chuyen de hinh hoc 12_On thi DH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
TỔ TOÁN - TIN
CHUYÊN ĐỀ
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN
Trần Anh Tuấn
Vĩnh Phúc, năm 2009-2010
Mục lục
1 Vectơ trong không gian 4
1.1 Tâm tỉ cự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Các vectơ đồng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Toạ độ của vectơ và điểm 5
2.1 Toạ độ của vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Toạ độ của điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ 6
3.1 Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1.1 Biểu thức toạ độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1.2 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Tích có hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2.3 ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Phương trình tổng quát 9
5 Phương trình tham số 9
6 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng 11
7 Chùm mặt phẳng 11
8 Khoảng cách 12
9 Phương trình tổng quát 14
10 Phương trình tham số và phương trình chính tắc 14
11 Vị trí tương đối của hai đường thẳng 16
11.1 Góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

11.2 Hai đường thẳng đồng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
11.3 Hai đường thẳng chéo nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng 18
13 Khoảng cách 22
13.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường t hẳng . . . . . . . . . . . . . . . 22
13.1.1 Cách xác định khoảng cách từ A đến d . . . . . . . . . . . . . . . . 23
13.1.2 Công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
13.2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
13.2.1 Cách xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau . . . . 23
13.2.2 Công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2
14 Một số vấn đề về điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian 25
14.1 Hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên mặt phẳng . . . . . . . . . . . 25
14.2 Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 25
14.3 Hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . 27
3
Phương p háp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn
1 Vectơ trong không gian
Khái niệm vectơ và các phép toán vectơ trong không gian được định nghĩa hoà n toàn
giống như trong mặt phẳng. Vì vậy, các phép toán vectơ t rong không gian cũng có các
tính chất như trong mặt phẳng.
1.1 Tâm tỉ cự
Cho n điểm A
1
, A
2
, . . . , A
n
và n số a
1

, a
2
, . . . , a
n
sao cho a = a
1
+ a
2
+ ···+ a
n
= 0. Khi
đó tồn tại duy nhất điểm G sao cho
a
1
−−→
GA
1
+ a
2
−−→
GA
2
+ ··· + a
n
−−→
GA
n
=
−→
0 . (*)

Thật vậy, lấy một điểm O cố định ta có
(∗) ⇔ a
1
(
−−→
OA
1
−
−→
OG) + a
2
(
−−→
OA
2
−
−→
OG) + ···+ a
n
(
−−→
OA
n
−
−→
OG) =
−→
0
⇔ (a
1

+ a
2
+ ···+ a
n
)
−→
OG = a
1
−−→
OA
1
+ a
2
−−→
OA
2
+ ···+ a
n
−−→
OA
n
⇔
−→
OG =
1
a
(a
1
−−→
OA

1
+ a
2
−−→
OA
2
+ ···+ a
n
−−→
OA
n
).
Điểm G được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm A
1
, A
2
, . . . , A
n
gắn với hệ số a
1
, a
2
, . . . , a
n
. Đặc
biệt, khi a
1
= a
2
= ··· = a

n
= 1, tồn tại duy nhất điểm G sao cho
−−→
GA
1
+
−−→
GA
2
+···+
−−→
GA
n
=
−→
0 và G được gọi là t rọng tâm của hệ điểm A
1
, A
2
, . . . , A
n
.
Ví dụ 1. Trong một tứ diện, ba đoạn thẳng nối các trung điểm của ba cặp cạnh đối diện
đồng quy tại trung điểm của mỗi đoạ n. Điểm đồng quy đó được gọi là trọng tâm của tứ
diện.
a) Chứng minh rằng G là tr ọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi
−→
GA +
−−→
GB +

−→
GC +
−−→
GD =
−→
0 .
b) Cho tứ diện ABCD và một số dương k. Tìm quỹ tích các điểm M thoả mãn
|
−−→
MA +
−−→
MB +
−−→
MC +
−−→
MD| = k.
1.2 Các vectơ đồng phẳng
Định nghĩa. Ba vectơ được gọi l à đồng ph ẳng nếu ba đ ườn g thẳng chứa chúng cùng song
song với một mặt phẳng.
Định lí 1. Cho ba vectơ
−→
a ,
−→
b và
−→
c , trong đó
−→
a và
−→
b không cùng phương. Ta có ba

vectơ
−→
a ,
−→
b ,
−→
c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại k và l sao cho
−→
c = k
−→
a + l
−→
b .
Định lí 2. Nếu ba vectơ
−→
a ,
−→
b và
−→
c không đồng phẳng thì với mọi v ectơ
−→
v , tồn tại duy
nhất bộ ba số k, l, m sao cho
−→
v = k
−→
a + l
−→
b + m
−→

c .
Hệ quả. Nếu ba vectơ
−→
a ,
−→
b và
−→
c không đồng phẳng thì
k
−→
a + l
−→
b + m
−→
c =
−→
0 ⇔ k = l = m = 0.
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 4
Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn
Chú ý. i) A, B, C thẳng hàng ⇔
−→
AB và
−→
AC cùng phương ⇔ ∃k :
−→
AB = k
−→
AC.
B nằm giữa A và C ⇔ ∃k ∈ [0; 1] :
−→

AB = k
−→
AC.
ii) A, B, C, D đồng phẳng ⇔
−→
AB,
−→
AC,
−−→
AD đồng phẳng.
Ví dụ 2. Cho góc tam diện Oxyz. Xét các đường phân giác trong và phân giác ngoài của
ba góc xOy, yOz, zOx. Chứng minh rằng
a) Ba đường phân g iá c ngoài nằm trên một mặt phẳng;
b) Hai đường phân giác trong và một đường phân giác ngoài nằm trên một mặt phẳng.
Ví dụ 3. Cho hình lập phương ABCD.A

B

C

D

. Hai điểm M và N lần lượt nằm trên
hai cạnh B

C

và CD sao cho B

M = CN. Chứng minh rằng

a) AC

⊥ A

B;
b) AM ⊥ BN.
Bài tập
Bài 1. Tìm quỹ tích các điểm M trong không gian sao cho
k
1
MA
2
1
+ k
2
MA
2
2
+ ···+ k
n
MA
2
n
= k
với k
1
, k
2
, . . . , k
n

và k là những số cho trước.
Bài 2. Cho hai vectơ
−→
AB =
−→
u và
−−→
CD =
−→
v . Gọi C

và D

là hình chiếu của C và D trên
AB. Vectơ
−→
v

=
−−→
C

D

được g ọ i là hình hciếu của vectơ
−→
v trên đường thẳng AB. Chứng
minh rằng
−→
u .

