Luận văn Thạc sĩ Khoa học máy tính Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ

Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh
Trường Đại Học Bách Khoa






BÙI VĂN ĐỒNG






PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ
CHO BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG HỢP
LÝ CỰC ĐẠI – ÁP DỤNG TRÊN CÂY
SINH LOÀI NHỎ

Chuyên ngành: Khoa học Máy tính






LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 11 năm 2007
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHIÃ VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc
oOo
Tp. HCM, ngày . .05. . tháng . .11. . năm .2007.

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên : Bùi Văn Đồng Giới tính : Nam ;/ Nữ 
Ngày, tháng, năm sinh : 10/10/1969 Nơi sinh : Quảng Ngãi
Chuyên ngành : Khoa học Máy tính
Khoá : 2005

1- TÊN ĐỀ TÀI :
PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ CHO BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG HỢP LÝ CỰC
ĐẠI – ÁP DỤNG TRÊN CÂY SINH LOÀI NHỎ
2- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN :




3- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ:
4- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ:
5- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TS. Nguyễn Văn Minh Mẫn

Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành
thông qua.

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN
(Họ tên và chữ ký) QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH
Họ tên và chữ ký)



TS. Nguyễn Văn Minh Mẫn TS. Đinh Đức Anh Vũ


CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH




Cán bộ hướng dẫn khoa học : TS. Nguyễn Văn Minh Mẫn






Cán bộ chấm nhận xét 1 :

Cán bộ chấm nhận xét 2 :








Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại

HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày . . . . tháng . . . . năm . 2007 .






Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ

Bùi Văn Đồng Trang 1
LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan rằng, ngoại trừ các kết quả tham khảo từ các công trình khác như
đã ghi rõ trong luận văn, các công việc trình bày trong luận văn này là do chính tôi
thực hiện và chưa có phần nội dung nào của luận văn này được nộp để lấy một bằng
cấp ở trường này hoặc trường khác.

Ngày 05 tháng 11 năm 2007
Bùi Văn Đồng
Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ

Bùi Văn Đồng Trang 2
LỜI CẢM ƠN

Xin gởi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến TS. Nguyễn Văn Minh Mẫn,
người Thầy đã tận tình hướng dẫn và tạo mọi điều kiện để tôi có thể hoàn thành luận
văn này.
Xin gởi lời cảm ơn đến các Thầy Cô đã dạy cho tôi trong thời gian qua. Tôi xin
cảm ơn các bạn đồng môn và đồng nghiệp đã quan tâm, chia sẻ trong suốt quá trình
học và làm luận văn.
Luận văn này như một món quà nhỏ đáp lại tình cảm của gia đình và bạn bè
thân thích.
Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ

Bùi Văn Đồng Trang 3
TÓM TẮT LUẬN VĂN
Cây sinh loài mô tả lịch sử tiến hóa của một nhóm các loài với những đặc tính
khác nhau nhưng cùng có mối quan hệ họ hàng với nhau và cùng hình thành từ một tổ
tiên chung trong quá khứ. Đặc tính của mỗi loài được chúng ta quan tâm ở đây tương
ứng với các bộ gen. Gen là các chuỗi DNA được bao gồm từ các kí tự A, G, C và T
hợp thành. Cây sinh loài là một cây mà các nút lá (taxa) của nó có thể là các vật sống
hiện tại ngày nay, các nút trong của cây đó là các tổ tiên của các nút lá. Tái cấu trúc
cây sinh loài chính là tìm những gen phù hợp nhất để đưa vào các nút tổ tiên hoặc là
đưa ra một cây sinh loài phù hợp nhất để giải thích quá trình tiến hoá.
Tuy nhiên, việc nghiên cứu cây sinh loài cho nhiều hướng tiếp cận. Mỗi phương
pháp có những ưu điểm và khuyết điểm của nó. Phương pháp ước lượng hợp lý cực
đại được chọn ở đây là phương pháp phức tạp nhất nhưng lại là phương pháp cho kết

quả tin cậy nhất. Công cụ chính sử dụng trong phương pháp này là Đại số thống kê và
Đại số máy tính. Đó là những lãnh vực phát triển mạnh mẽ trong những năm gần đây.
Thống kê là ngành khoa học phân tích dữ liệu. Đối với các chuỗi DNA thì
thống kê sẽ xây dựng những mô hình quá trình phát sinh dữ liệu. Đưa ra những kết
luận chung về quá trình phát sinh đó. Mô hình thống kê là nguyên tắc cơ bản đối với
các gen. Đại số thống kê làm sáng tỏ cho những ý tưởng trọng tâm về phân tích dữ liệu
rời rạc nói riêng và phân tích chuỗi sinh học nói riêng.
Ước lượng hợp lý cực đại (Maximum Likelihood Estimation – MLE) được
công thức hoá trong Xác suất cổ điển, nó có tính chất của một ước lượng tốt. Phương
pháp MLE đánh giá những tham số của một mô hình thối lui. MLE dẫn đến việc giải
quyết là làm cực đại tích của những đa thức.
Đại số máy tính là một lãnh vực mới, nó cung cấp những nền tảng để giải bài
toán MLE trên máy tính.
Đề tài này tập trung vào việc nghiên cứu mô hình xác suất thống kê trên cây
sinh loài từ những dữ liệu là các gen của sinh vật sống. Sau đó sử dụng những nền tảng
toán học, đại số máy tính để giải quyết bài toán hợp lý cực đại của mô hình xác suất
trên. Mục tiêu cuối cùng là tìm một cây sinh loài thích hợp nhất để giải thích sự tiến
hoá. Những kết quả của luận văn đã làm như sau:
- Về phương pháp: Chọn phương pháp đáng tin cậy nhất là phương pháp ước
lượng hợp lý cực đại cho mô hình hóa bài toán. Giải phương trình hợp lý bằng
phương pháp tính toán đại số để tìm kết quả chính xác.
- Về tính toán: Viết một chương trình để mô hình hóa ước lượng hợp lý cực đại
trên cây sinh loài và chạy tìm nghiệm phương trình hợp lý trên một số cây sinh
loài nhỏ 3 và 4 taxa ở một số mô hình.
Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ

Bùi Văn Đồng Trang 4
DANH MỤC BẢNG
Bảng 1: Bảng biến thiên của hàm hợp lý 27
Bảng 2: Các mẫu và số lượng từng mẫu trên 3 chuỗi gen HIVenvSweden với cây hình

móng (U68496, U68497, U68498) 55

Bảng 3: Các mẫu và số lượng từng mẫu trên 3 chuỗi gen HIVenvSweden với cây hình
lược với trường hợp ((U68496,(U68497, U68498)) 55

Bảng 4: Các mẫu và số lượng từng mẫu trên 3 chuỗi gen HIVenvSweden với cây hình
lược với trường hợp ((U68498,(U68496, U68497)) 56


Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ

Bùi Văn Đồng Trang 5
DANH MỤC HÌNH
Hình 1: Hai trường hợp xảy ra khi tung đinh bấm 26
Hình 2: Đồ thị của hàm hợp lý 27
Hình 3: Cây sinh loài của sự sống 30
Hình 4: Mô tả xác suất chuyển đổi trạng thái của chuỗi “DNA” 32
Hình 5: Cây sinh loài với các nút trong và xác suất chuyển đổi 32
Hình 6: Một trong những cây sinh loài 4 taxa 35
Hình 7: Cây sinh loài với dữ liệu trên nút lá và các khả năng xảy ra ở các nút tổ tiên.36
Hình 8: Cây sinh loài có gốc với 3 nút lá 42
Hình 9: Sơ đồ khối chương trình tìm cấu trúc cây sinh loài 53
Hình 10: Hai hình dạng cây 3 taxa có gốc 55
Hình 11: Cây sinh loài 4 taxa hình móng 68
Hình 12: Cây sinh loài 4 taxa hình cần trục 68
Hình 13: Một số cây sinh loài 4 taxa 68

Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ

Bùi Văn Đồng Trang 6

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN 1
LỜI CẢM ƠN 2
TÓM TẮT LUẬN VĂN 3
DANH MỤC BẢNG 4
DANH MỤC HÌNH 5
MỤC LỤC 6
Chương 1. GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI 9
1.1. Giới thiệu 9
1.2. Cấu trúc luận văn 10
Chương 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ VÀ XÁC SUẤT
THỐNG KÊ 12

2.1. Một số cấu trúc đại số cơ bàn 12
2.1.1. Lý thuyết nhóm 12
2.1.2. Lý thuyết vành 13
2.1.3. Trường 14
2.1.4. Vành đa thức 14
2.1.5. Ma trận 15
2.1.6. Định thức 15
2.1.7. Không gian vector 16
2.1.8. Đa tạp đại số 18
2.2. Các khái niệm về xác suất thống kê 18
2.2.1. Định nghĩa về xác suất 18
2.2.2. Xác suất có điều kiện 19
2.2.3. Đại lượng ngẫu nhiên và hàm phân phối 20
2.2.4. Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên 20
2.2.5. Lý thuyết mẫu 21
2.2.6. Ước lượng tham số 22
2.2.7. Sơ lược về ước lượng hợp lý cực đại 22

Chương 3. ƯỚC LƯỢNG HỢP LÝ CỰC ĐẠI TRÊN MẪU QUAN SÁT 25
3.1. Ước lượng hợp lý cực đại là gì? 25
3.1.1. Đặt vấn đề 25
3.1.2. Khái quát về ước lượng hợp lý cực đại 25
3.1.3. Ví dụ về ước lượng hợp lý cực đại 26
3.2. Giải bài toán ước lượng hợp lý cực đại 26
3.2.1. Nguyên lý ước lượng hợp lý cực đại 26
3.2.2. Logarit hàm hợp lý 26
3.3. Tổng quát hóa bài toán ước lượng hợp lý cực đại 27
3.3.1. Ước lượng hợp lý cực đại trên mẫu quan sát 27
Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ

Bùi Văn Đồng Trang 7
3.3.2. Một số phương pháp giải phương trình hợp lý 28
Chương 4. CÂY SINH LOÀI - MÔ HÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ TRÊN CÂY
SINH LOÀI 30

4.1. Giới thiệu sơ lược về cây sinh loài 30
4.2. Các nghiên cứu phát sinh sinh loài 31
4.3. Mô hình ước lượng hợp lý cực đại trên cây sinh loài 32
4.4. Mô hình tiến hóa 33
Chương 5. BẤT BIẾN TRÊN CÂY SINH LOÀI 37
5.1. Dẫn nhập 37
5.2. Mô hình xác suất trên cây sinh loài 38
5.2.1. Mô hình bài toán cây sinh loài 38
5.2.2. Nhóm Abel và sự liên hệ với các ma trận chuyển đổi 39
5.3. Biến đổi Fourier 40
5.4. Toạ độ Fourier 42
5.5. Áp dụng tìm bất biến trên một cây sinh loài 42
5.5.1. Mô hình bài toán 42

5.5.2. Các khả năng xảy ra trên các nút lá 43
5.5.3. Các lớp xác suất tương đương 43
5.5.4. Chuyển đổi Fourier 44
5.5.5. Kết quả tìm được 45
5.6. Những tính chất của thành phần bất biến 46
Chương 6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỢP LÝ 47
6.1. Quỹ tích hợp lý trên một đa tạp 47
6.2. Ma trận Jacobi của các đa thức bất biến 47
6.2.1. Gradient- Vector vận tốc 47
6.2.2. Ma trận Jacobi của các đa thức bất biến 48
6.2.3. Không gian tiếp xúc 49
6.3. Bài toán cực trị điều kiện 49
6.4. Bậc của hợp lý cực đại 50
6.5. Các thuật toán 50
6.6. Áp dụng giải phương trình hợp lý 51
Chương 7. CHƯƠNG TRÌNH THỰC HIỆN 53
7.1. Sơ đồ khối chương trình 53
7.2. Sơ lược về chương trình 54
7.3. Kết quả chương trình 54
Chương 8. TỔNG KẾT – ĐÁNH GIÁ 57
8.1. Tổng kết 57
8.2. Những đóng góp của luận văn 57
8.3. Hướng phát triển 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO 59
Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ

Bùi Văn Đồng Trang 8
Phụ lục 1. Tập các xác suất trình bày ở chương 5 60
Phụ lục 2. Tập các dữ liệu kết quả thực hiện trình bày ở chương 6 62
Phụ lục 3. Trích một số SourceCodes chương trình viết trên Singular 64

Phụ lục 4. Một số kết quả chương trình trên cây sinh loài 4 taxa 68
Phụ lục 5. Bảng đối chiếu Thuật ngữ Anh - Việt 69
Danh mục các tên 70

Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ

Bùi Văn Đồng Trang 9
Chương 1. GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI
Chương này giới thiệu chung về bối cảnh, mục tiêu và kết quả thu được của đề
tài. Cấu trúc nội dung của quyển thuyết minh được trình bày ở cuối chương.
1.1. Giới thiệu
Phát sinh sinh loài đó là tái tạo lịch sử tiến hóa dựa trên các phương pháp toán
học nhằm suy luận lịch sử tiến hóa sự sống trên hành tinh chúng ta. Việc tái cấu trúc
này liên quan đến việc nhận diện chỉ định những đặc tính đồng dạng (homologous
characters) được chia sẻ giữa các loài sinh vật khác nhau và suy luận cây phát sinh
sinh loài từ việc so sánh các đặc tính thông qua việc sử dụng các phương pháp tái cấu
trúc có độ tin cậy cao. Độ chính xác của quá trình suy luận vì thế phụ thuộc rất lớn vào
độ tin cậy của các mô hình dùng để đánh giá sự tiến hóa của các đặc tính này.
Trước đây việc tái tạo cây tiến hóa chủ yếu dựa trên phân tích hình thái và các
đặc tính siêu cấu trúc. Trong nửa cuối thập niên 1980 nguồn dữ liệu trình tự DNA gia
tăng cộng với sự phát triển ngành công nghệ thông tin, từ đó giúp nhà nghiên cứu có
được những công cụ mạnh mẽ và nhằm giải quyết vài bài toán phát sinh sinh loài đang
chưa có lời giải.
Trong việc suy luận phát sinh sinh loài có 2 bước cơ bản đó là:
- Chỉ định những đặc tính đồng dạng là những đặc tính chung truyền từ một tổ
tiên chung cho đến các thế hệ hiện tại.
- Tái cấu trúc cây tiến hóa bằng việc sử dụng các phương pháp thích hợp.
Các dạng đặc tính có thể sử dụng là cấu trúc hình thái, siêu cấu trúc của tế bào,
gene, trình tự DNA và protein miễn rằng chúng thỏa điều kiện là Đồng dạng.
Có 3 nhóm phương pháp thường được dùng để tái cấu trúc cây phát sinh sinh

loài từ một ma trận đặc tính:
- Nhóm các phương pháp khoảng cách (Distance methods): Khoảng cách chính
là khoảng cách tiến hóa giữa các cặp đối tượng đang được so sánh.
- Nhóm phương pháp hà tiện đến mức tối đa (Maximum parsimony - MP):
phương pháp này sẽ chọn lựa cây tiến hóa thỏa điều kiện là số lượng đặc tính bị biến
đổi phải thấp nhất để giải thích những dữ liệu đã quan sát được.
- Nhóm phương pháp hợp lý cực đại (Maximum Likelihood methods): nhóm
phương pháp này dựa trên một hàm toán học tính toán xác suất khả năng một cây tiến
hóa được tạo thành từ dữ liệu đã quan sát. Hàm này cho phép việc tích hợp các quá
trình tiến hóa của đặc tính thành mô hình xác suất. Phương pháp hợp lý cực đại chọn
lựa cây tiến hóa tối đa mà khi quan sát các dữ liệu dưới một mô hình nào đó có xác
xuất tối đa.
Trong các phương pháp giới thiệu ở trên thì phương pháp hợp lý cực đại là
phương pháp là phức tạp nhất và cho kết quả đáng tin cậy nhất. Vì những lý do trên,
Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ

Bùi Văn Đồng Trang 10
trong dự án nghiên cứu này chúng tôi hướng vào kỹ thuật đại số tính toán cho vấn đề
ước lượng khả năng cực đại và áp dụng để tái cấu trúc cây sinh loài.
Xuất phát từ những thực tế trên, đề tài này đặt ra một số mục tiêu sau:
¾ Tìm hiểu mô hình xác suất thống kê trên cây sinh loài. Tìm hiểu phương pháp
hợp lý cực đại và áp dụng trên cây sinh loài.
¾ Tìm những phương pháp toán học thích hợp để giải bài toán ước lượng hợp lý
cực đại.
¾ Giải quyết cho trường hợp cây sinh loài 3 và 4 taxa.
¾ Tìm kiếm kết quả tương tự cho trường hợp 5 taxa.
¾ Hoàn thành một chương trình để kiểm nghiệm.
Sau đây là một số kết quả thu được của đề tài:
¾ Xây dựng được mô hình xác suất thống kê tổng quát trên cây sinh loài.
¾ Chỉ ra sự tương đồng của mô hình bài toán với một số cấu trúc đại số cơ bản, từ

