luyện thi đại học phần phương trình

LUYỆN THI ĐẠI HỌC - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390
VỮNG TIN ĐẬU ĐẠI HỌC EM NHÉ! NOTHING IS IMPOSSIBLE  1
BÀI 1: ĐẶT ẨN PHỤ ĐƢA VỀ PHƢƠNG TRÌNH TÍCH
DẠNG: ĐẶT ẨN PHỤ ĐƢA VỀ PHƢƠNG TRÌNH TÍCH
Dấu hiệu nhận biết:
- Dng gp:
f(x) g(x).h(x)

- Hoc biu thc cha 2 bin g(x); h(x)
t
a g(x)
b h(x)





. S dng nh tách
f(x) a.g(x) b.g(x)

Đƣa toàn bộ phƣơng trình về ẩn a,b!
BÀI TOÁN 1: CHỨA 1 CĂN
1.
 

23
2x 6x 4 3 x 8    

Đáp án:
x 3 13 x 3 13    

Nhâ
̣
n xe
́
t: 









:
 
 
3 3 3 2
x 8 x 2 x 2 x 2x 4      
nên ta

,

 
 
   
2 2 2
2x 6x 4 x 2 x 2x 4 x 2 x 2 4                  

2
2
26
2
2 4 4










      


  


   



.


:
x2

.
 
 
   
 
 

22
2 x 2x 4 2 x 2 3 x 2 x 2x 4 0 1          





2
a x 2 0, b x 2x 4 3      
.
 
22
1 2b 2a 3ab 0   


2
aa
2 2 3 0
bb





   






(
b3
)
 

a a 1
2 L b 2a
b b 2
      


2
x 2x 4 2 x 2    


2
x 2x 4 4x 8    
x 3 13 x 3 13     
.
2.
 

23

2x 5x 1 7 x 1    

Đáp án:
x 4 6 x 4 6    






:
 
 
32
x 1 x 1 x x 1 ,    













2
2x 5x 1

sao cho
 
 
22
2x 5x 1 x 1 x x 1        

LUYỆN THI ĐẠI HỌC - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390
VỮNG TIN ĐẬU ĐẠI HỌC EM NHÉ! NOTHING IS IMPOSSIBLE  2
22
3
53
2
1 2 3 1


   







        
  
  

  

      




. 








:
x1
.
   
 
 
 
 

22
3 x 1 2 x x 1 7 x 1 x x 1 1         

3.
32
5 x 1 2x 4  

Đáp án:
5 37

x
2




u kin:
x1

Ta thy
 
 
32
22
x 1 (x 1) x x 1
(x 1) x x 1 x 2

    


     



 
 
 
22
2
22

(1) 2 (x 1) x x 1 5 (x 1) x x 1
a x 1
Dat : (a, b 0)
b x x 1
(1) 2a 2b 5ab (a 2b)(2a b) 0
a 2b
2a b
        





  


      







4.
 

2 3 2
6
3x 2x 2 x 3x 4x 2

30
      

Đáp án:
x2


Nhâ
̣
n xe
́
t: 



:
 
 
3 2 2
x 3x 4x 2 x 1 x 2x 2      











2
3x 2x 2
sao cho
 
 
   
2 2 2
3x 2x 2 x 1 x 2x 2 x 2 x 2                  

33
2 2 8


   




       


.


:
x1
.
   
 
 

 
 

22
6
8 x 1 3 x x 2 x 1 x x 2 1
30
          


5.
 

2 4 2
3.x 3 3x 3 x x 1 0      

Đáp án:
x1


 Nhâ
̣
n xe
́
t: 



:
      

2
4 2 4 2 2 2 2 2 2
x x 1 x 2x 1 x x 1 x x x 1 x x 1 ,             








3

3



LUYỆN THI ĐẠI HỌC - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390
VỮNG TIN ĐẬU ĐẠI HỌC EM NHÉ! NOTHING IS IMPOSSIBLE  3
   
2 2 2
x 3x 1 x x 1 x x 1         





,

     

22
12
x 3x 1 x x
31


     

               


      


.
 
      
 

2 2 2 2
1
2 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 0 1
3
            

BÀI TẬP TƢƠNG TỰ
6.
 
23
2 x 18 7 x 27  

Đáp án:

7 61 21 3 33
xx
28

  

7.
32
10 x 8 3x 3x 18   

Đáp án:
11 177
x
2



8.
 
23
2 x x 6 5 x 8   

Đáp án:
x 3 13

9.
 