−→
v =
−→
u .
−→
v

.
Bài 3. Cho M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ diện ABCD. Lấy
P trên BC sao cho BP = kP C (k cho trước). Tìm Q trên cạnh AD sao cho M, N, P, Q
đồng phẳng.
Bài 4. Cho hình chóp SABC có SA = a, SB = b, SC = c,

ASB = α,

BSC = β,

CSA = γ
và G là trọng tâm của ∆ABC. Tính SG.
Bài 5. Cho hình lập phương ABCD.A

B

C

D

. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB, B


C

, DD

.
a) Chứng minh rằng A

C ⊥ (MNP );
b) Tìm cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng M P và AC

.
Bài 6. Cho I là trung điểm của đường cao AH của tứ diện đều ABCD, K là hình chiếu
của I trên AD và G là trọng tâm của ∆ABC. Chứng minh rằng G, I và K thẳng hàng.
2 Toạ độ của vectơ và điểm
Trong không gian, cho ba trục x

Ox, y

Oy, z

Oz đôi một vuông góc với nhau và
−→
i ,
−→
j ,
−→
k
là các vectơ đơn vị tương ứng trên mỗi trục. Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ toạ độ
Descartes (Đề - các) vuông góc Oxyz hay hệ toạ độ Oxyz. Điểm O được gọi là gốc toạ
độ; các trục Ox, Oy, Oz lần lượt được gọi là trục hoành, trục tung và trục cao; các mặt

phẳng Oxy, Oyz, Ozx đôi một vuông góc được gọi là các mặt phẳng toạ độ.
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 5
Phương p háp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn
2.1 Toạ độ của vectơ
Với mọi vectơ
−→
v , tồn tại duy nhất bộ ba số (x; y; z) sao cho
−→
v = x
−→
i + y
−→
j + z
−→
k . Bộ ba
số (x; y; z) được gọi là toạ độ của
−→
v , kí hiệu là
−→
v (x; y; z) hay
−→
v = (x; y; z).
Cho hai vectơ
−→
a (x
1
; y
1
; z
1

) và
−→
b (x
2
; y
2
; z
2
). Ta có:
♥
−→
a ±
−→
b = (x
1
± x
2
; y
1
± y
2
; z
1
± z
2
);
♥ k
−→
a = (kx
1

; ky
1
; kz
1
), k ∈ R.
Chú ý.
♥
−→
a =
−→
b ⇔ x
1
= x
2
, y
1
= y
2
, z
1
= z
2
.
♥
−→
0 = (0; 0; 0).
♥
−→
a và
−→

b cùng phương ⇔ ∃k : x
1
= kx
2
, y
1
= ky
2
, z
1
= kz
2
⇔




y
1
z
1
y
2
z
2




=





z
1
x
1
z
2
x
2




=




x
1
y
1
x
2
y
2





= 0.
2.2 Toạ độ của điểm
Với một điểm M trong hệ toạ độ Oxyz, toạ độ của vectơ
−−→
OM cũng được gọ i là toạ độ của
điểm M. Như vậy, nếu
−−→
OM = x
−→
i + y
−→
j + z
−→
k hay
−−→
OM = (x; y; z) thì bộ ba số (x; y; z )
được gọi là toạ độ của điểm M, kí hiệu là M(x; y; z) hay M = (x; y; z).
Cho A = (x
A
; y
A
; z
A
) và B = (x
B
; y
B

; z
B
). Ta có:
♥
−→
AB = (x
B
− x
A
; y
B
− y
A
; z
B
− z
A
);
♥
−−→
MA = k
−−→
MB ⇔














x
M
=
x
A
− kx
B
1 − k
,
y
M
=
y
A
− ky
B
1 − k
,
z
M
=
z
A
− kz

B
1 − k
(k = 1).
Đặc biệt, khi k = −1 ta có: M là trung điểm của AB ⇔









x
M
=
x
A
+ x
B
2
,
y
M
=
y
A
+ y
B
2

,
z
M
=
z
A
+ z
B
2
.
3 Tích vô hướng và tích c ó hướng của hai vectơ
Cho hai vectơ
−→
a = (x
1
; y
1
; z
1
) và
−→
b = (x
2
; y
2
; z
2
).
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 6
Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn

3.1 Tích vô hướng
3.1.1 Biểu thức toạ độ
−→
a
−→
b = x
1
x
2
+ y
1
y
2
+ z
1
z
2
.
3.1.2 Ứng dụng
♥ |
−→
a | =
√
−→
a
2
=

x
2

1
+ y
2
1
+ z
2
1
.
♥ cos(
−→
a ,
−→
b ) =
−→
a .
−→
b
|
−→
a |.



−→
b



=
x

1
x
2
+ y
1
y
2
+ z
1
z
2

x
2
1
+ y
2
1
+ z
2
1

x
2
2
+ y
2
2
+ z
2

2
.
Hệ quả.
−→
a ⊥
−→
b ⇔
−→
a .
−→
b = 0 ⇔ x
1
x
2
+ y
1
y
2
+ z
1
z
2
= 0.
♥ Nếu A = (x
A
; y
A
; z
A
) và B = (x

B
; y
B
; z
B
) thì
AB =



−→
AB



=

(x
B
− x
A
)
2
+ (y
B
− y
A
)
2
+ (z

B
− z
A
)
2
.
Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A

B

C

D

cạnh a. Các điểm P và Q được xác định
bởi
−→
AP = −
−−→
AD

và
−−→
C

Q = −
−−→
C

D.

a) Chứng minh đường thẳng P Q đi qua trung điểm của BB

.
b) Tính độ dài đoạ n PQ.
3.2 Tích có hướng
3.2.1 Định nghĩa
Tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ
−→
a = (x
1
; y
1
; z
1
) và
−→
b = (x
2
; y
2
; z
2
) là vectơ
[
−→
a ,
−→
b ] =
−→
a ∧

−→
b =





y
1
z
1
y
2
z
2




;




z
1
x
1
z
2

x
2




;




x
1
y
1
x
2
y
2





= (y
1
z
2
− y
2

z
1
; z
1
x
2
− z
2
x
1
; x
1
y
2
− x
2
y
1
).
3.2.2 Tính chất
♥
−→
a và
−→
b cùng phương ⇔ [
−→
a ,
−→
b ] =
−→

0 .
♥ [
−→
a ,
−→
b ] ⊥
−→
a , [
−→
a ,
−→
b ] ⊥
−→
b .
♥



[
−→
a ,
−→
b ]



= |
−→
a |.




−→
b



. sin(
−→
a ,
−→
b ).
♥ [
−→
a ,
−→
b ] = −[
−→
b ,
−→
a ].
♥ [
−→
a +
−→
b ,
−→
c ] = [
−→
a ,

−→
c ] + [
−→
b ,
−→
c ]; [
−→
a ,
−→
b +
−→
c ] = [
−→
a ,
−→
b ] + [
−→
a ,
−→
c ].
♥ [k
−→
a ,
−→
b ] = [
−→
a , k
−→
b ] = k[
−→

a ,
−→
b ] (k ∈ R).
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 7
Phương p háp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn
3.2.3 ứng dụng
♥ Hình bình hành ABCD có diện tích S
ABCD
=



[
−→
AB,
−−→
AD]



.
♥ Tam giác ABC có diện tích S
ABC
=
1
2



[

−→
AB,
−→
AC]



.
♥ Ba vectơ
−→
a ,
−→
b và
−→
c đồng phẳng ⇔ [
−→
a ,
−→
b ].
−→
c = 0.
♥ Hình hộp ABCD.A

