π
+
∫
2
0
(3 cos2 ).x dx
2/J=
+
∫
1
0
( 2)
x
e dx
3/K=
+
∫
1
2
0
(6 4 )x x dx

Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 1:
Phương pháp giải:
b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b)
⇒
dx =
u (t). dt
′
b2: Đổi cận:
x = a
⇒
u(t) = a
⇒
t =
α
x = b
⇒
u(t) = b
⇒
t =
β
( chọn
α
,
β
thoả đk đặt ở trên)
b3: Viết
b
a
f(x)dx

∫
về tích phân mới theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân .
Ví dụ: Tính :
1
2
0
1 x dx−
∫
Đặt x = sint
⇒
dx = cost.dt. Vì x
∈
[0;1] nên ta chọn t
∈
[0; ]
2
π
Đổi cận: x = 0
⇒
t = 0 ; x= 1
⇒
t =
2
π
Vậy :
1
2
0
1 x dx−
∫

=
2 2
2
2
0
0 0
1 1 s 2
cos t.dt (1 cos2t).dt= ( )
2 2 2
in t
t
π π
π
= + +
∫ ∫
=
4
π
Chú ý: Khi gặp tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng :

2 2
a x−
thì đặt x=
a
sint, t
∈

[ ; ]
2 2
π π

−

2 2
a x+
thì đặt x=
a
tgt , t
∈

( ; )
2 2
π π
−

2 2
x a−
thì đặt x=
sin
a
t
, t
∈

[ ; ]
2 2
π π
−
\
{ }
0

Dạng 2: Tính tích phân
f[ (x)] '(x)dx
b
a
ϕ ϕ
∫
bằng phương pháp đổi biến.
Phương pháp giải:
b1: Đặt t =
ϕ
(x)
⇒
dt =
'( ). dxx
ϕ
b2: Đổi cận:
x = a
⇒
t =
ϕ
(a) ; x = b
⇒
t =
ϕ
(b)
b3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân tìm được .
Ví dụ : Tính tích phân sau :
a/
1
2

0
2 1
1
x
I dx
x x
+
=
+ +
∫
b/
1
2
0
3. .J x x dx= +
∫
Giải:

a/ Đặt t = x
2
+ x +1
⇒
dt = (2x+1) dx
Đổi cận: x = 0
⇒
t =1 ; x = 1
⇒
t = 3 Vậy I=
3
3

1
1
ln ln3
dt
t
t
= =
∫
b/ Đặt t=
2
3x +

⇒
t
2
= x
2
+ 3
⇒
tdt = x dx
21
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
Đổi cận: x = 0
⇒
t =
3
; x = 1
⇒
t = 2 Vậy J =
2

2
3
2
3
3
1
(8 3 3)
3 3
t
t dt = = −
∫

Bài tập đề nghò:
Tính các tích phân sau:
1/
π
∫
2
sin
0
.cos .
x
e x dx
2/
+
∫
1
0
1
x

x
e
dx
e
3/
+
∫
1
1 ln
e
x
dx
x
4/
+
∫
1
2 5
0
( 3)x x dx

Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp tùng phần:
Công thức từng phần :
. . .
b b
b
a
a a
u dv u v v du= −
∫ ∫

Phương pháp giải:
B1: Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu tích phân bằng u tính du. phần còn lại là dv tìm v.
B2: Khai triển tích phân đã cho theo công thức từng phần.
B3: Tích phân
b
a
vdu
∫
suy ra kết quả.
Chú ý:
a/Khi tính tính tích phân từng phần đặt u, v sao cho
b
a
vdu
∫
dễ tính hơn
∫
b
a
udv
nếu khó hơn phải tìm cách
đặt khác.
b/Khi gặp tích phân dạng :
( ). ( ).
b
a
P x Q x dx
∫
- Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là một trong các hàm số e
ax+b

, cos(ax+b) , sin(ax+b) thì ta đặt u =
P(x) ; dv= Q(x).dx
Nếu bậc của P(x) là 2,3,4 thì ta tính tích phân từng phần 2,3,4 lần theo cách đặt trên.
- Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là hàm số ln(ax+b) thì ta đặt u = Q(x) ; dv = P(x).dx
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
a/ I=
2
0
.cos .x x dx
π
∫
b/J=
1
.ln .
e
x x dx
∫
Giải
a/ Đặt :
cos . sin
u x du dx
dv x dx v x
= =
 
⇒
 
= =
 
(chú ý: v là một nguyên hàm của cosx )
vậy I=x cosx

2
0
π
-
2
0
sin .x dx
π
∫
= cosx
2
0
π
= -1
b/ Đặt :
2
1
.
ln
.
2
du dx
u x
x
dv x dx
x
v

