Chuyên đề hàm số luyện thi đại học

TRẦN SĨ TÙNG
›š & ›š






BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12


TẬP 2

















ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC

Năm 2009

Trần Só Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trang 51




1. Đònh nghóa luỹ thừa
Số mũ a Cơ số a
Luỹ thừa
a
a

*
Nn Ỵ=
a

a
Ỵ

R

n
aaaaa
a
== (n thừa số a)
0
=
a
0
¹
a
1
0
== aa
a

)(
*
Nnn Ỵ-=
a

0
¹
a
n
n
a
aa
1

==
-
a

),(
*
NnZm
n
m
ỴỴ=
a

0
>
a
)( abbaaaa
n
n
n m
n
m
=Û===
a

),(lim
*
NnQrr
nn
ỴỴ=
a

0
>
a
n
r
aa lim=
a

2. Tính chất của luỹ thừa
· Với mọi a > 0, b > 0 ta có:

a
a
a
aaabababa
b
a
baba
b
a
b
a
baabaaa
a
a
aaa =
÷
ø
ư

ç
è
ỉ
====
-+
;.)(;)(;;.
.

· a > 1 : aa
>Û>
ab
ab
; 0 < a < 1 : aa
>Û<
ab
ab

· Với 0 < a < b ta có:

0
mm
abm
<Û>
;
0
mm
abm
>Û<

Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
3. Đònh nghóa và tính chất của căn thức
· Căn bậc n của a là số b sao cho
n
ba
=
.
· Với a, b
³
0, m, n
Ỵ
N*, p, q
Ỵ
Z ta có:

.
nnn
abab
= ;
(0)
n
n
n
aa
b
b
b
=>
;
( )

(0)
p
n
pn
aaa
=>
;
m
nmn
aa
=

(0)
nm
pq
pq
Nếuthìaaa
nm
==>
; Đặc biệt
mn
nm
aa
=
· Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì
nn
ab
< .
Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì
nn

ab
< .
Chú ý:
+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu
n
a
.
+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.
4. Công thức lãi kép
Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.
Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là:
(1)
N
CAr
=+

CHƯƠNG II
HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
I. LUỸ THỪA
Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Só Tùng
Trang 52
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau::
a)
( ) ( )
32
3
727
1 7.
8714
A

ỉưỉưỉư
=
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
b)
( ) ( )
( ) ( )
26
4
64
2
3.15.8
9.5.6
B

=


c)
32
23
48
C
=+
d)
( )
2
3
5
2

32D
-
=

e)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
73
4
452
18.2.50
25.4.27
E

=

f)
( ) ( )
( )
33
6
4
2
3
125.16.2
255
F

=
éù

-
êú
ëû

g)
( )
( ) ( )
2
31342
03
322
2.25.50,01.10
10:100,25100,01
G
-

-

+-
=
-+
h)
(
)
(
)
11111
33333
4102525
H=-++

i)
4
3
54
3
4.64.2
32
I
ỉư
ç÷
èø
= k)
55
5
2
3
5
81.3.9.12
3.1827.6
K=
ỉư
ç÷
èø

Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:
a)
( )
4
2
3

,0
xxx
³
b)
( )
5
3
,,0
ba
ab
ab
¹
c)
5
3
222

d)
3
3
232
323
e)
4
3
8
a
f)
5
2

3
bb
bb

Bài 3. Đơn giản các biểu thức sau:
a)
1,51,5
0,50,5
0,5
0,50,5
0,50,5
2
ab
ab
b
ab
ab
ab
+
-
+
+
-
+
b)
0,50,50,5
0,50,5
221
.
1

21
aaa
a
aaa
ỉư
+-+
-
ç÷
ç÷
-
++
èø

c)
111131
222222
1111
2222
2
.
xyxyxyy
xyxy
xyxyxyxy
ỉư
ç÷
-+
+-
ç÷
+-
ç÷

+-
èø
d)
111111
222222
2
11
22
33
.
2
xyxyxy
xy
xy
ỉư
ç÷
+
+
ç÷
-
ç÷
ỉư
ç÷
ç÷
-
èø
èø

e)
(

)
(
)
122124
333333

abaabb
-++ f)
(
)
(
)
(
)
111111
444422

ababab
-++
g)
( )
( )
( )
1
1
222
2
1
1
.1.

2
abc
bca
abc
bc
abc
-
-
-
-
-
ỉư
++
+-
+++
ç÷
ç÷
-+
èø
h)
111
222
11
22
22(1)
.
1
21
aaa
a

aaa
ỉư
ç÷
+-+
-
ç÷
-
ç÷
ç÷
++
èø

Bài 4. Đơn giản các biểu thức sau:
a)
33
66
ab
ab
-
-
b)
4
:
ababb
ab
ab
aab
ỉư
-
-

ç÷
-
+
èø

c)
4
2
4
2
4
2
axxa
axax
axax
ỉư
+
-++
ç÷
ç÷
+
èø
d)
33
22
3333
2222
3
6
66

2
axaxax
axaaxx
x
ax
+-
+
+
-
-

Trần Só Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trang 53
e)
3
44
33
44
11
11
xxx
xx
xx
xx
éù
-
êú
ỉưỉư
êú
-+

ç÷ç÷

êú
ç÷ç÷
-+
êú
èøèø
ëû
f)
333
2222
33
3
33
3
2
3
2
:
aaabababab
a
ab
aab
éù
-+-
êú
+
êú
-
-

ëû

g)
( )
33
22
1
666
3333
2222
3
.
2
ababab
aba
aabbab
-
éù
-+
êú
+
êú
-+-
ëû

Bài 5. So sánh các cặp số sau:
a)
( )
( )
2

2
0,01và10

b)
26
và
44
ỉưỉư
ç÷ç÷
èøèø
pp
c)
2332
5và5


d)
300200
5và8
e)
( )
0,3
3
0,001và100
-
f)
( )
2
2
4và0,125

-

g)
( ) ( )
35
22
và

h)
45
45
54
và
-
ỉưỉư
ç÷ç÷
èøèø
i)
1011
0,0250
và
-

k)
( ) ( )
12
42
3131và l)
22
32

và
52

ỉưỉư
ç÷ç÷
èøèø
m)
510
23
và
22
ỉưỉư
ç÷ç÷
èøèø
pp

Bài 6. So sánh hai số m, n nếu:
a)
3,23,2
mn
< b)
( ) ( )
22
mn
> c)
11
99
mn
ỉưỉư
>

ç÷ç÷
èøèø

d)
33
22
mn
ỉưỉư
>
ç÷ç÷
èøèø
e)
( ) ( )
5151
mn
-<- f)
( ) ( )
2121
mn
-<-

Bài 7. Có thể kết luận gì về số a nếu:
a)
( ) ( )
21
33
11
aa

-<- b)