B

C

D

có thể tích V

ABCD.A

B

C

D

=



[
−→
AB,
−−→
AD].
−−→
AA




.
♥ Tứ diện ABCD có thể tích V
ABCD
=
1
6




[
−→
AB,
−→
AC].
−−→
AD



.
Ví dụ 5. Cho ba điểm A(1; 3; −2), B(5; −3; 7) và C(−1; 0; 1).
a) Chứng minh A, B và C là ba đỉnh của một tam giác.
b) Tính diện tích và độ dài đường cao kẻ từ A của ∆ABC.
Bài tập
Bài 7. Cho hình chóp SABC với đáy ABC là một tam giác vuông ở C, BC = a, AC =
b, SA = h và SA ⊥ (ABC). Gọi M và N là trung điểm của các cạnh AC và SB.
a) Tính độ dài đoạn MN.
b) Tìm hệ thức giữa a, b và h để MN vuông g óc với AC và SB.
Bài 8. Cho ba điểm A(0; 4; 1), B(5; −10; 3) và C(−1; 2; 3 ).
a) Chứng minh A, B và C là ba đỉnh của một tam giác.
b) Xác định điểm D để tứ giác ABCD là một hình bình hành.
c) Tính chu vi và diện tích ∆ABC.
d) Tính độ dài đường cao, đường trung tuyến và đường phân g iác tro ng kẻ từ A của
∆ABC.
Bài 9. Cho hình hộp ABCD.A

B


C

D

với A(−1; 1; 2), B(1; 0; 1), D(−1; 1; 0) và
A

(2; −1; −2).
a) Tính thể tích hình hộp đã cho.
b) Tính độ dài đường cao AH của hình hộp đó.
Bài 10. Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(−2; 1; −1).
a) Chứng minh A, B, C và D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tính các góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của t ứ diện ABCD.
c) Tính thể tích và độ dài đường cao kẻ từ A của tứ diện ABCD.
apter Mặt phẳng trong không gian
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 8
Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn
4 Phương trình tổng quát
Mặt phẳng đi qua điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) nhận
−→
n (A; B; C) =
−→
0 làm vectơ pháp tuyến có

phương trình là
A(x − x
0
) + B(y − y
0
) + C(z −z
0
) = 0.
Mặt phẳng trong không gian Oxyz có phương trình tổng quát là
Ax + By + Cz + D = 0 (A
2
+ B
2
+ C
2
= 0).
Mặt phẳng này nhận
−→
n (A; B; C) làm vectơ pháp tuyến.
Một mặt phẳng cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)
với abc = 0 khi và chỉ khi nó có phương trình theo đoạn chắn là
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1.

Ví dụ 1. Cho điểm M trong góc tam diện vuông Oxyz. Xác định mặt phẳng qua M cắt
góc tam diện theo một tứ diện có thể tích nhỏ nhất.
Hướng dẫn. Ta coi góc tam diện vuông Oxyz là một hệ toạ độ Descartes vuông góc. Giả
sử M có toạ độ M(x
0
; y
0
; z
0
). Xét mặt phẳng α qua M cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C
với OA = a, OB = b, OC = c
5 Phương trình tham số
Cặp (
−→
u ,
−→
v ) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng α nếu chúng không cùng
phương và các đường thẳng chứa chúng song song hoặc nằm trên α.
Mặt phẳng α đi qua điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) nhận
−→
u (a
1
; b
1

; c
1
) và
−→
v (a
2
; b
2
; c
2
) làm cặp vectơ
chỉ phương có phương t rình tham số là





x = x
0
+ a
1
t
1
+ a
2
t
2
,
y = y
0

+ b
1
t
1
+ b
2
t
2
,
z = z
0
+ c
1
t
1
+ c
2
t
2
(t
1
, t
2
∈ R).
Khi đó α nhận
−→
n = [
−→
u ,
−→

v ] =





b
1
c
1
b
2
c
2




;




c
1
a
1
c
2
a

2




;




a
1
b
1
a
2
b
2





làm vectơ pháp tuyến nên có
phương trình tổng quát là




b

1
c
1
b
2
c
2




(x − x
0
) +




c
1
a
1
c
2
a
2





(y − y
0
) +




a
1
b
1
a
2
b
2




(z − z
0
) = 0.
Chú ý.
Phương trình mặt phẳng α hoàn toàn được xác định nếu biết:
(i) M(x
0
; y
0
; z
0

) ∈ α và vectơ pháp tuyến
−→
n (A; B; C).
α : A(x − x
0
) + B(y − y
0
) + C(z − z
0
) = 0.
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 9
Phương p háp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn
(ii) M(x
0
; y
0
; z
0
) ∈ α và cặp vectơ chỉ phương
−→
u (a
1
; b
1
; c
1
),
−→
v (a
2

; b
2
; c
2
).
α :




b
1
c
1
b
2
c
2




(x − x
0
) +




c

1
a
1
c
2
a
2




(y − y
0
) +




a
1
b
1
a
2
b
2





(z − z
0
) = 0.
(iii) A(x
1
; y
1
; z
1
), B(x
2
; y
2
; z
2
) ∈ α và
−→
u (a; b; c)  α. Khi đó α đi qua A(x
1
; y
1
; z
1
) và nhận
−→
u (a; b; c),
−→
AB(x
2
− x

1
; y
2
− y
1
; z
2
− z
1
) làm cặp vectơ chỉ phương.
(iv) A(x
1
; y
1
; z
1
), B(x
2
; y
2
; z
2
), C(x
3
; y
3
; z
3
) ∈ α. Khi đó α đi qua A(x
1

; y
1
; z
1
) và nhận
−→
AB,
−→
AC làm cặp vectơ chỉ phương.
Chuyển phương trình tổng quát của mặt phẳng sang phương trình
tham số
Giả sử mặt phẳng α có phương trình tổng quát là
Ax + By + Cz + D = 0 (A
2
+ B
2
+ C
2
= 0).
♥ Cách 1: Xác định ba điểm A, B, C ∈ α rồi sử dụng chú ý (iv).
♥ Cách 2: Đặt x = f(t
1
), y = g(t
2
) rồi từ phương trình tổng quát của α rút ra
z = h(t
1
, t
2
) (Chọn 2 toạ độ và chọn cách đặt một cách thích hợp).

Chuyển phương t rình tham số của mặt phẳng sang phương trình
tổng quát
Giả sử mặt phẳng α có phương trình tham số là





x = x
0
+ a
1
t
1
+ a
2
t
2
,
y = y
0
+ b
1
t
1
+ b
2
t
2
,

z = z
0
+ c
1
t
1
+ c
2
t
2
(t
1
, t
2
∈ R) .
♥ Cách 1: Khử các tham số t
1
và t
2
từ các phương trình tr ên.
♥ Cách 2: Mặt phẳng α đi qua điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) và có cặp vectơ chỉ
phương
−→
u (a

1
; b
1
; c
1
),
−→
v (a
2
; b
2
; c
2
) nên có vectơ pháp tuyến
−→
n = [
−→
u ,
−→
v ] =





b
1
c
1
b

2
c
2




;




c
1
a
1
c
2
a
2




;




a

1
b
1
a
2
b
2





, và do đó có phương t rình tổng quát là




b
1
c
1
b
2
c
2




(x − x

0
) +




c
1
a
1
c
2
a
2




(y − y
0
) +




a
1
b
1
a

2
b
2




(z − z
0
) = 0.
Ví dụ 2. Cho A(1; 3; 2) và B(3; −1; 4).
a) Viết phương trình mặt phẳng trung trực α của AB.
b) Viết phương trình mặt phẳng qua A, vuông góc với α và vuông góc với mặt phẳng
(Oyz).
c) Viết phương trình mặt phẳng qua A và song song với α.
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 10
Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn
6 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng
α
1
: A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0,