=


=


⇒
 
=


=


22
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
Vậy J= lnx.
2
2
x
1
e
-
2 2 2 2
2
1
1 1
1 1 1 1
.
2 2 2 2 4 4
e e
e
x e e e

dx xdx x
x
+
= − = − =
∫ ∫
Bài tập đề nghò:
Tính các tích phân sau:
1/
∫
1
3
0
.
x
x e dx
2/
π
∫
4
2
0
cos
x
dx
x
3/
∫
1
ln .
e

x dx
4/
−
∫
5
2
2 .ln( 1).x x dx
5/
π
∫
2
0
.cos .
x
e x dx

Dạng 4: Tính tích phân của một số hàm hữu tỉ thường gặp:
a/Dạng bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu:
Phương pháp giải:
Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng của một phần nguyên và một phần phân số rồi tính.
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a/
2 2
2
1
1 1
2 1 1 1
(1 ) [ ln 2 1] 1 ln3
2 1 2 1 2 2
x

dx dx x x
x x
= + = + - = +
- -
ò ò
=
1
ln3
2
.
b/
0 0
3 3 2
2 0
1
1 1
3 1 5 23
( 4 ) [ 4 ln 1] ln2
1 1 3 2 6
x x x x
dx x x dx x x
x x
-
- -
+ +
= + + + = + + + - = -
- -
ò ò
Bài tập đề nghò:
Tính các tích phân sau:

1/I=
+ −
∫
2
3 2
2
1
2 3x x x
dx
x
2/J=
+ +
+
∫
4
2
3
2 5 3
1
x x
dx
x

b/Dạng bậc1 trên bậc 2:
Phương pháp giải:
Tách thành tổng các tích phân rồi tính.
Trường hợp mẫu số có 2 nghiệm phân biệt:
Ví dụ: Tính các tích phân :
( )
2

2
1
5 1
6
x dx
x x
-
- -
ò

Giải
Đặt
( )
2
5 1
6
x
x x
-
- -
=
5 5 ( 3) ( 2)
( 2)( 3) 2 3 ( 2)( 3)
x A B A x B x
x x x x x x
- - + +
= + =
+ - + - + -
⇒
A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2

⇒
A=3. cho x=3
⇒
B=2. vậy ta có:
( )
2
2
1
5 1
6
x dx
x x
-
- -
ò
=
2
2
1
1
3 2 16
( ) (3ln 2 2ln 3 ) ln
2 3 27
dx x x
x x
+ = + + - =
+ -
ò
Trường hợp mẫu số có nghiệm kép:
Ví dụ: Tính các tích phân :

1
2
0
(2 1)
4 4
x dx
x x
+
- +
ò

Giải
CI:
1 1 1 1
2
2 2 2 2 2
0 0 0 0
(2 1) 2 4 5 ( 4 4) 1
( ) 5
4 4 4 4 4 4 4 4 ( 2)
x dx x d x x
dx dx
x x x x x x x x x
+ - - +
= + = +
- + - + - + - + -
ò ò ò ò
=(ln
2
5

4 4 )
2
x x
x
− + −
−
1
0
5
ln4
2
= −

23
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
CII: Đặt
2 2 2 2
2 1 2 1 ( 2)
( 2) 2 1
4 4 ( 2) 2 ( 2) ( 2)
x x A B A x B
A x B x
x x x x x x
+ + - +
= = + = Û - + = +
- + - - - -

⇔
Ax -2A+B= 0
⇔

2 2
2 1 5
A A
A B B
= =
 
⇔
 
− + = =
 
Vậy
1 1
2 2
0 0
2 1 2 5
[ ]
4 4 2 ( 2)
x dx
dx
x x x x
+
= +
- + - -
ò ò
=
1
0
5
(2ln x-2 - )

x-2
=
5
ln4
2
−
Trường hợp mẫu số vô nghiệm:
Ví dụ: Tính các tích phân :I=
0
2
1
(2 3)
2 4
x dx
x x
-
-
+ +
ò

Giải:
0 0 1
2
2 2 2
1 1 0
2 2 5 ( 2 4)
5
2 4 ( 1) 3 2 4
x d x x
I dx dx J

x x x x x
- -
+ + +
= - = -
+ + + + + +
ò ò ò
Ta có
1
2
2
0
( 2 4)
2 4
d x x
x x
+ +
+ +
ò
=
0
2
1
4
ln/x +2x+4/ ln4 ln3 ln
3
−
= − =