( ) ( )
31
2121
aa

+>+ c)
0,2
2
1
a
a
-
ỉư
<
ç÷
èø

d)
( ) ( )
11
32
11
aa

->- e)
( ) ( )
3
2
4
22

aa
->- f)
11
22
11
aa
-
ỉưỉư
>
ç÷ç÷
èøèø

g)
37
aa
< h)
11
178
aa

< i)
0,253
aa

<
Bài 8. Giải các phương trình sau:
a)
5
41024
x

= b)
1
528
25125
x+
ỉư
=
ç÷
èø
c)
13
1
8
32
x-
=
d)
( )
2
2
1
33
9
x
x
-
ỉư
=
ç÷
èø

e)
2827
.
92764
xx-
ỉưỉư
=
ç÷
ç÷
èø
èø
f)
2
56
3
1
2
xx-+
ỉư
=
ç÷
èø

g)
28
10,25
.32
0,125
8
x

x
-
-
ỉư
=
ç÷
èø
h)
0,20,008
x
= i)
3773
97
493
xx

ỉưỉư
=
ç÷
ç÷
èø
èø

k)
5.20,001
xx
= l)
( ) ( )
1
12.3

6
xx
=
m)
11
1
7.4
28
xx
=
Bài 9. Giải các bất phương trình sau:
a)
0,1100
x
> b)
3
1
0,04
5
x
ỉư
>
ç÷
èø
c)
100
0,3
9
x
>

Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Só Tùng
Trang 54
d)
2
7.49343
x+
³ e)
2
11
9
327
x+
ỉư
<
ç÷
èø
f)
1
3
93
x
<
g)
( )
1
3.3
27
x
> h)
1

1
27.3
3
xx-
<
i)
3
1
.21
64
x
ỉư
>
ç÷
èø

Bài 10. Giải các phương trình sau:
a)
2
2220
xx+
+=
b)
1
3312
xx+
+=
c)
1
5530

xx-
+=

d)
11
44484
xxx-+
++=
e)
2
424.41280
xx
-+=
f)
121
4248
xx++
+=

g)
3.92.950
xx-
-+=
h)
2
56
31
xx-+
=
i)

1
42240
xx+
+-=

Trần Só Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trang 55



1. Đònh nghóa
· Với a > 0, a
¹
1, b > 0 ta có:
log
a
bab

=Û=
a
a

Chú ý:
log
a
b
có nghóa khi
0,1
0
aa
b
ì
>¹
í
>
ỵ

· Logarit thập phân:
10
lgloglog
bbb
==

· Logarit tự nhiên (logarit Nepe):
lnlog
e
bb
=

(với
1
lim12,718281
n
e
n
ỉư
=+»
ç÷
èø
)
2. Tính chất
·
log10
a
=
;
log1
a
a
=
; log
b
a
ab
=
;
log
(0)
a

b
abb
=>

· Cho a > 0, a
¹
1, b, c > 0. Khi đó:
+ Nếu a > 1 thì loglog
aa
bcbc
>Û>

+ Nếu 0 < a < 1 thì loglog
aa
bcbc
>Û<

3. Các qui tắc tính logarit
Với a > 0, a
¹
1, b, c > 0, ta có:
·
log()loglog
aaa
bcbc
=+ ·
logloglog
aaa
b
bc

c
ỉư
=-
ç÷
èø
·
loglog
aa
bb
=
a
a

4. Đổi cơ số
Với a, b, c > 0 và a, b
¹
1, ta có:
·
log
log
log
a
b
a
c
c
b
= hay
log.loglog
aba

bcc
=
·
1
log
log
a
b
b
a
= ·
1
loglog(0)
a
a
cc
=¹
a
a
a


Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
a)
21
4
log4.log2
b)
527
1

log.log9
25
c)
3
log
a
a

d)
3
2
log2
log3
49+ e)
22
log8
f)
9 8
log2
log27
274+
g)
34
1/3
7
1
log.log
log
aa
a

aa
a
h)
386
log6.log9.log2
i)
381
2log2 4log5
9
+

k)
99
3
log364log7
log5
81273
++
l)
57
log6log8
2549+ m)
5
32log4
5
-

n)
68
11

log3log2
94+ o)
9 2125
1log4
2log3log27
345
+ -
++
p)
3
6
log3.log36

q)
000
lg(tan1)lg(tan2) lg(tan89)
+++
r)
842234
loglog(log16).loglog(log64)
éùéù
ëûëû

II. LOGARIT
Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Só Tùng
Trang 56
Bài 2. Cho a > 0, a
¹
1. Chứng minh:
1

log(1)log(2)
aa
aa
+
+>+

HD: Xét A =
111
11
log(2)loglog(2)
log.log(2)
log(1)2
aaa
aa
a
aaa
aa
a
+++
++
+++
=+£
+
=
=
2
11
log(2)log(1)
1
22

aa
aaa
++
++
<=

Bài 3. So sánh các cặp số sau:
a)
34
1
log4 và log
3
b)
3
0,10,2
log2 và log0,34
c)
35
42
23
log và log
54

d)
11
32
11
loglog
80
152

và
+
e)
1317
log150log290
và f)
6
6
1
log
log3
2
2 và 3
g)
711
log10log13
và h)
23
log3log4
và i)
910
log10log11
và
HD: d) Chứng minh:
11
32
11
log4log
80
152

<<
+

e) Chứng minh:
1317
log1502log290
<<
g) Xét A =
777
711
7
log10.log11log13
log10log13
log11
-
-=
=
777
7
110.11.71011
loglog.log
log117.7.1377
ỉư
+
ç÷
èø
> 0
h, i) Sử dụng bài 2.
Bài 4. Tính giá trò của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
a) Cho

2
log14
a
=
. Tính
49
log32
theo a.
b) Cho
15
log3
a
=
. Tính
25
log15
theo a.
c) Cho
lg30,477
=
. Tính
lg9000
;
lg0,000027
;
81
1
log100
.
d) Cho

7
log2
a
=
. Tính
1
2
log28
theo a.
Bài 5. Tính giá trò của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
a) Cho
25
log7
a
=
;
2
log5
b
=
. Tính
3
5
49
log
8
theo a, b.
b) Cho
30
log3

a
=
;
30
log5
b
=
. Tính
30
log1350
theo a, b.
c) Cho
14
log7
a
=
;
14
log5
b
=
. Tính
35
log28
theo a, b.
d) Cho
2
log3
a
=

;
3
log5
b
=
;
7
log2
c
=
. Tính
140
log63
theo a, b, c.
Bài 6. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghóa):
a)
loglog
aa
cb
bc= b)
loglog
log()
1log
aa
ax
a
bx
bx
x
+

=
+
c)
log
1log
log
a
a
ab
c
b
c
=+
d)
1
log(loglog)
32
ccc
ab
ab
+
=+, với
22
7
abab
+= .
e)
1
log(2)2log2(loglog)
2

aaaa
xyxy
+-=+, với
22
412
xyxy
+= .
Trần Só Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trang 57
f) loglog2log.log
bccbcbcb
aaaa
+-+-
+= , với
222
abc
+=
.
g)
234
11111(1)

logloglogloglog2log
k
aa
aaaa
kk
xxxxxx
+
+++++= .

h)
log.log.log
log.loglog.loglog.log
log
abc
abbcca
abc
NNN
NNNNNN
N
++= .
i)
1
1lg
10
z
x
-
= , nếu
11
1lg1lg
1010
xy
yvàz

==.
k)
2320092009!
1111

loglogloglog
NNNN
+++= .
l)
logloglog
logloglog
aba
bcc
NNN
NNN
-
=
-
, với các số a, b, c lập thành một cấp số nhân.

Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Só Tùng
Trang 58



1. Khái niệm
a) Hàm số luỹ thừa
yx
=
a
(a là hằng số)

Số mũ a
Hàm số
yx
=
a

Tập xác đònh D
a = n (n nguyên dương)
n
yx
=

D = R
a = n (n nguyên âm hoặc n = 0)
n
yx
=

D = R \ {0}
a là số thực không nguyên
yx
=
a

D = (0; +¥)
Chú ý: Hàm số
1
n
yx
= không đồng nhất với hàm số

(*)
n
yxnN
=Ỵ.
b) Hàm số mũ
x
ya
=
(a > 0, a
¹
1).
· Tập xác đònh: D = R.
· Tập giá trò: T = (0; +¥).
· Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghòch biến.
· Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
· Đồ thò:

c) Hàm số logarit
log
a
yx
= (a > 0, a
¹
1)
· Tập xác đònh: D = (0; +¥).
· Tập giá trò: T = R.
· Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghòch biến.
· Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
· Đồ thò:

0<a<1


y=log
a
x

1
x
y
O

a>1


y=log
a
x

1
y
x
O

0<a<1


y=a
x

y
x
1
a>1

y=a
x

y
x
1
III. HÀM SỐ LUỸ THỪA
HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
Trần Só Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trang 59
2. Giới hạn đặc biệt
·
1
0
1
lim(1)lim1
x
x
xx
xe
x
®®±¥
ỉư
+=+=
ç÷

èø
·
0
ln(1)
lim1
x
x
x
®
+
=
·
0
1
lim1
x
x
e
x
®
-
=

3. Đạo hàm
·
( )
1
(0)
xxx
-

¢
=>
aa
a
;
( )
1
.
uuu
-
¢
¢
=
aa
a

Chú ý:
( )
1
1
0
0
n
n
n
vớixnếunchẵn
x
vớixnếunlẻ
nx
-

¢
ỉư
>
=
ç÷
<
èø
.
( )
1
n
n
n
u
u
nu
-
¢
¢
=

·
( )
ln
xx
aaa
¢
=
;
( )

ln.
uu
aaau
¢
=¢


()
xx
ee
¢
=
;
( )
.
uu
eeu
¢
=¢


·
( )
1
log
ln
a
x
xa
¢

=
;
( )
log
ln
a
u
u
ua
¢
¢
=


()
1
ln x
x
¢
=
(x > 0);
( )
ln
u
u
u
¢
¢
=

Bài 1. Tính các giới hạn sau:
a) lim
1
x
x
x
x
®+¥
ỉư
ç÷
+
èø
b)
1
1
lim1
x
x
x
x
+
®+¥
ỉư
+
ç÷
èø
c)
21
1

lim
2
x
x
x
x
-
®+¥
ỉư
+
ç÷
-
èø

d)
1
3
34
lim
32
x
x
x
x
+
®+¥
ỉư
-
ç÷
+

èø
e)
1
lim
21
x
x
x
x
®+¥
ỉư
+
ç÷
-
èø
f)
21
lim
1
x
x
x
x
®+¥
ỉư
+
ç÷
-
èø

g)
ln1
lim
xe
x
xe
®
-
-
h)
2
0
1
lim
3
x
x
e
x
®
-
i)
1
lim
1
x
x
ee
x
®

-
-

k)
0
lim
sin
xx
x
ee
x
-
®
-
l)
sin2sin
0
lim
xx
x
ee
x
®
-
m)
(
)
1
lim1
x

x
xe
®+¥
-

Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
3
2
1
yxx
=++
b)
4
1
1
x
y
x
+
=
-
c)
2
5
2
2
1
xx
y

x
+-
=
+

d)
3
sin(21)
yx
=+
e)
3
2
cot1
yx
=+
f)
3
3
12
12
x
y
x
-
=
+

g)
3

3
sin
4
x
y
+
= h)
11
5
9
96
yx
=+ i)
2
4
2
1
1
xx
y
xx
++
=
-+

Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
(
)
2

22
x
yxxe
=-+ b)
(
)
2
2
x
yxxe
-
=+ c)
2
.sin
x
yex
-
=
d)
2
2
xx
ye
+
= e)
1
3
.
xx
yxe

-
= f)
2
2
xx
xx
ee
y
ee
+
=
-

g)
cos
2.
xx
ye= h)
2
3
1
x
y
xx
=
-+
i) cos.
cotx
yxe
=

Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Só Tùng
Trang 60
Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
(
)
2
ln23
yxx
=++
b)
(
)
2
logcos
yx
= c)
(
)
.lncos
x
yex
=
d)
(
)
(
)
2
21ln3

yxxx
=-+
e)
(
)
3
1
2
logcos
yxx
=- f)
(
)
3
logcos
yx
=
g)
(
)
ln21
21
x
y
x
+
=
+
h)
(

)
ln21
1
x
y
x
+
=
+
i)
(
)
2
ln1
yxx
=++
Bài 5. Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:
a)
( )
2
2
2
.;1
x
yxexyxy
-
=¢=- b)
(
)
1;

xx
yxeyye
=+¢-=

c)
4
2;13120
xx
yeeyyy
-
¢¢¢
=+-¢-=
d)
2
;320
xx
yaebeyyy

¢¢
=++¢+=

g)
.sin;220
x
yexyyy
-
¢¢¢
=++=
h)
(

)
4
.cos;40
x
yexyy
-
=+=

i)
sin
;cossin
x
yeyxyxy
=¢ ¢¢=0
k)
2
.sin5;4290
x
yexyyy
=¢¢-¢+=

l)
2
1
.;2
2
xx
yxeyyye
=¢¢-¢+=
m)

4
2;13120
xx
yeeyyy
-
¢¢¢
=+-¢-=

n)
(
)
(
)
(
)
22
2
2
12010;1
1
xx
xy
yxeyex
x
=++¢=++
+

Bài 6. Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:
a)
1

ln;1
1
y
yxye
x
ỉư
=¢+=
ç÷
+
èø
b)
1
;ln1
1ln
yxyyyx
xx
éù
=¢=-
ëû
++

c)
(
)
(
)
2
sinlncosln;0
yxxyxyxy
=++¢+¢¢=

d)
( )
(
)
222
1ln
;21
1ln
x
yxyxy
xx
+
=¢=+
-

e)
2
22
1
1ln1;2 ln
22
x
yxxxxyxyy
=+++++=¢+¢

Bài 7. Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số được chỉ ra:
a)
(
)
2

'()2();()31
x
fxfxfxexx
==++

b)
3
1
'()()0;()ln
fxfxfxxx
x
+==

c)
2112
'()0;()2.75
xx
fxfxeex

==++-

d)
'()'();()ln(5);()ln(1)
fxgxfxxxgxx
>=+-=-

e)
21
1
'()'();().5;()54ln5

2
xx
fxgxfxgxx
+
<==+

Trần Só Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trang 61


1. Phương trình mũ cơ bản
Với a > 0, a ¹ 1:
0
log
x
a
b
ab
xb
ì
>
=Û
í
=
ỵ

2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
a) Đưa về cùng cơ số
Với a > 0, a ¹ 1:
()()

()()
fxgx
aafxgx
=Û=
Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì:
(1)()0
MN
aaaMN
=Û =

b) Logarit hoá

(
)
()()
()log.()
=Û=
fxgx
a
abfxbgx

c) Đặt ẩn phụ
· Dạng 1:
()
()0
fx
Pa
=
Û
()

,0
()0
fx
tat
Pt
ì
=>
í
=
ỵ
, trong đó P(t) là đa thức theo t.
· Dạng 2:
2()()2()
()0
fxfxfx
aabb
++=
abg

