Đề +đáp an thi thử lần 2 chuyên nguyễn huê

1



Câu I: (2,0 ñiểm) Cho hàm số y =
1
x
x
−

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc (C), biết rằng tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với
ñường thẳng ñi qua ñiểm M và ñiểm I(1; 1).
Câu II: (2,0 ñiểm)
1. Giải phương trình:
( )
3 2
cos cos
2 1 sin .
sin cos
x x
x
x x
−
= +
+

2. Giải hệ phương trình:
2
2 2
( ) 4 1

( ) 2 7 2
x x y y x
x x y y x

+ + = −


+ − = +



Câu III: (1,0 ñiểm) Tính tích phân:
1
ln
1 ln
e
x
dx
x x
+
∫

Câu IV: (1,0 ñiểm) Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác cân ñỉnh C;
ñường thẳng BC’ tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc
0
60
và AB = AA’ = a. Gọi M, N, P lần
lượt là trung ñiểm của BB’, CC’, BC và Q là một ñiểm trên cạnh AB sao cho BQ =
4
a

.
Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng minh rằng
(MAC) (NPQ)
⊥
.
Câu V: (1,0 ñiểm) Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c thỏa mãn ñiều kiện
3
ab bc ca
+ + =
, ta có:
2 2 2
1 1 1
1
2 2 2
a b c
+ + ≤
+ + +

Câu VI: (2,0 ñiểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) và AC = 2BD.
ðiểm M
1
(0; )
3
thuộc ñường thẳng AB, ñiểm N(0;7) thuộc ñường thẳng CD. Tìm tọa ñộ ñỉnh B
biết B có hoành ñộ dương.
2.Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ba ñường thẳng :
1
: 4
1 2

x t
d y t
z t
=


= −


= − +

; d
2
:
2
1 3 3
x y z
−
= =
− −
và d
3
:
1 1 1
5 2 1
x y z
+ − +
= =
. Viết phương trình ñường
thẳng ∆, biết ∆ cắt ba ñường thẳng d

1
, d
2
, d
3
lần lượt tại các ñiểm A, B, C sao cho AB = BC.
Câu VII: (1,0 ñiểm) Tìm số phức z thỏa mãn :
2
2
2 . 8
z z z z
+ + =
và
2
z z
+ =


Hết
Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên:……………………………………………… SBD:………………




TRƯỜNG THPT
CHUYÊN
NGUY
Ễ
N HU

Ệ

KỲ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN THỨ HAI NĂM HỌC 2010 – 2011
ðỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao ñề
2



TRƯỜNG THPT
CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ðẠI HỌC LẦN THỨ HAI
NĂM HỌC 2010 – 2011
ðỀ THI MÔN: TOÁN

CÂU NỘI DUNG ðIỂM

TXð : D = R\{1}
y’ =
2
1
0
( 1)x
− <
−

0,25
lim ( ) lim ( ) 1
x x

f x f x
→+∞ →−∞
= =
nên y = 1 là ti
ệ
m c
ậ
n ngang c
ủ
a
ñồ
th
ị
hàm s
ố

1 1
lim ( ) ,lim
x x
f x
+ −
→ →
= +∞ = −∞
nên x = 1 là ti
ệ
m c
ậ
n
ñứ
ng c

ủ
a
ñồ
th
ị
hàm s
ố


0,25
B
ả
ng bi
ế
n thiên
1
+
∞
-
∞
1
- -
y
y'
x
-
∞
1 +
∞

Hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên
( ;1)
−∞
và
(1; )
+∞

Hàm s
ố không có cực trị
0,25
I-1
(1 ñiểm)
ðồ thị :
Nhận xét : ðồ thị nhận giao ñiểm của 2 ñường tiệm cận I(1 ;1) làm tâm ñối xứng


10
8
6
4
2
2
4
6

8
10 5 5 10 15

0,25
I-2
(1 ñiểm)
Với
0
1
x
≠
, tiếp tuyến (d) với (C) tại M(x
0
;
0
0
1
x
x
−
) có ph
ươ
ng trình :
0,25
3

