skkn sử dụng lượng giác chứng minh một bất đẳng thức

I. Đặt vấn đề
Trong chơng trình toán ở trờng phổ thông việc chứng minh bất đẳng thức
là một vấn đề có thể nói là phức tạp nhất, nó rèn cho ngời làm toán trí thông
minh, sự sáng tạo, ngoài ra còn có cả sự khéo léo, mỗi kết quả của nó là một
công cụ sắc bén của toán học. Nhng để chứng minh bất đẳng thức thì không đơn
giản chút nào, nhất là đối với học sinh, các em tỏ ra lúng túng khi chọn cho mình
một công cụ để chứng minh hiệu quả nhất. Đã có rất nhiều tài liệu đa ra một số
phơng pháp rất tốt để chứng minh bất đẳng thức chẳng hạn:
- Phơng pháp sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
- Phơng pháp sử dụng tam thức bậc 2.
- Phơng pháp sử dụng những bất đẳng thức kinh điển.
- Phơng pháp sử dụng phản chứng.
- Phơng pháp sử dụng quy nạp.
- Phơng pháp sử dụng đạo hàm.
- Phơng pháp sử dụng hình học.
- Phơng pháp sử dụng hàm lồi.
Mặc dù vậy song vẫn là cha đủ bởi sáng tạo của mỗi ngời làm toán là vô
hạn. Chính vì vậy trong bài viết này tôi muốn đề cập về "Một số phơng pháp l-
ợng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số " nhằm trang bị thêm cho học sinh
một số công cụ hữu hiệu để chứng minh các bất đẳng thức đại số. Phơng pháp l-
ợng giác hoá đã đợc một số sách của các tác giả đề cập nh giáo s Phan Đức
Chính, giáo s Phan Huy Khải, phó tiến sĩ Vũ Thế Hựu viết. Nhng do cấu trúc
mục tiêu của các cuốn sách đó mà các tác giả đều không đi sâu vào phơng pháp
này hay nói cách khác là cha thật cụ thể hoá, hệ thống hoá nó.
1
II. giải quyết vấn đề
1. Các kiến thức cần nắm
1.1. Các hệ thức cơ bản
+
1sincos
22

=+
+ 1 + tg
2
=
)k
2
(
cos
1
2
+



+ tg . cotg = 1 (
2
k
) + 1 + cotg
2
=
)k(
sin
1
2


1.2. Công thức cộng góc
+ cos( ) = cos cos

sin sin

+ sin( ) = sin cos cos sin
+ tg ( ) =
)k
2
;(
tgtg1
tgtg
+





+ cotg( ) =


gcotgcot
1gcot.gcot

)k;(
1.3. Công thức nhân
+ sin2 = 2 sin cos
+ cos2 = cos
2
- sin
2
= 2cos
2
- 1 = 1 - 2sin
2

+ tg2 =
)
2
k
4
(
tg1
tg2
2

+




+ cotg2 =
)
2
k
(
gcot2
1gcot
2




+ sin3 = 3sin - 4sin
3

+ cos3 = 4cos
3
- 3cos
+ tg3 =
3
k
6
(
tg31
tgtg3
3
3

+




)
thức hạ bậc
+ cos
2
=
2
2cos1 +
+ sin
2
=
2

2cos1
+ tg
2
=
+

2cos1
2cos1

)k
2
( +


1.5. Công thức biến đổi tổng thành tích:
+ cos + cos = 2cos
2
cos
2
+
+ cos - cos = - 2sin
22

sin
+
+ sin + sin = 2sin
22

cos
+

2
+ sin - sin = = - 2cos
2
sin
2
+
+ tg tg =


cos.cos
)sin(

)k
2
;( +


1.6. Công thức biến đổi tích thành tổng:
+ cos.cos =
)]cos()[cos(
2
1
++
+ sin.sin =
)]cos()[cos(
2
1
++
+ sin.cos =
)]sin()[sin(

2
1
++
2. Nội dung của sáng kiến
Qua một quá trình nghiên cứu tham khảo bài toán chứng minh bất đẳng
thức bằng phơng pháp lợng giác ở nhiều sách đều đa ra các phơng pháp chứng
minh bất đẳng thức bằng phơng pháp lợng giác rất mơ hồ cha có hệ thống, cha
phân chia thành các dạng bài tập. Với các kiến thức về chứng minh bất đẳng thức
bằng phơng pháp lợng giác mà tôi đợc biết tôi đã phân chia thành 5 dạng bài tập
cơ bản mà tôi sẽ giới thiệu sau đây.
Trong mỗi dạng bài tập tôi đều đa ra phơng pháp chọn cách đặt để học
sinh nhanh chóng chuyển 1 vế của bất đẳng thức đại số phải chứng minh về biểu
thức lợng giác sau đó biến đổi để đánh giá bất đẳng thức lợng giác bằng các bất
đẳng thức lợng giác đơn giản nh:
2 2
| sin | 1;| cos | 1; sin 1; cos 1 ( *)
n n
n N


