phuong trinh luong giác hay

Bài tập phương trình lượng giác
Bài tập phương trình lượng giác
A.Phương trình lượng giác cơ bản
Bài 1:Giải phương trình
a.
2
3
4
cos =






+
π
x
b.
0
2
sin
4
3
2cos =







+−






+ xx
ππ
l.
( )
0sin82sin3425
2
=+− xxx
ππ
c.
0
4
sin
4
2cos =






++







−
ππ
xx
d.
xx 2cos3sin
=
y,
05cos
2
1
5sin
2
3
3sin =++ xxx
e.
0
3
3sin
4
2sin =







++






−
ππ
xx
f.
( )
12sinsin =x
π
m. sinxsin7x = sin3xsin5x
g.
( )( )
03sinsincos2cos =++ xxxx
h.
( ) ( )
00
120cos502cos +=+ xx
k
04sin3cos
=−
xx
j.
012tan3 =−x
i.
( )( )

012cos2sin4sincos
2244
=−− xxxx
h.
1
4
cot =






+
π
x
n,
2
1
2
1
sin =+x

l.sin5xcos3x = sin9xcos7x v.







−






+=






+






+ xxxx 6
4
sin
4
sin2
4
cos5
4
sin

ππππ
Bài 2.Giải các phương trình sau:
a.
xx 3cos33sin
22
=
c.
0)
14
5
3cot()
4
5tan( =−−+
ππ
xx

b.
2
3cos
1
3tan4
2
2
=−
x
x
d.
0
3
4cot)

6
5
6tan( =






++−
ππ
xx
e.
xxxxx 4sin3sincos3cossin
333
=+
f.
( )
xx
x
xx
cottan
2
1
2sin
cossin
44
+=
+
(BKHN-2000)

g.
( )( )
1cossin1cos2 =+− xxx
h. tan3xtanx = 1
Bài 3.Tìm tất cả các nghiem của phương trình sau:
a.






−∈=+
4
5
;
4
,
2
1
8
sin.sin
8
cos.cos
ππππ
xxx
b.







∈−=






−
6
7
;
6
,32
3
5tan6
πππ
xx
@:Chú ý: Nếu pt dạng: sinx = a ,trong đó a không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt thì ta có thể
+ đặt
α
sin
=
a
ta có.
( )
Zk
kx

kx
x ∈



+−=
+=
⇔= ,
2
2
sinsin
παπ
πα
α
+
( )
Zk
kax
kax
ax ∈



+−=
+=
⇔= ,
2arcsin
2arcsin
sin
ππ

π
Các ptlg khác cũng tương tự.
+ Đặc biệt chú ý:
( )
( )
αα
απα
−=−
−=−
sinsin
coscos

( )
( )
αα
αα
−=−
−=−
cotcot
tantan

B.Phươg trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:at + b=0 (a#0), t:một hàm số lượng giác.
@; Đưa pt về PTLG cơ bản.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a.tan(2x - 45
0
) – 3 = 0 b.
0
3
1

5
2
7cot =+






−
π
x
c.
0
2
3
5
4sin =−






−
π
x
d.
0
2

2
6
3
cos =+






− x
π
Bài2* Tất cả các nghiệm nguyên của pt:
(
)
180016093
8
cos
2
=






++− xxx
π

C.Phương trình bậc hai đối với một hàm số lựơng giác:

Bài tập phương trình lượng giác
* Đặt hàm số l ượng giác làm ẩn phụ và đặt ĐK cho ẩn phụ nếu có(ví dụ :t = sinx hoặc t =cosx, ĐK
1≤t
),rồi giải pt
theo ẩn phụ này.
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a.
023sin43cos3sin2
22
=+−− xxx
b.
032cos72sin3
2
=−+ xx
e.cos2x+sin
2
x+2cosx +1=0
c.
033cot3tan3 =−−+ xx
d.
( )
3cos1sinsin5
2
=−− xxx
f. 6tanx = tan2x
g.
( )
03tan13tan
2
=−−+ xx

h.
( ) ( )
023sinsin2122cos3 =+−+++ xxx
i.sin
2
2x-sin
2
x = sin
2
4
π

k.
0sin22coscos5 =+− xxx
v.sin4x = tanx
l.sin3x+2cos2x-2=0 m.3sinx +2
02cos =−x
w.
( )






−=−+
6
2cos52cos32sin
2
π

xxx

Bài 2: Giải các phương trình sau:
a.
3cot3
sin
3
2
+= x
x
b.
023
2
cos33cos
2
3cos
22
=+






