Giáo án: Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp môn Toán

HNG DN ễN TP THI TT NGHIP MễN TON
2009 - 2010
* GV Phùng Đức Tiệp ---- SĐT: 0985.873.128
* Trờng THPT Lơng Tài 2 T.Bắc Ninh

to iu kin v giỳp hc sinh, nht l i tng hc sinh yu, trung
bỡnh ụn thi tt nghip mt cỏch hiu qu nht. Bản thân tụi da vo ni
dung thi tt nghip cỏc nm; chun kin thc ca chng trỡnh ph
thụng v cu trỳc thi tt nghip nm nay cú a ra mt s kin thc
c bn, trng tõm nht cng nh phng phỏp ụn luyn hc sinh cú
th luyn tp mt cỏch tớch cc v ch ng. õy ch l ý kin ch
quan ca chỳng tụi, ngh cỏc thy cụ giỏo úng gúp, cho ý kin
cụng vic ụn tp cng nh kt qu t thi tt nghip ti c thnh
cụng tt p.
Các dạng toán thi tốt nghiệp THPT
I. Kho sỏt v cỏc bi toỏn liờn quan Trang 2
II.Hàm số, PT, BPT mũ và logarit 9
III. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 11
IV. Tìm nguyên hàm và tích phân 13
V. Số phức 20
VI. Phơng pháp toạ độ trong không gian 23
VII. Hình học không gian tổng hợp 28
I. Kho sỏt v cỏc bi toỏn liờn quan :
1- Khảo sát và vẽ ĐTHS:
1/. y = ax
3
+bx
2
+cx+d; 2/. y = ax
4
+bx

2
+c; 3/. y =
BAx
bax
+
+
.
Đề thi tốt nghiệp các năm
2009
Cho hàm số y =
2
12

+
x
x
a) Khảo sát SBT và vẽ đồ thị
(C) của hàm số đã cho ;
b) Viết PTTT của đồ thị (C),
biết hệ số góc của tiếp tuyến
bằng 5.
2008 PB lần 1
Cho hàm số y = 2x
3
+3x
2
-1.
a) Khảo sát SBT và vẽ đồ thị
của hàm số ;
b) Biện luận theo m số

nghiệm pt: 2x
3
+3x
2
-1 = m.
2008 PB lần 2
Cho HS:
1
23
+

=
x
x
y
(C)
1. Khỏo sỏt v v th .
2. Vit phng trỡnh tip tuyn
ca th ( C) ti im cú tung
bng -2.
2008 KPB lần 1
Cho HS
13
23
+= xxy
1. Kho sỏt v v th hm s.
2. Vit phng trỡnh tip tuyn
vi th hm s ti im cú
honh x= 3.
2008 KPB lần 2

Cho HS
23
3xxy =
1. Kho sỏt v v th hm s.
2. Tỡm cỏc giỏ tr ca m
phng trỡnh
03
23
= mxx
cú
3 nghim phõn bit.
2007 PB lần 1
Cho HS
12
24
+= xxy
( C).
1. Kho sỏt v v th hm s.
2. Vit phng trỡnh tip tuyn
vi th ( C) ti im cc i
ca ( C).
2007 PB lần 2
Cho HS
23
23
+= xxy
( C).
1. Kho sỏt v v th ( C).
2. Vit phng trỡnh tip tuyn
vi th ti im un ca ( C).