* Để học sinh nắm kiến thức một cách hệ thống tôi đã lập bảng một số
dấu hiệu nhận biết sau:( Giả sử các hàm số lợng giác sau đều có nghĩa)
Biểu thức đại số
Biểu thức lợng giác
tơng tự
Công thức lợng giác
1 + x
2
1 + tg
2

t 1+tg
2
t =
tcos
1
2
4x
3
- 3x 4cos
3
t - 3cost 4cos
3
t - 3cost = cos3t
2x
2
- 1 2cos
2
t - 1 2cos
2
t - 1 = cos2t
2
x1
x2

ttg1
tgt2
2

ttg1
tgt2

2

= tg2t
2
x1
x2
+
ttg1
tgt2
2
+
ttg1
tgt2
2
+
= sin2t
xy1
yx

+

+
tgtg1
tgtg

+
tgtg1
tgtg
= tg(+)
x

2
- 1
1
cos
1
2


1
cos
1
2


= tg
2


3
một số phơng pháp lợng giác để chứng minh
bất đẳng thức đại số
I. Dạng 1: Sử dụng hệ thức sin
2

+ cos
2

= 1
1) Ph ơng pháp:
a) Nếu thấy x

2
+ y
2
= 1 thì đặt



=
=
cosy
sinx
với [0, 2]
b) Nếu thấy x
2
+ y
2
= a
2
(a > 0) thì đặt



=
=
cosay
sinax
với [0, 2]
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn: a
2

+ b
2
= c
2
+ d
2
= 1
Chứng minh rằng:
2
S = a(c+d) + b(c-d)
2
Giải:
Đặt



=
=
ucosb
usina
và



=
=
vcosd
vsinc
S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv)
S = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v)

2)dc(b)dc(aS2]2,2[
4
)vu(sin2S
++=







+=
(đpcm)
VD2: Cho a
2
+ b
2
= 1. Chứng minh rằng:
2
25
b
1
b
a
1
a
2
2
2

2
2
2







++






+
Giải:
Đặt a = cos và b = sin với 0 2. Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

2
2
sin
1
sin
cos
1
cos
b
1
b
a
1
a







++







+=

++






+
= cos
4
+ sin
4
+
4
sin.cos
sincos
sincos4
sin
1
cos
1
44
44
44

44
+

+
++=+

+

=
( )
4
sin.cos
1
1sincos
44
44
+







++
=
( )
[ ]
4
sin.cos

1
1sincos2sincos
44
2222
+







++
=
2
25
4
2
17
4)161(
2
1
14
2sin
16
12sin
2
1
1
4

2
=+=++






+







+







(đpcm)
Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bớc nữa để xuất hiện a
2
+b
2
=1)

4
II. Dạng 2: Sử dụng tập giá trị
1|cos|;1|sin|
1. Ph ơng pháp :
a) Nếu thấy |x| 1 thì đặt
[ ]
sin ;
2 2
cos 0;
x khi
x khi





=





=

b) Nếu thấy |x| m (
0m

) thì đặt
[ ]
sin ;

2 2
cos 0;
x m khi
x m khi





=





=

2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng: (1+x)
p
+ (1-x)
p
2
p
|x| 1 ; P 1.
Giải:
Đặt x = cos với [0, ], khi đó (1 + x)
p
+ (1 - x)
p

= (1+cos)
p
+ (1-cos)
p
=
p22pp2p2p
p
2
p
2
2
2
sin
2
cos2
2
sin
2
cos2
2
sin2
2
cos2 =

+









+

=







+







(đpcm)
VD2: Chứng minh rằng:

23123223
22
++= aaaA
Giải:
Từ đk 1 - a
2
0 |a| 1 nên
Đặt a = cos với 0
2
a1
= sin. Khi đó ta có:
A=
++=+=+ 2sin)2cos1(3sincos2cos32a1a2a32
222
=
3
3
2sin232sin
2
1
2cos
2
3
2
+

+=+






+
2323 + A
(đpcm)
VD3: Chứng minh rằng: S =
(
)
(
)
21314
2332
+ aaa)a(
Giải:
Từ đk |a| 1 nên:
Đặt a = cos với [0, ]
2
a1
= sin. Khi đó biến đổi S ta có:
S=
)cos3cos4()sin4sin3()sin(cos3)cos(sin4
3333
+=+

