Chuyên đề hay-không cần sửa

Chuyên đề : Vẻ đẹp của định lý 4 điểm


Học sinh đã đợc học định lý Pytago ngay từ lớp 7. Vẻ đẹp của nó vang dội trong
suốt quá trình học tập của học sinh sau này. Để khẳng định một tam giác vuông thông th-
ờng ta sử dụng địnhlý Pytago . Thế còn muốn khẳng định một tứ giác có hai đờng chéo
vuông góc với nhau, ta làm thế nào ? Trong chuyên đề này , tôi muốn đa ra một dấu hiệu
chứng minh bài toán : Điều kiện cần và đủ dể hai đờng chéo của một tứ giác vuông góc
với nhau và một số bài toán áp dụng . Đó là định lý 4 điểm. Mong chuyên đề này , giúp
thày cô và học sinh năng khiếu có một phơng pháp giải quyết tốt một lớp bài toán chứng
minh hai đờng thẳng vuông góc.


Ngô Đức Minh GV THCS Ngô Gia Tự- Quận Hồng bàng 1
Chuyên đề : Vẻ đẹp của định lý 4 điểm
Ngô Đức Minh
GV THCS Ngô Gia Tự Quận Hồng bàng
Để chứng minh hai đờng thẳng vuông góc với nhau, thông thờng ta gắn chúng vào hai
cạnh của tam giác , rồi tìm cách chứng minh tam giác đó vuông theo quan hệ giữa các
góc hay giữa các cạnh. Đôi khi có sử các tính chất đặc trng , chẳng hạn: Tính trực tâm của
tam giác , tiên đề ơclít về đờng thẳng vuông góc hoặc tính vuông góc với một trong các đ-
ờng thẳng song song Trong bài viết này , tôi muốn đa ra một phơng pháp chứng minh
hai đờng thẳng vuông góc dựa vào một dấu hiệu của tứ giác có hai đờng chéo vuông góc
với nhau.
Định lý 1: Tứ giác có hai đờng chéo vuông góc với nhau khi và chỉ khi
tổng các bình phơng của hai cạnh đối diện bằng nhau.
Chứng minh :
Điều kiện cần: Tứ giác ABCD có hai đờng chéo
AC và BD vuông góc với nhau tại O thì ta có :

Thật vậy , theo định lý Pytago ta có :

222222222222
222222222222
;
;
ODOCOBOABCADOCOBBCODOAAD
ODOCOBOACDABODOCCDOBOAAB
+++=++=+=
+++=++=+=
Suy ra :
2222
BCADCDAB +=+
Điều kiện đủ: Tứ giác ABCD có
2222
BCADCDAB +=+

thế thì hai đờng chéo AC và BD vuông góc với nhau tại O .
Thật vậy:
+) Nếu tứ giác ABCD có AB = BC thế thì CD = AD. Khi đó theo tính chất đờng trung
trực của đoạn thẳng ta có : AC BD
+) Xét trờng hợp AB BC . Qua B kẻ đờng thẳng vuông góc với AC tại O .
Từ D hạ DE AC và DF BO .
Không giảm tính tổng quát , Giả sử điểm O nằm giữa A và E
Và ta có tứ giác OEDF là hình chữ nhật.
Sử dụng định lý Pytago ta đợc :

( vì ED = OF )
Ngô Đức Minh GV THCS Ngô Gia Tự- Quận Hồng bàng 2
2 2 2 2
AB CD AD BC
+ = +

O
A
B
D
C
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
AB CD OA OB EC ED
+ = + + +
( )
2
2 2 2
OA OB OC OE OF
= + + +
O
B
A
C
D
E
F
Chuyên đề : Vẻ đẹp của định lý 4 điểm

CEOCOFOEOCOBOA ++++= 2
22222
Mà
( ) ( )
222222
OCOBEDEABCAD +++=+

( )
222
2
OCOBOFOEOA ++++=
( vì ED = OF )

