De Cuong On Tap HK II Toán 10

Năm học 2010 - 2011

Tổ Toán - Trường THPT Nam Duyên Hà

Ngày soạn 1/4/2011
ÔN TẬP: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
(Số tiết: 5)
I. MỤC ĐÍCH YÊU CẦU
1. Kiến thức:
Ơn tập các kiến thức về bất phương trình, hệ bất phương trình
2. Kĩ năng:
Học sinh vận dụng thành thạo phương pháp, cơng thức vào làm một số dạng tốn cơ bản
3. Tư duy và thái độ
 Rèn tư duy lôgic, biết quy lạ về quen
 Biết hệ thống, tổng hợp, linh hoạt khi giải toán.
 Hứng thú hơn với môn học
II. CHUÂN BỊ
Giáo viên: Giáo án, đồ dùng dạy học, phiếu học tập
Học sinh: Chuẩn bị bài trước khi lên lớp.
III. PHƯƠNG PHÁP:
Sử dụng linh hoạt các phương pháp vấn đáp, gợi mở, nêu và giải quyết vấn đề
IV: NỘI DUNG BÀI HỌC
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT:
1. Các phép biến đổi bất phương trình:
a) Phép cộng: Nếu f(x) xác định trên D thì P(x) < Q(x) ⇔ P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)
b) Phép nhân:
* Nếu f(x) >0, ∀ x ∈ D thì P(x) < Q(x) ⇔ P(x).f(x) < Q(x).f(x)
* Nếu f(x) <0, ∀ x ∈ D thì P(x) < Q(x) ⇔ P(x).f(x) > Q(x).f(x)
c) Phép bình phương: Nếu P(x) ≥ 0 và Q(x) ≥ 0, ∀ x ∈ D thì P(x) < Q(x) ⇔ P 2 ( x) < Q 2 ( x)
2. Dấu nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b
x

f(x)

–∞

−

(Trái dấu với hệ số a)

b
a

0

Chú ý: Với a > 0 ta có: f ( x) ≤ a ⇔ −a ≤ f ( x) ≤ a

+∞
(Cùng dấu với hệ số a)
 f ( x) ≤ −a
f ( x) ≥ a ⇔ 
 f ( x) ≥ a

3. Định lí về dấu của tam thức bậc hai:
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, ∆ = b2 – 4ac
* Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a (a..f(x)>0), ∀ x ∈ R
* Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a (a..f(x)>0), ∀ x ≠

−b
2a

* Nếu ∆ > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2; f(x) trái dấu với hệ số a khi x1

< x < x2.( Với x1, x2 là hai nghiệm của f(x) và x1< x2)
Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga


Năm học 2010 - 2011

Tổ Toán - Trường THPT Nam Duyên Hà
Bảng xét dấu: f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, ∆ = b2– 4ac > 0

x
–∞
x1
x2
f(x)
(Cùng dấu với hệ số a)
0 (Trái dấu với hệ số a) 0
Chú ý:. Một số điều kiện tương đương: Cho f(x) = ax2 +bx +c, a ≠ 0
a) ax2 +bx +c = 0 có nghiệm ⇔ ∆ = b2– 4ac ≥ 0
b) b) ax2 +bx +c = 0 có 2 nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0

+∞
Cùng dấu với hệ số a)