=
2
4
3sin23cos3sin







+=+
(đpcm)
5
III. Dạng 3: Sử dụng công thức: 1+tg
2

=
1
cos
1
tg
cos
1
2
2
2


=

)k(
+


2
1) Ph ơng pháp:
a) Nếu |x| 1 hoặc bài toán có chứa biểu thức
1x
2

thì đặt x =
cos
1
với

2
3
,
2
;0
b) Nếu |x| m hoặc bài toán có chứa biểu thức
22
mx
thì đặt x =
cos
m
với















2
3

,
2
;0
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng A =
2
1 3
2 1
a
a
a
+

Giải:
Do |a| 1 nên :
Đặt a =
cos
1
với

2
3
,
2
;0

==
tgtg1a
22
. Khi đó:
A =
2
3
sin2cos3sincos)3tg(
a
31a
2








+=+=+=

+
(đpcm)
VD2: Chứng minh rằng: A =
ab
1b1a
22
+
1
; 1a b


Giải:
Do |a| 1; |b| 1 nên .
Đặt a =
cos
1
; b =
cos
1
với

2
3
,
2
;0
. Khi đó ta có:
A =
1)sin(cossincossincoscos)tgtg( +=+=+
(đpcm)
IV. Dạng 4: Sử dụng công thức 1+ tg
2

=

2
cos
1
1. Ph ơng pháp:
a) Nếu x R và bài toán chứa (1+x
2
) thì đặt x = tg với

2
,
2
b) Nếu x R và bài toán chứa (x
2
+m
2
) thì đặt x = mtg với








2
,
2
6
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng: S =
1
1
4
1

3
32
3
2

+

+ )x(
x
x
x
Giải:
Đặt x = tg với








2
,
2


=+
cos
x
1

1
2
, khi đó biến đổi S ta có:
S = |3tg.cos - 4tg
3
.cos
3
| = |3sin - 4sin
3
| = |sin3| 1 (đpcm)
VD2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =
22
42
)a21(
a12a83
+
++
Giải:
Đặt a
2
= tg với








22

,
thì ta có: A =
22
42
)tg1(
tg3tg43
+
++
=
+=
+
++
22222
222
4224
cossin2)cos(sin3
)sin(cos
sin3cossin4cos3
= 3 -
3
2
0
2
2
2sin
3A
2
1
3
2

5
2
2sin
22
=

==

Với

= 0 a = 0 thì MaxA = 3 ; Với

=
4

a =
2
1
thì MinA =
2
5
VD3: Chứng minh rằng:
2
1
)b1)(a1(
)ab1)(ba(
22

++
+

a, b R
Giải:
Đặt a = tg, b = tg. Khi đó
)tg)(tg(
)tgtg)(tgtg(
)b)(a(
)ab)(ba(
++
+
=
++
+
2222
11
1
11
1
=



+

cos.cos
sin.sincos.cos
.
cos.cos
)sin(
.coscos
22

=
[ ]
2
1
2
2
1
+=++ )(sin)cos()sin(
(đpcm)
VD4: Chứng minh rằng:
0d,c,b,a)1()db)(ca(cdab >+++
Giải:
7
(1)
1
d
b
1
a
c
1
ab
cd
d
b
1
a
c
1
1

1
)db)(ca(
cd
)db)(ca(
ab







+






+
+






+

+

++
+
++
Đặt tg
2
=
a
c
, tg
2
=
b
d
với ,







2
,0
Biến đổi bất đẳng thức

1sinsincoscos
)tg1)(tg1(
tg.tg
)tg1)(tg1(
1
2222
22
22
22
+=
++

+
++
cos cos + sin sin = cos(-) 1 đúng (đpcm)
Dấu bằng xảy ra cos(-) = 1 =
b
d
a
c
=
V. Dạng 5: Đổi biến số đa về bất đẳng thức tam giác
1) Ph ơng pháp:
a) Nếu



=+++
>

12
0
222
xyzzyx
z;y;x
thì





===



Ccosz;Bcosy;Acosx
)
2
;0(C;B;A
:ABC
b) Nếu



=++
>
xyzzyx
z;y;x 0
thì

===



tgCz;tgBy;tgAx
)
2
;0(C;B;A
:ABC
c) Nếu



=++
>
1zxyzxy
0z,y;x
thì

===






===



2
C
tgz;
2
B
tgy;
2
A
tgx
);0(C;B;A
gCcotz;gBcoty;gAcotx
)
2

;0(C;B;A
:ABC
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho x, y, z > 0 và zy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
S =
)zyx(3
z
1
y
1
x
1
++++
Giải:
Từ 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg
2

; y = tg
2

; z = tg
2

với , ,

2
,0
8
Do xy + yz + zx = 1 nªn tg
2
α
tg
2
β
+ tg
2
β
tg
2
γ
+ tg
2
γ
tg
2
α
= 1
⇔ tg
2
α







