de va da hsg thanh hoa

Su tầm: Phạm Văn Vợng NBS- Hoằng Hóa Thanh Hóa
S GD & T K THI CHN HC SINH GII LP 9 CP TNH
Thanh hoá Ngy thi: 24/3/2011
Mụn: Toỏn
Thi gian lm bi: 150 phỳt.
Câu I.(5,0 điểm).
1) Cho phơng trình: x
2
- 2mx + 2m - 1 = 0. Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm
1 2
,x x
với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2(1 )
x x
P
x x x x
+
=
+ + +
khi m thay đổi.
2) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn
1 1 1
a b c
+ =
. Chứng minh rằng
2 2 2
A a b c= + +

là số
hữu tỉ.
(b). Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
B
x y y z z x
= + +

là số hữu tỉ.
Câu II. (5,0 điểm). 1) Giải phơng trình :
2 2
10
.
1 1 9
x x
x x

+ =

+

2) Giải hệ phơng trình:
2
2
3
2 3
1 1
1 4

1
4
x x
y y
x x
x
y y y


+ + + =






+ + + =


Câu III. (2,0 điểm).
Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lợt thuộc các cạnh AC, AB sao cho BD, CE cắt
nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính
.BPE
Câu IV. (4,0 điểm).
Cho đờng tròn tâm O và dây cung AB cố định (O

AB). P là điểm di động trên đoạn thẳng AB
( P

A,B và P khác trung điểm AB). Đờng tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đờng tròn

(O) tại A.Đờng tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đờng tròn (O) tại B. Hai đờng tròn (C)
và (D) cắt nhau tại N ( N

P).
1) Chứng minh rằng
ANP BNP =
và bốn điểm O, D, C, N cùng trên một đờng tròn.
2) Chứng minh rằng đờng trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P do động
Câu V ( 4,0 điểm)
1) Cho a
1
,a
2
, ,a
45
là 45 số tự nhiên thoả mãn a
1
< a2 < < a
45

130. Đặt
1
( 1,2, ,44)
j j j
d a a j
+
= =
. Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu
j
d

xuất hiện ít nhất 10 lần
2) cho ba số dơng a,b,c thoả mãn
2 2 2 2 2 2
2011a b b c c a+ + + + + =
2 2 2
1 2011
2 2
a b c
cmr
b c c a a b
+ +
+ + +
Hết
ẩ CHNH THC
Su tầm: Phạm Văn Vợng NBS- Hoằng Hóa Thanh Hóa
II 1) Giải phơng trình :
2 2
10
.
1 1 9
x x
x x

+ =

+

Ta sử dụng a
2
+ b

2
= (a+b)
2
-2ab
Vậy


+ =


+


2
2 2
2 2
2 2
2
1 1 1 1
x x x x
x x x x
Lời bình: Lấy đề dự bị HSG năm ngoái
Câu V
1) ) Cho a
1
,a
2
, ,a
45
là 45 số tự nhiên thoả mãn a

1
< a2 < < a
45

130. Đặt
1
( 1,2, ,44)
j j j
d a a j
+
= =
. Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu
j
d
xuất hiện ít nhất 10 lần
Ta có
1
( 1,2, ,44)
j j j
d a a j
+
= =
=> a
2
= a
1
+ d
1
a
3

= a
2
+ d
2
= a
2
= a
1
+ d
1
+ d
2

a
45
= a
44
+ d
44
= a
1
+ d
1
+.+ d
44
do
45 1 1 2 44
1 2 44
130 130
130(*)

a a d d d
d d d
=> + + + +
=> + + +
Nếu
j
d
xuất hiện ít nhất 10 lần ( thỏa mãn)
Nếu
j
d
xuất hiện ít hơn 10 lần ta có
d
1
+.+ d
44

9.1+9.2+9.3+9.4+8.5=130
Dấu bằng xẩy ra khi ta có dãy số
0 1 8 10 26 29 53 57 89 94 129
Dãy trên có 44 số hạng nên
d
1
+.+ d
44
>130 vô lý với (*)
Vậy
j
d
xuất hiện ít nhất 10 lần

2)cho ba số dơng a,b,c thoả mãn
2 2 2 2 2 2
2011a b b c c a+ + + + + =
2 2 2
1 2011
2 2
a b c
cmr
b c c a a b
+ +
+ + +
Đặt
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
0
0
0
x
a b
x a b
y b c y b c
z c a
z b c

= +
+

=



= + => = +


= +
= +



x+y+z=
2011
; x
2
+ y
2
+ z
2
= 2(a
2
+b
2
+c
2
) từ đó ta có
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
; ;

2 2 2
x y z x y z x y z
a b c
+ + + +
= = =
Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxky
Su tÇm: Ph¹m V¨n Vîng – NBS- Ho»ng Hãa – Thanh Hãa
2 2
2 2
2 2
2( ) 2
2( ) 2
2( ) 2
b c b c y
c a c a z
a b a b x
+ ≤ + =
+ ≤ + =
+ ≤ + =
Do ®ã
 
+ − + − + −
= + + ≥ + +
 
+ + +
 
 
= + + + + + − + +
 
 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
2 2
1
( )
2 2
a b c z x y y x z z y x
P
b c c a a b y z x
x y z x y z
x y z
y z x y z x
Theo bÊt ®¼ng thøc c« - si ta cã
2 2
2
2
2
2
2 (1) 2 (4)
2 (5)
2 (2)
2 (6)
2 (3)
x x
y x z x
y z
y
y
x y

z y
x
z
z
z
y z
x z
y
x
 
+ ≥ + ≥
 
 
 
+ ≥
 
+ ≥
 
 
+ ≥
 
+ ≥
 
 
 
Céng tõng vÕ ta cã
+ + + + + ≥ + +
2 2 2 2 2 2
2( )(8)
x y z x y z

x y z
y z x y z x
=>
1 2011
( )
2 2 2 2
P a b c≥ + + =
DÊu b»ng xÈy ra khi x= y = x khi a = b = c =
2011
3 2
Ghi chó:
Ta cã thÓ chøng minh
2 2 2 2 2 2
2( ) 2( )a b c a b b c c a a b c+ + ≥ + + + + + ≥ + +
Nªn ta kÑp bÊt ®¼ng thøc:
+ +
+ + ≥ ≥ + + + + +
+ + +
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
( )
2 2 2 2
a b c a b c
a b b c c a
b c c a a b
lµ ®iÒu kh«ng thÓ
Míi nh×n B§T trªn ta thÊy BDDT dÓ nhng chøng minh còng … ®Êy