2007 KPB lần 1
Cho HS
12
2
1

+=
x
xy
( H).
1. Khỏo sỏt v v th (H).
2. Vit PTTTvi (H) ti A( 0;3).
2007 K PB lần 2
Cho HS
23
23
+= xxy
( C).
1. Kho sỏt v v th ( C).
2. Vit phng trỡnh tip tuyn
vi th ti im un ca ( C).
2006 PB
1. Kho sỏt v v th ( C) ca
hm s
23
3xxy +=
.
2. Da vo th ( C), bin
lun theo m s nghim ca PT
.03

23
=+ mxx
3. Tớnh DTHP gii hn bi
th ( C) v trc ox.
2006 KPB
1. Kho sỏt v v th â ca
hm s
xxxy 96
23
+=
.
2. Vit Phng trỡnh tip tuyn
ti im un ca th.
3. Tìm m để d : y = x+ m
2
m
i qua trung im ca on
thng ni 2 im cc i v cc
tiu ca th ( C).
2005
Cho HS
1
12
+
+
=
x
x
y
( C)

1.Kho sỏt v v th hm s.
2.Tớnh DTHP gh :Ox, Oy,(C).
3.Vit PT tip tuyn ca th (
C), bit tip tuyn ú i qua
im A(-1;3).
2004
Cho HS
23
3
1
xxy =
(C)
1.Kho sỏt v v th .
2.Vit phng trỡnh tip tuyn
ca ( c) i qua im A(3; 0).
3.Tớnh th tớch vt th trũn xoay
do hỡnh phng gh bi (C) v cỏc
ng thng y = 0; x= 0; x= 3
quay quanh trc oy.
2002
Cho HS
32
24
++= xxy
cú
th ( C).
1.kho sỏt v v th HS.
2. Da vo th â, Tìm m
phng trỡnh
02

24
=+ mxx

cú bn nghim phõn bit
2001
Cho HS
xxy 3
4
1
3
=
(C)
1.Kho sỏt v v th hm s.
2. Cho im M thuc(C) cú
honh x = 32 . Vit PT
ng thng i qua M v l tip
tuyn ca ( C).
3. Tớnh DTHP gii hn bi â
v tip tuyn ca nú ti M.
Kho sỏt cỏc hm s:
+) Giỏo viờn rốn k phn ny mi HS u lm c và yêu cầu học sinh :
- Nm vng cỏc bc c bn ca bi kho sỏt, trỏnh lm thiu bc dn n mt im.
- Nm vng hỡnh dng ca tng loi th, s im v tng th.
- Rốn luyn k nng tớnh toỏn chớnh xỏc v hỡnh c chớnh xỏc.
- Lu ý cỏc giao im ca th vi cỏc trc, im ph.
- Lu ý HS so sỏnh bng bin thiờn sau khi v xong th.

+) Học sinh thờng mắc phải lỗi sau khi khảo sát :
- Làm không đủ các bớc ;
- Tính giới hạn không đủ, hay tính gộp.

- Vẽ hình : không cân đối, không điền các số cần thiết trên trục toạ độ, đồ thị và các trục toạ độ không
hợp lí, ....

+) Hàm số đơn điệu trên các khoảng.
x - -1 0 1 +
y - 0 + 0 - 0 +

+ -3 +
y
-4 -4
x
y
2- Câu hỏi phụ :
Bài toán 1. Sự tơng giao của hai đồ thị
Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phơng trình.
- Ph ơng pháp : * Sử dụng đồ thị đã vẽ ở phần khảo sát.
* Đa PT về dạng một vế là hàm số k/s và vế bên kia là hằng số có chứa tham số m.
* Số nghiệm phơng trình là số giao điểm của hai đồ thị.
VD1. Cho hàm số y=x
4
-2x
2
-3 có đồ thị là (C) ;
1/. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên.
2/. Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phơng trình : x
4
2x
2
m + 1 = 0 (1)?
Bài giải

1/. 1. Tp xỏc nh : D= R . Hm s l hm chn
2. S bin thiờn :
a) Chiu bin thiờn: y =4x
3
-4x , x R ; y = 0
1
0
1
x
x
x
=


=


=

Trờn cỏc khong (-1;0) v (1; +) , y>0 nờn hm s ng bin
Trờn cỏc khong (-; -1) v (0;1) , y<0 nờn hm s nghch bin
b) Cc tr :
- Hm s t cc tiu ti x= 1 , y
CT
= y(1) = -4
- Hm s t cc i ti x=0; y
C
=y(0) = -3
c) Cỏc gii hn, tim cn :
Ta cú

