Luong giac toan tap(P4)

CHƯƠNG IV:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COSIN (PHƯƠNG
TRÌNH CỔ ĐIỂN)

()
()
asinu bcosu c * . a,b R\ 0+= ∈
Cách 1 : Chia 2 vế phương trình cho
+
≠
22
ab 0
Đặt
[]
22 22
ab
cos và sin với 0,2
ab ab
α= α= α∈ π
++

()
()
22
22
c
Thì * sin u cos cosu sin
ab
c
sin u

ab
⇔α+α=
+
⇔+α=
+

Cách 2 :
Nếu là nghiệm của (*) thì :
uk2=π+ π
asin bcos c b cπ+ π= ⇔− =

Nếu đặt
uk≠π+ π2
u
ttg
2
=
thì (*) thành :
2
22
2t 1 t
ab
1t 1t
−
+=
++
c

()
(

)
(
)
2
b c t 2at c b 0 1 với b c 0⇔+ − +−= +≠
Phương trình có nghiệm
(
)
(
)
2
'a cbcb 0
⇔
Δ= − + − ≥

222 222
acb abc⇔≥−⇔+≥
Giải phương trình (1) tìm được t. Từ
u
ttg
2
=
ta tìm được u.

Bài 87
: Tìm
26
x,
57
ππ

⎛
∈
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
thỏa phương trình :
()
cos7x 3 sin7x 2 *−=−
Chia hai vế của (*) cho 2 ta được :
()
⇔− =−
ππ
⇔− + =
ππ
⎛⎞
⇔−=
⎜⎟
⎝⎠
13 2
*cos7xsin7x
22 2
2
sin cos7x cos sin7x
66
sin 7x sin
64
2

ππ π π

⇔−=+π −=+
3
7x k2 hay 7x h2
64 6 4
π
,
(
)
∈k, h Z

ππ ππ
⇔= + = + ∈

5k2 11h2
xhayx ,k,
84 7 84 7
h

Do
26
x,
57
π
π
⎛
∈
⎜
⎝⎠
⎞
⎟

nên ta phải có :
ππ ππ π π ππ
<+ < < + < ∈
25k26 211h26
hay ( k, h )
584 7 7 5 84 7 7

⇔< + < < + < ∈

25k26 211h26
hay ( k, h )
584 7 7 584 7 7

Suy ra k = 2,
=h1,2
5 4 53 11 2 35
Vậy x x
84 7 84 84 7 84
11 4 59
x
84 7 84
π
πππ
=+=π∨= +=
ππ
∨= + = π
π


Bài 88 : Giải phương trình

(
)
3
3sin3x 3cos9x 1 4sin 3x *−=+
Ta có :
()
()
3
* 3sin 3x 4 sin 3x 3 cos 9x 1
⇔
−−=

sin 9x 3 cos 9x 1⇔− =

13
sin 9x cos 9x
22
⇔−
1
2
=
1
sin 9x sin
32
ππ
⎛⎞
⇔−==
⎜⎟
⎝⎠
6

ππ π π
⇔ −=+ π −= + π ∈

5
9x k2 hay 9x k2 , k
36 3 6

ππ ππ
⇔= + = + ∈

k2 7 k2
xhayx,
18 9 54 9
k


Bài 89
: Giải phương trình
()
1
tgx sin 2x cos 2x 2 2 cos x 0 *
cos x
⎛⎞
−−+ − =
⎜⎟
⎝⎠

Điều kiện :
cos x 0≠

Lúc đó :
()
sin x 2
* sin 2x cos 2x 4 cos x 0
cos x cos x
⇔− − + −=

2
sin x sin 2x cos x cos x cos 2x 4 cos x 2 0⇔− − + −=
()
2
sin x 1 2cos x cos x cos 2x 2cos2x 0⇔− − + =
=
≠

sin x cos2x cos x cos2x 2 cos2x 0⇔− − + =

⇔=−−+cos2x 0 hay sinx cosx 2 0

()
()
⎡
==−=
⎢
⇔
⎢
+= +<
⎢
⎣
2

22 2
cos 2x 0 nhận do cos 2x 2 cos x 1 0 thì cos x 0
sin x cos x 2 vô nghiệm vì 1 1 2