OEOAOCOBOFOEOA +++++= 2
22222
Do
2222
BCADCDAB +=+
nên 2.OA.OE + 2.OC.OE = 0 OE .( OA + OC ) = 0
Vì A C nên OA + OC 0 . Bởi vậy độ dài OE phải bằng 0, tức là E trùng với O.
Suy ra D trùng với F . Hay ACBD tại O.
Nh vậy , định lý đã đợc chứng minh .
Việc vận dụng định lý vào chứng minh hai đờng thẳng vuông góc nh sau:
Muốn chứng minh hai đờng thẳng AC và BD vuông góc với nhau ,
ta cần chứng minh: và ngợc lại.
Sau đây là một số bài tập đợc vận dụng định lý trên.
Bài toán 1 : Chứng minh rằng : Nếu tổng các bình phơng hai cạnh đối diện của một
tứ giác bằng tổng các bình phơng của hai đờng chéo thì hai cạnh đối diện còn lại của tứ
giác đó vuông góc với nhau và ngợc lại.
Lời giải :
Xét tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện AD và BC
cắt nhau tại O. Gọi D
1
và C
1
lần luợt là các điểm
đối xứng của D và C qua O. Khi đó ta có :

AC
1
= AC ; BD
1
= BD và C
1
D
1
= CD .
áp dụng định lý 1 , ta có : tứ giác ABD
1
C
1
có
AD
1
BC
1
AB
2
+ C
1
D
1
2
= AC
1
2
+ BD
1

2
Từ đó , suy ra : Tứ giác ABCD có
AD BC AB
2
+ CD
2
= AC
2
+ BD
2
Ngô Đức Minh GV THCS Ngô Gia Tự- Quận Hồng bàng 3
2 2 2 2
AB CD AD BC
+ = +
Chuyên đề : Vẻ đẹp của định lý 4 điểm
Bài toán 2 : Cho hình chữ nhật ABCD . Trên tia AD và BC lần lợt lấy hai điểm F và
E sao cho DF = CE = DC . Trên tia đối của tia CD lấy điểm H sao cho CH = CB.
Chứng minh rằng : AE FH.
Lời giải :
Đặt AB = x ; BC = y
Theo bài ra ta có : DF = CE = CD = x
CH = CB = y. Dễ thấy tứ giác CDFE là hình vuông
nên EF = x
Sử dụng định lý Pytago ta có :
( )
22222
EFDHADEFAH ++=+
=
( )
2

2
2
xyxy +++
2222
222 yxyxEFAH ++=+
(1)
( )
( ) ( )
22
2
222
2
22
xyxyCECHDFADHEAF +++=+++=+
2222
222 yxyxHEAF ++=+
(2)
Từ (1) và (2) suy ra :
2222
HEAFEFA H +=+
.
Theo định lý 4 điêm, ta có
FHAE
.
Bài toán 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm (O) đồng thời lại ngoại tiếp
một đờng tròn khác (O) . Có các điểm N, P, Q, M lần lợt với các cạnh AB, BC, CD, DA
của tứ giác đã cho.
Chứng minh rằng :
NQMP
.

Lời giải:
Gọi OAMN= H và OCPQ= E.
Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) nên
à
à
0
180A C+ =
. Tứ giác ABCD lại ngoại tiếp đờng tròn
(O) nên theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có
:

ã
à
ã
à
ã
ã
ã
ã
0
1 1
' ; '
2 2
' ' 90 ' '
O AM A O CQ C
O AM O CQ O AM CO Q
= =
+ = =
( Vì cùng phụ với
ã

'O CQ
)
Ngô Đức Minh GV THCS Ngô Gia Tự- Quận Hồng bàng 4
E
H
O'
O
B
C
A
D
M
P
M
Q
Chuyên đề : Vẻ đẹp của định lý 4 điểm

( )
'
' ' .
'
O M MA
O MA CQO g g
CQ QO
=:
Đặt MA = AN = x ; BN = BP = y ; CP = CQ = z ; DQ = DM = t ; OM = OQ = r.
Khi đó ta có :
2
r x
r x z

z r
= = ì
Tơng tự ta cũng có :
2
'
' '
'
O N NB r y
O NB DMO r y t
DM MO t r
= = = ì:
. Suy ra :
2
r x z y t= ì = ì
Do AM và AN là hai tiếp tuyến của đờng tròn (O) nên ta có OA MN tại M và H là
trung điểm của MN. áp dụng hệ thức lợng vào
'O MA

vuông tại M , có đờng cao MH đợc
:
( )
( )
2
2 2
2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
4
1 1 1 1 1 1 4
'