Chia 2 vế cho
2()
fx
b , rồi đặt ẩn phụ
()
fx
a
t
b
ỉư
=

ç÷
èø

· Dạng 3:
()()fxfx
abm
+=
, với
1
ab
=
. Đặt
()()
1
fxfx
tab
t
=Þ=

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
· Đoán nhận x
0
là một nghiệm của (1).
· Dựa vào tính đồng biến, nghòch biến của f(x) và g(x) để kết luận x
0
là nghiệm duy
nhất:

() đồng biến và () nghòch biến (hoặ

c đồng biến nhưng nghiêm ngặt).
() đơn điệu và () hằng số
fxgx
fxgxc
é
ê
=
ë

· Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghòch biến) thì
()()
fufvuv
=Û=

e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt
· Phương trình tích A.B = 0 Û
0
0
A
B
é
=
ê
=
ë
· Phương trình
22
0
0
0

A
AB
B
ì
=
+=Û
í
=
ỵ

f) Phương pháp đối lập
Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
Nếu ta chứng minh được:
()
()
fxM
gxM
ì
³
í
£
ỵ
thì (1)
()
()
fxM
gxM
ì
=
Û

í
=
ỵ


Bài 1. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá):
a)
3182
93
xx

= b)
105
1015
160,125.8
xx
xx
++

=
c)
222
3265237
4441
xxxxxx-+ ++
+=+
d)
22
575.357.350
xxxx

+=

e)
2222
121
2233
xxxx
-+-
+=+
f)
2
4
525
xx-+
=

IV. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Só Tùng
Trang 62
g)

2
2
43
1
2
2
x
x
-

-
ỉư
=
ç÷
èø
h)
712
11
.2
22
xx+-
ỉưỉư
=
ç÷ç÷
èøèø

i)
( )
2
322322
x
-=+ k)
( ) ( )
1
1
1
5252
x
x
x

-
-
+
+=-
l)
1
3.272
xx+
=
m)
1-1
5 6. 5–3. 552
xxx+
+=

Bài 2. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):
a)
1
4280
xx+
+-=
b)
11
46.280
xx++
-+=
c)
4825
34.3270
xx++

-+=

d)
1617.4160
xx
-+=

e)
1
49780
xx+
+-=

f)
22
2
223.
xxxx-+-
-=

g)
(
)
(
)
743236
xx
+++=

h)

2
cos2cos
443
xx
+=
i)
251
336.390
xx++
-+=

k)
22
221
328.390
xxxx+++
-+=
l)
22
22
49.280
xx++
-+=
m)
211
3.52.50,2
xx
-=
Bài 3. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):
a)

252(3).5270
xx
xx
+-=
b)
22
3.25(310).530
xx
xx

+-+-=

c)
3.4(310).230
xx
xx
+-+-=
d)
92(2).3250
xx
xx
+-+-=

e)
22
3.25(310).530
xx
xx

+-+-=

f)
212
4332.3.26
xxx
xxx
+
++=++

g)
(
)
4+–82+12–20
xx
xx
=
h)
(
)
(
)
4.95.310
xx
xx
+-++=

i)
22
22
4(7).21240
xx

xx
+-+-=
k)
9(2).32(4)0
xx
xx

-+-+=

Bài 4. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 2):
a)
64.984.1227.160
xxx
-+=
b)
111
469
xxx

+= c)
3.162.815.36
xxx
+=

d)
21
25102
xxx
+
+= e)

xxx
8.21227 =+ f) 04.66.139.6
111
=+-
xxx

g)
22
6.313.66.20
xxx
-+=
h)
3.162.815.36
xxx
+= i)
111
2.469
xxx
+=

k)
(752)(25)(322)3(12)120.
xxx
++-++++-=

Bài 5. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụdạng 3):
a)
(23)(23)14
xx
-++=

b)
23234
xx
ỉưỉư
++-=
ç÷ç÷
èøèø

c)
(23)(743)(23)4(23)
xx
+++-=+ d)
3
(521)7(521)2
xxx
+
-++=
e)
( ) ( )
52452410
xx
++-=
f)
735735
78
22
xx
ỉưỉư
+-
+=

ç÷ç÷
ç÷ç÷
èøèø

g)
(
)
(
)
63563512
-++=
xx
h)
(
)
(
)
22
(1)21
4
2323
23

++-=
-
xxx

i)
(
)

(
)
3
3516352
+
++-=
xx
x
k)
(
)
(
)
35357.20
++ =
xx
x

l)
(743)3(23)20
xx
+ +=
m)
33
38386.
xx
ỉưỉư
++-=
ç÷ç÷
èøèø

Bài 6. Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
a)
(23)(23)4
xxx
-++= b)
(32)(32)(5)
xxx
-++=
c)
( ) ( )
3223226
++-=
xx
x
d)
( ) ( )
3
3516.352
xx
x
+
++-=
Trần Só Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trang 63
e)
37
2
55
ỉư

+=
ç÷
èø
x
x
f)
(
)
(
)
23232
++-=
xx
x

g)
23510
xxxx
++=
h)
235
xxx
+=
i)
2
12
22(1)
xxx
x

-=-

k)
352
x
x
=-
l) 23
x
x
=-
m)
1
241
xx
x
+
-=-

n)
2
231
x
x
=+
o) 2974 +=+ x
xx
p) 0155
312
=+

+
x
xx

q)
xxxx
7483 +=+ r)
xxxx
3526 +=+ s)
xxxx
1410159 +=+
Bài 7. Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):
a)
8.33.2246
xxx
+=+
b)
1
12.33.15520
xxx+
+-=

c)
3
8.2 2 0
xx
xx
-
-+-=
d)

xxx
6132 +=+
e)
1
4
4
4
73.25623
222
+
=
+
+++++- xxxxxx
f)
( )
1
2
2
4
2
22
11
+
=
+
+-+ xxxx

g)
222
.33(127)81912

xx
xxxxx
+-=-+-+
h)
211
.3(32)2(23)
xxxxx
xx

+-=-
i)
sin1sin
42cos()20
y
xx
xy
+
-+=
k)
2222
2()12()1
222.210
xxxxxx+-+-
+ =

Bài 8. Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):
a)
4
2cos,
x

x
= với x ³ 0 b)
2
6102
366
xx
xx
-+
=-+-
c)
sin
3cos
x
x
=
d)
3
2
2.cos33
2
xx
xx
-
ỉư
-
=+
ç÷
èø
e) x
x

cos
sin
=
p
f)
x
x
xx
1
2
2
2
2
+
=
-

g) x
x
2cos3
2
= h)
2
5cos3
x
x
=
Bài 9. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a)
930

xx
m
++=
b)
9310
xx
m
+-=
c)
1
42
xx
m
+
-=

d)
2
32.3(3).20
xxx
m
+-+=
e)
2(1).20
xx
mm
-
+++=
f)
252.520

xx
m
=

g)
2
16(1).210
xx
mm
+-=
h)
25.5120
xx
mm
++-=
i)
22
sinos
8181
xcx
m
+=

k)
22
422
32.3230
xx
m

-+-=
l)
1 3 1 3
414.28
xxxx
m
++-++-
-+=

m)
22
11
98.34
xxxx
m
+-+-
-+=
n)
22
1111
9(2).3210
tt
mm
+-+-
-+++=

Bài 10. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất:
a)
.2250
xx

m
-
+-=
b)
.162.815.36
xxx
m+=
c)
( ) ( )
51512
xx
x
m
++-=
d)
735735
8
22
xx
m
ỉưỉư
+-
+=
ç÷ç÷
èøèø

e)
3
423
xx

m
+
-+=
f)
9310
xx
m
++=

Bài 11. Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu:
a)
1
(1).4(32).2310
+
++ +=
xx
mmm b)
2
49(1).720
+-+-=
xx
mmm
c)
93(1).3520
+ +=
xx
mm d)
(3).16(21).410
++-++=
xx

mmm
e)
(
)
421.2+380
xx
mm
-+-=
f) 42 6
xx
m
-+=

Bài 12. Tìm m để các phương trình sau:
a)
.162.815.36
+=
xxx
m có 2 nghiệm dương phân biệt.
b)
16.8(21).4.2
xxxx
mmm
-+-= có 3 nghiệm phân biệt.
c)
22
2
426
xx
m