∆ ≥ 0

c
2
c) ax +bx +c = 0 có các nghiệm dương ⇔  > 0
a

 b
− a > 0


a > 0
∆ < 0

f) ax2 +bx +c ≥ 0, ∀ x ⇔ 

a < 0
∆ < 0

h) ax2 +bx +c ≤ 0, ∀ x ⇔ 

d) ax2 +bx +c >0, ∀ x ⇔ 
e) ax2 +bx +c <0, ∀ x ⇔ 

a > 0
∆ ≤ 0
a < 0
∆ ≤ 0


∆ ≥ 0

c
2
f) d) ax +bx +c = 0 có các nghiệm âm ⇔  > 0
a
 b

− a < 0


4. Bất phương trình bậc hai
a) Định nghĩa:
Bất phương trình bậc 2 là bpt có dạng f(x) > 0 (Hoặc f(x) ≥ 0, f(x) < 0, f(x) ≤ 0), trong đó f(x)
là một tam thức bậc hai. ( f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 )
b) Cách giải:
Để giải bất pt bậc hai, ta áp dụng định lí vầ dấu tam thức bậc hai
Bước 1: Đặt vế trái bằng f(x), rồi xét dấu f(x)
Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu và chiều của bpt để kết luận nghiệm của bpt
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
1. Dạng 1. Tìm TXĐ của hàm số
a. Phương pháp
- Tập xác định của hàm số cho bởi công thức y=f(x) là tập hợp các giá trị của x làm cho f(x) có
nghĩa, tức là các phép toán có trong f(x) thực hiện được.
- Đối với các hàm số sơ cấp trong chương trình lớp 10 chúng ta cần nhớ:
Nếu có chứa:
Nếu có chứa

1
thì điều kiện xác định là f(x) ≠ 0
f (x)
2n

f (x) thì điều kiện xác định là f(x)≥0

Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga

Năm học 2010 - 2011

Tổ Toán - Trường THPT Nam Duyên Hà
1
Nếu có chứa 2n
thì điều kiện xác định là f(x)>0
f (x)

b. Bài tập
Tìm TXĐ của các hàm số sau:
a)

y=

( x − 1) ( 2 x − 3) ;

b)

y=

x 2 + 3x + 2
;
x2 + 4x + 3

c)

y=

1
1

− 2
;
x − 5x + 6 x + x + 1

y=

y=

( x + 2) ( 5 − x ) ;

x 2 − 3x + 2
;
x2 − 4 x + 3
y=

2

y=

y=

( 2x − 6 ) ( x + 5) ;

x2 + 5x + 6
;
x2 + 2x

y=

( 3x + 1) ( 2 − 5 x )

x2 − 4
x 2 − 3x + 2

y=

1
1
− 2
;
x − 7 x + 12 x + 2 x + 3
2

2. Dạng 2: Giải phương trình
a. Phương pháp: Áp dụng các phép biến đổi để đưa pt về pt bậc nhất, bậc hai
b. Chú ý: Một số dạng cơ bản:
A = B
 A = −B

o A = B⇔

B ≥ 0
B ≥ 0


⇔ A = B
o A =B⇔  2
2
A = B


  A = −B


A neu A ≥ 0
−A neu A < 0

o Dùng định nghóa trị tuyệt đối để bỏ trị tuyệt đối: A = 
o
o

A ≥ 0
B ≥ 0
A= B⇔
hoac 
A = B
A = B

B ≥ 0
A =B⇔ 
2
A = B

c. Bi tõp
Bi 1. GiảI các phơng trình :
1) x + 1 = 8 − 3x + 1

2) x 2 − 2 x − 4 = 2-x

7) x − 2 x + 7 = 4

3) 3x 2 − 9 x + 1 = x-2

4) 3x 2 − 9 x + 1 = x-2

8) x 2 − 8 x + 7 = 2 x − 9

5) 3x + 7- x + 1 = 2

6) x 2 + x − 5 + x 2 + 8 x − 4 = 5

Bài 2. GiảI các phơng trình :
1) 3x 2 + 5 x + 8- 3x 2 + 5 x + 1 = 1

2) x 2 + 9- x 2 − 7 = 2

3. Dạng 3: Giải bất phương trình
a. Phương pháp:
 Áp dụng các phép biến đổi để đưa bpt về pt bậc nhất, bậc hai
 Áp dụng định lý về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để giải tiếp và kl
b. Chú ý: Một số dạng cơ bản:

Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga


Năm học 2010 - 2011

Tổ Toán - Trường THPT Nam Duyên Hà
 B ≥ 0

o A ≥ B ⇔   A2 ≥ B 2

B < 0


B ≥ 0

o A > B ⇔   A2 > B 2
B < 0


B ≥ 0
o A ≤B⇔ 2
2
A ≤ B
o A ≥ B ⇔ A2 ≥ B 2

B ≥ 0
o A 2
A < B
o A < B ⇔ A2 < B 2

o Chú ý
A > B
A >B⇔
( B ≥ 0)
 A < −B
A < B ⇔ − B < A < B ( B > 0)

c. Bài tập
Bài 1. Giải bất phương trình sau:

a) 3 − x + x − 5 ≥ −10
d)

b)

3x + 5
x+2
−1 ≤
+x
2
3

( x − 2) x − 1
<2
x −1

c)

e) ( 1 − x + 3)(2 1 − x − 5) > 1 − x − 3

x+2
− x +1 > x + 3
3

f) ( x − 4) 2 ( x + 1) > 0

Bài 2. Giải các bất phương trình
b) (x + 3)(3x – 2)(5x + 8)2 < 0

a) x(x – 1)(x + 2) < 0

d)

−4 x + 1
≤ −3
3x + 1

e)

g) x − 2 > 2 x − 3

x 2 + 3x − 1
> −x
2− x

c)

5
>1
3− x

f) 2 x − 5 < 3

h) 2 x − x − 3 = 8

k) x + 1 ≤ x − x + 2

Bài 3. Giải các bất phương trình sau:
a) x2 + x +1 ≥ 0
d) x(x+5) ≤ 2(x2+2)

e) x2 – ( 2 +1)x + 2 > 0
g) x2 – 3x +6<0

Bài 4. Giải các bất phương trình sau:
a) (x–1)(x2 – 4)(x2+1) ≤ 0
c*) x3 –13x2 +42x –36 >0
Bài 5. Giải các bất phương trình sau:

e)

10 − x 1
>
5+ x2 2

b)

4 − 2x
1
>
2x − 5 1− 2x

1
2
3
+
<
x +1 x + 3 x + 2

f)

2x − 5
1
<
2
x − 6x − 7 x − 3

b) (–x2 +3x –2)( x2 –5x +6) ≥ 0
d) (3x2 –7x +4)(x2 +x +4) >0

c)

x2 + x + 2
<0
x2 − 4 x − 5

g)

2
1
1
x2 − 5x + 6 x + 1
−
≤0
≥
h) +
2
x x −1 x +1
x + 5x + 6
x

Bi 6. GiảI các phơng trình :
1) x + 1 = 8 − 3x + 1

2) x 2 − 2 x − 4 = 2-x

3) 3x 2 − 9 x + 1 = x-2

4) 3x 2 − 9 x + 1 = x-2

5) 3x + 7- x + 1 = 2

6) x 2 + x − 5 + x 2 + 8 x − 4 = 5

Bài 7. Gi¶i các bất phơng trình sau:
Giỏo viờn: Nguyn Th T Nga

f) –3x2 +7x – 4 ≥ 0

1
3

g) 2(x+2)2 – 3,5 ≥ 2x

a)

c) x2 – 2x +1 ≤ 0

b) x2 – 2(1+ 2 )x+3 +2 2 >0

d)

3x 2 − 10 x + 3
≥0
x2 + 4 x + 4


Năm học 2010 - 2011

Tổ Toán - Trường THPT Nam Duyên Hà
x 2 − x − 12 < 7-x

2) 21-4x-x 2 < x + 3

3) 1-x + 2x 2 − 3 x − 5 < 0

4) x 2 − 3 x − 10 ≥ x-2

5) 3 -x 2 + x + 6 + 2(2x-1) > 0

6) 3x 2 + 13 x + 4 + 2-x ≥ 0

7) x + 3- 7-x > 2x-8

8) 2x + 3 + x + 2 ≤ 1

1)

4. Dạng 4: Giải hệ bất phương trình
a. Phương pháp: Giải từng bpt, rồi lấy giao các tập nghiệm.
b. Chú ý: Áp dụng định lý về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để giải các bpt.