α
2
: A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
với các vectơ pháp tuyến tương ứng là
−→
n
1
(A
1
; B
1
; C
1
),
−→
n
2
(A
2
; B
2
; C

2
). Khi đó ta có:
♥ Góc giữa hai mặt phẳng α
1
và α
2
được tính theo công thức
cos(α
1
, α
2
) = |cos(
−→
n
1
,
−→
n
2
)| =
|
−→
n
1
−→
n
2
|
|
−→

n
1
||
−→
n
2
|
=
|A
1
A
2
+ B
1
B
2
+ C
1
C
2
|

A
2
1
+ B
2
1
+ C
2

1

A
2
2
+ B
2
2
+ C
2
2
.
♥ α
1
 α
2
⇔

−→
n
1
= k
−→
n
2
,
D
1
= kD
2

⇔
A
1
A
2
=
B
1
B
2
=
C
1
C
2
=
D
1
D
2
.
♥ α
1
≡ α
2
⇔

−→
n
1

= k
−→
n
2
,
D
1
= kD
2
⇔
A
1
A
2
=
B
1
B
2
=
C
1
C
2
=
D
1
D
2
.

♥ α
1
cắt α
2
⇔
−→
n
1
và
−→
n
2
không cùng phương ⇔ A
1
: B
1
: C
1
= A
2
: B
2
: C
2
.
♥ α
1
⊥ α
2
⇔

−→
n
1
⊥
−→
n
2
⇔
−→
n
1
−→
n
2
= 0 ⇔ A
1
A
2
+ B
1
B
2
+ C
1
C
2
= 0.
Ví dụ 3. Cho hai mặt phẳng có phương trình 3x −my + 2z + m −6 = 0 và (5m + 1 )x −
2y + (m + 3)z −10 = 0. Tìm m để hai mặt phẳng đó:
a) Song song với nhau;

b) Trùng nhau;
c) Cắt nhau;
d) Vuông góc với nhau.
7 Chùm mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng α
1
và α
2
cắt nhau theo giao tuyến d. Tập hợp các mặt phẳng đi qua
đường thẳng d được gọi là chùm mặt phẳng xác định bởi α
1
và α
2
hay chùm mặt phẳng
xác định bởi đường thẳng d.
Nếu α
1
và α
2
lần lượt có phương trình
α
1
: A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1

= 0,
α
2
: A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
thì mỗi mặt phẳng β của chùm xác định bởi α
1
và α
2
đều có phương trình dạng
m(A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
) + n(A
2
x + B
2
y + C

2
z + D
2
) = 0 (m
2
+ n
2
= 0).
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 11
Phương p háp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn
Nếu β ≡ α
1
thì có t hể viết phương trình của β dưới dạng
m(A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
) + (A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
) = 0.

Nếu β ≡ α
2
thì có t hể viết phương trình của β dưới dạng
(A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
) + n(A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
) = 0.
Ví dụ 4. Cho hai mặt phẳng α
1
: x + 5y + z − 1 = 0 và α
2
: 2x − y + 3z + 2 = 0 .
a) Chứng minh rằng α
1
cắt α
2
theo giao tuyến d.

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(3; 1; 2) và d.
c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và song song với mặt phẳng x−6y+2z+15 = 0.
d) Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Oxy).
8 Khoảng cách
Khoảng cách từ điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng α : Ax + By + Cz + D = 0 được
tính theo công thức
d(M, α) =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì
trên một mặt phẳng đến mặt phẳng còn lại. Từ đó ta có khoảng cách giữa hai mặt phẳng

α
1
: Ax + By + Cz + D
1
= 0 và α
2
: Ax + By + Cz + D
2
= 0 là
d(α
1
, α
2
) =
|D
1
− D
2
|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
Quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng α
1
: A

1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0 và
α
2
: A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0 là tập các điểm M (x; y; z) thoả mãn
|A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
|

A

2
1
+ B
2
1
+ C
2
1
=
|A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
|

A
2
2
+ B
2
2
+ C
2
2
⇔
A

1
x + B
1
y + C
1
z + D
1

A
2
1
+ B
2
1
+ C
2
1
= ±
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2

A
2
2

+ B
2
2
+ C
2
2
Nếu α
1
cắt α
2
thì quỹ tích là hai mặt phẳng vuông góc với nhau và đó là hai mặt phân
giác của các góc nhị diện tạo bởi hai mặt phẳng α
1
và α
2
.
Nếu α
1
 α
2
thì α
1
và α
2
lần lượt có phương trình dạng Ax + By + Cz + D
1
= 0 và
Ax + By + Cz + D
2
= 0. Khi đó quỹ tích là mặt phẳng Ax + By + Cz +

D
1
+ D
2
2
= 0.
Ví dụ 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và đường cao kẻ từ S
bằng h. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABI) với I là trung điểm của cạnh SC.
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 12
Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn
Hướng dẫn. Từ giả thiết ta có đáy ABCD là một hình vuông; chân đường cao kẻ từ
S là tâm O của đáy và OA = OB = OC = OD =
a
√
2
2
, OS = h. Vì vậy, ta có thể
chọn hệ toạ độ Oxyz sao cho O(0; 0; 0), A(
a
√
2
2
; 0; 0), B(0;
a
√
2
2
; 0) và S(0; 0; h). Khi đó
có C(−
a

√
2
2
; 0; 0) và I(−
a
√
2
4
; 0;
h
2
). Tiếp theo, viết phương trình mặt phẳng (ABI) ta sẽ
tính được khoảng cách từ S đến nó.
Bài tập
Bài 1. Cho tứ diện ABCD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4) và D(4; 0; 6).
a) Viết phương trình các mặt phẳng (ABC), (BCD), (CDA) và (DAB).
b) Tính độ dài các đường cao của tứ diện.
c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (BCD).
d) Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và chắn trên ba t rục toạ độ các đoạn thẳng
có độ dài bằng nhau.
e) Tìm tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh A, B và C.
f) Viết phương trình mặt phẳng α đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD.
g) Viết phương trình mặt phẳng β đi qua cạnh AD và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
h) Viết phương trình mặt phẳng đi qua E(1; 1; 1) và vuông góc với hai mặt phẳng α, β.
Bài 2. Xác định các giá trị của a và b để ba mặt phẳng sau cùng đi qua một đường thẳng
x − 7y + 3z − 3 = 0 ,
2x + 9y − z − 5 = 0 ,
4x − ay + 5z + b = 0.
Bài 3. Viết phương trình các mặt phẳng
a) Đi qua điểm M(1; 8; 3) và trục Ox;

b) Đi qua trục Ox và vuông góc với mặt phẳng 7x − 4y + 8z − 9 = 0;
c) Đi qua hai điểm A(3; 0; 0) và B(0; 1; 0) và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc bằng
30
0
.
Bài 4. Cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c) với a, b, c > 0.
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Xác định toạ độ hình chiếu H của O trên mặt phẳng (ABC) và tính OH.
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 13
Phương p háp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn
c) Giả sử a, b, c thay đổi thoả mãn a
2
+ b
2
+ c
2
= k
2
không đổi. Hỏi khi nào diện tích
∆ABC đạt giá trị lớn nhất? Chứng minh rằng khi đó OH cũng lớn nhất.
Bài 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác đều OAB cạnh a nằm trong
mặt phẳng (Oxy) có AB  Oy và A thuộc góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng (O xy).
Xét điểm S(0; 0;
a
3
).
a) Xác định toạ độ các điểm A, B và trung điểm E của OA. Viết phương trình mặt
phẳng α đi qua SE và song song Ox.
b) Tính khoảng cách từ O đến α. Từ đó suy ra khoảng cách giữa SE và Ox.
Bài 6. Cho tứ diện ABCD có A(2; 3; 2), B(6; −1; −2), C(−1; −4; 3) và D(1; 6; −5).