23
2 x 3x 2 3 x 8   

Đáp án:
x 3 13

10.
23
2x 5x 1 7 x 1   

Đáp án:
x 4 14

11.
 
32
10 x 1 3 x 2  

Đáp án:
x 5 33

12.
 
23
2x 5x 2 4 2 x 21x 20    

Đáp án:

9 193 17 3 73
xx

44

  

BÀI TOÁN 2: CHỨA 2 CĂN
Phƣơng pháp: Đƣa về hai vế không âm sau bình phƣơng để đƣa về dạng 1 căn
13.
 

22
5x 14x 9 x x 20 5 x 1       
Đáp án:
x8
5 61
x
2










 
22
5x 14x 9 5 x 1 x x 20        

 
 
 
 

2 2 2
5x 14x 9 25 x 1 x x 20 10 x 1 x x 20           

ng nht hai v c:
 
 
22
2x 5x 2 a x 1 b x x 20      
c a,b)
 bài này chú ý:
 
2
22
x x 20 (x 5)(x 4)
(*) 2x 5x 2 5 x 4x 5 (x 4)
    
       

Ta s tìm a,b tha mãn:
 
 
22
a2
a2
2x 5x 2 a x 4x 5 b x 4 4a b 5

b3
5a 4b 2





            




  



   
 
        
22
(*) 2 x 4x 5 3(x 4) 5 x 4x 5 x 4

LUYỆN THI ĐẠI HỌC - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390
VỮNG TIN ĐẬU ĐẠI HỌC EM NHÉ! NOTHING IS IMPOSSIBLE  4

  









       



2
22
a x 4x 5
Dat : (a, b 0)
b x 4
ab
(*) 2a 3b 5ab (a b)(2a 3b) 0
2a 3b

14.
ĐỀ MẪU BỘ (2015) :
22
x x x 2 3(x 2x 2)     
Đáp án:
1 3 x 3 13   


u kinh:
x 1 3

 
 

 
 
 
 
 
2 2 2
22
22
x 2x 2 2 x x x 2 3 x 2x 2
2 x x x 2 2x 8x 4
x x x 2 x 4x 2
       
     
     

Nng nht:
2
x 4x 2
theo
2
x x;x 2
thì s c
 bài này chú ý:
  
2
x x x(x 1)

 
 
    

      
      
      
        
         
22
22
2 2 2 2
22
(*) (x 2x)(x 1) x 4x 2
(x 2x)(x 1) x 2x 2 x 1)
ab a 2b a ab 2b 0
a 2b a b 0 a 2b 0 vi a b 0
a 2b x 2x 2 x 1 x 6x 4 0

15.
2 2 3 2
3x 12x 5 x 2x x 1 2x 10x 5

       





LUYỆN THI ĐẠI HỌC - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390
VỮNG TIN ĐẬU ĐẠI HỌC EM NHÉ! NOTHING IS IMPOSSIBLE  5
16.
2 3 2
x 5x 4 1 x 2x 4x


    







BÀI TẬP TƢƠNG TỰ
17.
22
x x 2 3 x 5x 4x 6     

Đáp án:

x 3 13

18.

22
5x 14x 9 x x 20 5 x 1      

19.
22
7 25 19 2 35 7 2      x x x x x

20.
22
x x 6 3 x 1 3x 6x 19 0       

Đáp án:
23 341
x
2



21.
22
2 x 4x 5 x 3 11x 25x 2 0       

22.
22
x 2x 2x 1 3x 4x 1     

23.
22
x 3x 2 x 1 3x 9     

24.
3 2 3 2
2x 1 3x 3 4x 6x 8     

25.
22
4x 13x 173 6 x 5 2x x 1      

26.
22

10x 50x 3 2x 5x 2 3 x 5      

27.
32
(x 1)(x 1) 3 x x    

BÀI TOÁN 3: CHỨA 2 – 3 CĂN TƢƠNG ĐỒNG NHAU
Phƣơng pháp: Đặt a,b và đồng nhất theo a,b
28.
2
(13 4x) 2x 3 (4x 3) 5 2x 2 8 16x 4x 15        
Đáp án: x = 2

LUYỆN THI ĐẠI HỌC - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390
VỮNG TIN ĐẬU ĐẠI HỌC EM NHÉ! NOTHING IS IMPOSSIBLE  6

Gợi ý: u kin:
35
x
22


Ta thy:
2
(2x 3)(5 2x) 16x 4x 15    
t
a 2x 3;b 5 2x;a, b 0    

Ta bii:
2

2
22
13 4x 2b 3
4x 3 2a 3
2 a b

  