+
-+=

có 3 nghiệm phân biệt.
d)
22
94.38
xx
m
-+=

có 3 nghiệm phân biệt.

Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Só Tùng
Trang 64


1. Phương trình logarit cơ bản
Với a > 0, a ¹ 1: log
b
a
xbxa
=Û=

2. Một số phương pháp giải phương trình logarit
a) Đưa về cùng cơ số
Với a > 0, a ¹ 1:
()()
log()log()
()0(()0)

aa
fxgx
fxgx
fxhoặcgx
ì
=
=Û
í
>>
ỵ

b) Mũ hoá
Với a > 0, a ¹ 1:
log()
log()
a
fx
b
a
fxbaa
=Û=

c) Đặt ẩn phụ
d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
e) Đưa về phương trình đặc biệt
f) Phương pháp đối lập
Chú ý:

·
Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghóa.

·
Với a, b, c > 0 và a, b, c
¹
1:
loglog
bb
ca
ac=


Bài 1. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
a)
2
log(1)1
xx
éù
-=
ëû
b)
22
loglog(1)1
xx
+-=

c)
21/8
log(2)6.log352
xx
=

d)
22
log(3)log(1)3
xx
-+-=

e)
444
log(3)log(1)2log8
xx+ =- f)
lg(2)lg(3)1lg5
xx
-+-=-

g)
88
2
2log(2)log(3)
3
xx
=
h)
lg54lg12lg0,18
xx-++=+
i)
2
33
log(6)log(2)1
xx
-=-+

k)
225
log(3)log(1)1/log2
xx++-=
l)
44
loglog(10)2
xx
+-=
m)
51/5
log(1)log(2)0
xx
+=

n)
222
log(1)log(3)log101
xx
-++=-
o)
93
log(8)log(26)20
xx
+-++=

Bài 2. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
a)
31/3
3

logloglog6
xxx
++=
b)
22
1lg(21)lg(1)2lg(1)
xxxx
+-+-+=-

c)
41/168
logloglog5
xxx
++=
d)
22
2lg(441)lg(19)2lg(12)
xxxx
+-+-+=-
e)
248
logloglog11
xxx
++=
f)
1/21/2
1/2
log(1)log(1)1log(7)
xxx
-++=+-

g)
2233
loglogloglog
xx
= h)
2332
loglogloglog
xx
=
i)
233233
loglogloglogloglog
xxx
+= k)
234432
loglogloglogloglog
xx
=
Bài 3. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
a)
2
log(92)3
x
x
-=-
b)
3
log(38)2
x

x
-=-

c)
7
log(67)1
x
x
-
+=+
d)
1
3
log(4.31)21
x
x
-
-=-

e)
5
log(3)
2
log(92)5
x
x
-
-= f)
2
log(3.21)210

x
x
=

V. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Trần Só Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trang 65
g)
2
log(122)5
x
x
-=-
h)
5
log(263)2
x
-=

i)
1
2
log(525)2
xx+
-=
k)
1
4
log(3.25)
x

x
+
-=

l)
1
1
6
log(525)2
xx+
-=-
m)
1
1
5
log(636)2
xx+
-=-

Bài 4. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
a)
2
5
log(265)2
x
xx
-
-+=
b)
2

1
log(45)1
x
xx
-
-+=

c)
2
log(583)2
x
xx
-+=
d)
32
1
log(2231)3
x
xxx
+
+-+=

e)
3
log(1)2
x
x
-
-=
f)

log(2)2
x
x
+=

g)
2
2
log(56)2
x
xx
-+=
h)
2
3
log()1
x
xx
+
-=

i)
2
log(2712)2
x
xx
-+=
k)
2
log(234)2

x
xx
=

l)
2
2
log(56)2
x
xx
-+=
m)
2
log(2)1
x
x
-=

n)
2
3 5
log(982)2
x
xx
+
++=
o)
2
2 4
log(1)1

x
x
+
+=

p)
15
log2
12
x
x
=-
-
q)
2
log(32)1
x
x
-=

r)
2
3
log(3)1
xx
x
+
+=
s)
2

log(254)2
x
xx
-+=

Bài 5. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
a)
22
33
loglog150
xx
++-=
b)
2
21/2
2
log3loglog2
xxx
++=

c)
4
7
log2log0
6
x
x
-+=
d)
2

2
12
2
log4log8
8
x
x
+=

e)
2
21/2
2
log3loglog0
xxx
++=
f)
2
2
log16log643
x
x
+=

g)
5
1
loglog2
5
x

x
-=
h)
7
1
loglog2
7
x
x
-=

i)
5
1
2log2log
5
x
x-= k)
22
3 loglog40
xx
-=

l)
33
3loglog310
xx
=
m)
3

3
22
loglog4/3
xx+=
n)
3
3
22
loglog2/3
xx-=- o)
2
24
1
log2log0
x
x
+=

p)
2
21/4
log(2)8log(2)5
xx
=
q)
2
525
log4log550
xx
+-=

r)
2
9
log5log5log5
4
xxx
x+=+ s)
2
9
log3log1
x
x
+=

t)
12
1
4lg2lgxx
+=
-+
u)
13
1
5lg3lgxx
+=
-+

v)
23

2164
log14log40log0
xxx
xxx
-+=

Bài 6. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
a)
2
3
3
log(12)log110
xxxx
+-+-=
b)
2
22
loglog6
6.96.13.
x
xx+=
c)
2
22
.log2(1).log40
xxxx
-++=
d) xxxx 26log)1(log
2
2

2
-=-+
Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Só Tùng
Trang 66
e)
2
33
(2)log(1)4(1)log(1)160
xxxx
+++++-=
f)
2
2
log(2)log2
x
x
xx
-
++=

g)
2
33
log(1)(5)log(1)260
xxxx
++-+-+=
h)
33
4log1log4
xx

=

i)
22
222
log(32)log(712)3log3
xxxx+++++=+
Bài 7. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
a)
73
loglog(2)
xx
=+
b)
23
log(3)log(2)2
xx
-+-=

c)
(
)
(
)
35
log1log212
xx
+++=
d)
(

)
6
log
26
log3log
x
xx
+=
e)
(
)
7
log3
4
x
x
+
=
f)
(
)
23
log1log
xx
+=
g)
222
log9loglog3
2
.3

x
xxx=-
h)
22
3723
log(9124)log(62321)4
xx
xxxx
++
+++++=

i)
(
)
(
)
(
)
222
236
log1.log1log1
xxxxxx
+-=

Bài 8. Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
a)
22
log3log5
(0)
xxxx