1
2
x x z
x r
MN MN
MH MA O M x r x r x x z
MN
ì
= + = + = =
+ + ì

ữ


( do r
2
= x.z ) . Suy ra :
2
2
4x z
MN
x z
ì
=
+
.
Hoàn toàn tơng tự , ta cũng có :
2 2 2
2 2 2
4 4 4

; ;
xz y t yt
PQ NP MQ
x z y t y t
= = =
+ + +
Suy ra:

( )
( )
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
4
4 4
4 4
4
4 4
4 4
xz x z
x z xz
MN PQ xz r
x z x z x z
yt y t
y t yt
NP MQ yt r
y t y t y t
+
+ = + = = =

+ + +
+
+ = + = = =
+ + +
( do r
2
= x.z = y.t )
Nh vậy tứ giác ABCD có :
2 2 2 2
MN PQ N P MQ+ = +
. Theo định lý 4 điểm thì MP NQ.
Bài toán 4 : Giả sử O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC . D là trung điểm của
cạnh AB, còn E là giao điểm của các đờng trung tuyến của tam giác ACD.
Chứng minh rằng : Nếu AB = AC thì OE vuông góc với CD
( Đề thi vô định nớc Anh Năm 1983 )
Lời giải :
Ngô Đức Minh GV THCS Ngô Gia Tự- Quận Hồng bàng 5
E
O
C
B
A
D
N
M
Chuyên đề : Vẻ đẹp của định lý 4 điểm
Gọi CE AB = M ; DE AC = N
Đặt BC = a , và AB = AC = b.
Theo giả thiết ta có E là trọng tâm của tam giác ACD . áp
dụng định lý về đờng trung tuyến , ta có :

2
2 2 2
2
2 2 2
2
2
2 2 2
2
2
2 2 2 2 2
1
2
2 4
2 4 2 4
1
3 5 2 9 4
2
2 4
2 2 4 2 16 36
CA CB AB
AB
CA
CA CD AD
CM
b a a
b
b
b a b b a
CE

+
+
ữ
+

= =

+
+
ữ
+ +


= = =
ữ

Suy ra :
2 2 2
1 1
4 9
CE b a= +

Do (O) là đờng tròn ngoại tiếp
ACB

mà D là trung điểm của AB nên OD AB
( quan hệ đờng kính và dây cung ). Theo định lý Pytago , ta có :

2
2 2 2 2 2 2 2 2

1
2
OB OD BD OD OB BD OD OC AB

= + = =
ữ

( vì OC = OB = R )

2
2 2 2 2
1 1
2 4
OD OC b OC b

= =
ữ

Vậy :
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
4 9 4 9
CE OD b a OC b OC a

+ = + + = +
ữ ữ

(1)
Dễ thấy ND là đờng trung bình của
ABC

nên

1 3 1
2 2 2
DN BC DE BC= =
( tính chất trọng tâm E )
2 2
1 1
3 9
DE a DE a = =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra :
2 2 2 2
CE OD OC DE+ = +

Theo định lý 4 điểm thì OE CD (đpcm)
Bài toán 5 : Cho tứ giác ABCD có
ã
ã
ã
0
90DAB ABC BCD= = >
.
Chứng minh rằng : đờng thẳng ơle của
ABC

đi qua D.
Ngô Đức Minh GV THCS Ngô Gia Tự- Quận Hồng bàng 6
Chuyên đề : Vẻ đẹp của định lý 4 điểm