a) Chứng minh đường thẳng AB thuộc mặt phẳng trung trực của đoạ n CD.
b) Tìm điểm M trên đường thẳng CD sao cho chu vi ∆MAB nhỏ nhất.
Bài 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A

B

C

D

có A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0) và
A

(0; 0; b) (a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm của cạnh CC

.
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA

M theo a và b.
b) Xác định tỉ số
a
b
để hai mặt phẳng (A

BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
apter Đường thẳng trong không gian
9 Phương trình tổng quát
Một đường thẳng d trong không gian có thể xem là giao tuyến của hai mặt phẳng α
1
và

α
2
nào đó nên d có phương trình tổng quát dạng
d :

A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0 (α
1
),
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0 (α
2
)
với A
1
+ B

1
+ C
1
= 0, A
2
+ B
2
+ C
2
= 0 và A
1
: B
1
: C
1
= A
2
: B
2
: C
2
.
Nhận xét.
Phương trình tổng quát của một đường thẳng có thể có nhiều cách biểu thị
khác nhau.
10 Phương trình tham số và phương trình chính tắc
Đường thẳng đi qua điểm M(x
0
; y
0

; z
0
) và nhận
−→
u (a; b; c) =
−→
0 làm vectơ chỉ phương có
♥ phương trình tham số là





x = x
0
+ at,
y = y
0
+ bt,
z = z
0
+ ct
(t ∈ R);
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 14
Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn
♥ phương trình chính tắc là
x − x
0
a
=

y − y
0
b
=
z − z
0
c
(Quy ước: Nếu mẫu số bằng không thì tử số cũng bằng không).
Chuyển phương trình tổng quát của đường thẳng sang phương trình tham số và phương
trình chính tắc
Giả sử đường thẳng d có phương trình tổng quát là

A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0,
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0.

♥ Cách 1: Hai mặt phẳng xác định d lần lượt nhận
−→
n
1
(A
1
; B
1
; C
1
) và
−→
n
2
(A
2
; B
2
; C
2
)
làm vectơ pháp tuyến nên d nhận
−→
u = [
−→
n
1
,
−→
n

2
] làm vectơ chỉ phương. Xác định một
điểm M ∈ d (thông thường, cho x hoặc y hoặc z bằng 0) ta được phương trình tham
số và phương trình chính tắc của d.
♥ Cách 2: Xác định hai điểm A, B ∈ d ta được d là đường thẳng đi qua A và nhận
−→
AB làm vectơ chỉ phương.
♥ Cách 3 (Chỉ dùng khi chuyển sang phương trình tham số): Đặt x = f (t) rồi từ
phương trình tổng quát của d rút ra y = g(t) và z = h(t) (Chọn toạ độ và cách đặt
một cách thích hợp).
Ví dụ 1. Cho đường thẳng d có phương trình

2x + 3y + 5z − 1 = 0,
2x + y − z − 3 = 0.
Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của d.
Chuyển phương trình tham số (phương trình chính tắc) của đường
thẳng sang phương trìn h tổng quá t
Giả sử đường thẳng d có phương trình tham số:





x = x
0
+ at (1),
y = y
0
+ bt (2),
z = z

0
+ ct (3).
(I)
hoặc phương trình chính tắc:
x − x
0
a
=
y −y
0
b
=
z − z
0
c
. (II)
Khi đó, từ (1 ) và (2) của (I) hoặc từ đẳng thức thứ nhất của (II) suy ra A
1
x+B
1
y+D
1
= 0.
Từ (2) và (3) của (I) hoặc từ đẳng thức thứ hai của (II) suy ra B
2
y + C
2
z + D
2
= 0. Ta

được phương trình tổng quát của d là

A
1
x + B
1
y + D
1
= 0,
B
2
y + C
2
z + D
2
= 0.
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 15
Phương p háp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn
11 Vị tr í tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
d
1
:
x − x
1
a
1
=
y −y
1

b
1
=
z − z
1
c
1
,
d
2
:
x − x
2
a
2
=
y − y
2
b
2
=
z − z
2
c
2
lần lượt đi qua các điểm M
1
(x
1
; y

1
; z
1
), M
2
(x
2
; y
2
; z
2
) và nhận
−→
u
1
(a
1
; b
1
; c
1
),
−→
u
2
(a
2
; b
2
; c

2
)
làm vectơ chỉ phương.
11.1 Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng d
1
và d
2
được tính theo công thức
cos(d
1
, d
2
) = |cos(
−→
u
1
,
−→
u
2
)| =
|
−→
u
1
.
−→
u
2

|
|
−→
u
1
||
−→
u
2
|
=
|a
1
a
2
+ b
1
b
2
+ c
1
c
2
|

a
2
1
+ b
2

1
+ c
2
1

a
2
2
+ b
2
2
+ c
2
2
.
Hệ quả. d
1
⊥ d
2
⇔
−→
u
1
⊥
−→
u
2
⇔
−→
u

1
−→
u
2
= 0 ⇔ a
1
a
2
+ b
1
b
2
+ c
1
c
2
= 0.
11.2 Hai đường thẳng đồng phẳng
d
1
và d
2
đồng phẳng ⇔
−→
u
1
,
−→
u
2

và
−−−−→
M
1
M
2
đồng phẳng ⇔ [
−→
u
1
,
−→
u
2
].
−−−−→
M
1
M
2
= 0.
♥ d
1
 d
2
⇔

−→
u
1

và
−→
u
2
cùng phương,
M
1
∈ d
2
.
♥ d
1
≡ d
2
⇔

−→
u
1
và
−→
u
2
cùng phương,
M
1
∈ d
2
.
♥ d

1
cắt d
2
⇔

d
1
và d
2
đồng phẳng,
−→
u
1
và
−→
u
2
không cùng phương
⇔

[
−→
u
1
,
−→
u
2
] =
−→

0 ,
[
−→
u
1
,
−→
u
2
].
−−−−→
M
1
M
2
= 0.
Bài toán 1. Cho hai đường thẳng phân biệt d
1
và d
2
đồng phẳng. Viết phương trình mặt
phẳng α chứa d
1
và d
2
.
Phương pháp chung
♥ Cách 1: Mặt phẳng α thuộc chùm mặt phẳng xác định bởi d
1
. Chọn điểm A ∈ d