4
2 4
2 3
lim lim 1 ;
x x
y x
x x


= = +




4
2 4
2 3
lim lim 1 ;
x x
y x
x x
+ +

= = +


th hm s khụng cú tim cn
d) Bng bin thiờn:
3. th:
- Giao vi trc Ox : y=0 x

4
-2x
2
-3 x=
3
y=m-4
- Giao vi trc Oy : x=0 y= -3
Hm s chn do ú th hm s nhn Oy lm trc i xng
th ( Hỡnh v )
2/. Phơng trình (1)

x
4
- 2x
2
3 = m-4
Số nghiệm của phơng trình (1) là số giao điểm 2 đồ thị:
(C) và đờng thẳng (d): y = m-4
+) (2) vô nghiệm

m<0;
+) (2) có đúng 2 nghiệm p.biệt

m = 0 hoặc m>1;
+) (2) có đúng 3 nghiệm P.biệt

m = 1;
+) (2) có 4 nghiệm phân biệt

0<m<1;

Kết luận: .
Chú ý : Số giao điểm của đờng thẳng y = mx + n (m 0)với đồ thị hàm số
1/. y = ax
3
+bx
2
+cx+d; 2/. y = ax
4
+bx
2
+c; 3/. y =
BAx
bax
+
+
.
là số nghiệm phơng trình hoành độ f(x) = mx + n (f(x) là một trong ba hàm số trên).
VD2. Tìm m để đồ thị hàm số y =
2
12
+

x
x
cắt đờng thẳng y = x + m tại 2 điểm phân biệt.
Bài giải

YCBT

2

12
+

x
x
= x + m có 2 nghiệm phân biệt


2x 1 = x
2
+ mx + 2x + 2m có 2 nghiệm phân biệt khác -2 ;


x
2
+ mx + 2m + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -2 ;

[
524
524
2
051224
048
+>
<




=++

>=

m
m
mm
mm
KL : ....
Nhận xét: Bin lun s nghim ca PT, bin lun s giao im ca 2 th.
* Hng dn HS chuyn bi toỏn i s v bi toỏn hỡnh hc.
* Hng dn HS s dng th va kho sỏt.
* Hng dn HS a PT v dng 1 v l HS kho sỏt c chiu bin thiờn, mt v l hng
s cha tham s.
*Cú th m rng vi bi toỏn so sỏnh nghim phng trỡnh bng th.
* Đa về phơng trình bậc hai hoặc bậc 3 (chủ yếu bậc 2 với đề thi TN)
Bài toán 2. Lập phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Lý thuyết :
+) Tiếp tuyến tại điểm M(x
0

;y
0
) thuộc đờng cong (C) : y = f(x) có hệ số góc là:
k = f(x
0
)
PT tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M là : y = f(x
0
)(x x
0
) + y

0
.
+) Cho d
1
: y = k
1
x + a
1
, d
2

: y = k
2
x + a
2





=

=
21
21
21
2121
//
1.
aa

kk
dd
kkdd
VD1. Lập phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x
3
+3x
2
-9x+5 tại điểm có hệ số góc k = -12.
Bài giải
Ta có : y=3x
2
+6x-9
Hoành độ tiếp điểm là ngiệm của phơng trình
y=k

3x
2
+6x-9 = -12


x
2
+2x+1=0

x=-1
Với x = -1 thì y = 16
Phơng trình tiếp tuyến cần lập là:
y = -12(x+1)+16 hay y = -12x+4;
Vậy phơng trình tiếp tuyến cần lập là: y = -12x+4.