Tính J=
0

2
1
5
( 1) 3
dx
x
-
+ +
ò
Đặt x+1=
3tgt
(t
∈
;
2 2
π π
−
 
 
 
)
⇒
dx=
2
3(1 )tg t dt+
.
Khi x= -1 thì t = 0 ; khi x=0 thì t=
6
π
vậy J=

2
6 6
2
0 0
3(1 ) 3 3
1
(3 3 ) 3 3 6
tg t
dt dt
tg t
π π
π
+
= = −
+
∫ ∫

Vậy I= ln
4
5(
3
−
3
3 6
π
−
)
Bài tập đề nghò: Tính các tích phân sau:
1/I=
− +

∫
1
2
0
1
5 6
dx
x x
2/I=
−
− +
∫
5
2
4
1 2
6 9
x
dx
x x
3/ I=
4
2
2
3 1
4 8
x
dx
x x
−

− +
∫

Dạng 5: Tính tích phân hàm vô tỉ:
 Dạng1:
+
∫
( , )
b
n
a
R x ax b dx
Đặt t=
n
ax b+
 Dạng 2:
+
+
∫
( , )
b
n
a
ax b
R x dx
cx d
Đặt t=
n
ax b
cx d

+
+
Ví dụ: Tính tích phân I =
1
3
0
1 xdx−
∫
Giải
Đặt t =
3
1 x−

⇔
t
3
= 1-x
⇔
x= 1-t
3

⇒
dx= -3t
2
dt.
Đổi cận:
x = 0
⇒
t=1; x=1
⇒

t = 0. Vậy I=
1
0 1
4
2 3
1 0
0
3
.( 3 ) 3 3
4 4
t
t t dt t dt− = = =
∫ ∫
Bài tập đề nghò: Tính các tích phân sau:
24
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
1/
−
∫
1
3
0
. 1x xdx
2/
−
−
∫
1
2
2

x
dx
x

Dạng 6: Tính tích phân của một số hàm lượng giác thường gặp
 Dạng:
sin .cos , sin .sin , cos .cosax bxdx ax bxdx ax bxdx
β β β
α α α
∫ ∫ ∫
Phương pháp giải:
Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hoặc hiệu các tích phân rồi giải.
[ ] [ ]
[ ] [ ]
1 1
cos .cos cos( ) cos( ) sin .sin cos( ) cos( )
2 2
1 1
sin .cos sin( ) sin( ) sin .cos sin( ) sin( )
2 2
• = − + + • = − − +
• = + + − • = + − −
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b b a a b a b
 Dạng:
sin ; cos
n n
xdx xdx
β β
α α

∫ ∫
Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công thức đổi biến.
Ví dụ :
2 1 2 2
2 2
sin sin sin (1 cos ) sin Đặt t =cosx
1 cos2
cos (cos )
2
n n n
n
n n
xdx x xdx x xdx
x
xdx x dx dx
β β β
α α α
β β β
α α α
+
= = −
+
 
= =
 
 
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
 Dạng:
(sin ).cos R x xdx

β
α
∫
Đặc biệt:
2 2 1
sin .cos
n k
x xdx
β
α
+
∫
Phương pháp giải: Đặt t = sinx
 Dạng:
(cos ).sin R x xdx
β
α
∫
Đặc biệt:
2 1 2
sin .cos
n k
x xdx
β
α
+
∫
Phương pháp giải: Đặt t =cosx
 Các trường hợp còn lại đặt x = tant
Ví dụ: Tính các tích phân sau:

a/
4
0
sin3 .cos .x x dx
π
∫
b/
2
2
0
sin xdx
π
∫
c/
2
3
0
cos xdx
π
∫
d/
2
3 2
0
cos sinx xdx
π
∫
Giải
a/
4

0
sin3 .cos .x x dx
π
∫
=
π
π
+ = − + =
∫
4
2
0
0
1 1 cos4 cos2 1
(sin4 s 2 ) ( )
2 2 4 2 2
x x
x in x dx

b/
π π
π
π
−
= = − =
∫ ∫
2 2
2
2
0

0 0
1 cos2 1 sin2
sin ( )
2 2 2 4
x x
xdx dx x
c/I=
2
3
0
cos xdx
π
∫
=
π π
= −
∫ ∫
2 2
2 2
0 0
cos .cos . (1 sin ).cos .x x dx x x dx
đặt u = sinx
⇒
du = cosx dx.
x= 0
⇒
u =0 ; x =
π
2

⇒
u=1 vậy: I=
− = − =
∫
1
3
1
2
0
0
2
(1 ). ( )
3 3
u
u du u
25