+=>
b)
22
loglog
2
35
xx
x+=
c)
5
log(3)3
xx
+=-
d)
2
log(3)
xx
-=

e)
2
22
log(6)log(2)4
xxxx
+=++
f)
2
log
2.33
x

x
+=

g)
23
4(2)log(3)log(2)15(1)
xxxx
éù
+-=+
ëû

Bài 9. Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):
a)
2727
log2.log2log.log
xxxx
+=+ b)
2332
log.log33.loglog
xxxx
+=+
c)

( )
(
)
2
933
2loglog.log211
xxx

=+-

Bài 10. Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):
a)
23
ln(sin)1sin0
xx
-+=
b)
(
)
22
2
log11
xxx
+-=-
c)
2132
2
3
8
22
log(444)
xx
xx
+-
+=
-+

Bài 11. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất:

a)
2
2323
log2(1)log(22)0
xmxxm
+-
éù
-+++-=
ëû
b)
(
)
(
)
2
2
log2log
xmx
-=

c)
(
)
2
5252
log1log0
xmxmx
+-
++++=
d)

(
)
()
lg
2
lg1
mx
x
=
+

e)
2
33
log(4)log(221)
xmxxm
+=

f)
2
227227
log(1)log()0
xmmxx
+-
-++-=

Bài 12. Tìm m để các phương trình sau:
a)
(
)

2
log41
-=+
x
mx
có 2 nghiệm phân biệt.
b)
2
33
log(2).log310
xmxm
-++-=
có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả x
1
.x
2
= 27.
c)
2222
42
2log(224)log(2)
-+-=+-
xxmmxmxm
có 2 nghiệm x
1
, x

2
thoả
22
12
1
xx
+>
.
d)
22
33
loglog1210
xxm
++ =
có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
3
1;3
éù
ëû
.
e)
( )
2
22
4loglog0
xxm
++=
có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
Trần Só Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trang 67

Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình
đã học như:
· Phương pháp thế.
· Phương pháp cộng đại số.
· Phương pháp đặt ẩn phụ.
· …….

Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)
25
21
y
y
x
x
ì
ï
+=
í
-=
ï
ỵ
b)
24
432
x
x

y
y
ì
ï
=
í
=
ï
ỵ

c)
2
31
319
y
y
x
x
ì
ï
-=
í
+=
ï
ỵ
d)
1
26
8
4

y
y
x
x
-
-
ì
ï
=
í
=
ï
ỵ

e)
ỵ
í
ì
=+
=+
1
322
yx
yx
f)
2.936
3.436
xy
xy
ì

ï
=
í
=
ï
ỵ

f)
.
2520
5.250
xy
xy
ì
ï
=
í
=
ï
ỵ
g)
2.312
3.218
xy
xy
ì
ï
=
í
=

ï
ỵ

h)
( )
2
710
1
8 x0
yy
x
xy
-+
ì
ï
=
í
+=>
ï
ỵ
i)
( )
22
16
1
2 x0
xy
x
xy

ì
ï
=
í
-=>
ï
ỵ

Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
a)
437
4.3144
xy
xy
ì
ï
-=
í
=
ï
ỵ
b)
2317
3.22.36
xy
xy
ì
ï
+=
í

-=
ï
ỵ

c)
1
22.356
3.2387
xxy
xxy
+
++
ì
ï
+=
í
+=
ï
ỵ
d)
2222
1
3217
2.33.28
xy
xy
++
+
ì
ï

+=
í
+=
ï
ỵ

e)
1
11
324
321
xy
xy
+
++
ì
ï
-=-
í
-=-
ï
ỵ
f)
22
2
2(1)12
21.
44.4.221
23.4.24
xxyy

yxy

-
ì
ï
-+=
í
-=
ï
ỵ

g)
2
cot3
cos2
y
y
x
x
ì
ï
=
í
=
ï
ỵ
h)
2
2
2

2
()21
9()6
yx
xy
xy
xy
-
-
ì
ï
+=
í
+=
ï
ỵ

i)
2
3277
327
xy
xy
ì
ï
-=
í
-=
ï
ỵ

k)
22
22()(2)
2
xy
yxxy
xy
ì
ï
-=-+
í
+=
ï
ỵ

Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
a)
321
321
x
y
y
x
ì
ï
=+
í
=+
ï
ỵ

b)
3211
3211
x
y
xy
yx
ì
ï
+=+
í
+=+
ï
ỵ

c)
22
22
3
xy
yx
xxyy
ì
ï
-=-
í
++=
ï
ỵ
d)

1
1
765
765
-
-
ì
=-
ï
í
=-
ï
ỵ
x
y
y
x

VI. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
MŨ VÀ LOGARIT
Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Só Tùng
Trang 68
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
a)
22
6
loglog3
xy
xy
ì

+=
í
+=
ỵ
b)
loglog2
6
yx
yx
xy
ì
+=
í
+=
ỵ

c)
2
2
log4
2log2
xy
xy
ì
+=
í
-=
ỵ
d)
( ) ( )

22
35
3
loglog1
xy
xyxy
ì
ï
-=
í
+ =
ï
ỵ

e)
32
log4
y
xy
x
ì
=
í
=
ỵ
f)
2
3
log
log23

9
y
y
x
x
ì
ï
+=
í
=
ï
ỵ

g)
ỵ
í
ì
=
=+
8
5)log(log2
xy
yx
xy
h)
23
93
121
3log(9)log3
xy

xy
ì
-+-=
ï
í
-=
ï
ỵ

i)
2
33
3
2
1
loglog0
2
20
xy
xyy
ì
-=
ï
í
ï
+-=
ỵ
k)
3
12

log1
3
y
yx
x
ì
-=
í
=
ỵ

Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:
a)
(
)
( )
log322
log232
x
y
xy
xy
ì
+=
ï
í
+=
ï
ỵ
b)

log(64)2
log(64)2
x
y
xy
yx
ì
+=
ï
í
+=
ï
ỵ

c)
22
33
22
log12log
loglog4
x
y
y
xy
ì
ỉư
-=-
ï
ç÷
ï

èø
í
+=
ï
ï
ỵ
d)
2
2
44
loglog1
loglog1
y
xy
xy
ì
-=
ï
í
-=
ï
ỵ

e)
(
)
22
2
33
log64

loglog1
xy
xy
ì
++=
ï
í
+=
ï
ỵ
f)
22
22
loglog
16
loglog2
yx
xy
xy
ì
ï
+=
í
-=
ï
ỵ

g)
ỵ
í

ì
=-
=+
1loglog
27.2
33
loglog
33
xy
yx
xy
h)
22
2
42
loglog
3.2.10
loglog2
yx
xy
xy
ì
ï
+=
í
+=
ï
ỵ

i)

(
)
( )
log222
log222
x
y
xy
yx
ì
+-=
ï
í
+-=
ï
ỵ
k)
(
)
2
2
log4
log2
xy
x
y
ì
=
ï
ỉư