  





 
2 2 2 2
2
2
2
2
2
(1) (2b 3)a 2a 3 b a b 8ab
2ab(a b) 3(a b) (a b) 6ab
2ab(a b) (a b) 3(a b) 6ab 0
(a b 3)(2ab a b) 0
2x 3 5 2x 3
a b 3 0
2ab a b 0
2 16x 4x 15 2x 3 5 2x
7

16x 4x 15 (vo, no)
2
4 16x 4x 1
      
      
   
       
   
     

   

  



  


     

  


 
2
22
5 2 2 16x 4x 15
2t 1 t (t 16x 4x 15; t 0)
t 1 x

1
t (loai)
2




   

      

 







29.
2
(13 4x) 2x 3 (4x 3) 5 2x 2 8 16x 4x 15        

Đáp án: x = 2


Gợi ý:
35
DK : x
22



D thy
2
(2x 3)(5 2x) 16x 4x 15    

t:
22
2
2
2
a b 2
a 2x 3
ab 16x 4x 15
(a, b 0)
13 4x 2b 3
b 5 2x
4x 3 2a 3






  
 

  






  


   
  
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
(*) 2b 3 a 2a 3 b a b 8ab
a b 3 2ab a b 0
a b 3
a b 2ab
a b 2 (a b) 2ab 2
TH1 : ab x
a b 3 a b 3
a b 2 (a b) 2ab 2
TH2 : ab x
a b 2ab a b 2ab
      
     








    

  

   



    

 

   


(Nh kt hu kin)
LUYỆN THI ĐẠI HỌC - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390
VỮNG TIN ĐẬU ĐẠI HỌC EM NHÉ! NOTHING IS IMPOSSIBLE  7
30.
2
(4x 1) 3 2x (7 4x) 2x 1 2 4x 8x 3 4         

Đáp án: x = 1


Gợi ý:
13
x
22


Nhn thy: (3-2x)(2x-1) = - 4x
2
+ 8x  3
t:
22
2
2
2
a b 2
a 3 2x
ab 4x 8x 3
(a, b 0)
4x 1 2b 1
b 2x 1
7 4x 2a 1






   
 

  






  


   
22
2
22
22
2
32
2
0
2ab(a b) (a b) 2ab 4 0
(2b 1)a (2a 1)b 2ab 4
(*)
(a b) 2ab 2
a b 2
(a b) 2 (a b) (a b) (a b) 2 4 0(*)
2ab (a b) 2
(*) (a b) (a b) (a b) 2 0
a b 2 a b (a b) 1



     
    



  







   
         

   


  


       


     



 
2
0 a b 2 ab 1 4x 8x 3 1 x           
 

31.
   
2 2 2

x 6x 11 x x 1 2 x 4x 7 x 2       

Đáp án:
x 5 6


u kin:
x2

2
Dat : a x x 1;(a 0); b x 2 0)      

Ta biu din biu th
22
22
x 6x 11 a(x x 1) b(x 2) a 1; b 5
a ' 1;b' 3
x 4x 7 a '(x x 1) b'(x 2)


         



  
      



(T ng nht nhé)


   
2 2 2
(1) a 5b a 2 a 3b b   

    

      


3 2 2 3
32
a 2a b 5ab 6b 0
a
t 2t 5t 6 0 t 0
b

    





  








(t 1)(t 3)(t 2) 0
t1
ab
t3
a 3b
t 2(loai)
(T 

32.
2
x 2 7 x 2 x 1 x 8x 7 1        

Đáp án:
x5
x4







u kin:
1 x 7

Ta thy (7-x)(x-1) = -x
2
+ 8x  7
t:

a x 1
(a, b 0)
b 7 x









LUYỆN THI ĐẠI HỌC - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390
VỮNG TIN ĐẬU ĐẠI HỌC EM NHÉ! NOTHING IS IMPOSSIBLE  8
2
(x 1) 2 7 x 2 x 1 (7 x)(x 1)
a 2b 2a ab (a b)(a 2) 0
x 1 7 x
a b 0 x 4
a 2 x 1 2 x 5
x5
x4
a b 0 x 4
x 1 7 x
a 2 x 5
x 1 2
       
       



  



  





   



  

   




  
  


  
















33.
 