đó tìm được thành phần bất biến trên cây sinh loài và giải bài toán.
¾ Xây dựng được một chương trình kiểm nghiệm.
¾ Chương trình đã giải quyết được bài toán MLE để tái cấu trúc cây sinh loài trên
một số cây sinh loài nhỏ 3 taxa và trường hợp đặc biệt với cây 4 và 5 taxa.
1.2. Cấu trúc luận văn
Nội dung luận văn được trình bày trong các chương sau:
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI
Chương này giới thiệu chung về bối cảnh, mục tiêu và kết quả thu được của đề
tài. Cấu trúc nội dung của quyển thuyết minh được trình bày ở cuối chương.
CHƯƠNG 2: CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ CƠ BẢN - CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Chương này giới thiệu các khái niệm cơ bản của toán học đại số và xác suất
thống kê được sử dụng vào các chương sau của đề tài. Các khái niệm về các cấu trúc
đại số như: nhóm, vành, trường, vành đa thức, ma trận, vectơ, …. Các khái niệm về
xác suất thống kê như: xác suất, đại lượng ngẫu nhiên và hàm phân phối, các đặc trưng
của các đại lượng ngẫu nhiên, lý thuyết mẫu,…và ước lượng hợp lý cực đại.
CHƯƠNG 3: ƯỚC LƯỢNG HỢP LÝ CỰC ĐẠI
Chương này chúng ta tìm hiểu kỹ hơn về MLE trên mô hình thống kê. Dẫn ra
một vài ví dụ về ước lượng hợp lý cực đại trên một số mẫu dữ liệu quan sát và giải bài
toán.
CHƯƠNG 4: CÂY SINH LOÀI – MÔ HÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ TRÊN
CÂY SINH LOÀI
Chương này giới thiệu cây sinh loài, mô hình xác suất thống kê trên cây sinh
loài. Ngoài ra cũng giới thiệu một số mô hình thường sử dụng hiện nay trên cây sinh
loài như mô hình Neyman 2 trạng thái, Jukes – Cantor, Kimura với 2 và 3 tham số.
Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ

Bùi Văn Đồng Trang 11
CHƯƠNG 5: BẤT BIẾN TRÊN CÂY SINH LOÀI
Trong chương này, giới thiệu tổng quát hóa mô hình xác suất thống kê trên sinh

loài. Chỉ ra cấu trúc nhóm Aben đối với các mô hình sử dụng để từ đó tìm thành phần
bất biến trên cây sinh loài.
CHƯƠNG 6: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỢP LÝ
Chương này đưa ra phương pháp giải phương trình hợp lý dựa vào tính bất biến
của cây sinh loài và mẫu dữ liệu quan sát.
CHƯƠNG 7: CHƯƠNG TRÌNH THỰC HIỆN
Chương này trình bày chi tiết hiện thực của chương trình.
CHƯƠNG 8: TỔNG KẾT – ĐÁNH GIÁ
Chương này tổng kết lại những công việc đã làm được, sau đó nêu ra những
đóng góp và hướng phát triển của luận văn.
Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ

Bùi Văn Đồng Trang 12
Chương 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI
SỐ VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các khái niệm cơ bản của đại số được trình bày ở phần đầu của chương này.
Tiếp theo đó là phần giới thiệu về những khái niệm về xác suất thống kê trong đó có
phần khái quát về ước lượng hợp lý cực đại.
2.1. Một số cấu trúc đại số cơ bàn
2.1.1. Lý thuyết nhóm
Định nghĩa 1
: Một nhóm là một cặp trong đó là một tập hợp không
rỗng và là một luật hợp thành trên
G thỏa mãn 3 điều kiện sau:
(,)G  G

(i) Luật hợp thành là kết hợp, tức là:
() ()
x
yzxyz

=
 
với mọi
,,
x
yz G∈ .
(ii) Có một phần tử
e , được gọi là phần tử trung lập, có tính chất G∈
x
eexx
=
=
với mọi
x
G∈ . Phần tử e còn được gọi là phần tử đơn vị của G .
(iii) Với mọi
x
G∈ , có một phần tử
,
x
G
∈
, được gọi là nghịch đảo của x sao
cho
,,
x
xxxe
=
=

Nếu luật hợp thành đã rõ và không nhầm lẫn gì, người ta cũng nói G là một
nhóm.

Định nghĩa 2
: Nhóm (, được gọi là giao hoán (hay Abel) nếu: )G 
x
yyx
=

với mọi
,
x
yG∈ .
Định nghĩa 3
: Giả sử và là các nhóm (với luật hợp thành viết theo lối
nhân). Một ánh xạ được gọi là một đồng cấu nhóm nếu:
G
'
G
'
:GG
ϕ
→
() ()()
x
yxy
ϕ
ϕϕ
=

với mọi
,
x
yG∈ .
Định nghĩa 4
: Một đồng cấu nhóm đồng thời là một song ánh được gọi là một
đẳng cấu nhóm.
Định nghĩa 5
: Hạt nhân và ảnh của đồng cấu nhóm được định
nghĩa như sau:
'
:GG
ϕ
→
Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ

Bùi Văn Đồng Trang 13
,1
:{ : () } ()
,
K
er x G x e e
ϕϕϕ
−
=∈ = =

Im : { ( ): } ( )
x
xG G
ϕ

ϕϕ
=
∈=
trong đó là đơn vị trong .
,
e
'
G
Định nghĩa 6
: Giả sử là một nhóm. Một tập con không rỗng được
gọi là một nhóm con của G nếu S khép kín đối với luật hợp thành trong
G (tức là
G SG⊂
x
yS∈ với mọi ,
x
yS∈ ) và khép kín đối với phép lấy nghịch đảo trong G (tức là
1
x
S
−
∈ với mọi
x
S
∈
).
2.1.2. Lý thuyết vành
Định nghĩa 7
: Ta gọi là vành mỗi tập hợp
R

≠
∅cùng với hai phép toán hai
ngôi, gồm phép cộng
:
(, )
R
RR
x
yxy
+
×→
+


và phép nhân
:
(, )
R
RR
x
yxy
•
×→


thỏa mãn ba điều kiện sau đây:
(i) R là một nhóm Abel đối với phép cộng.
(ii) Phép nhân có tính kết hợp.
(iii) Phép nhân phân phối về hai phía đối với phép cộng:
(x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy

với mọi
,,
x
yz R∈ .
Khi hai phép toán đều đã rõ, ta sẽ nói đơn giản: R là một vành.
Định nghĩa 8
: Vành R được gọi là vành giao hoán nếu phép nhân của nó giao
hoán.
Định nghĩa 9
: Giả sử R là một vành. Tập con S được gọi là một vành con
của R nếu S là một nhóm con của nhóm cộng R và khép kín đối với phép nhân, tức là
R⊂
,
x
yR∈ kéo theo
x
yS∈ .
Định nghĩa 10
:
(i) Một iđêan trái của vành R là một vành con
A
R⊂
có tính hấp thụ đối với
phép nhân từ bên trái, tức là
,,ra A r R a A
∈
∀∈ ∀∈

