Bài giảng Giải tích 11 chương 4 bài 2 Giới hạn của hàm số

OÁ
T

LỚ
N

11
P

GiỚI HẠN CỦA HÀM SỐ


I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
III. Giới hạn vô cực của hàm số:


1. Định nghĩa:
- Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
- Giới hạn một bên

2. Định lí về giới hạn hữu hạn:
a) Giả sử xlim f ( x) = L , xlim g ( x) = M .Khi đó:
→x
→x
lim [ f ( x) + g ( x) ] = L + M
x → xo
lim [ f ( x) − g ( x) ] = L − M
o

o

x → xo

lim [ f ( x).g ( x) ] = L.M
x → xo
f ( x) L
lim
=
x → xo g ( x )
M
b) Nếu f ( x ) ≥ 0 và lim f ( x) = L , thì
x → xo

lim
L ≥ 0 và x → x f ( x) = L .
o


1. Định nghĩa:
- Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vơ cực

2. Chú ý:
-Định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → xo vẫn
còn đúng khi x → +∞ hoặc x → +∞


1. Giới hạn vơ cực
• Định nghĩa: (Giới hạn −∞ của hàm số y = f ( x) khi x
dần tới dương vô cực)
Cho hàm số y = f ( x) xác định trên khoảng (a ; +∞ ).

Ta nói hàm số y = f ( x) có giới hạn là −∞ khi x → +∞
nếu với dãy số bất kì, xn > a và xn → +∞ , ta có

f ( xn ) → −∞
Kí hiệu: lim f ( x) = −∞ hay f ( x) → −∞khi x → +∞
x →+∞
• Các định nghĩa: lim f ( x) = +∞ , lim f ( x) = +∞
,
x →+∞

x →−∞

lim f ( x) = −∞, lim f ( x) = +∞, lim− f ( x) = +∞, xlim+ f ( x) = +∞,
→x

x →−∞

x → xo

… phát biểu tương tự.

x → xo

o


• NHẬN XÉT

lim f ( x) = +∞ ⇔ lim (− f ( x)) = −∞

x →+∞

x →+∞


2. Một vài giới hạn đặc biệt

a)
b)
c)

lim x k = +∞ với k nguyên dương.

x →+∞

lim x = −∞ nếu k là số lẻ.
k

x →−∞

lim x k = +∞ nếu k là số chẵn.

x →−∞


3. Một vài qui tắc về giới hạn vô cực
a) Qui tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

lim f ( x)

x → xo

L>0
L<0

lim g ( x)

x → xo

+∞
−∞
+∞
−∞

lim f ( x).g ( x)

x → xo

+∞
−∞
−∞
+∞


f ( x)
b) Qui tắc tìm giới hạn của thương
g ( x)

lim f ( x)

x → xo

L
L>0
L<0

lim g ( x)

Dấu của
g(x)

f ( x)
lim
x → xo g ( x )

±∞

Tùy ý

0

+
+
-

0
+∞
−∞
−∞
+∞

x → xo

( Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính
giới hạn, với x ≠ x0 )


CHÚ Ý
Các qui tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x → xo +,
x → xo − , x → +∞ và x → −∞ .


4

2
Ví dụ 1: Tính lim ( x − x + x − 1)
x →+∞

Giải
1 1 1 

Ta có: x − x + x − 1 = x 1 − 2 + 3 − 4 ÷
x x 
 x
4

2

4

Vì: lim x 4 = +∞
x →+∞

1 1 1 

lim 1 − 2 + 3 − 4 ÷ = 1 > 0
x →+∞
x x 
 x

Nên ta có:

1 1 1 

lim ( x − x + x − 1) = lim x 1 − 2 + 3 − 4 ÷ = +∞
x →+∞
x →+∞
x x 
 x
4

2

4


3x − 5
Ví dụ 2: Tính lim
x → 2 ( x − 2) 2

Giải

Ta có:

lim( x − 2) 2 = 0
x→2

lim(3 x − 5) = 1 > 0
x →2

( x − 2) 2 > 0
Vậy:

3x − 5
lim
= +∞.
2
x → 2 ( x − 2)


2x − 3
Ví dụ 3: Tính lim
x →1− x − 1

Giải

Ta có:

lim( x − 1) = 0
−

x →1

lim(2 x − 3) = −1 < 0
−

x →1

Ta lại có: x < 1 ⇒ x − 1 < 0.
Do đó:

2x − 3
lim
= +∞.
−
x →1 x − 1


BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Bài 1: Tính

+∞
B. −∞

lim (4 x − 3 x + 1)
5

2

x →−∞

A.

C.

0

D.

4

Đáp án: B


Bài 2: Tính

A.

0

2

x →−∞

+∞

B.

lim 4 x − 3 x + 1

4

C.

−∞

D.

1

Đáp án: A


Bài 3: Tính

2x − 7
lim
x →1− x − 1

A.

2

C.

0

B.

−∞

D.

+∞

Đáp án: D


Bài 4: Tính

+∞
B. −∞

1− x
lim
x → 4 ( x − 4)2

A.

C.

5

D.

0

Đáp án: B

DẶN DỊ
1. Nắm định nghĩa 4
2. Nắm qui tắc tìm giới hạn f(x).g(x);

f (x)
g( x )

3. Làm các bài tập 3e, 4,5 và 6 (SGK, tr132,133)