c. Bài tập
Bài 1. Giải các hệ phương trình:
 5x + 2
 3 ≥ 4− x

a) 
 6 − 5 x < 3x + 1
 13



x −1 ≤ 2x − 3

c) 3 x < x + 5
 5 − 3x

≤ x −3
 2

3 3(2 x − 7)

 −2 x + 5 >

3
d) 
 x − 1 < 5(3x − 1)
 2

2

Bi 2. GiảI các hệ bất phơng trình sau:
x 2 − 3x + 2 ≥ 0
4 x 2 − 5 x − 9 ≤ 0
x2 + 4x < 0
2 x + 4 > 0



a)  2
; b)  2
; c)  2
; d) 2
− x + 4 x + 5 < 0
 x + 5x + 4 > 0
x − 9 > 0
 x − 5x + 6 ≤ 0




5. Dạng 5: Phương trình, bất phương trình chứa tham số
Bài 1. Tìm các giá trị của tham số m để mỗi phương trình sau có nghiệm:
a) 2x2 + 2(m+2)x + 3 + 4m + m2 = 0
b) (m–1)x2 – 2(m+3)x – m + 2 = 0
Bài 2. : Tìm các giá trị m để phương trình:
a) x2 + 2(m + 1)x + 9m – 5 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt
b) x2 – 6m x + 2 – 2m + 9m2 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt
c) (m2 + m + 1)x2 + (2m – 3)x + m – 5 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt
Bài 3. Xác định m để tam thức sau luôn dương với mọi x:
a) x2 +(m+1)x + 2m +7

b) x2 + 4x + m –5
c) (3m+1)x2 – (3m+1)x + m +4
Bài 4. Xác định m để tam thức sau luôn âm với mọi x:
a) mx2 – mx – 5
b) (2 – m)x2 + 2(m – 3)x + 1– m
c) (m + 2)x2 + 4(m + 1)x + 1– m2
d) (m – 4)x2 +(m + 1)x +2m–1
Bài 5. Xác định m để hàm số f(x)= mx 2 − 4 x + m + 3 được xác định với mọi x.
Bài 6. Tìm giá trị của tham số để bpt sau nghiệm đúng với mọi x
a) 5x2 – x + m > 0
b) mx2 –10x –5 < 0
c) m(m + 2)x2 + 2mx + 2 >0
d) (m + 1)x2 –2(m – 1)x +3m – 3 ≥ < 0
Bài 7. Tìm giá trị của tham số để bpt sau vô nghiệm:
a) 5x2 – x + m ≤ 0
b) mx2 –10x –5 ≥ 0

Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga


Tổ Toán - Trường THPT Nam Duyên Hà

1.
2.
3.
4.
5.

Năm học 2010 - 2011

Lưu ý: phân tiết cụ thể như sau:
Tiết 1. Dạng 1. Tìm TXĐ của hàm số
Tiết 1.Dạng 2: Giải phương trình
Tiết 1. Dạng 3: Giải bất phương trình
Tiết 1. Dạng 4: Giải hệ bất phương trình
Tiết 1. Dạng 5: Phương trình, bất phương trình chứa tham số
 Với mỗi dạng bài GV yêu cầu học sinh nhắc lại phương pháp và kiến thức liên quan
 Tổng hợp lại các kiến thức cơ bản cho học sinh.

Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga


Năm học 2010 - 2011

Tổ Toán - Trường THPT Nam Duyên Hà

Ngày soạn 12/4/2011
ÔN TẬP: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
(Số tiết: 1)
I. MỤC ĐÍCH YÊU CẦU
1. Kiến thức: Ôn tập các kiến thức về bất đẳng thức
2. Kĩ năng:
Học sinh vận dụng thành thạo các phương pháp, cơng thức vào làm một số dạng tốn cơ bản
3. Tư duy và thái độ
Rèn tư duy lôgic, biết quy lạ về quen
Biết hệ thống, tổng hợp, linh hoạt.
Hứng thú hơn với môn học
II. CHUÂN BỊ
1. Giáo viên: Giáo án, đồ dùng dạy học, phiếu học tập
2. Học sinh: Chuẩn bị bài trước khi lên lớp

