Bài giảng Giải tích 11 chương 5 bài 2 Quy tắc tính đạo hàm

Giáo viên: đặng đức thuyết
LOGO
Bài cũ:
Bài cũ:
Nêu các bước tính đạo hàm bằng định nghĩa của hàm số y = f(x) tại điểm
x tùy ý? Áp dụng: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = x
3
tại
điểm x tùy ý.
Đáp án
Bước 1 : Giả sử  x là số gia của đối số x. Tính :  y=f(x+ x)-f(x)
Bước 3 : Tìm . Kết luận
0
lim
x
y
x
∆ →
∆
∆
0
' lim
x
y
y
x
∆ →
∆
=
∆
Áp dụng:


Giả sử x là số gia của đối số tại x tuỳ ý,
y = (x+x)
3
–x
3

= (x+x –x)[(x+x)
2
+(x+x)x+x
2
]

Tỷ số
2 2
( ) ( ).
y
x x x x x x
x
∆
= +∆ + +∆ +
∆
2 2 2
0 0
lim lim [( ) ( ). ] 3
x x
y
x x x x x x x
x
∆ → ∆ →

∆
= + ∆ + + ∆ + =
∆

y’ =
Bước 2 : Lập tỷ số
( ) ( )y f x x f x
x x
∆ +∆ −
=
∆ ∆
Nhóm 1: y = x
2
Nhóm 2: y = 10
Nhóm 3: y = x Nhóm 4:
, ( 0)y x x
= ∀ >

Giả sử x là số gia của đối số tại x tuỳ ý,
y=(x+ x)
2
-x
2

=[(x+x) –x][(x+x)+x]
=x(2x+x)

Tỷ số
2
y

x x
x
∆
= + ∆
∆
0 0
lim lim (2 ) 2
x x
y
x x x
x
∆ → ∆ →
∆
= + ∆ =
∆

Và
Vậy: (x
2
)’=2x
Đáp án nhóm 1:
Đáp án nhóm 1:
Đáp án nhóm 1:
Đáp án nhóm 1:
I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Định lý 1: Hàm số y = x
n
( n ∈ N, n > 1) có đạo hàm tại mọi
x ∈ R và (x
n

)’ = n.x
n-1
.
Chứng minh:Giả sử x là số gia của x, ta có:
y = f(x+ x) - f(x) = (x+ x)
n
– x
n

= (x+x –x)[(x+x)
n-1
+(x+x)
n-2
.x +…+ x
n-1
]
=x[(x+ x)
n-1
+(x+ x)
n-2
.x +…+ x
n-1
].
1 2 1
( ) ( ) .
y
n n n
x x x x x x
x
∆

− − −
= +∆ + +∆ + +
∆
1 2 1
lim lim [( ) ( ) . ]
0 0
1 1 1 1 1

y
n n n
x x x x x x
x
x x
n n n n n
x x x x nx
⇒
∆
− − −
= +∆ + +∆ + +
∆
∆ → ∆ →
− − − − −
= + + + + =
1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 43
n-số hạng
I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Định lý 1: Hàm số y = x
n
( n N, n > 1) có đạo hàm tại mọi ∈
x R và (x∈

n
)’ = n.x
n-1
.
Các em hãy tính các đạo hàm sau:
100
125
2010
2011
)
)
)
)
a y x
b y x
c y x
d y x
=
=
=
=
99
' 100y x=
124
' 125y x
=
2009
' 2010y x=
2010
' 2011y x