−−−







+ xxx
ππ
c.
2
2cos2cot
4sin2cot32cos
=
−
++
xx
xxx
d.
0
cos
2cos39sin62sin4
22
=
−−+
x
xxx
e.
( )
1
2sin1
1cos223sin2cos
2
=
+
−−+

x
xxx
f.
3cos3sin4 =+ xx
g.
01cos2sin2cos
2
=+++ xxx
D.Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (Pt cổ điển): a sinx + bcosx = c (1) (a
2
+b
2
# 0)
*Cách giải:
+Cách1.
$Bước 1:kiểm tra :
1.Nếu
222
cba <+
thì (1) VN
2.Nếu
222
cba ≥+
thì (1)có nghiệm.
$Bước 2.Chia cả hai vế cho
22
ba +
ta được :
222222
cossin

ba
c
x
ba
b
x
ba
a
+
=
+
+
+
Vì
1
2
22
2
22
=








+
+









+ ba
b
ba
a
nên tồn tại góc
α
sao cho
α
cos
22
=
+ ba
a
( hoặc Sin
α
) và
α
sin
22
=
+ba
b

(hoặc cos
α
).Khi đó (1)trở thành:
22
cossinsincos
ba
c
xx
+
=+
αα

( )
22
sin
ba
c
x
+
=+⇔
α
(ptlgcb)
+Cách 2:Nếu
0
≠
a
,chia cả hai vế cho a ta được :
a
c
x

a
b
xcxbxa =+⇔=+ cossincossin
. Đặt
β
β
β
cos
sin
tan ==
a
b
ta có:
( )
ββ
β
β
cossincos
cos
sin
sin
a
c
x
a
c
xx =+⇔=+
(ptlgcb)C ác
+Cách 3:
$Bước 1: xét cos

0
2
=
x
$ Bước 2: Với cos
0
2
≠
x
.đặt t = tan
2
x
suy ra:
2
2
2
1
1
cos;
1
2
sin
t
t
x
t
x
+
−
=

+
=
.Khi đó (1) trở thành:
( )
02
1
1
1
2
2
2
2
2
=−+−+⇔=
+
−
+
+
bcattbcc
t
t
b
t
t
a
Bài tập phương trình lượng giác
$ Bước 3:Giải pt theo t.
*Nhận xét quan trọng:
1. Cách1 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải pt và tìm ĐK của tham số để phương trình có
nghiệm,vô nghiệm hoặc giải và biện luận pt theo tham số.

2.T ừ cách 1 ta có kết quả sau:
2222
cossin baxbxaba +≤+≤+−
t ừ đó gợi ý cho ta bài toán tìm
GTLN,GTNN của hàm số co dạng:
xdxc
xbxa
yxbxay
cossin
cossin
;cossin
+
+
=+=
và phương pháp đánh giá cho một số
pt l ượng giác.
3.D ạng đ ặc bi ệt :
Zkkxxx
Zkkxxx
∈+=⇔=−
∈+−=⇔=+
,
4
0cossin
,
4
0cossin
π
π
π

π
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a.
22sin2cos3 =+ xx
b.
2
1
sin2sin
2
=+ xx
c.2sinx - 2cosx =
2
d.
132sin122cos5
=−
xx
e.
( )
xxxx 2cos3coscossin22 +=+
f.
1sin2sin3cos
32
+=− xxx
g.
( )
1sin42cos32sin4 −=− xxx
h.
xxx
22
sin12sin3cos +=−

i.
02003cos52cos42sin3
=++
xxx
l.
( )
12cos232sin =−+ xx
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a.
34cos333sincos43cossin4
33
=++ xxxxx
b.
05cossin162cos34sin2
3
=−++ xxxx
c.
xxx 3sin419cos33sin3
3
+=−
d.
xxxx cos3sin2sin32cos2 +=++
e.
( ) ( )
2cos31sin31 =−++ xx
(pt nay làm theo c1 cho ng
0
k tường minh,c2 thi ng
0
rất chẵn )

Bài 3.Cho phương trình:
12cos2sin3 =− xmx
a. Giải phương trình với m=1
b. Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m.
Bài 4.Chứng minh:
a.
1
3cos2
1cos2sin
2 ≤
+
++
≤−
x
xx
b.
x
a
x
xax
∀
++
≤
+
++
;
3
311
3cos2
13sin3cos