VD2. Lập phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x
4
4x
2
+ 3 tại điểm có hoành độ x = 2.
Bài giải
Ta có : y= 4x
3
8x; x = 2 thì y = 3
hệ số góc của tiếp tuyến là k = y(2) = 16
Phơng trình tiếp tuyến cần lập là:
y = 16(x-2) + 3 hay y = 16x 29
Vậy phơng trình tiếp tuyến cần lập là: y = 16x - 29

VD3 . Lập phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
12
13

+
x
x
(1) tại điểm M(1 ;4).
Bài giải
Ta có : y= ...=
2
)12(
5


x

;


hệ số góc của tiếp tuyến cần lập là: k = y(1) = -5


Phơng trình tiếp tuyến là:
y = -5(x-1) + 4 hay y = -5x + 9;
Vậy PTTT cần lập là: y = -5x +9.
VD4. Lập PTTT của đồ thị y = x
3
3x
2
+ 4 biết :
a) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 9x + 5
b) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng
2010
3
1
= xy
.
Nhận xét: Tip tuyn ti mt im thuc th hoc bit h s gúc ca TT.
* Yờu cu HS nm vng cụng thc PTTT tai im.
* Yờu cu HS nm vng cỏc yu t cn tỡm cú th vit c PTTT.

Bi toỏn 3. Tớnh din tớch hỡnh phng.
Hng dn HS s dng th va kho sỏt xỏc nh hỡnh dng hỡnh phng.
Bi toỏn 4. Mt s dng toỏn khỏc
Xột tớnh ng bin, nghch bin; tỡm im cc tr, tỡm cỏc tim cn; ng dng hm s gii
PT, BPT, chng minh BT.

Bài tập áp dụng:
Bài 1 : Khảo sát các hàm số sau:
a/ y = x
3
– 3x
2
b/ y = - x
3
+ 3x – 2 c/ y = x
3
+ 3x
2
+ 4x - 8
Bài 2 . Cho hàm số: y = -2x
3
+ 3x
2
- 4 (C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Viết phương trình tiếm tuyến của đồ thị hàm số tai M ( 1 ; -3 )
c. Tìm m để phương trình 2x
3
- 3x
2
+2m -5 = 0 có 3 nghiệm phân biệt
Bài 3. Cho hàm số: y = x
3
+ 3x
2
+ 6x + 4 (C)

a . Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Viết phương trình tiếm tuyến của đồ thị hàm số tai M ( -1 ; 0 )
d. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong ( C) và đường thẳng y = 6x +4.
Bài 4 :
a/ Cho hàm số y= x
3
– 3m x
2
+ 4m
3
. Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1.
b/ Viết pttt với (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
Bài 5: Cho hàm số y =
132
3
2
3
++− xx
x
có đồ thị ( C ) .
a/ Khảo sát và vẽ đồ thi của hàm số.
b/ Viết phương tŕnh tiếp tuyến của ( C) :
+/ Tại điểm có hoành độ x
0
=
2
1

+/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x – 1
Bài 6: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :

a/ y = x
4
– 6x
2
+ 5 b/ y = -
1
4
x
4
+ 2x
2
+
9
4
c/ y = x
4
+ 2x
2
d/ y =
4
2
3
2 2
x
x− −
e/
4 2
2 3y x x= − +
Bài 7. Cho hàm số: y = x
4

– 3x
2
+ 2 ( C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b . Viết phương trình tiếm tuyến của đồ thị hàm số tai điểm có hoành độ x=1
c . Tìm m để phương trình x
4
– 3x
2
+ 3m -1=0 có 3 nghiệm phân biệt
Bài 8. Cho hàm số: y = -2x
4
– 4x
2
+6 (C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b . Viết phương trình tiếm tuyến của đồ thị hàm số tai M ( -1 ; 0 )
c . Dựa vào đồ thị hàm số hãy biện luận số nghiệm của pt:
2x
4
+ 4x
2
+ 3m – 2 =0.
Bài 9:
a/ Khảo sát hàm số y= x
4
– 4 x
2
+ 5.
b/ Dùng đồ thị (C) của hàm số vừa khảo sát biện luận theo m số nghiệm của phương tŕnh: x