()
π
⇔= + ∈
ππ
⇔=+ ∈


2x 2k 1 , k
2
k
x,k
42

Bài 90 : Giải phương trình
()
31
8sinx *
cos x sin x
=+

Điều kiện :
sin 2x 0≠
Lúc đó (*)
2
8sin xcosx 3sinx cosx⇔=+

()
()
⇔− = +
⇔− = −
⇔− + = −
⇔=− +
π
⎛⎞
⇔=+
⎜⎟
⎝⎠
ππ
⇔=++π∨=−−+
πππ
⇔=+π∨=− + ∈
41 cos2xcosx 3sinx cosx
4 cos 2x cos x 3 sin x 3 cos x
2 cos 3x cos x 3 sin x 3 cos x
31
cos 3x sin x cosx
22
cos 3x cos x
3
3x x k2 3x x k2
33
k
xkx ,k
6122
π

Nhận so vớiđiều kiện
sin 2x 0
≠

Cách khác :
(*)
2
8sin xcosx 3sinx cosx⇔=+

( hiển nhiên cosx = 0 hay sinx = 0 không là nghiệm của pt này )
⇔− = +
2
8(1 cos x) cos x 3 sin x cos x
⇔− = +
3
8 cos x 8 cos x 3 sin x cos x

⇔− = −
3
6 cos x 8 cos x 3 sin x cos x
⇔−=−
3
13
4 cos x 3 cos x cos x sin x
22

π
⎛⎞
⇔=+
⎜⎟

⎝⎠
ππ
⇔=++π∨=−−+
πππ
⇔=+π∨=− + ∈
π

cos 3x cos x
3
3x x k2 3x x k2
33
k
xkx ,k
6122


Bài 91 : Giải phương trình
(
)
9sin x 6cos x 3sin 2x cos 2x 8 *+− +=

Ta có : (*)
(
)
2
9sinx 6cosx 6sinxcosx 1 2sin x 8
⇔
+− +− =

()()

+




2
6 cos x 6 sin x cos x 2 sin x 9 sin x 7 0
7
6 cos x 1 sin x 2 sin x 1 sin x 0
2
=
=

()

= + =


=



+= +<


222
7
1 sin x 0 hay 6 cos x 2 sin x 0
2
sin x 1

6 cos x 2 sin x 7 voõ nghieọm do 6 2 7



=+
xk2,k
2

Baứi 92
: Giaỷi phửụng trỡnh:
()
sin 2x 2cos 2x 1 sin x 4 cos x *+=+
Ta coự : (*)
(
)
2
2sinxcosx 2 2cos x 1 1 sinx 4cosx+=+

()
++=

++=


= + += +<
2
222
2sinxcosx sinx 4cos x 4cosx 3 0
113
2 sin x cos x 4 cos x cos x 0

222
1
cos x 0 hay 2 sin x 4 cos x 6 0 voõ nghieọm do 2 4 6
2


=+ xk
3
2


Baứi 93 : Giaỷi phửụng trỡnh
(
)
2sin2x cos2x 7sinx 2cosx 4 *=+

Ta coự : (*)
(
)
2
4 sin x cos x 1 2sin x 7 sin x 2 cos x 4

= +

(
)
()
()
()()()
()

++=

+


+=
= += +<
2
222
2 cos x 2 sin x 1 2 sin x 7 sin x 3 0
1
2 cos x 2 sin x 1 2 sin x sin x 3
2
2 cos x 2 sin x 1 2sin x 1 sin x 3 0
2 sin x 1 0 hay 2 cos x sin x 3 0 voõ nghieọm vỡ 1 2 3

=+= +

5
xk2x k2,k
66


Baứi 94 : Giaỷi phửụng trỡnh
(
)
sin 2x cos 2x 3sin x cos x 2 *=+

Ta coự (*)
(

)
2
2sinxcosx 1 2sin x 3sinx cosx 2

= +

()
()()(
++
+
= +=
2
cos x 2 sin x 1 2sin x 3 sin x 1 0
cos x 2 sin x 1 sin x 1 2 sin x 1 0
2sinx 1 0 hay cosx sinx 1 0
)
=
=

π
⎛⎞
⇔= −
⎜⎟
⎝⎠
1
sin x hay 2 cos x x 1
24
=

ππ ππ

⇔=+ π∨= + π −=±+ π ∈

5
x k2 x k2 hay x k2 , k
66 44

ππ π
⇔=+π∨= +π =+π∨=π∈

5
x k2 x k2 hay x k2 x k2 , k
66 2

Bài 95 : Giải phương trình
()
()
2
sin 2x 3 cos2x 5 cos 2x *
6
π
⎛⎞
+−=−
⎜⎟
⎝⎠

Đặt
t sin 2x 3 cos2x=+
, Điều kiện
ab t ab−+=−≤≤=+
22 22

22

Thì
13
t 2 sin 2x cos 2x 2cos 2x
22
⎛⎞
6
π
⎛⎞
=+=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
−

