To Hop (Nang cao)

MỘT SỐ ĐỀ THI VỀ TỔ HỢP
Bài 1: (IMO_1987)
Gọi
( )
n
p k
là số các hoán vị của tập
( )
1,2, ,n
có đúng k điểm cố định.
Chứng minh :
( )
0
. !
n
n
k
k p k n
=
=
∑
.
Giải:
Ta để ý rằng:
1
1
k k
n n
nC kC
−
−

=
,
( ) ( )
0
k
n n n k
p k C p
−
=
và
( )
0
!
n
n
k
p k n
=
=
∑
.
Do đó,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1
1 1 1 1
0 0 0 0 0
. . 0 . 0 0 0
n n n n n
k k k k

n n n k n n k n n k n n k
k k k k k
k p k k C p n C p n C p n C p
−
− −
− − − − − − − −
= = = = =
= = = =
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
( ) ( )
1
1
0
. 1 ! !
n
n
k
n p k n n n
−
−
=
= = − =
∑
.
Bài 2: (IMO_1989)
Cho n là một số nguyên dương, một hoán vị
{ }
1 2 2
, , ,
n

x x x
của tập hợp
{ }
1,2, ,2n
được gọi là
có tính chất P nếu
{ }
1
1,2, ,2 1 :
i i
i n x x n
+
∃ ∈ − − =
. Chứng minh với mỗi n thì số các hoán vị có
tính chất P lớn hớn số các hoán vị không có tính chất đó.
Hướng dẫn:
Ta chia các số 1, 2, …,2n thành từng cặp như sau: (1, n +1), (2, n + 2), …, (n, 2n).
Gọi A, B lần lượt là tập hợp các hoán vị không có tính chất P và có tính chất P.
Ta xây dựng một ánh xạ
:f A B→
là đơn ánh và không toàn ánh. Từ đó suy ra :
A B<
.
Giả sử
{ }
1 2 1 1 2
, , , , , , ,
k k k n
x x x x x x A
− +

∈
là một hoán vị bất kì không có tính chất P và
k
x
là số
thuộc cùng một cặp với
2n
x
, khi đó
2 2k n
≤ −
.
Ta định nghĩa
{ }
( )
{ }
1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1
, , , , , , , , , , , , , , ,
k k k n k k n n k
f x x x x x x x x x x x x x B
− + − − +
= ∈
.
Kiểm tra
:f A B→
là đơn ánh và không toàn ánh.
Bài 3: Tính tổng :
3
3
0

.
n
k
n
k
C
 
 
 
=
∑
Giải:
Xét đa thức
( ) ( )
0
1
n
n
i i
n
i
P x x C x
=
= + =
∑
.
Gọi
ε
là căn nguyên thủy bậc 3 của đơn vị, tức là
2

1 0
ε ε
+ + =
.
Khi đó ta có:
2
0 ' 3
1
3 ' 3
k k
nê u k
nêu k
ε ε
/

+ + =


M
M
.
Vì thế,
( ) ( )
( ) ( )
3
2 2 3
0 0
1 1 3 .
n
n

i i i i
n n
i i
P P P C C
ε ε ε ε
 
 
 
= =
+ + = + + =
∑ ∑
Ta có,
( ) ( )
1 1 1 2
n
n
P = + =
.
( )
1 3 1 3
1 cos sin
2 2 2 2 3 3
n
n
n n
P i i i
π π
ε
 
   

= + − + = + = +
 ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷
   
 
.
( )
2
1 3 1 3
1 cos sin
2 2 2 2 3 3
n
n
n n
P i i i
π π
ε
 
   
= + − − = − = −
 ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷
   
 
.
Do đó,

3
3
0
2 2cos
3
.
3
n
n
k
n
k
n
C
π
 
 
 
=
+
=
∑
Bài 4: Tìm số tất cả các số có n chữ số lập từ các số 3, 4, 5, 6 và chia hết cho 3.
Giải:
Gọi C
n
là số tất cả các số có n chữ số lập từ các số 3, 4, 5, 6 và chia hết cho 3.
Gọi
ε
là căn nguyên thủy bậc 3 của đơn vị, tức là

2
1 0
ε ε
+ + =
.
Khi đó ta có:
2
0 ' 3
1
3 ' 3
k k
nê u k
nêu k
ε ε
/

+ + =


M
M
.
Xét đa thức
( )
( )
3 4 5 6
.
n
P x x x x x= + + +
Dễ thấy C

n
chính bằng tổng các hệ số của các số mũ
chia hết cho 3 trong khai triển của P(x).
Nói cách khác, nếu
( )
6
0
n
k
k
k
P x a x
=
=
∑
thì
2
3
0
n
n k
k
C a
=
=
∑
.
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )

6 2
2 2
3
0 0
1 1 3 .
n n
k k
k k
k k
P P P a a
ε ε ε ε
= =
+ + = + + =
∑ ∑
Mà,
( ) ( )
( )
2
1 4 , 1
n
P P P
ε ε
= = =
.
Do đó,
2
3
0
4 2
.

3
n
n
n k
k
C a
=
+
= =
∑
Bài 5: Tính tổng
( )
0
cos
n
k
n
k
C kx
=
∑
.
Giải:
Đặt
S =
( )
0
cos
n
k

n
k
C kx
=
∑
,
( )
0
sin
n
k
n
k
T C kx
=
=
∑
.
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
( )
0 0
cos sin 1 1 cos sin
n n
n
n
k k ikx ix
n n

k k
S iT C kx i kx C e e x i x
= =
+ = + = = + = + +
∑ ∑
2cos cos sin 2cos cos sin
2 2 2 2 2 2
n
n
x x x x nx nx
i i
 
     
= + = +
 ÷  ÷  ÷
 
     
 
.
Do đó,
2cos cos .
2 2
n
x nx
S
 
=
 ÷
 
Bài 6: (VMO_1996)

Cho các số nguyên dương k và n với
k n
≤
. Hỏi có tất cả bao nhiêu chỉnh hợp chập k
( )
1 2
, , ,
k
a a a
của n số nguyên dương đầu tiên, mà mỗi chỉnh hợp
( )
1 2
, , ,
k
a a a
thỏa mãn ít nhất
một trong 2 điều kiện sau:
i)
{ }
1,2, , :t k∃ ∈
nếu
s t>
thì
s t
a a>
.
ii)
{ }
1,2, , : 2
s

s k a s
/
∃ ∈ − M
.
Bài 7: (VMO_2009)
Cho số nguyên dương n . Kí hiệu T là tập hợp 2n số nguyên dương đầu tiên. Hỏi có bao nhiêu tập
con S của T có tính chất: trong S không tồn tại các phần tử
,a b
mà
{ }
1,a b n− ∈

(Lưu ý tập rỗng được coi là tập có tính chất trên).