0
0
2
0 0

1
( )
( 1) 1
x
y x x
x x
= − − +
− −
2
0
2 2
0 0
1
0
( 1) ( 1)
x
x y
x x
⇔ + − =
− −

(d) có vec – t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng
2
0

1
( 1; )
( 1)
u
x
= −
−
r

0
0
1
( 1; )
1
IM x
x
= −
−
uuur

0,25
ðể
(d) vuông góc IM
ñ
i
ề
u ki
ệ
n là :

0
0
2
0
0 0
0
1 1
. 0 1.( 1) 0
2
( 1) 1
x
u IM x
x
x x
=

= ⇔ − − + = ⇔

=
− −

r uuur

0,25
+ V
ớ
i x
0
= 0 ta có M(0,0)
+ V

ớ
i x
0
= 2 ta có M(2, 2)
0,25

ðK:
sin cos 0
x x
+ ≠

0,25
Khi
ñ
ó
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1 sin cos 1 2 1 sin sin cos
PT x x x x x
⇔ − − = + +

(
)

(
)
1 sin 1 cos sin sin .cos 0
x x x x x
⇔ + + + + =


(
)
(
)
(
)
1 sin 1 cos 1 sin 0
x x x
⇔ + + + =

0,25
sin 1
cos 1
x
x
= −

⇔

= −

(tho
ả

mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n)
0,25
II-1
(1 ñiểm)
2
2
2
x k
x m
π
π
π π

= − +

⇔

= +


(
)
,k m∈
Z

Vậy phương trình ñã cho có nghiệm là:
2
2
x k
π
π
= − +
và
2
x m
π π
= +

(
)
,k m∈
Z

0,25

V
ớ
i x = 0 không nghi
ệ
m
ñ
úng ph
ươ
ng trình

V
ớ
i
0
x
≠
, ta có:
2
2 2
2 2
2
2
1
4
1 4
( ) 2 2 7
1
( ) 2 7
y
x y
x y xy x
x
x x y y x
y
x y
x

+
+ + =



+ + + =

⇔
 
+ − − =
+


+ − =



0,25
ðặ
t
2
1
,
y
u v x y
x
+
= = +
ta có h
ệ
:
2 2
4 4 3, 1
2 7 2 15 0 5, 9

u v u v v u
v u v v v u
+ = = − = =
  
⇔ ⇔
 

− = + − = = − =
  


0,25
+) V
ớ
i
3, 1
v u
= =
ta có hệ:
2 2 2
1, 2
1 1 2 0
2, 5
3 3 3
y x
y x y x y y
y x
x y x y x y
= =
  

+ = + = + − =

⇔ ⇔ ⇔
  

= − =
+ = = − = −

  
.

0,25
II-2
(1 ñiểm)
+) Với
5, 9
v u
= − =
ta có hệ:
2
1 9
5
y x
x y

+ =

+ = −

, hệ này vô nghiệm.

Vậy hệ ñã cho có hai nghiệm:
( ; ) (2;1), ( ; ) (5; 2).
x y x y
= = −

0,25
III
(1 ñiểm)
ðặt t =
1 ln
x
+
có 2tdt =
1
dx
x

x = 1 thì t = 1; x = e thì t =
2

0,25
4

2
2
1 1
ln 1
2
1 ln
e

x t
dx tdt
t
x x
−
= =
+
∫ ∫

0,25
2
3
1
2( )
3
t
t
= − =

0,25

2(2 2)
3
−
=
0,25
G
ọ
i I là trung
ñ

i
ể
m A’B’ thì
' ' '
' ( ' ')
' AA'
C I A B
C I ABA B
C I
⊥

⇒ ⊥

⊥


suy ra góc gi
ữ
a BC’ và mp(ABB’A’) chính
là góc

'
C BI
.
Suy ra

0
' 60
C BI =


15
' .tan '
2
a
C I BI C BI
= =

Q
P
K
M
I
N
C
A
B
A'
C'
B'

0,25
3
. ' ' ' ' ' '
1 . 15
. .
AA'. AA' . ' '
2 4
ABC A B C A B C
a

V S CI A B
= = =

0,25

/ / '
( ) / /( ' )
/ / '
NP BC
NPQ C BI
PQ C I

⇒


(1)