2
mà A ∈ d
1
. Từ A ∈ α ta xác định được phương trình của α.
♥ Cách 2: Giả sử d
1
và d
2
lần lượt nhận
−→
u
1
và vtu
2
làm vectơ chỉ phương.
Nếu d
1
và d
2
cắt nhau ở I thì α là mặt phẳng đi qua I và nhận
−→
n = [
−→
u
1
,
−→
u
2
] làm

vectơ pháp tuyến.
Nếu d
1
 d
2
, lấy M
1
∈ d
1
và M
2
∈ d
2
thì α là mặt phẳng đi qua M
1
và nhận
−→
n = [
−→
u
1
,
−−−−→
M
1
M
2
] làm vectơ pháp tuyến.
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 16
Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn

Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng
d
1
:
x − 1
−2
=
y + 2
1
=
z − 4
3
; d
2
:





x = −1 + t,
y = −t,
z = −2 + 3t
(t ∈ R).
a) Chứng minh rằng d
1
và d
2
cắt nhau. Xác định toạ độ giao điểm của chúng.
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d

1
và d
2
.
11.3 Hai đường thẳng chéo nhau
d
1
và d
2
chéo nhau ⇔
−→
u
1
,
−→
u
2
và
−−−−→
M
1
M
2
không đồng phẳng ⇔ [
−→
u
1
,
−→
u

2
].
−−−−→
M
1
M
2
= 0.
Bài toán 2. Cho hai đường thẳng d
1
và d
2
chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc
chung của d
1
và d
2
.
Phương pháp chung
Giả sử d
1
và d
2
lần lượt đi qua M
1
, M
2
và nhận
−→
u

1
,
−→
u
2
làm vectơ chỉ phương.
♥ Cách 1: Gọi ∆ là đường vuông góc chung của d
1
và d
2
thì ∆ nhận
−→
u = [
−→
u
1
,
−→
u
2
] làm
vectơ chỉ phương.
Gọi α
1
là mặt phẳng đi qua ∆ và d
1
thì α
1
đi qua M
1

và nhận
−→
n
1
= [
−→
u ,
−→
u
1
] làm
vectơ pháp tuyến nên ta xác định được phương trình của α
1
.
Gọi α
2
là mặt phẳng đi qua ∆ và d
2
thì α
2
đi qua M
2
và nhận
−→
n
2
= [
−→
u ,
−→

u
2
] làm
vectơ pháp tuyến nên ta xác định được phương trình của α
2
.
Từ đó ta có phương trình ∆, giao tuyến của hai mặt phẳng α
1
và α
2
.
Chú ý.
Có thể sử dụng "phương pháp chùm" để xác định phương trình các mặt
phẳng α
1
và α
2
.
♥ Cách 2: Gọi A
1
A
2
là đoạn vuông góc chung của d
1
và d
2
(A
1
∈ d
1

, A
2
∈ d
2
) thì toạ
độ của A
1
và A
2
tương ứng thoả mãn phương trình tham số của d
1
và d
2
. Từ đó ta
có toạ độ của
−−−→
A
1
A
2
(phụ thuộc hai tham số t
1
và t
2
). Kết hợp với điều kiện

−−−→
A
1
A

2
.
−→
u
1
= 0,
−−−→
A
1
A
2
.
−→
u
2
= 0
ta xác định được toạ độ của A
1
và A
2
.
Ví dụ 3. Chứng minh d
1
và d
2
chéo nhau và viết phương trình đường vuông gó c chung
của d
1
và d
2

trong các trường hợp sau:
a) d
1
:

x + y + z − 3 = 0,
3x − y + z − 1 = 0;
d
2
:

4x + y −3z −1 = 0,
2y −3z − 4 = 0.
b) d
1
:





x = 1 + 2t,
y = 2 + t,
z = −3 + 3t;
d
2
:






x = 2 + u,
y = −3 + 2u,
z = 1 + 3u
(t, u ∈ R).
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 17
Phương p háp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn
12 Vị tr í tương đối của đường th ẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng
d :
x − x
0
a
=
y − y
0
b
=
z − z
0
c
và mặt phẳng
α : Ax + By + Cz + D = 0.
Đường thẳng d đi qua điểm M (x
0
; y
0
; z
0

) và nhận
−→
u (a; b; c) làm vectơ chỉ phương, còn
mặt phẳng α nhận
−→
n (A; B; C) làm vectơ pháp tuyến. Ta có:
♥ Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng α được tính theo công thức
sin(d, α) = |cos(
−→
n ,
−→
u )| =
|
−→
n
−→
u |
|
−→
n ||
−→
u |
=
|Aa + Bb + Cc|
√
A
2
+ B
2
+ C

2
√
a
2
+ b
2
+ c
2
.
♥ d  α ⇔

−→
u ⊥
−→
n ,
M ∈ α
⇔

Aa + Bb + Cc = 0,
Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D = 0.
Chú ý.
Khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng α song song với nó bằng
khoảng cách từ một điểm bất kì trên d đến α:
d(d, α) = d(M, α) =

|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
♥ d ⊂ α ⇔

−→
u ⊥
−→
n ,
M ∈ α
⇔

Aa + Bb + Cc = 0,
Ax
0
+ By
0
+ Cz

0
+ D = 0.
♥ d cắt α ⇔
−→
u ⊥
−→
n ⇔ Aa + Bb + Cc = 0.
♥ d ⊥ α ⇔
−→
u và
−→
n cùng phương ⇔
a
A
=
b
B
=
c
C
.
Ví dụ 4. Viết phương t rình mặt phẳng chứa đường thẳng
d :

x + 2y + z −4 = 0,
x − y − 2z + 2 = 0
và tạo với đường thẳng ∆ :
x − 2
2
=

y −3
1
=
z + 5
−1
một góc bằng 60
0
.
Bài toán 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với hai đườn g thẳng d
1
và d
2
cho trước.
Phương pháp chung
♥ Cách 1: Viết phương trình các mặt phẳng α
1
qua A vuông gó c với d
1
và α
2
qua A
vuông góc với d
2
ta được đường thẳng cần t ìm là giao tuyến của α
1
và α
2
.
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 18
Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn

♥ Cách 2: Xác định các vectơ chỉ phương
−→
u
1
và
−→
u
2
của d
1
và d
2
. Đường thẳng cần tìm
đi qua A và nhận
−→
u = [
−→
u
1
,
−→
u
2
] làm vectơ chỉ phương.
Chú ý. Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tổng quát thì sử dụng cách 1; nếu yêu cầu
viết phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc t hì sử dụng cách 2.
Ví dụ 5. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(0; 1; 1) và vuông góc với hai
đường thẳng
d
1

:

x + y − z + 2 = 0,
2x + y − z + 3 = 0;
d
2
:
x − 1
8
= y + 2 = z.
Bài toán 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua A cắt hai đường thẳng d
1
và d
2
cho
trước.
Phương pháp chung
♥ Cách 1: Viết phương trình các mặt phẳng α
1
qua A chứa d
1
và α
2
qua A chứa d
2
.
Nếu α
1
≡ α
2

thì A, d
1
và d
2
đồng phẳng nên mọi đường thẳng qua A không song
song với d
1
và d
2
đều thoả mãn bài toán.
Nếu α
1
= α
2
thì α
1
và α
1
cắt nhau theo giao tuyến d. Khi đó, nếu d  d
1
hoặc d  d
2
thì bài toán vô nghiệm. Trong trường hợp còn lại, d chính là đường thẳng cần tìm.
♥ Cách 2: Viết phương trình mặt phẳng α qua A chứa d
1
rồi xác định giao điểm C
của d
2
và α.
Nếu d