Vậy (*) thành:
−= ⇔ −− =⇔= ∨=−
22
t5
t5 2tt100 t (loại)t
22
2

Do đó
()
*
⇔

cos 2x 1
6
π
⎛⎞
−=−
⎜⎟
⎝⎠

π
π
⇔−=π+π⇔=+
7
2x k2 x k
61
π
2

Bài 96 : Giải phương trình
(
)
++=
3
2cos x cos2x sin x 0 *
Ta có (*)
32
2cos x 2cos x 1 sinx 0
⇔
+−+=

(

)
()
()()
()( )
2
2
2 cos x cosx 1 1 sin x 0
2 1 sin x 1 cosx 1 sin x 0
1 sin x 0 hay 2 1 sin x 1 cosx 1 0
⇔+−+=
⇔− + −− =
⇔− = + + −=

2
1 sin x 0 hay 1 2sin x cosx 2(sin x cosx) 0
1sinx 0hay(sinx cosx) 2(sinx cosx) 0
⇔− = + + + =
⇔− = + + + =

(
)
22 2
sinx 1haysinx cosx 0 hay sinx cosx 2 0 vônghiệm do:1 1 2⇔= += ++= +<
sin x 1 ha
y
t
g
x1⇔= =−xk2hayx k2,k
24
π

π
⇔
=+ π =−+ π∈¢


Bài 97 : Giải phương trình
()
2
1cos2x
1cot
g
2x *
sin 2x
−
+=

Điều kiện :
sin2x 0 cos2x 1≠⇔ ≠±
Ta có (*)
2
1cos2x 1
1cotg2x
1cos2x
1cos2x
1
cot g2x 1
1cos2x
cos2x cos2x
sin 2x 1 cos2x
−

⇔+ = =
+
−
⇔= −
+
−
⇔=
+

()
=≠±
⎡
⎢
⇔
−
⎢
=
⎢
+
⎣
⇔=∨+=−
⇔=∨+=
cos2x 0 nhận do 1
11
sin 2x 1 cos2x
cos2x 0 1 cos2x sin2x
cos2x 0 sin 2x cos2x 1
−

1

cos2x 0 sin 2x sin
44
2
5
2x k 2x k2 2x k2 ,k
244 44
ππ
⎛⎞ ⎛⎞
⇔=∨ +=−=−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
πππ ππ
⇔=+π∨+=−+π∨+= +π∈¢

()
k
xxk2xk2loại,
42 4
k
x,k
42
ππ π
⇔=+ ∨==−+π∨ =π+ π ∈
ππ
⇔=+ ∈
¢
¢
k

Bài 98 : Giải phương trình
()
(
)
44
4sinx cosx 3sin4x 2*++ =


Ta có : (*)
()
2
22 22
4 sin x cos x 2sin x cos x 3 sin 4x 2
⎡⎤
⇔+− +
⎢⎥
⎣⎦
=

⎡⎤
⇔− + =
⎢⎥
⎣⎦
2
1
4 1 sin 2x 3 sin 4x 2
2

⇔+ =−
⇔+ =

ππ
⎛⎞
⇔−=
⎜⎟
⎝⎠
ππ
⇔−=±+π
cos4x 3 sin 4x 1
131
cos4x sin 4x
22
2
cos 4x cos
33
2
4x k2
33
−
2

4x k2 hay 4x k2 ,k
3
xkhayx k,k
42 122
π
⇔=π+π =−+π∈
ππ π π
⇔=+ =− + ∈
¢
¢

Cách khác
:
()
(*)
2
2 1 sin 2x 3 sin 4x 0⇔− + =

2
2 cos 2x 2 3 sin 2x cos2x 0
cos2x0cos2x 3sin2x0
cos2x 0 cot g2x 3
⇔+ =
⇔=∨+
⇔=∨ =−
=

2x k 2x k , k
26
kk
xx ,k
42 122
ππ
⇔=+π∨=−+π∈
ππ π π
⇔=+ ∨=− + ∈
¢
¢

Bài 99 : Giải phương trình
()
33
1
1 sin 2x cos 2x sin4x *
2
++ =

Ta có (*)
()( )
1
1 sin2x cos2x 1 sin2x cos2x sin4x
2
⇔+ + − =

()
11
1 sin 4x sin2x cos2x 1 sin4x 0
22
1
1 sin 4x 0 hay 1 sin 2x cos2x 0
2
⎛⎞
⇔− + + − =
⎜⎟
⎝⎠
⇔− = + + =