2
Bài 5.Tìm GTLN,GTNN của các hàm số:
a.
2cossin
cos2
−+
+
=
xx
x
y
b.
1
2
sin
2
cos2
2
cos
1
2
cos
2
sin2
2
cos
+







−
+






+
=
xxx
xxx
y
E.Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx(pt thuần nhất bậc hai đối với sinx v à cox)
1 ĐN:la pt có dạng :
0cossincossin
22
=++ xcxxbxa
(
0
22
≠+ ca
) (1)
*Chú ý: pt
dxcxxbxa =++
22
coscossinsin

tuy không phải là pt thuần nhất bậc hai nhưng có thể đưa về pt thuần
nhất bậc hai với sinx và cosx bằng cách :
( )
xxdxcxxbxadxcxxbxa
222222
cossincoscossinsincoscossinsin +=++⇔=++

( ) ( )
0coscossinsin
22
=−++−⇔ xdcxxbxda
2.Cách giải: * Cách 1:
+Xét
Zkkxx ∈+=⇔= ;
2
0cos
π
π
xem có là nghiệm của pt này không.
+Xét cosx
0≠
.Chia cả hai vế cho
x
2
cos
và nhớ:
1tan
cos
1
2

2
+= x
x
.ta có:
( )
0tantan
2
=−++− dcxbxda
*Cách 2:Sử dung CT hạ bậc,CT nhân đôi đưa Pt (1) về Pt bậc nhất đối với sinx2x và cos2x
3.Bài tập:
Bài tập phương trình lượng giác
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a.
0cos2cossin3sin
22
=++ xxxx
b.
4cos22sin33sin4
22
=−+ xxx
c.
xxxx cossin5cos3sin2
22
=+

d.
1cossin3sin
2
=− xxx
e.

01sin2cossin3cos
22
=−−− xxxx
f.
03cos3cossin2sin
22
=+−+ xxxx
g.
03coscossinsin6
22
=−−− xxxx
. h.
01cos52sin7sin
22
=+−− xxx
i.
012sin2cos
2
=++ xx
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a.
xx
x
3sin43cos6
3cos
1
=−
b.
x
xx

cos
1
cossin3 =+
c.
042sin5sin6cos4
22
=−+− xxx
Bài 3.Cho phương trình:
0cos42sinsin3
22
=++ xxmx
a.Giải phương trình khi m = 4 b.Tìm m để phương trình có nghiệm.
F.Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx
1. ĐN: là pt mà khi thay sinx bởi cosx và cosx bởi sinx thì phương trình không thay đổi.
2.Dạng đơn giản:
( )
0cossincossin =+++ cxxbxxa
(1)
*Cách giải:
$Cách 1:
+B1: Đặt
2;cossin ≤+= txxt
.Ta có :
2
1
cossin
2
−
=
t

xx
Pt (1) trở thành:
0220
2
1
2
2
=−++⇔=+
−
+ bcatbtc
t
bat
(2)
+B2:Giải pt (2) chọn nghiệm
2≤t
,sau đó đưa về giải pt lượng giác cơ bản.
$Cách 2: Đặt
xt −=
4
π
khi đó
txxxxx cos2cossin
4
cos2cossin =+⇔







−=+
π

( )
1cos2
2
1
cossin2cos
2
1
cossin
4
2sin
2
1
cossin2sin
2
1
cossin
2
−=⇔=⇔






−=⇔=
txxtxxtxxxxx
π

Đó PT (1) đưa về pt bậc hai đối với hàm số cost
*Chú ý:Pt gần đối xứng:
( )
0cossincossin =++− cxxbxxa
(3) giải tương tự. Đặt
2;cossin ≤−= txxt
ta
có
2
1
cossin
2
t
xx
−
=
* Pt đối xứng khác ta biến đổi để làm xuất hiện đại lượng sinx + cosx và sinxcosx sau đó sử dụng phép đặt
ẩn phụ như trên.
3.Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a.
xxx cossin2sin1
+=+
b .
( )
01cossin22sin2 =++− xxx
c.
2cos2sin2cossin
=++
xxxx

d.
1
4
sin22sin =






−+
π
xx
e.
12sin7cossin
=+−
xxx
f.
( )
( )
212sincossin21 +=+−− xxx
g.
( )
02sincossin44 =−−+ xxx
h.
12sin4cossin =++ xxx
i.
xx sin22tan1 =+
j.
xxxx cossin1

3
2
cossin +=+
m.
22
sin
1
cos
1
−=−
xx
n.
5
2cos2sin
1
2cos
1
2sin
1
=++
xxxx
r.
( )
4cottan3 =+ xx
k.
xxxx cossintancot
+=−
z.
2
2

cossin
33
=+ xx