2
 α thì bài toán vô nghiệm.
Nếu d
2
⊂ α thì A, d
1
và d
2
đồng phẳng nên mọi đường thẳng qua A không song song
với d
1
và d
2
đều thoả mãn bài toán.
Nếu d
2
cắt α thì đường thẳng cần tìm đi qua A và C (Chú ý kiểm tra (AC)  d
1
).
♥ Cách 3: Giả sử qua A có đường thẳng d cắt d
1
ở B và cắt d
2
ở C. Khi đó toạ độ của
B và C tương ứng thoả mãn phương trình tham số của d
1
và d
2
. Kết hợp với điều
kiện A, B và C t hẳng hàng ta được toạ độ của B và C. Từ đó suy ra phương trình

đường thẳng d.
Chú ý.
Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tổng quát thì sử dụng cách 1; nếu yêu cầu
viết phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc t hì sử dụng cách 2 hoặc cách 3.
Ví dụ 6. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(−4; −5; 3) và cắt hai đường
thẳng
d
1
:

x + y + z + 2 = 0,
x + 3y − 3z + 16 = 0 ;
d
2
:
x − 2
2
=
y + 1
3
=
z − 1
−5
.
Bài toán 5. Viết phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với đườn g thẳng d
1
và
cắt đường thẳng d
2
cho trước.

Phương pháp chung
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 19
Phương p háp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn
♥ Cách 1: Viết phương trình các mặt phẳng α
1
qua A vuông gó c với d
1
và α
2
qua A
chứa d
2
.
Nếu α
1
≡ α
2
thì mọi đường thẳng qua A không song song với d
2
đều thoả mãn bài
toán.
Nếu α
1
= α
2
thì α
1
và α
1
cắt nhau theo giao tuyến d. Khi đó, nếu d  d

2
thì bài
toán vô nghiệm; nếu d  d
2
thì d chính là đường thẳng cần tìm.
♥ Cách 2: Viết phương trình mặt phẳng α qua A vuông góc với d
1
rồi xác định giao
điểm B của d
2
và α.
Nếu d
2
 α thì bài toán vô nghiệm.
Nếu d
2
⊂ α thì mọi đường thẳng qua A không song song với d
2
đều thoả mãn bài
toán.
Nếu d
2
cắt α thì đường thẳng cần tìm đi qua A và B.
♥ Cách 3: Giả sử qua A có đường thẳng d vuông góc với d
1
và cắt d
2
ở B. Khi đó toạ
độ của B thoả mãn phương trình tham số của d
2

. Kết hợp với điều kiện
−→
AB.
−→
u
1
= 0
(
−→
u
1
là một vectơ chỉ phương của d
1
) ta được toạ độ của B. Từ đó suy ra phương
trình đường thẳng d.
Chú ý.
Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tổng quát thì sử dụng cách 1; nếu yêu cầu
viết phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc thì sử dụng cách 2 hoặc cách 3.
Ví dụ 7. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1; 1; 1) vuông góc với đường thẳng d
1
và cắt đường thẳng d
2
biết:
d
1
:

x + y + z −3 = 0,
x − y − z −1 = 0;
d

2
:

x − 2y − 2z + 9 = 0,
x − y − 3z + 10 = 0.
Bài tập
Bài 1. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng:
a) Đi qua điểm A(2; 3; −5) và song song với đường thẳng

2x − y + 3z + 1 = 0,
3x − y − z − 2 = 0.
b) Đi qua điểm B ( 1; 2; 3) và vuông góc với hai đường thẳng
d
1
:

4x + y + z −5 = 0,
2x + 2y − z −1 = 0;
d
2
:

x − y + 4z + 10 = 0,
2x − 4y −z + 6 = 0.
c) Đi qua điểm C(1; 1; −2) song song với mặt phẳng x − y − z − 1 = 0 và vuông góc
với đường thẳng
x + 1
2
=
y − 1

1
=
z − 2
3
.
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 20
Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn
d) Đi qua điểm D(1; 1; 1) và cắt hai đường thẳng
d
1
:

x + y + 2z = 0,
x − y + z + 1 = 0;
d
2
:





x = −2 + 2t,
y = −5t,
z = 2 + t
(t ∈ R).
e) Vuông góc với mặt phẳng x + y + z + 1 = 0 và cắt hai đường thẳng
d
1
:

x − 1
2
=
y + 1
−1
= z; d
2
:

x − 2y + z − 4 = 0,
2x − y + 2z + 1 = 0.
f) Song song với đường thẳng
x + 3
1
=
y − 5
−2
=
z + 2
4
và cắt hai đường thẳng
d
1
: x = y =
z + 1
2
; d
2
:


3x − y + 1 = 0,
2x + z − 1 = 0.
g) Đi qua điểm G(−1; 2; −3) vuông góc với đường thẳng
x − 8
6
=
y − 3
−2
=
z + 4
−3
và cắt
đường thẳng

x + y + z − 3 = 0,
x − 4y − z − 2 = 0.
h) Đi qua điểm H(3; 2; 1) vuông góc và cắt đường thẳng
x
2
=
y
4
= z + 3.
i) Nằm trong mặt phẳng 2x + y + z − 2 = 0, vuông góc và cắt đường thẳng
x − 1
2
=
y + 2
−3
= z.

j) Nằm trong mặt phẳng x − y + 8z − 3 = 0 và cắt hai đường thẳng
d
1
:
x − 7
2
=
y + 5
3
=
z − 4
−5
; d
2
:





x = −2 − 3t,
y = 3 + t,
z = 4 + 2t.
Bài 2. Cho đường thẳng d :
x − 1
−1
=
y + 3
2
=

z − 3
1
và mặt phẳng α : 2x+ y −2z +9 = 0.
a) Tìm điểm I trên d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng α bằng 2.
b) Xác định toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng α. Viết phương trình
tham số của đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng α, đi qua A và vuông góc với d.
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 21
Phương p háp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn
Bài 3. Cho họ đường thẳng d
m
có phương tr ình

x + 4mz − 3m = 0,
(1 − m)x − my = 0
(m = 0).
a) Chứng minh rằng họ đường thẳng d
m
luôn đi qua một điểm cố định.
b) Chứng minh rằng họ đường thẳng d
m
luôn nằm một mặt phẳng α cố định.
c) Tính thể tích khối tứ diện giới hạn bởi các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx)
và mặt phẳng α.
Bài 4. Cho hai điểm A(0; 0; −3), B(2; 0; −1) và mặt phẳng α : 3x − 8y + 7z −1 = 0.
a) Xác định toạ độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng α.
b) Tìm điểm C trên mặt phẳng α sao cho tam giác ABC đều.
Bài 5. Cho tứ diện OABC với O(0; 0; 0), A(6; 3; 0), B(−2; 9; 1) và C(0; 5; 8).
a) Chứng minh rằng OA ⊥ BC.
b) Xác định toạ độ giao điểm I của đường thẳng OA và hình chiếu vuông góc của cạnh
BC trên mặt phẳng (OAB).

c) Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và OC. Tìm điểm M trên BC sao cho
P Q và IM cắt nhau.
Bài 6. Cho tam giác ABC có A(1; 2; 5) và phương trình hai trung tuyến là
x − 3
−2
=
y − 6
2
=
z − 1
1
;
x − 4
1
=
y −2
−4
=
z − 2
1
a) Viết phương trình chính tắc các cạnh của tam giác.
b) Viết phương trình chính tắc của đường phân giác trong góc A
Bài 7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng α : 2x −y + 2 = 0 và đường
thẳng
d
m
:

(2m + 1)x + (1 − m)y + m −1 = 0,
mx + (2m + 1)z + 4m + 2 = 0.