(

)
sin 4x 2 loại
sin 2x cos2x 1
2sin(2x ) 1
4
=
⎡
⇔
⎢
+=
⎣
π
−
⇔
+=−


()
sin 2x sin( )
44
2x k2
44
kZ
5
2x k2
44
xkxk,k
42
ππ
⎛⎞

⇔+=−
⎜⎟
⎝⎠
ππ
⎡
+=−+ π
⎢
⇔∈
⎢
ππ
⎢
+= +π
⎢
⎣
ππ
⇔
=− + π∨ = + π ∈¢


Bài 100 : Giải phương trình
(
)
(
)
t
g
x3cot
g
x4sinx 3cosx*−=+

Điều kiện
sin x 0
sin 2x 0
cos x 0
≠
⎧
⇔≠
⎨
≠
⎩
Lúc đó : (*)
(
)
sin x cosx
34sinx3co
cos x sin x
⇔− = +
sx

(
)
()()
22
sin x 3cos x 4sin x cosx sin x 3 cosx
sin x 3 cosx sin x 3 cosx 2sin 2x 0
sin x 3 cosx
13
sin x cos x sin 2x
22
⇔− = +

⇔+ − − =
⎡
=−
⎢
⇔
⎢
−=
⎢
⎣

tgx 3 tg
3
sin x sin 2x
3
xkx2xk2x 2xk2,k
33 3
⎡π
⎛⎞
=− = −
⎜⎟
⎢
⎝⎠
⎢
⇔
⎢
π
⎛⎞
−=
⎢
⎜⎟

⎝⎠
⎣
ππ π
⇔=−+π∨−= + π∨−=π− + π∈Z

()
4k2
xkxk2x ,k
3393
4k2
x k x nhận do sin2x 0
393
ππ ππ
⇔=−+π∨=−− π∨= + ∈
πππ
⇔=−+π∨= + ≠
¢


Bài 101 : Giải phương trình
(
)
33
sin x cos x sin x cos x *+=−

Ta có : (*)
33
sin x sinx cos x cosx 0⇔−++=
()
()

()
23
23
2
sin x sin x 1 cos x cosx 0
sinx cos x cos x cosx 0
cosx 0 hay sin x cosx cos x 1 0
cosx 0
sin2x cos2x 3 vô nghiệm do 1 1 9
x2k1,kZ
2
⇔−++=
⇔− + + =
⇔= − + +=
=
⎡
⇔
⎢
−+ =− +<
⎣
π
⇔= + ∈


Bài 102 : Giải phương trình
()
44
1
cos x sin x *
44

π
⎛⎞
++=
⎜⎟
⎝⎠

Ta có : (*)
()
2
2
11
1 cos2x 1 cos 2x
442
⎡π⎤
⎛⎞
1
4
⇔
++−+
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
=

()()
22
1 cos2x 1 sin2x 1
cos2x sin2x 1
13

cos 2x cos
44
2
3
2x k2
44
xkx k,k
24
⇔+ ++ =
⇔+=−
ππ
⎛⎞
⇔−=−=
⎜⎟
⎝⎠
ππ
⇔−=±+π
ππ
⇔=+π∨=−+π ∈Z


Bài 103 : Giải phương trình
()
33
4sin x.cos3x 4 cos x.sin 3x 3 3 cos4x 3 *++=
Ta có : (*)
(
)
(
)

⇔−+−+
33 3 3
4sin x 4cos x 3cosx 4cos x 3sinx 4sin x 3 3 cos4x 3=

()
⇔− + + =
⇔−++
33
22
12sin x cosx 12sin xcos x 3 3 cos 4x 3
4sin xcosx sin x cos x 3 cos4x 1=

2sin2x.cos2x 3 cos4x 1
sin
3
sin 4x cos 4x 1
cos
3
⇔+
π
⇔+ =
π
=

sin4x.cos sin cos4x cos
33
ππ
⇔+=
3
π

sin 4x sin
36
5
4x k2 4x k2 , k
36 3 6
kk
xx,k
24 2 8 2
ππ
⎛⎞
⇔+=
⎜⎟
⎝⎠
ππ π π
⇔+=+π∨+=+π∈
ππ ππ
⇔=− + ∨=+ ∈
¢
¢


Bài 104 : Cho phương trình :
()
22
2sin x sin xcosx cos x m *−−=
a/ Tìm m sao cho phương trình có nghiệm
b/ Giải phương trình khi m = -1
Ta có : (*)
() ()