γ
+
β
2
tg
2
tg
= 1 -
2
tg
β
tg
2
γ
⇔
2
gcot
22
tg
2
tg
1
2
tg
2
tg1
2
tg

2
tg
α
=






γ
+
β
⇔
α
=
γβ
−
γ
+
β
⇔
π=γ+β+α⇔
π
=
γ+β+α
⇔
α
−
π

=
γ
+
β
⇔






α
+
π
=






γ
+
β
2222222222
tgtg
S =
)zyx(3
z
1

y
1
x
1
++−++
= cotg
2
α
+ cotg
2
β
+ cotg
2
γ
-3






γ
+
β
+
α
2
tg
2
tg

2
tg
S =






γ
+
β
+
α
−






γ
−
γ
+







β
−
β
+






α
−
α
222
2
222222
tgtgtgtggcottggcottggcot
S = 2(cotgα+cotgβ+cotgγ) -






γ
+
β
+
α

222
2 tgtgtg
S = (cotgα+cotgβ-2tg
2
γ
) + (cotgβ+cotgγ-2tg
2
α
) +(cotgα+cotgβ-2tg
2
β
)
§Ó ý r»ng: cotgα + cotgβ =
)cos()cos(
sin
sin.sin
sin
sin.sin
)sin(
β+α−β−α
γ
=
βα
γ
=
βα
β+α 2
2
2
≥

0
2
tg2gcotgcot
2
tg2
2
cos2
2
cos
2
sin4
cos1
sin2
)cos(1
sin2
2
≥
γ
−β+α⇒
γ
=
γ
γγ
=
γ+
γ
=
β+α−
γ
T ®ã suy ra S ≥ 0. Víi x = y = z =

3
1
th× MinS = 0
VD2: Cho



=++
>
1zyx
0z,y,x
. Chøng minh r»ng: S =
4
9
xyz
z
zxy
y
yzx
x
≤
+
+
+
+
+
Gi¶i:
§Æt
2
tg

x
yz α
=
;
2
tg
y
xz β
=
;
2
tg
z
xy γ
=
víi α, β, γ ∈






π
2
,0
Do
x
yz
.
z

xy
.
z
xy
.
y
zx
y
zx
.
x
yz
++
= x + y + z = 1
nªn tg
2
α
tg
2
β
+ tg
2
β
tg
2
γ
+ tg
2
γ
tg

2
α
= 1
9
tg







+

22
= cotg
2

tg







+

22
= tg

22

2

+
2

=
2

-
2


=++

=
++
22
S =
2

3
1
xyz
z2
1
zxy
y2
1
yzx
x2
2
1
xyz
z
zxy
y
yzx
x
+

+
+









+
+









+
=
+
+

+
+
+
=
2
3
z
xy
1
z
xy
1
y
zx
1
y
zx
1
x
yz
1
x
yz
1
2
1
2
3
xyz
xyz

zxy
zxy
yzx
yzx
2
1
+












+

+
+

+
+

=+

+

+
+

+


=
2
1
(cos + cos + cos) +
2
3
=
( )
[ ]
2
3
1
2
1
+++
)sinsincos(cos.coscos

( )
4
9
2
3
4
3
2
3
coscos)sin(sin
2
1
)1cos(cos
2
1
2
1
22
2
=+=+






++++
(đpcm)

III. kết luận và kiến nghị

Việc chứng minh bất đẳng thức đại số là một công việc rất khó khăn và
đòi hỏi ngời chứng minh phải sáng tạo khéo léo phải biết sử dụng tất cả các kiến
thức đã biết để chứng minh một bất đẳng thức. Trong giai đoạn hiện nay chúng
ta đang tập trung cho cải cách giáo dục, trong đó có một phần quan trọng là cải
tiến phơng pháp giảng dạy. Để phát huy tính tích cực của học sinh, việc tiếp thu
kiến thức mới và công việc giải toán thì ngời thầy giáo phải là ngời tiên phong
trong việc phát huy tính tích cực của mình để tìm ra những phơng pháp giải toán
mới, tìm ra những công cụ mới để ngày càng hoàn thiện hơn bản thân và cống
hiến cho những ngời làm toán những công cụ hữu hiệu để có thể đi sâu vào thế
giới của toán học.
Trên đây là ý kiến của tôi về một số phơng pháp lợng giác để giải các bất
đẳng thức đại số nhằm giúp cho ngời chứng minh bất đẳng thức có một phơng
pháp t duy về chứng minh bất đẳng thức đại số. Do kinh nghiệm cha có nhiều
nên bài viết của tôi không tránh khỏi khuyếm khuyết mặc dù tôi đã rất cố gắng
xắp xếp về mặt phơng pháp, lợng bài tập và cấu trúc của bài viết. Rất mong nhận
đợc sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để bài viết đợc tốt hơn.
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn!
Thanh hoa, ngày 10 tháng 05 năm 2010
10