Xác định m để đường thẳng d
m
song song với mặt phẳng α.
13 Khoảng cách
13.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho một điểm A và đường thẳng d đi qua M và nhận
−→
u làm vectơ chỉ phương.
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 22
Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn
13.1.1 Cách xác định khoảng cách t ừ A đến d
♥ Gọi α là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d thì α nhận
−→
u làm vectơ pháp
tuyến nên ta có phương trình của α.
♥ Xác định to ạ độ giao điểm H của d và α. Khi đó H là hình chiếu của A trên d nên
d(A, d) = AH.
13.1.2 Công thức
d(A, d) =
|[
−−→
MA,
−→
u ]|
−→
u
.
Ví dụ 8. Cho điểm A(1; 2; 1 ) và đường thẳng d :
x
3

=
y − 1
4
= z + 3.
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng d.
b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d.
13.2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng
Khoảng c ách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất
kì trên một đường thẳng đến đường thẳng còn lại.
Xét hai đường thẳng chéo nhau d
1
và d
2
lần lượt đi qua các điểm M
1
, M
2
và nhận
−→
u
1
,
−→
u
2
làm vectơ chỉ phương.
13.2.1 Cách xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
♥ Viết phương trình mặt phẳng α đi qua d
2
và song song với d

1
: Dùng "phương pháp
chùm" hoặc sử dụng α đi qua M
2
và nhận
−→
n = [
−→
u
1
,
−→
u
2
] làm vectơ pháp tuyến.
♥ K hoảng cách giữa d
1
và d
2
bằng khoảng cách giữa d
1
và α, do đó bằng khoảng cách
từ một điểm bất kì trên d
1
(chẳng hạn M
1
) đến α.
13.2.2 Công thức
d(d
1

, d
2
) =
|[
−→
u
1
,
−→
u
2
].
−−−−→
M
1
M
2
|
|[
−→
u
1
,
−→
u
2
]|
.
Ví dụ 9. Cho tứ diện ABCD với A(−2; 4; 2), B(−2; 0; 2), C(−5; 0; 2) và D(−2; 1; 1). Tính
khoảng cách giữa hai cạnh AB và CD.

Bài tập
Bài 8. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A

B

C

D

có AB = AA

= a và AD = 2a.
a) Tính khoảng cách giữa AD

và B

C.
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 23
Phương p háp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn
b) Gọi M là điểm chia trong đoạn AD theo tỉ số
AM
MD
= 3. Tính khoảng cách từ M
đến mặt phẳng (AB

C).
c) Tính thể tích tứ diện AB

D


C.
Bài 9. Cho họ mặt phẳng α
m
: 2x + y + z − 1 + m(x + y + z + 1) = 0.
a) Chứng minh rằng họ mặt phẳng α
m
luôn đi qua một đường thẳng d cố định.
b) Tìm m để mặt phẳng α
m
vuông góc với mặt phẳng α
0
.
c) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng d.
Bài 10. Cho hai đường thẳng
d
1
:





x = 5 + 2t,
y = 1 − t,
z = 5 − t;
d
2
:






x = 3 + 2u,
y = −3 − u,
z = 1 − u
(t, u ∈ R).
a) Chứng minh rằng d
1
và d
2
song song với nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d
1
và d
2
.
c) Tính khoảng cách giữa d
1
và d
2
.
Bài 11. Cho hai đường thẳng
d
1
:

x + 2y − z + 2 = 0,
x − y + z − 1 = 0;
d

2
:

x − 3y + z − 5 = 0,
3x + y −z + 3 = 0.
a) Chứng minh rằng d
1
và d
2
cắt nhau. Viết phương trình mặt phẳng chứa d
1
và d
2
.
b) Viết phương trình các đường phân giác của các góc tạ o bởi d
1
và d
2
.
Bài 12. Cho hai đường thẳng
d
1
:

x − mz − m = 0 ,
y − z + 1 = 0;
d
2
:


mx + 3y −3 = 0,
x − 3z − 6 = 0.
a) Tìm m để d
1
và d
2
cắt nhau.
b) Vớ i m = 2, viết phương trình mặt phẳng α chứa đường thẳng d
2
và song song với
đường thẳng d
1
. Tính khoảng cách giữa d
1
và d
2
khi m = 2.
Bài 13. Cho hai đường thẳng
d
1
:





x = 2 + t,
y = 1 − t,
z = 2 t
(t ∈ R); d

2
:

x + y + 2z −5 = 0,
x − y + 2z + 1 = 0.
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 24
Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn
a) Chứng minh rằng d
1
và d
2
chéo nhau. Tính khoảng cách giữa d
1
và d
2
.
b) Viết phương trình các mặt phẳng α
1
chứa d
1
và α
2
chứa d
2
sao cho α
1
 α
2
.
c) Viết phương trình đường vuông góc chung của d

1
và d
2
.
d) Viết phương trình mặt phẳng cách đều d
1
và d
2
.
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi với AC cắt BD tại gốc
toạ độ O, A(2; 0; 0), B(0; 1; 0) và S(0; 0; 2
√
2). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách g iữa hai đường thẳng SA và BM.
b) Đường thẳng SD cắt mặt phẳng (ABM) tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
14 Một s ố vấn đề về điểm, đường thẳng và mặt phẳng
trong không gian
14.1 Hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên mặt phẳng
Bài toán 6. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng
α.
Phương pháp chung
Viết phương t rình mặt phẳng β chứa d và vuông góc với α bằng "phương pháp chùm".
Hình chiếu vuông góc của d trên α chính là giao tuyến của α và β.
Ví dụ 10. Cho đường thẳng d :
x − 2
2
=
y + 1
3
=

z − 1
5
và mặt phẳng α : 2x+y+z−8 = 0.
a) Chứng minh rằng d cắt và không vuông góc với α. Xác định toạ độ giao điểm của d
và α.
b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên α.
14.2 Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng
Bài toán 7. Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng α.
Phương pháp chung
Đường thẳng d qua A vuông góc với α nhận vectơ pháp tuyến của α làm vectơ chỉ
phương nên ta có phương trình tham số của d. Hình chiếu vuông góc của điểm A trên
mặt phẳng α chính là giao điểm H của d và α.
Bài toán 8. Xác định toạ độ điểm đối x ứng của điểm A qua mặt phẳng α.
Phương pháp chung
Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H của A trên α. Gọi A

là điểm đối xứng của A
qua α thì H là trung điểm của AA

nên x
A

= 2x
H
− x
A
, y
A

= 2y

H
− y
A
, z
A

= 2z
H
− z
A
.
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 25