11
1cos2x sin2x 1cos2x m
22
⇔
−− −+=

sin2x 3cos2x 2m 1⇔+ =−+
2

a/ (*) có nghiệm
22
abc⇔+≥
()
2
2
19 12m
4m 4m 9 0
110 110
m
22
⇔+≥ −
⇔−−≤
−+
⇔≤≤

b/ Khi m = -1 ta được phương trình
()
sin 2x 3cos2x 3 1+=

()

π
•=+ = =
Nếu x 2k 1 thì sin 2x 0 và cos2x 1
2
−
nên phương trình (1) không
thỏa.
()
π
•≠+ ≠ =
Nếux 2k 1 thì cosx 0,đặt t tgx
2

(1) thành
()
2
22
31 t
2t
3
1t 1t
−
+=
++

()(
22
2
2t 3 1 t 3 t 1
6t 2t 0

t0t3
⇔+ − = +
⇔−=
⇔=∨=
)

Vậy (
1)
⇔
t
g
x0ha
y
t
g
x3t
g
xk===
ϕ
⇔=π

ha
y
xk,k
=ϕ
+π ∈¢

Bài 105 : Cho phương trình
()
2

3
54sin x
6tg
2
*
sin x 1 tg
π
⎛⎞
+−
⎜⎟
α
⎝⎠
=
+α

a/ Giải phương trình khi
4
π
α
=−

b/ Tìm
α
để phương trình (*) có nghiệm
Ta có :
3
sin x sin x cosx
22
ππ
⎛⎞ ⎛⎞

−=− −=−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

2
2
6tg 6sin
.cos 3sin2
1tg cos
αα
=α=α
với cos 0
+α α
α
≠

Vậy :
()
()
54cosx
* 3sin 2 điều kiện sin x 0 và cos 0
sin x
−
⇔=α ≠α≠

3sin 2 sin x 4 cosx 5⇔α+ =

a/ Khi
4
π

α=−
ta được phương trình
()
3sinx 4cosx 5 1−+ =
( Hiển nhiên sin x = 0 không là nghiệm của (1))
34
sin x cosx 1
55
⇔− + =

Đặt
34
cos và sin với 0 2
55
ϕ=− ϕ= <ϕ< π

Ta có pt (1) thành :

()
sin x 1ϕ+ =
xk2
2
xk
2
π
⇔ϕ+ = + π
π
⇔=−ϕ++ π2
≠

b/ (**) có nghiệm
()
2
3sin2 16 25 và cos 0⇔α+≥ α
2
2
sin 2 1 và cos 0
sin 2 1
cos2 0
k
,k
42
⇔α≥ α≠
⇔α=
⇔α=
ππ
⇔α= + ∈¢


BÀI TẬP
1. Giải các phương trình sau :
a/
()
2 2 sin x cos x cos x 3 cos2x+=+
b/
()

(
2cosx 1 sinx cosx 1−+
)

=
c/
()
2 cos2x 6 cosx sin x=−
d/
3sinx 3 3cosx=−
e/
2 cos3x 3sin x cosx 0++=

f/
cosx 3 sin x sin2x cos x sin x+=++
g/
3
cos x 3 sin x
cos x 3 sin x 1
+=
++

h/
si n x cos x cos2x+=
k/
3
4sin x 1 3sinx 3cos3x−= −
i /
6
3cosx 4sinx 6
3cosx 4sinx 1
++ =
++

j/ cos7xcos5x 3sin2x 1 sin7xsin5x−=−
m/
()
44
4cosx sinx 3sin4x 2
+
+=

p/
22
cos x 3 sin 2x 1 sin x−=+
q/
()
4sin2x 3cos2x 3 4sinx 1−= −
r/
2
tgx sin 2x cos2x 4cosx
cos x
−− =−+

s/
()
2
x
23cosx2sin
24
1
2cosx 1
π
⎛⎞

−−−
⎜⎟
⎝⎠
=
−

2. Cho phương trình cosx + msinx = 2 (1)
a/ Giải phương trình
m3=
b/ Tìm các giá trò m để (1) có nghiệm (ĐS :
m3≥ )
3. Cho phương trình :

()
msinx2 mcosx2
1
m2cosx m2sinx
−−
=
−−

a/ Giải phương trình (1) khi m = 1
b/ Khi
m0vàm 2≠≠ thì (1) có bao nhiêu nghiệm trên
[
]
ππ20 ,30
?
(ĐS : 10 nghiệm)
4. Cho phương trình

()
2sinx cosx 1
a1
sin x 2 cosx 3
++
=
−+

a/ Giải (1)khi
1
a
3
=

b/ Tìm a để (1) có nghiệm

Th.S Phạm Hồng Danh
TT Luyện thi đại học CLC Vĩnh Viễn