(ii) Một iđêan phải của vành R là một vành con
A

R⊂
có tính hấp thụ đối với
phép nhân từ bên phải, tức là
,,ar A r R a A
∈
∀∈ ∀∈

(iii) Nếu vành con
A
R⊂
vừa là một iđêan trái, vừa là một iđêan phải thì nó
được gọi là một iđêan (hai phía) của R.
Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ

Bùi Văn Đồng Trang 14
Định lí : Giả sử A là một iđêan của vành R, thì:
(i) Lớp xy + A chỉ phụ thuộc vào các lớp x + A và y + A mà không phụ thuộc
vào sự lựa chọn của các phần tử x, y từ các lớp đó.
(ii) X/A cùng với 2 phép toán
(, )
(, )
x
AyA xyA
x
Ay A xy A
+
++
++ +



+

là một vành gọi là vành thương của R trên A.
Định nghĩa 11
: Giả sử R là một vành (giao hoán và có đơn vị). Iđêan A của R
được gọi là nguyên tố nếu
A
R
≠
và với mọi ,
x
yR
∈
, từ chỗ
x
yA∈ suy ra hoặc
x
A∈ hoặc . yA∈
2.1.3. Trường
Định nghĩa 12
:
(i) Vành có đơn vị R được gọi là một thể nếu
10
≠
và mọi phần tử khác 0 trong
R đều khả nghịch, nói cách khác, nếu
\{0}
R
là một nhóm đối với phép
nhân.

(ii) Mỗi thể giao hoán được gọi là một trường.
Chúng ta đã biết một số trường số quen thuộc như: .
,, QRC
2.1.4. Vành đa thức
Định nghĩa 13
: Vành P được gọi là vành đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong A,
hay vắn tắt vành đa thức của ẩn x trên A, và kí hiệu là A[x]. Các phần tử của vành đó
gọi là đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong A. Trong một đa thức
01
01
()
n
n
f
xaxax ax=+++
các gọi là các hệ tử của đa thức. Các được gọi là các hạng tử
của đa thức. Đa thức có tất cả hệ tử bằng 0 gọi là đa thức 0.
, 0, 1, ,
i
ai n=
i
i
ax
Định nghĩa 14
: Giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị. Ta đặt
11
1
[]
[]
nnn

AAx
A
Ax
−
=
=


vành
1
[]
nnn
A
Ax
−
=
kí hiệu là
12
[, , , ]
n
A
xx x
và gọi là vành đa thức của n ẩn
12
, , ,
n
x
xx
lấy hệ tử trong vành A. Một phần tử của
n

A
gọi là một đa thức của n ẩn
12
, , ,
n
x
xx
lấy hệ tử trong vành A, người ta kí hiệu bằng
12
(, , , )
n
f
xx x
hay
…
12
( , , , )
n
gx x x
Định nghĩa 15
: Giả sử
12 12
(, , , ) [, , , ]
nn
f
xx x Axx x
∈
là một đa thức khác 0
12 11 1
( , , , )

11 1n m1 mn
aa a a
nnmn
f
xx x cx x cx x=++

Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ

Bùi Văn Đồng Trang 15
với các và
0, 1, ,
i
ci≠= m
1
( , , ) ( , , )
i1 in
j
jn
aa aa
≠
khi
i
. Ta gọi bậc của
hạng tử là tổng các số mũ đối với ẩn
j
n
≠
1

i1 in

aa
i
cx x
i
x
số mũ

i1 in
aa
+
+
của các ẩn.
Bậc của đa thức (đối với toàn thể các ẩn) là số lớn nhất trong các bậc của các
hạng tử của nó. Đa thức 0 là đa thức không có bậc.
Nếu các hạng tử của
12
(, , , )
n
f
xx x
có cùng bậc k thì
12
(, , , )
n
f
xx x
gọi là
một đa thức thuần nhất cấp bậc k hay một dạng bậc k. Đặc biệt một dạng bậc nhất gọi
là dạng tuyến tính, một dạng bậc 2 gọi là dạng toàn phương, một dạng bậc 3 gọi là
dạng lập phương.

2.1.5. Ma trận
Một ma trận A là một bảng có
mn
×
phần tử lấy ở vành R, viết như sau:
11 12 1
21 22 2
12
n
n
mm mn
aa a
aa a
A
aa a
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦






Các số được viết thành m dòng và n cột, chúng mang hai chỉ số: chỉ số i nói
lên dòng và j nói lên cột mà được đặt trong bảng. Mỗi được gọi là một thành
phần của ma trận. Một ma trận kiểu (m, n) là một ma trận có m dòng và n cột. Khi m =
n thì ta bảo ta có một ma trận vuông cấp n.
ij
a
ij
a
ij
a
Ma trận chuyển vị của ma trận A được kí hiệu là
T
A
được định nghĩa như sau:
11 21 1
12 22 2
12
m
m
T
nm nm
aa a
aa a
A
aa a
⎡
⎤

⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦





hay ma trận
T
A
là ma trận A nhưng chuyển dòng thành cột và cột thành dòng.
2.1.6. Định thức
Giả sử A là một ma trận vuông cấp
(1nn≥ )
11 12 1
21 22 2
12
n
n
nn nn
aa a

aa a
A
aa a
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦





Định thức của ma trận A là gọi là det(A) hay
||
A
được định nghĩa như sau theo
cách triển khai theo dòng i:
Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ

Bùi Văn Đồng Trang 16
det( )

i1 i1 i2 i2 in in
A
aA aA aA
=
+++

trong đó
(1)
ij
ij ij
A
M
+
=− với
ij
M
là định thức cấp n -1 suy ra từ A bằng cách bỏ dòng
thứ i và cột thứ j.
ij
A
được gọi là phần bù đại số của ta đi đến tính n định thức cấp
n-1. Ma trận có một phần tử thì định thức bằng chính phần tử đó.
ij
a
2.1.7. Không gian vector
K là một trường, chủ yếu là , mà các phần tử kí hiệu là:
,, QRC , , ,
λ
μν
,

E là một tập hợp mà các phần tử là
,,, .
x
yz
Giả sử cho 2 phép toán:
- Phép cộng:
(, )
E
EE
x
yxy
×
→
+


và
- Phép nhân: Một phần tử của K với một phần tử E:
(,)
K
EE
x
x
λ
λ
×
→


thỏa mãn các tính chất sau với mọi

,
x
yE
∈
và mọi
, K
λ
μ
∈
:
(i) E cùng với phép cộng là một nhóm Abel.
(ii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng của trường K:
()
x
xx
λ
μλμ
+
=+
(iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng của E:
()
x
yxy
λ
λλ
+
=+
(iv) Phép nhân có tính kết hợp:
()()
x

x
λ
μλμ
=

(v)
1
x
x= , 1 là đơn vị của trường K.
Lúc đó ta bảo E cùng với hai phép toán: Cộng trong E và nhân đối với một phần
tử trong trường K, thỏa tính chất (i), (ii), (iii), (iv) và (v) là một không gian vector trên
trường K hay K – không gian vector (cũng gọi tắt là không gian vector khi không cần
chỉ rõ K). Các phần tử của E gọi là các vector; các phần tử của K gọi là vô hướng.
Phép toán + gọi là phép cộng vector, phép toán nhân với một phần tử của trường K
được gọi là phép nhân vector với vô hướng.
Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Giả sử là n vectơ của K – không gian vector E và
12
, , , ( 1)
n
xx x n≥
12
, , ,
n
λ
λλ
là n phần tử của trường K. Vectơ
11 2 2

nn

x
xx x
λ
λλ
=
+++

Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ

Bùi Văn Đồng Trang 17
còn được viết là:
1
n
ii
i
x
xE
λ
=
=∈
∑
và gọi là tổ hợp tuyến tính của các vectơ
12
, , ,
n
x
xx
với các hệ tử
12
, , ,

n
λ
λλ
. Trong trường hợp K là một trường số, các
i
λ
sẽ gọi là hệ số thay cho hệ tử.
Hệ n vectơ trong K không gian vectơ E gọi là độc lập
tuyến tính khi vectơ 0 chỉ có một biểu thị tuyến tính, đó là biểu thị tuyến tính tầm
thường, qua hệ vectơ đó. Vậy hệ độc lập tuyến tính khi và chỉ
khi
12
, , , ( 1)
n
xx x n≥
12
, , , ( 1)
n
xx x n≥
1
0
n
ii
i
x
λ
=
=
∑
kéo theo

12
0
n
λ
λλ
=
== =

Hệ vectơ không độc lập tuyến tính thì gọi là phụ thuộc
tuyến tính.
12
, , , ( 1)
n
xx x n≥
Hạng của một hệ hữu hạn vectơ
Giả sử I là một tập hữu hạn và
JI
∅
≠⊂. Giả sử cho hệ vectơ trong K-
không gian vector E. Hệ con
()
iiI
x
∈
()
j
jJ
x
∈
gọi là một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của

hệ đã cho nếu nó là một hệ độc lập tuyến tính và nếu thêm bất cứ vector
()
i
x
iIJ
∈
−

nào vào hệ con đó thì ta đều được một hệ phụ thuộc tuyến tính.
Cho hệ hữu hạn vector
()
iiI
x
∈
trong K- không gian vector E. Người ta chứng
minh được rằng số phần tử của mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của nó bằng nhau
và gọi là hạng của hệ vector đã cho. Hạng của vectơ (0) được coi bằng 0.
Hạng của ma trận
Ma trận A có m dòng và n cột với
ij
aK
∈
. Hạng của A là hạng của hệ vector
cột và người ta chứng minh nó cũng bằng hạng của vectơ dòng và bằng cấp cao nhất
của các định thức con khác 0 của nó.
Nếu A chứa một ma trận vuông cấp p có định thức khác 0, sao cho mọi ma trận
vuông cấp p+1 chứa nó có định thức bằng 0, thì ma trận có hạng là p.
Cơ sở và số chiều của một K – không gian vector
Ở đây chúng ta chỉ đề cập tới các không gian vector có hữu hạn chiều.
Giả sử E là một K – không gian vector. Giả sử tồn tại trong E một hệ vector độc

lập tuyến tính sao cho mọi vector của E đều biểu thị tuyến tính qua hệ
đó. Lúc đó ta có thể nói hệ là độc lập tuyến tính tối đại trong E.
12
(, , , )
n
ee e
12
(, , , )
n
ee e
Và ta nói là một cơ sở của K – không gian vector E và số chiều
(hay vắn tắt là chiều) của E, kí hiệu là dim E, là số vectơ của cơ sở. Ta viết dim E = n;
và gọi E là K - không gian vector n chiều.
12
(, , , )
n
ee e
Phương pháp đại số cho bài tốn ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh lồi nhỏ

Bùi Văn Đồng Trang 18
2.1.8. Đa tạp đại số
Tập hợp tất cả các điểm trong khơng gian phức n chiều thỏa
mãn hệ phương trình dạng
12
(, , , )
n
zz z
12
( , , , ) 0 ( 1,2, , )
in