í
=
ç÷
ï
èø
ỵ

l)
222
2
lglglg()
lg()lg.lg0
xyxy
xyxy
ì
ï
=+
í
-+=
ï
ỵ
m)
22
6
5
loglog
2
log()1
yy
xx

xy
ì
+=
ï
í
ï
+=
ỵ

n)
(
)
(
)
22
log5log
lglg4
1
lglg3
xyxy
x
y
ì
-=-+
ï
-
í
=-
ï
-

ỵ
o)
(
)
( )( )
22
lg1lg8
lglglg3
xy
xyxy
ì
+=+
ï
í
+ =
ï
ỵ

p)
( )
1
log2
log233
x
x
y
y
+
ì
=

ï
í
+=
ï
ỵ
q)
( )
2
2
loglog1
log1
xyy
y
x
x
yx
ì
-=
ï
í
ï
-=
ỵ

Bài 6. Giải các hệ phương trình sau:
a)
lg
lglg4
1000
y

xy
x
ì
+=
í
=
ỵ
b)
( )
2
6
36
42log9
xy
x
xyx
-
ì
ï
=
í
-+=
ï
ỵ

Trần Só Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trang 69
c)
5
5

()3
27
3log()
yx
xy
xyxy
-
ì
ï
+=
í
ï
+=-
ỵ
d)
lglg
lg4lg3
34
(4)(3)
xy
xy
ì
ï
=
í
=
ï
ỵ

e)

2
1
2
2log2log50
32
x
y
xy
xy
ì
ỉư
-+=
ï
ç÷
í
èø
ï
=
ỵ

Bài 7. Giải các hệ phương trình sau:
a)
244
399
41616
logloglog2
logloglog2
logloglog2
xyz
yzx

zxy
ì
++=
ï
++=
í
ï
++=
ỵ
b)
222
333
3
log3loglog
2
2
log12loglog
3
x
xyy
y
xxy
ì
+=+
ï
í
ï
+=+
ỵ

c)
22
11
11
log(12)log(12)4
log(12)log(12)2
xy
xy
yyxx
xx
+-
+-
ì
-++++=
ï
í
+++=
ï
ỵ
d)
23
23
log13sinlog(3cos)
log13coslog(3sin)
xy
yx
ì
+=
ï
í

+=
ï
ỵ

e)
(
)
( )
( )
( )
22
23
22
23
log131log12
log131log12
xy
yx
ì
+-=-+
ï
í
ï
+-=-+
ỵ

f)
2
32
32

2log(632)log(69)6
log(5)log(2)1
xy
xy
yxyxxx
yx


ì
-+-+-+=
ï
í
+=
ï
ỵ

Bài 8. Giải các hệ phương trình sau:
a)
2
log
4
22
2
loglog1
x
y
xy
ì
ï
=

í
-=
ï
ỵ
b)
( )
( ) ( )
2
22
1
3
3
loglog4
xy
xy
xyxy
-
-
ì
ỉư
ï
=
ç÷
í
èø
ï
++-=
ỵ

c)

88
loglog
44
4
loglog1
yx
xy
xy
ì
ï
+=
í
-=
ï
ỵ
d)
( )
1
3
3.218
log1
xy
xy
ì
=
ï
í
+=-
ï
ỵ

e)
( )
ï
ỵ
ï
í
ì
=-++
÷
ø
ư
ç
è
ỉ
=
-
-
4)(log)(log
3
1
3
22
2
yxyx
yx
yx
f)
( ) ( )
33

432
log1log
xy
yx
xyxy
+
ì
ï
=
í
ï
-=-+
ỵ

g)
( )
3
3.2972
log2
xy
xy
ì
=
ï
í
-=
ï
ỵ
h)
( )

5
3.21152
log2
xy
xy
-
ì
=
ï
í
+=
ï
ỵ

i)
( ) ( )
22
loglog1
xy
xyxy
xy
ì
ï
+=-
í
-=
ï
ỵ
k)
33

loglog2
22
42()
3312
xy
xy
xyxy
ì
ï
=+
í
+ =
ï
ỵ

l)
33
loglog
33
227
loglog1
yx
xy
yx
ì
ï
+=
í
-=
ï

ỵ
m)
2
2log
loglog
43
y
xy
x
xyx
yy
ì
=
ï
í
=+
ï
ỵ






Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Só Tùng
Trang 70


· Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ.

()()
1
()()
01
()()
fxgx
a
fxgx
aa
a
fxgx
é
ì
>
í
ê
>
ỵ
>Û
ê
ì
<<
ê
í
ê
<
ỵ
ë

· Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:

– Đưa về cùng cơ số.
– Đặt ẩn phụ.
– ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

(1)()0
MN
aaaMN
>Û >


Bài 1. Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số):
a)
2
1
2
1
3
3
xx
xx

-
ỉư
³
ç÷
èø
b)
63
211

11
22
xxx
-+-
ỉưỉư
<
ç÷ç÷
èøèø

c)
23412
22255
xxxxx
+++++
>-
d)
12
33311
xxx
+-<

e)
22
3232
960
xxxx-+-+
-<
f)

13732

3.26
-++
<
xxx

g)
222
212
4.23.2.2812
xxx
xxxx
+
++>++
h) 93.3.23.3.6
212
++<++
+
xxxx
xxx

i)
1212
999444
xxxxxx
++++
++<++ k)

1342
7.3535
xxxx

++++
+£+

l)
212
2525
xxxx
+++
+<+
m)
1 2
2.3 36
xx-+
>

n)
( ) ( )
31
13
103103
xx
xx
-+
-+
+<- o)
( ) ( )
1
1
2121
x

x
x
+
-
+³-
p)
2
1
2
1
2
2
x
xx
-
-
£ q)
1
1
21
31
22
x
x
-
+
³

Bài 2. Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ):
a)

2.143.4940
xxx
+-³
b)
11
12
4230
xx

£

c)
2
(2)
2(1)
3
42852
x
xx
-
-
-+>
d)
44
1
8.399
xxxx
++
+>
e)

25.210525
xxx
-+>
f)
211
56305.30
xxxx
++
+>+

g)
62.33.260
xxx
+³
h)
27122.8
xxx
+>

i)
111
493525
xxx
-£ k)
121
2
32120
x
xx++
<

l)
222
21212
25934.25
xxxxxx
-+-+-
+³ m) 09.93.83
442
>
+++ xxxx

o)
1 1 1
45.2160
xxxx+-+-+
-+³
p)
( ) ( )
32322
x
x
++-£

r)
21
1
11
312
33

xx
+
ỉưỉư
+>
ç÷ç÷
èøèø
s)
31
11
1280
48
xx-
ỉưỉư
³
ç÷ç÷
èøèø

t)
11
12
229
xx
+-
+<
u)
(
)
22 1
29.24.230
xx

xx
+
-++-³

VII. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Trần Só Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trang 71
Bài 3. Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
a)
2
231
x
x
<+
b) 0
1
2
122
1
£
-
+-
-
x
xx

c) 1
2
3
23.2

2
£
-
-
+
xx
xx
d)
424
3213
xx++
+>

e)
2
332
0
42
x
x
x
-
+-
³
-
f)
2
34
0
6

x
x
xx
+-
>


g)
( )
2
22x
3x522x3.2x3x522x3
x
xx ++> ++
Bài 4. Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm:
a)
4.230
xx
mm
-++£
b)
9.330
xx
mm
-++£

c) 2722
xx
m
++-£

d)
( ) ( )
22
1
21210
xx
m
-
++-+=

Bài 5. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với:
a)
(31).12(2).630
xxx
mm
++-+<
, "x > 0. b)
1
(1)4210
xx
mm
+
-+++>
, "x.
c)
( )
.9216.40
xxx
mmm
-++£