4
–
4 x
2
+ 5=m.
Bài 10: khảo sát các hàm số sau:
a/ y =
2
2 1
x
x
− +
+
b/ y =
1
1
x
x
−
+
. c/ y =
4
4x −
Bài 11. Cho hàm số: y =
2 3
3
x
x
+
+

(H)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H)
b . Viết phương trình tiếm tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó vuồng góc với đường
thẳng y=-2x+3
c . Tìm m để đường thẳng y=2x -3m cắt ( H) tại hai điểm phân bệt
Bài 12. Cho hàm số: y =
5 2
2 3
x
x
− −
+
(H)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H)
b . Viết pt tiếm tuyến của đồ thị hàm số tai điểm có hoành độ x=-2
c . Tìm m để đường thẳng y=2x -3m cắt ( H) tại hai điểm phân bệt thuộc hai nháng của ( H)
Bµi 13.Cho (C) : y =
2
2
+
−
x
x
.
a/ Khảo sát và vẽ đồ thi của hàm số.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
+/ Tại giao điểm của (C ) với trục Ox.
+/ Song song với đường thẳng d
1
: y = 4x – 5.

===========================================
II.Hàm số, PT, BPT mũ và logarit
Đề thi tốt nghiệp các năm
Giải PT sau:
a) TN THPT 2009: 25
x
6.5
x
+ 5 = 0.
b) TN-THPT 2008: 3
2x+1
-9.3
x
+6=0; ln2:
( ) ( )
5log2log2log
333
=++ xx
c) TN-THPT 2007: log
4
x+log
2
(4x)=5; ln2:
97.27
1
=+
xx
d) TN-THPT 2006: 2
2x+2
-9.2

x
+2 = 0. ln2:
97.27
1
=+
xx
GV nêu cách giải PT và BPT mũ logarit.
a) Phơng trình mũ
Ta quan tâm đến dạng đ a về cùng cơ số và đặt ẩn số phụ sau:
VD1 . Giải các phơng trình sau trên R
a) 2
x-2
+2
x-3
+2
x-4
= 56; b) 2
x
+8.3
x
= 8+6
x
.
Bài giải
a) PT

2
x-4
(2
2

+2+1)=56


7.2
x-4
=56


2
x-4
=8


x-4 = 3 hay x =7
Vậy nghiệm của phơng trình là x=7.
b) PT

...

(2
x
-8)(3
x
-1)=0

x=3 hay x=0.
Vậy phơng trình có 2 nghiệm là: x=3 và x=0.

VD2. Giải phơng trình sau trên R
a) 9

x
3
x+2
+ 8 = 0 ;
b) 5.9
x
-8.15
x
+3.25
x
=0;
c) 3
x+1
-3
2-x
=6.
Bài giải
a) Đặt 3
x
= t, Đk: t > 0....
b) Chia 2 vế cho 25
x
ta đa về dạng câu a).
c) Đặt t = 3
x
thì 3
-x
= 1/t với t > 0.

Chú ý: Khi dạy về BPT mũ ta cũng đa ra các bài tập tơng tự nh các phơng trình trên.

b) Phơng trình logarit
Với đề thi tốt nghiệp thì PT này cho ở mức đơn giản sau:
VD1. Giải phơng trình sau:
a) log
2
(3x
2
-7x+12)=3 b) log
3
(5x
2
-2x+5)=log
3
(9-x) c)log
2
(3x+1)+2log
4
(x+5)=3+log
2
3
Bài giải
a) PT

3x
2
-7x+12=8

3x
2

-7x+4=0

x=1 hay x=4/3.
b) PT





=
=




<
=




>
=+
5
4
1
...
9
045
09

9525
22
x
x
x
xx
x
xxx

KL: ...
c) ĐK: x > -1/3
PT

log
2
[(3x+1)(x+5)]=log
2
24

...