Fz z z i s
=
=
trong đó là các đa
thức của các biến số
i
F
1, , ) (
j
zj n=
Nếu các đều là bậc nhất đối với tất cả các
i
F
j
z thì ta có đa tạp tuyến tính. Nếu
các hệ số của là số hữu tỉ (thực, phức) thì ta có đa tạp đại số hữu tỉ (thực, phức).
i
F
2.2. Các khái niệm về xác suất thống kê
2.2.1. Định nghĩa về xác suất
1) Một số khái niệm
Trong xác suất thống kê, thực hiện một phép thử nghĩa là làm một thí nghiệm,
thực hiện một quan sát, thực hiện một cơng việc, một hành động nào đó.
- Phép thử mà ta khơng khẳng định được một cách chắc chắn kết quả của nó
trước khi thực hiện phép thử gọi là phép thử ngẫu nhiên.
- Các phép thử có thể xảy ra của phép thử gọi là các biến cố.
- Các biến cố khơng thể phân tích được nữa gọi là biến cố sơ cấp.
- Biến cố chắc chắn là biến cố nhất định xảy ra khi phép thử được thực hiện. Ta
kí hiệu biến cố chắc chắn là
Ω

.
- Biến cố khơng thể là biến cố khơng thể xảy ra khi phép thử được thực hiện. Ta
kí hiệu là .
Φ
- Biến cố ngẫu nhiên là biến cố mà nó có thể xảy ra và cũng có thể khơng xảy ra
khi phép thử được thực hiện. ta thường kí hiệu biến cố ngẫu nhiên bởi các chữ
cái in hoa: A, B, C, …
2) Quan hệ giữa các biến cố
- Tổng của 2 biến cố: Tổng của 2 biến cố A và B là một biến cố được kí hiệu là
A
B∪
, sao cho biến cố tổng
A
B∪
xảy ra khi và chỉ khi hoặc A xảy ra hoặc B
xảy ra.
- Tích của 2 biến cố: Tích của 2 biến cố A và B là một biến cố được kí hiệu là
A
B∩
hoặc AB, sao cho biến cố tích AB xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B
xảy ra.
Định nghĩa xác suất dạng cổ điển
Xác suất của biến cố A là một số khơng âm, kí hiệu P(A). Biểu thị khả năng xảy
ra biến cố A và nó được xác định như sau:
()
Số trường hợp thuận lợi cho
Số trường hợp có thể xảy ra phép thử được thực hiện
A
PA=

Định nghĩa xác suất dạng thống kê
Làm đi làm lại một phép thử nào đó n lần, thấy có m lần biến cố A xuất hiện thì
tỷ số
m
n
gọi là tần suất của biến cố A.
Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ

Bùi Văn Đồng Trang 19
Khi n thay đổi, tần suất
m
n
cũng thay đổi nhưng nó luôn dao động quanh một số
cố định nào đó, n càng lớn thì
m
n
càng gần số cố định đó. Số cố định ấy được gọi là
xác suất của biến cố A theo nghĩa thống kê. Trên thực tế khi n đủ lớn ta xấp xỉ P(A)
bởi
m
n
.
()
m
PA
n
≈

Một số tính chất của xác suất
0()1

() 0,()1
PA
PP
≤
≤
Φ
=Ω=

2.2.2. Xác suất có điều kiện
1) Định nghĩa
: Xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy
ra là một con số không âm, được kí hiệu
(/)
p
AB, nó biểu thị khả năng xảy ra biến cố
A trong tình huống biến cố B đã xảy ra.
2) Tính độc lập của các biến cố

Hai biến cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu:
(/) ()
p
AB PA= hoặc (/) ()
p
BA PB
=
hoặc ( ) ()()
p
AB P A P B
=

3) Công thức nhân xác suất
:
Từ định nghĩa xác suất có điều kiện, với n biến cố
12
, , ,
n
A
AA
ta có:
12 1 2 1 3 12 12 1
( ) ( ) ( / ) ( / ) ( / )
nn
PAA A PAPA A PA AA PA AA A
−
=
n

4) Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

Giả sử là một nhóm đầy đủ các biến cố. Xét biến cố A sao cho A
xảy ra chỉ khi một trong các biến cố xảy ra. Khi đó
12
,,,
n
BB B
12
,,,
n
BB B
1

() ( )(/ )
n
ii
i
PA PB PAB
=
=
∑

Công thức trên được gọi là công thức xác suất đầy đủ. Và
1
()(/)
( / ) 1,2, ,
()(/)

kk
k
n
ii
i
PB PAB
PB A k n
PB PAB
=
==
∑

Công thức này được gọi là công thức Bayes.
Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ

Bùi Văn Đồng Trang 20
2.2.3. Đại lượng ngẫu nhiên và hàm phân phối
1) Định nghĩa
: Một đại lượng (hay một biến) nhận các giá trị của nó với xác suất
tương ứng nào đấy gọi là đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên.
Phân loại các đại lượng ngẫu nhiên: Căn cứ vào giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận
ta phân các đại lượng ngẫu nhiên ra làm 2 loại chính: biến ngẫu nhiên rời rạc và biến
ngẫu nhiên liên tục. Tuy nhiên, với vấn đề quan tâm của đề tài, chúng ta chỉ xét đến
các biến ngẫu nhiên rời rạc.
2) Biến ngẫu nhiên rời rạc, bảng phân phối xác suất

Nếu tập các giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận là một tập gồm một số hữu hạn
hoặc vô hạn nhưng đếm được, khi đó biến ngẫu nhiên gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc.
Giả sử biến ngẫu nhiên
ξ
nhận các giá trị
12
, , , ,
n
x
xx
và
(),1,2,
ii
Pxpi
ξ
==∀=

Để mô tả biến ngẫu nhiên rời rạc
ξ

ta dùng bảng sau:
12
12
()


n
in
xxx
Pxp p p
ξ
ξ
=

trong đó: .
1
i
i
p =
∑
Bảng với hai thông tin xác định biến ngẫu nhiên
ξ
được gọi là bảng phân phối
xác suất.
2.2.4. Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên
1) Kỳ vọng
: Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên
ξ
là một con số, được kí hiệu
là

E
ξ
và được xác định như sau:
ii
i
E
xp
ξ
=
∑

trong đó
(),1,2,
ii
Pxpi
ξ
==∀=

Ý nghĩa: Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên là giá trị trung bình mà biến ngẫu nhiên
nhận hay là trọng tâm của phân phối xác suất.
2) Phương sai
: Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên
ξ
là một con số không
âm, được kí hiệu là
D
ξ
và được xác định như sau:
2
()DE E