=

Giả sử x là số gia của đối số tại x tuỳ ý,
y
x
∆
∆
0
lim
x
y
x
∆ →
∆
∆
Nhóm (II): y = 10 (III): y = x
0 1
0 1
y
∆
x x x x+ ∆ − = ∆
Đáp án của nhóm 2 và nhóm 3:
Nhận xét:
a/ (c)’ = 0 với c là hằng số
b/ (x)’ = 1
C - C = 010 - 10 = 0
Đáp án nhóm 4:
Đáp án nhóm 4:
( )
1

y x x x x x x
x x
x x x x
x x x
∆ +∆ − + ∆ −
⇒ = =
∆ ∆
∆ +∆ +
=
+∆ +
Giải:Giả sử x là số gia của x dương sao cho
x + x > 0. Ta có:
( )y x x x∆ = + ∆ −
0 0
1 1
' lim lim
2
x x
y
y
x
x x x x
∆ → ∆ →
∆
⇒ = = =
∆
+ ∆ +
I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Định lý 2: Hàm số có đạo hàm tại
mọi x dương và

y x
=
1
( )'
2
x
x
=
Có thể trả lời ngay được không, nếu yêu cầu tính đạo
hàm của hàm số tại x=-3; x=4?
( )f x x=
1 1
'(4)
4
2 4
f
= =
f’(-3) không tồn tại vì -3 < 0
I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = x
3
+ x
2
Ta có: y’= (x
3
+ x
2
)’= 3x
2
+ 2x (1)

Nhận xét:
3
2
2
' 3
,
' 2
u x
u x
v x
v x

=

=

⇒
 
=
=



Nếu
khi đó: u’ + v’ = 3x
2
+ 2x (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (u + v)’ = u’ + v’
I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
II. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HiỆU, TÍCH, THƯƠNG

1)
1)
Định lí:
Định lí:
Bằng quy nạp, ta có:
1 2 1 2
( )' ' ' '
n n
u u u u u u
± ± ± = ± ± ±
I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
II. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HiỆU, TÍCH, THƯƠNG
1)
1)
Định lí:
Định lí:
Áp dụng định lí tính đạo hàm của các hàm số sau:
4 3 5 3
1
) 3 ; ) ; ) 5 2 ; )
1
a y x b y c y x x d y x x
x
= = = − = −
+
Giải:
Giải:
a) (3x
4
)’=(3)’.x

4
+3(x
4
)’
=0.x
4
+3.4x
3

=12x
3
'
2
1 (1)'( 1) 1( 1)'
)
1 ( 1)
x x
b
x x
+ − +
 
=
 ÷
+ +
 
2
2 2
0( 1) 1.( 1)'
( 1)
( 1)' 1

( 1) ( 1)
x x
x
x
x x
+ − +
=
+
+
= − = −
+ +
2)Hệ quả:
2)Hệ quả:
1./ Nếu k là một hằng số thì (ku)’ = ku’
/
2
1 '
2./ ( 0)
v
v
v v
 
=− ≠
 ÷
 
I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
II. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HiỆU, TÍCH, THƯƠNG
1)
1)
Định lí:

Định lí:
2)
2)
Hệ quả:
Hệ quả:
c) (5x
3
-2x
5
)’ = (5x
3
)’ – (2x
5
)’
=15x
2
– 10x
4
3 3 3
) ( )' ( )' ( )( )'d x x x x x x
− = − + −
2 3
1
3 . .
2
x x x
x
= − −
3
2

3
2
x
x x
x
= − −
I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
II. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HiỆU, TÍCH, THƯƠNG
Áp dụng tính đạo hàm của hàm số sau:
3 5
2 6
) 3 4
) (5 )
2 1
)
2
a y x x x
b y x x x
x
c y
x
= − +
= −
+
=
−
Giải:
Giải:
2 4
1

) ' 9 20
2
a y x x
x
= − +
2 6 2 6
) ' (5 )' (5 )( )'b y x x x x x x
= − + −
6 2 5
1
(10 ) (5 ).6
2
x x x x x
x
= − + −
6
7 7 5
10 30 6
2
x
x x x x
x
= − + −
6
7 5
40 6
2
x
x x x
x

= − −
2
(2 1)'(2 ) (2 1)(2 )'
) '
(2 )
x x x x
c y
x
+ − − + −
=
−
2
2(2 ) (2 1)( 1)
(2 )
x x
x
− − + −
=
−
2
4 2 2 1
(2 )
x x
x
− + +
=
−
2
5
(2 )x

=
−
GHI NHỚ
GHI NHỚ
GHI
HƠ
Đạo hàm của các hàm số thường gặp
LOGO