3x
2
+16x-19=0





=

=
3
19
1
x
x
Kết hợp đk ta đợc nghiệm của PT là: x = 1.

VD2. Giải các phơng trình sau:
a) log
2
2
x + 5log
2
x 14 = 0 b) lg
2
(2x+1)-lg(2x+1)
4
+3=0 c) log
4
3
x+2log
2
3
x
2
-9=0
Bài giải
a) ĐK: x > 0
Đặt log

2
x = t, PT trở thành:
t
2
+ 5t 14 = 0




=
=
7
2
t
t
Với: * t = 2

x = 4
* t = - 7

x =
128
1
KL: ....
b) ĐK: x > -1/2
Đặt t = lg(2x+1), PT trở thành:
t
2
4t +3 = 0

=
=
3
1
t
t
Với: * t = 1

2x+1=10

x=9/2(t/mđk)
* t = 3

2x+1=1000

x = 999/2 (t/mđk).
KL: .
c) ĐK: x > 0
PT

log
4
3
x+8log
2
3
x-9=0

Đặt t = log
2
3
x, đk: t

0. PT trở thành :
t
2
+8t-9=0




=
=
)(9
)/(1
lt
mtt
Với t = 1, log
2
3
x=1

...

=
=
3
1
3
x
x
(t/m) KL :.....
NHN XẫT: Cõu ny thng c 1 im - Hc sinh trung bớnh v TB yu cú th lm c.
* Cỏc bi toỏn gii PT hoc BPT u dng c bn, s dng phng phỏp t n ph,
a v cựng mt c s. ngoi ra cú th s dng phng phỏp xột chiu bin thiờn, PP m hoỏ
hoc logarit hoỏ (i vi HS khỏ).
*Giỏo viờn cn hng dn HS nhn xột quan h gia cỏc c s, lu ý HS i vi PT cn cú
cựng c s nhng vi BPT thỡ ngoi cựng c s cũn phi so sỏnh c s vi s 1.
* Ngoi cỏc bi toỏn v gii PT v BPT cú th cú cõu rỳt gn, GV cn cho HS nm vng cỏc
cụng thc bin i,cỏc tớnh cht ca HS m v logarit, nht l cụng thc i c s.
* Bi toỏn tớnh o hm.
2. Bi tp ỏp dng:
Gii cỏc phng trỡnh, bt phng trỡnh m v logarit sau:
1).
9
1
3
1
2
3
=

xx
, 2).
164
23
2
=
+ xx
3).
1
32
7
7
1
2
+

=






x
xx
4).

1
75
3
2
)5,1(
+







=
x
x
5)
1)5(log)3(log
33
<+ xx
6). 9
x+1
- 8.3
x
+1=0 7)
023
36
=+
xx
ee

7)
023
36
=+
xx
ee
8). log
2
(x
2
-3x+2) - log
2
(2x-3) = 1
9)
)7ln()3ln(ln +=++ xxx
10).
( ) ( )
5 5 5
log x log x 6 log x 2= + +
11).
2
1 1
3 3
log (3 2) log ( 2)x x x
=

12)
42
3
2

<
+ xx
13)
7
9
9
7
32
2







xx
14).
2121
444999
++++
++<++
xxxxxx
15)
06416
xx
16)
2)1(log
3
1

x

III. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên tập D
* D = (a ;b) thông thờng ta dùng đạo hàm và lập BBT.
* D = [a;b] ta làm theo các bớc
Lu ý đến các hàm số lợng giác; đặt t = sinx; t = cosx thì t
[ ]
1;1

Bài tập . (Đề thi TN THPT ). Tìm GTLN-GTNN của hàm số:
a) Năm 2009: f(x) = x
2
ln(1-2x) trên đoạn [-2;0].
b) Năm 2008 : 1) y = x
4
2x
2
+ 1 trên [0 ;2] ; 3) y = -2x
4
+4x
2
+3 trên [0 ;2] ;
2) y = x +
2
cosx trên [0 ;
2