Giải :
Gọi DACB=M, ABDC=N
Các đờng cao MM
1
, NN
1
của các tam
giác AMB và BNC cắt nhau tại O.
Do
ã
ã
ã
DAB ABC BCD= =
nên các tam giác
AMB , BNC đều là các tam giác cân tại M
và N . Do đó OM và ON lần lợt là các đ-
ờng trung trực của AB và BC. Từ đó suy ra
: O là tâm đờng tròn ngoại tiếp
ABC
.
Gọi H là trực tâm của tam giác
ABC
.
Vì
ã
0
90ABC >
nên H nằm ngoài
ABC
và

ta có HA BC tại B
1
và HC AB tại C
1
.
Nh vậy , ta sẽ có các tứ giác sau là các tứ
giác nội tiếp đợc ,đó là : AM
1
B
1
M,
AB
1
C
1
C, CN
1
C
1
N và MACN . Ta gọi I , J
lần lợt là trung điểm của MA và CN. Khi
đó I , J lần lợt là tâm các đờng tròn ngoại
tiếp tứ giác AM
1
B
1
M và CN
1
C
1

N.

áp dụng phơng tích của một đờng tròn ta sẽ có :
- Tứ giác AM
1
B
1
M nội tiếp đờng tròn (I) có :
2 2
1
HB HA HI IAì =
và
2 2
1
OM OM OI IAì =

- Tứ giác CN
1
C
1
N nội tiếp đờng tròn (J) có :
2 2
1
HC HC HJ JCì =
và
2 2
1
ON ON OJ JCì =
Do tứ giác AB
1

C
1
C nội tiếp đợc nên :
1 1
HC HC HB HAì = ì

Suy ra :
2 2 2 2 2 2 2 2
HI IA HJ JC HI HJ IA JC = =
(1)
Tơng tự Tứ giác MM
1
N
1
N nội tiếp đợc nên

2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
OM OM ON ON OI IA OJ JC OI OJ IA JCì = ì = =

Từ đó suy ra :
2 2 2 2 2 2 2 2
HI HJ OI OJ HI OJ OI HJ = + = +
.
Theo định lý 4 điểm thì OH IJ (2)
Mặt khác , do tứ giác MACN nội tiếp đợc nên: DA . DM = DC . DN
( DI IA ).( DI + IA ) = ( DJ JC ).( DJ JC )
( Lu ý : I, J lần lợt là trung điểm của MA và NC ).
Ngô Đức Minh GV THCS Ngô Gia Tự- Quận Hồng bàng 7
A

C1
N1
M1
B1
B
M
D
N
O
H
C
I
J
Chuyên đề : Vẻ đẹp của định lý 4 điểm

2 2 2 2 2 2 2 2
DI IA DJ JC DI DJ IA JC = =
(3)
Từ (1) và (3) suy ra :
2 2 2 2 2 2 2 2
HI HJ DI DJ HI DJ DI HJ = + = +

Theo định lý 4 điểm thì DH IJ (4). Từ (2) và (4) suy ra : H, O, D thẳng hàng.
Ta đã biết đờng thẳng ơ le của tam giác ABC đi qua trực tâm H ,trọng tâm G và tâm O của
đờng tròn ngoại tiếp . Do đó khẳng định đợc rằng :
Đờng thẳng ơ le của tam giác ABC đi qua D.

Qua 5 bài toán trên , một lần nữa khẳng định rằng : Định lý về dấu hiệu hai đờng
thẳng vuông góc đã giải quyết tốt một phần nào cho lớp bài toán thuộc dạng này .
Hơn nữa , nhận thấy rằng , nếu đặc biệt hoá một chút :

- Nếu D trùng với A thì nội dung định lý trên chính là nội dung định lý Pytago cho tam
giác vuông . Vì thế , định lý trên coi là sự mở rộng định lý Pytago cho tứ giác .
- Nếu D trùng với trực tâm H của tam giác ABC thì ta có :
H là trực tâm của tam giác ABC
2 2 2 2 2 2
HA BC HB AC HC AB + = + = +
- Vấn đề : D trùng với trực tâm H cho ta suy nghĩ về tứ giác ABCD có hai đờng chéo
vuông góc với nhau , không nhất thiết phải là tứ giác lồi .
Mong các bạn yêu toán , ứng dụng định lý trên nh là một phơng pháp giải quyết tốt
một lớp các bài toán chứng minh hai đờng thẳng vuông góc .

Chúc các bạn thành công. !
Ngô Đức Minh GV THCS Ngô Gia Tự- Quận Hồng bàng 8