0,25
IV
(1 ñiểm)


 
0
' ( ) '
' 90 AM BI
ABM BB I c g c suy ra AMB BIB
suy ra AMB B BI
= − − =
+ = ⇒ ⊥

 
.
M
ặ
t khác theo ch
ứ
ng minh trên C’I
⊥
AM nên AM
⊥
( ' )
C BI

Suy ra (AMC)
⊥
( ' )
C BI
(2)
T
ừ (1) và (2) suy ra
(MAC) (NPQ)
⊥

0,25

Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4
a b b c c a a b c
+ + + ≥

0,25
ðặt x = ab, y = bc, z = ca ta cần chứng minh
2 2 2
4
x y z xyz
+ + + ≥
với mọi x, y, z
không âm thỏa mãn: x + y + z = 3
Không làm mất tính tổng quát giả sử x
≤
y; x
≤
z thì x
≤
1 ta có:
0,25
2 2 2 2 2 2 2 2
1
4 ( ) ( 2) 4 ( ) ( ) ( 2) 4
4
x y z xyz x y z yz x x y z y z x
+ + + − = + + + − − ≥ + + + + − − =

0,25
V
(1 ñiểm)
2 2 2
2 1
(3 ) 4 ( 1) ( 2) 0

4 4
x
x x x x
+
= + − − = − + ≥

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1
0,25
5

N
D
I
A
C
B
N'
M

Gọi N’ là ñiểm ñối xứng của N qua I thì N’
thuộc AB, ta có :
'
'
2 4
2 5
N I N
N I N
x x x
y y y
= − =



= − = −



0,25
Phương trình ñường thẳng AB:
4x + 3y – 1 = 0
Khoảng cách từ I ñến ñường thẳng AB:
2 2
4.2 3.1 1
2
4 3
d
+ −
= =
+

0,25
AC = 2. BD nên AI = 2 BI, ñặt BI = x, AI = 2x trong tam giác vuông ABI có:
2 2 2
1 1 1
4
d x x
= + suy ra x =
5
suy ra BI =
5

0,25
VI 1
(1 ñiểm)
ð
i
ể
m B là giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a
ñườ
ng th
ẳ
ng 4x + 3y – 1 = 0 v
ớ
i
ñườ
ng tròn tâm I bán kính
5

T
ọ
a
ñộ
B là nghi
ệ
m c

ủ
a h
ệ
:
2 2
4x 3y – 1 0
( 2) ( 1) 5
x y
+ =


− + − =


B có hoành
ñộ
d
ươ
ng nên B( 1; -1)
0,25
Xét ba
ñ
i
ể
m A, B, C l
ầ
n l
ượ
t n
ằ

m trên ba
ñườ
ng th
ẳ
ng
d
1
, d
2
, d
3
Ta có A (t, 4 – t, -1 +2t) ; B (u, 2 – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, 1 + 2v, - 1 +v)

0,25
A, B, C th
ẳ
ng hàng và AB = BC
⇔
B là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a AC
( 1 5 ) 2
4 (1 2 ) 2.(2 3 )
1 2 ( 1 ) 2( 3 )
t v u
t v u

t v u
+ − + =


⇔ − + + = −


− + + − + = −


0,25
Gi
ả
i h
ệ
trên
ñượ
c: t = 1; u = 0; v = 0
Suy ra A (1;3;1); B(0;2;0); C (- 1; 1; - 1)
0,25
VI -2
(1 ñiểm)
ðườ
ng th
ẳ
ng
∆ ñi qua A, B, C có phương trình
2
1 1 1
x y z

−
= =

0,25
G
ọ
i z = x + iy ta có
2
2
2 2
;
z x iy z z zz x y
= − = = = +

0,25
2
2
2 2 2 2
2 . 8 4( ) 8 ( ) 2 (1)
z z z z x y x y+ + = ⇔ + = ⇔ + =

0,25
2 2 2 1 (2)
z z x x+ = ⇔ = ⇔ =

0,25
VII
(1 ñiểm)
Từ (1) và (2) tìm ñược x = 1 ; y =
1

±

Vậy các số phức cần tìm là 1 + i và 1 - i
0,25