2
(x 2) 2x 3 2 x 1 2x 5x 3 1 0        
Đáp án:











1
x
2

x1
x3


u kin:
x1

Ta có :
2
(2x 3)(x 1) 2x 5x 3    
t
a 2x 3; b x 1;a, b 0    

Ta bii:
22
22
x 2 a b
1 a 2b

  







 
   
  

  
      
       

       



     

    




    





   


      
2 2 2 2
2 2 2 2
(1) a b (a 2b) ab (a 2b ) 0
a b (a 2b) b(a b) a b 0
(a b) a b a 2b b (a b) 0

a b 0(vo no vi a+b>0)
(a 2b)(a b 1) 0
a b a 2b (a 2b) 0
a 2b 2x 3 2 x 1 x
a b 1
2x 3 x 1 1(2)
2x 3 x 2 2 x 1 x


   




x 1 0
1 2 x 1 x
x 1 2

34.
 


2
x 5 x 2 1 x 7x 10 3      

Đáp án: x = - 1


u kin
Ta thy (x + 5)(x + 2) = x

2
t
a x 5; b x 2;(a, b 0)    

Bii v PT: 3 = (x + 5)  (x + 2)
 
          
          

        





       




    



22
1 (a b)(1 ab) a b (a b)(1 ab) (a b)(a b)
(a b)(a b (1 ab)) 0 (a b)(a 1)(b 1) 0
x 5 x 2 x 5 x 2 0x 3 VN
ab
a 1 x 5 1 x 4 (loai)

b1
x 2 1 x 1

LUYỆN THI ĐẠI HỌC - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390
VỮNG TIN ĐẬU ĐẠI HỌC EM NHÉ! NOTHING IS IMPOSSIBLE  9
35.
 


2
1 2 2 1 3x x x x      

Đáp án: x = 2


u kin:
x1

Cách 1: Ta thy
2
(x 1)(x 2) x x 2    
t:
a x 1;b x 2;(a, b 0)    

     
 
      

          
          


    

  




22
2 2 2 2
3 b a
(1) a b ab 1 b a a b ab 1 a b 0
a b ab 1 a b 0 a b a 1 b 1 0
a b 0 a b(vo, no)
a 1 x
b 1(vo, no)

Cách 2:
 


   


 


 

                  



   

         

       



  

  


   



  







22
2
2

2
2
2
2
2
2
1 2 2 1 3 2 1 2 1 3 1 2
2 1 0
2 1 1 2
2 1 1 2
21
21
2 (TMÑK).
2
20
1
x x x x x x x x x x
xx
x x x x
x x x x
xx
xx
x
x
xx
x

36.
 
3

33
2
x 3x 2 x 1 x 2 1     

Đáp án:
3
x
2



Ta thy
2
(x 1)(x 2) x 3x 2    
t
33
a x 1;b x 2   

D thy 1 = (x + 2)  (x+1)
  
         


    





     

  


   

   


33
3 3 2 2
2
33
33
a.b(a b) b a
ab(a b) (a b ) 0 (a b)(a 2ab b ) 0
ab
(a b)(a b) 0
ab
x 1 x 1 x 1 x 1
x
x 1 (x 1)
x 1 x 1

37.
4 1 5
x x 2x
x x x
    

Đáp án: x = 2

u kin:
1
x0
x
5
2x 0
x










Ta thy
5 1 4
2x x x
x x x
   
    
   
   
Nên ta t
1
x

x

= u,
5
2x
x


LUYỆN THI ĐẠI HỌC - ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390
VỮNG TIN ĐẬU ĐẠI HỌC EM NHÉ! NOTHING IS IMPOSSIBLE  10
(1) 
1 5 1 5
x 2x x 2x 0
x x x x

   
       
   

   

 u  (v
2
 u
2
)  v = 0
 (u  v)(1 + u + v) = 0. Vì 1 + u + b > 0 nên: u = v
(Gii ra nghiu kin thy x = - 2 (loi), x = 2 tha mãn

38.

2
x 1 x 3 x 4x 7     
Đáp án:


x 3; 


2
HD:PT x 1 x 3 (x 3) 2(x 1)       


u x 1 0, v x 3 x 3;

       



39.
2
2x 12x 6 2x 1 x 2     
Đáp án:
 
1
x ; \ 1;5
2

 






 
2
2
HD: PT 2x 12x 6 x 2 2x 1
2 x 2 2x 1 x 2 2x 1
      
       

 

1
u 2x 1 0, v x 2 x ; \ 1;5
2




       






40.
2
2x 2 3x 2

1
8x 12 2 1
  

  