, "x Ỵ [0; 1]. d)
2
.9(1).310
xx
mmm
+
+-+->
, "x.
e)
( )
coscos
2
42212430
xx
mm
+++-<
, "x. f)
1
43.20
xx
m
+
³
, "x.
g)
420
xx
m
³
, "x Ỵ (0; 1) h) 3353

xx
m
++-£
, "x.
i)
2.25(21).10(2).40
xxx
mm
-+++³
, "x ³ 0. k)
1
4.(21)0
xx
m
-
-+>
, "x.
Bài 6. Tìm m để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của bất phương trình (2):
a)
( ) ( )
21
1
2
2
11
312(1)
33
23610(2)
xx
mxmxm

+
ì
ỉưỉư
ï
ï
+>
ç÷ç÷
í
èøèø
ï
<
ï
ỵ
b)
21
1
22
228(1)
42(1)0(2)
xx
xmxm
+
ì
ï
->
í
ï
<
ỵ

c)
21
2
29.240(1)
(1)(3)10(2)
xx
mxmx
+
ì
ï
-+£
í
++++>
ï
ỵ
d)
( )
21
2
2
11
9.12(1)
33
22230(2)
xx
xmxm
+
ì
ỉưỉư
ï

ï
+>
ç÷ç÷
í
èøèø
ï
+++-<
ï
ỵ
















Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Só Tùng
Trang 72


· Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit.

1
()()0
log()log()
01
0()()
aa
a
fxgx
fxgx
a
fxgx
é
ì
>
í
ê
>>
ỵ
>Û
ê
ì
<<
ê
í
ê
<<
ỵ
ë

· Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình
logarit:
– Đưa về cùng cơ số.
– Đặt ẩn phụ.
– ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

log0(1)(1)0
a
BaB
>Û >
;
log
0(1)(1)0
log
a
a
A
AB
B
>Û >


Bài 1. Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số):
a) )1(log1)21(log
5
5
++<- xx b)
(
)

29
log12log1
x
-<

c)
( )
11
33
log5log3
xx
-<-
d)
215
3
logloglog0
x
>

e)

0)
1
21
(loglog
2
3
1
>
+

+
x
x
f)
(
)
2
1
2
4log0
xx
->

g)
(
)
2
14
3
loglog50
x
éù
->
ëû
h)
2
66
loglog
612
xx

x
+£

i)
(
)
(
)
22
log31log1
xx
+³+-
k)

( )
2
2
2
log
log
2
x
x
x+
l)
31
2
loglog0
x
ỉư

³
ç÷
èø
m)
81
8
2
2log(2)log(3)
3
xx
-+->

n)
(
)
(
)
22
1531
35
loglog1loglog1
xxxx
éùéù
++>+-
ëû
êú
êú
ëû

Bài 2. Giải các bất phương trình sau:

a)
(
)
( )
2
lg1
1
lg1
x
x
-
<
-
b)
( ) ( )
23
23
2
log1log1
0
34
xx
xx
+-+
>


c)
(
)

2
lg32
2
lglg2
xx
x
-+
>
+
d)
2
2
5log2log
log
180
x
x
x
xx
-
+-<

e)

0
1
13
log
2
>

+
-
x
x
x
f)

2
3232
log.logloglog
4
x
xxx<+
g)
4
log(log(24))1
x
x
-£
h)
2
3
log(3)1
xx
x
-
->

i)
(

)
2
5
log8160
x
xx
-+³
k)
(
)
2
2
log561
x
xx
-+<

VIII. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Trần Só Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trang 73
l)
62
3
1
loglog0
2
x
x
x
+

ỉư
-
>
ç÷
+
èø
m)
(
)
(
)
2
1
1
log1log1
x
x
xx
-
-
+>+

n)
2
3
(4167).log(3)0
xxx
-+->
o)
2

(412.232).log(21)0
xx
x
-+-£

Bài 3. Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ):
a)
2
log2log430
x
x
+-£
b)
(
)
(
)
5
5
log121log1
xx
-<++

c)
5
2loglog1251
x
x
-<
d)

2
2
log64log163
x
x
+³

e)
22
log2.log2.log41
xx
x
>
f)
22
11
24
loglog0
xx
+<

g)

42
2
222
loglog2
1log1log1log
xx
xxx

+>
-+-
h) 1
log2
2
log4
1
22
£
-
+
+ xx

i) 08log6log
2
2
2
1
£+- xx k)
2
333
log4log92log3
xxx
-+³-

l) )243(log1)243(log
2
3
2
9

++>+++ xxxx m)
55
12
1
5log1logxx
+<
-+

n)
2
11
88
19log14log
xx
->- o)
100
1
log100log0
2
x
x
->

p)
2
3
3
1log
1
1log

x
x
+
>
+
q)
2
16
1
log2.log2
log6
xx
x
>
-

Bài 4. Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
a)
2
0,50,5
( x 1)log(25)log60
xxx
++++³
b) 2)24(log)12(log
32
£+++
xx

c)
( ) ( )

23
32
log1log1
xx
>
++
d)
5
lg
5
0
231
x
x
x
x
+
-
<
-+

Bài 5. Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm:
a)
(
)
2
1/2
log23
xxm
-+>-

b)
1
log100log1000
2
xm
->

c)
12
1
5log1log
mm
xx
+<
-+
d)
2
1log
1
1log
m
m
x
x
+
>
+

e)
22

loglog
xmx
+> f)
22
log(1)log(2)
xmxm
xxx

->+-

Bài 6. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với:
a)
(
)
(
)
22
22
log77log4
xmxxm
+³++, "x
b)
(
)
(
)
52log42log
2
2
2

2
£+-++- mxxmxx , "x Ỵ[0; 2]
c)
22
55
1log(1)log(4)
xmxxm
++³++
, "x.
d)
2
111
222
2log21log21log0
111
mmm
xx
mmm
ỉưỉưỉư
+-+>
ç÷ç÷ç÷
ç÷ç÷ç÷
+++
èøèøèø
, "x
Bài 7. Giải bất phương trình, biết x = a là một nghiệm của bất phương trình:
a)
(
)
(

)
22
log2log23;9/4
mm
xxxxa >-++=.
b).
22
log(23)log(3);1
mm
xxxxa
++£-=

Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Só Tùng
Trang 74
Bài 8. Tìm m để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của bất phương trình (2):
a)
22
11
24
22
loglog0(1)
60(2)
xx
xmxmm
ì
+<
ï
í
ï
+++<

ỵ
b)
2
24
log(583)2(1)
210(2)
x
xx
xxm
ì
-+>
ï
í
-+->
ï
ỵ

Bài 9. Giải các hệ bất phương trình sau:
a)
2
2
4
0
1664
lg7lg(5)2lg2
x
xx
xx
ì
+

>
ï
í
-+
ï
+>
ỵ
b)
( )
(
)
(
)
()
1
1lg2lg21lg7.212
log22
xx
x
x
x
+
ì
-++<+
ï
í
+>
ï
ỵ

c)
(
)
()
2
4
log20
log220
x
y
y
x
-
-
ì
->
ï
í
->
ï
ỵ
d)
1
2
log(5)0
log(4)0
x
y
y
x

-
+
ì
+<
ï
í
-<
ï
ỵ