ξ
ξξ
=−

Ý nghĩa: Phương sai của biến ngẫu nhiên là một số không âm dùng để đo mức
độ phân tán (mức độ tản mát) của các giá trị của biến ngẫu nhiên
ξ
xung quanh tâm
E
ξ
của nó.
D
ξ
nhỏ thì độ phân tán nhỏ, độ tập trung lớn.
D
ξ
càng lớn thì độ phân
tán càng cao.
Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ

Bùi Văn Đồng Trang 21
2.2.5. Lý thuyết mẫu
1) Mẫu ngẫu nhiên

Tiến hành n quan sát độc lập về biến ngẫu nhiên X nào đó. Ta gọi
i
X
là việc
quan sát lần thứ i về biến ngẫu nhiên X. Khi đó
12

(, , ,
n
)
X
XX
được gọi là mẫu ngẫu
nhiên, n gọi là cỡ mẫu (số lần quan sát). Như vậy mẫu ngẫu nhiên cỡ n thực chất là n
biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối như biến ngẫu nhiên X.
Ta gọi
i
x
là kết quả quan sát được ở lần thứ i. Khi đó
12
(, , , )
n
x
xx
là n giá trị
cụ thể ta quan sát được. Đó là giá trị cụ thể mà mẫu ngẫu nhiên
12
(, , ,
n
)
X
XX
nhận.
2) Các đặc trưng mẫu

Giả sử ta cần nghiên cứu biến ngẫu nhiên X với EX, DX mà ta chưa biết và đang
phải đi tìm chúng. Ký hiệu

E
X
μ
=
,
2
DX
σ
=
.
Giả sử
12
(, , , )
n
X
XX
là mẫu ngẫu nhiên được rút ra từ X. Ta xây dựng biến
ngẫu nhiên rời rạc nhận n giá trị mẫu với xác suất đều
'
X
1
n
.
'
1
()
i
PX X
n
=

=
Kỳ vọng mẫu
'
1
1
n
i
i
XEX X
n
=
==
∑

Do
12
(, , ,
n
)
X
XX
là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối như X nên
kỳ vọng mẫu là một biến ngẫu nhiên. Do đó ta lại tìm kỳ vọng và phương sai của
X

1
11
n
i
i

EX EX nEX
nn
μ
=
=
==
∑

2
22
1
11

n
i
i
DX
DX DX n DX
nn
nn
σ
=
===
∑
=

Phương sai mẫu
2' 2 2
11
11

()
nn
ii
ii
2
s
DX X X X X
nn
==
== −= −
∑∑

22
1
2
11
{( ) ( )} ( ) ( )
11

n
ii
ii
Es E X X E X E X
nn
DX n
nDX DX DX
nnn
μμ μ μ
σ
=

=−−−=−−−
−
=−=−=
∑∑
2
=

Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ

Bùi Văn Đồng Trang 22
2.2.6. Ước lượng tham số
Giả sử ta nghiên cứu biến ngẫu nhiên X và biết được phân phối X thuộc một họ
phân phối nào đó. Khi đó để xác định hoàn toàn phân phối của X ta phải xác định được
các giá trị tham ẩn mà phân phối đó nhận.
Trong trường hợp ta chưa biết được gì về phân phối của X, khi đó việc biết
được các số đặc trưng của X cũng cho ta nhiều thông tin giá trị.
Do đó bài toán đi tìm các ước lượng cho các tham ẩn của phân phối hoặc ước
lượng cho các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên là bài toán rất cần thiết.
1) Ước lượng điểm

Giả sử
θ
là tham ẩn cần ước lượng. Với mẫu ngẫu nhiên
12
(, , ,
n
)
X
XX
, ta

không thể ước lượng cho
θ
dựa vào mẫu ngẫu nhiên trên.
Ta sẽ dùng một hàm nào đó của mẫu, tức là một hàm nào đó của n biến
12
, , ,
n
X
XX
để là ước lượng cho
θ
- Kí hiệu hàm đó là
*
12
( , , , )
n
X
XX
θ
. Như vậy
*
12
( , , , )
n
X
XX
θ
là một biến ngẫu nhiên vì
12
, , ,

n
X
XX
là các biến ngẫu nhiên độc
lập, cùng phân phối.
*
12
(, , ,
n
)
X
XX
θ
là ước lượng điểm vì với giá trị cụ thể của mẫu
thì
*
12
(, , ,
n
)
X
XX
θ
nhận một giá trị cụ thể (một điểm)
*
12
( , , , )
n
x
xx

θ
.
2) Ước lượng không chệch

Vì
*
12
( , , , )
n
x
xx
θ
là một biến ngẫu nhiên nên ta không thể đòi hỏi
*
12
( , , , )
n
x
xx
θ
đúng bằng giá trị
θ
cần tìm được. Lẽ tự nhiên ta đòi hỏi
*
12
( , , , )
n
Exx x
θ
θ

=

Ước lượng
*
12
( , , , )
n
x
xx
θ
thỏa mãn hệ thức trên gọi là ước lượng không
chệch của
θ
.
Ta dùng
X
là ước lượng điểm cho
E
X
,
2
s
là ước lượng điểm cho
D
X
.
2.2.7. Sơ lược về ước lượng hợp lý cực đại
Phần trên chúng ta đã đưa ra các ước lượng điểm cho kỳ vọng, phương sai.
Cách đưa ra như vậy có vẻ không được tự nhiên. Bây giờ chúng ta tìm hiểu một trong
các phương pháp tìm được kết quả đã đưa ra. Đó là phương pháp hợp lý cực đại. Nội

dung phương pháp như sau:
Ta xét biến ngẫu nhiên
ξ
và đối với nó ta xác định:
(, ) ( , )
f
xPx
θ
ξθ
=
=
θ
là tham ẩn của phân phối của biến ngẫu nhiên
ξ
. Trước hết ta xét trường hợp
θ
là
tham ẩn một chiều.