] ; 4) y = 2x

3
6x
2
+ 1 trên [-1 ;1].
c) Năm 2007 : 1) y = 3x
3
x
2
7x +1 trên [0 ;2] ; 2) y = x
3
-8x
2
+16x-9 trên [1 ;3].
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
VD1. Tìm GTLN-GTNN của hàm số y = x
3
+5x
2
-13x+10 trên [0 ;2]
Bài giải
Ta có : y= 3x
2
+10x-13
y=0

... x = 1
với x = 0

y = 10; x = 1

y = 3 ; x = 2

y = 12
Max y = 12 tại x = 2; Min y = 3 tại x = 1 trên [0 ;2].
VD2. Tìm GTLN-GTNN của hàm số y = x+
x
4
trên [1 ;3]
Hớng dẫn
Trên đoạn [1 ;3] ta đợc : Max y = 5 tại x = 1
Min y = 4 tại x = 2.
VD3. Tìm GTLN-GTNN của hàm số y =
2
3
2
2
++
+
xx
x
.
Bài giải
.
* TXĐ : R
* y =
22
2
22
22
)2(

32
...
)2(
)3)(12()2(2
++

==
++
++++
xx
xx
xx
xxxxx

y = 0

x=-1 hoặc x = 3
* Giới hạn :
;1...
2
3
2
2
lim
==
++
+

xx
x

x

* Bảng biến thiên :
x -

-1 3 +

y + 0 - 0 +
y 2 1
1 6/7
Từ BBT ta đợc :

.3,
7
6
;1,2 ==== xkhiyxkhiy
MinMax
RR
Chú ý: Bài tập dạng này thờng học sinh không tính giới hạn khi x tiến ra vô cực
VD4. Tìm GTNN của hàm số : y = sin
2
x+cosx+5.
Bµi gi¶i
* TX§ : R
y = -cos
2
x + cosx + 6
* §Æt t = cosx ; t
[ ]
1;1−∈

khi ®ã :
y = -t
2
+ t + 6 ; y’ = -2t + 1
y’ = 0
⇔
t = 1/2
* víi: t = -1th× y = 4;
t = 1/2 th× y = 25/4
t = 1 th× y = 6
KL : ....
NHẬN XÉT: Câu này thường được 1 điểm - Câu này dành cho HS từ trung bình trở lên.
* Hướng dẫn HS sử dụng phương pháp lập bảng biến thiên.
* Nếu câu này nằm sau câu khảo sát nên hướng dẫn HS sử dụng đồ thị
* Nếu biểu thức chứa hàm số lượng giác, cần lưu ý HS đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ.
* Đối với bài toán thực tế, GV hướng dẫn HS cách chuyển về bài toán toán học, lưu ý điều kiện
của biến số.
Bài tập áp dụng: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
a.
3
2
2 3 4
3
x
y x x
= + + −
trên đoạn [-4; 0]
+ − + + −
− + + − −
3 2 3

4 2 3 2
. f(x) = x 3 9 1 trªn [-4; 4] c. f(x) = x 5 4 trªn ®o¹n [-3; 1]
d. f(x) = x 8 16 trªn ®o¹n [-1; 3] e. f(x) = x 3 9 7 trªn ®o¹n [-4; 3]
b x x x
x x x
∞
2
x 1
. f(x) = trªn nöa kho¶ng (-2; 4] i. f(x) = x +2 + trªn kho¶ng (1; + )
x + 2 x- 1
k. f(x) = x 1 - x l. f(x)= 2sinx - 3cos2x +3 trªn kho¶n
f
π
π
g ( ; )
2
m.
2
5 4 3y x x
= + − +
n/
( )
2
.lnf x x x=
trên
[ ]
1;e
w/.
3
os 3cos 1y c x x

= − +
z/
( )
4
1
2
f x x
x
= − + −
+

trên
[ ]
1;2−

============================================