III. PHƯƠNG PHÁP:
Sử dụng linh hoạt các phương pháp vấn đáp, gợi mở, nêu và giải quyết vấn đề
IV: NỘI DUNG BÀI HỌC
A. TÓM TẮT LÍ THÚT:
1. Tính chất của bất đẳng thức
Điều kiện
Nội dung
a < b và b < c ⇒ a < c
ac>0
a < b ⇔ ac < bc
c<0
a < b ⇔ ac > bc
a < b và c < d ⇒ a + c < b + d
a > 0, c > 0
a < b và c < d ⇒ ac < bd
n nguyên
a < b ⇔ a 2 n +1 < b 2 n +1
dương
0< a < b ⇒ a 2 n < b 2 n
aa2. Các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
x > 0, x > x, x > − x
a>0

Tên gọi
Bắc cầu
Cộng hai vế bất đẳng thức với một số
Nhân hai vế bất đẳng thức với một số

Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều
Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều
Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một
luỹ thừa
Khai căn hai vế của một bất đẳng thức

x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a

(a > 0)

x ≥ a ⇔ x ≤ −a hoặc x ≥ a
a − b ≤ a+b ≤ a + b
3. Bất đẳng thức Cô-si
ab ≤

a+b
(a ≥ 0, b ≥ 0) , đẳng thức
2

B. BÀI TẬP
1. Dạng 1. Chứng minh BĐT:
a. Phương pháp
Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga

ab =

a+b
xảy ra khi a = b.
2

Tổ Toán - Trường THPT Nam Duyên Hà
Năm học 2010 - 2011
 Áp dụng tính chất, định nghĩa, phương pháp biến đổi tương đương.
 Áp dụng BĐT Cô si
 Áp dụng BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối
b. Bài tập

(

1
1
)  a 1 b + b + c + c + a  ≥ 3 ( a + b + c)
÷
 +
 2

1)

2
2
2
Cho a, b, c > 0. Chứng minh a + b + c 

2)

Cho x, y, z > 0 Chứng minh  1 +




2

3)
4)
5)

6)

Chứng minh

x +3
2

x 
y 
÷1 + ÷1 +
y 
z 

z
÷≥ 8
x

≥ 2 ∀x ∈ ¡

x +2
x+8
≥ 6 ∀x >1
Chứng minh

x −1

3
. Chứng minh rằng:
4
3
a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤ 3 (ĐH 2005)
1 1 1
Ba số dương a, b, c thỏa mãn + + = 3 . Chứng minh rằng: (1 + a )(1 + b)(1 + c) ≥ 8 (ĐH 2001
a b c
Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn a + b + c =

2. Dạng 2. Vận dụng BĐT vào tìm GTLN, GTNN của biểu thức.
7) Cho hai số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thỏa mãn ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy . Tìm GTLN của biểu thức

A=
8)

1
1
+ 3 (ĐH 2006)
3
x
y

Giả sử x và y là hai số dương và x + y = 1 . Tìm GTNN của P =

x
y
+

(ĐH 2001)
1− x
1− y

11
7 

+ 4  1 + 2 ÷( x > 0) (ĐH 2006)
2x
 x 
5
10) Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y = . Tìm GTNN của biểu thức
4
4 1
S= +
(ĐH 2002)
x 4y
11) Cho 0 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ y ≤ 3 . Tìm GTLN của A = ( 3 − y ) ( 4 − x ) ( 2 y + 3 x )
9)

Tìm GTNN của hàm số y = x +

12) Tìm GTNN của các hàm số sau:

3
1
với x > 0
b) f ( x) = x +
với x > 1
x

x −1
13) Cho f ( x) = ( x + 4 ) ( 5 − x ) với −4 ≤ x ≤ 5 . Xác định x sao cho f(x) đạt GTLN
a) f ( x) = x +

Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga


Năm học 2010 - 2011

Tổ Toán - Trường THPT Nam Duyên Hà

Ngày soạn 12/4/2011
ÔN TẬP: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
(Số tiết: 2)
I. MỤC ĐÍCH U CẦU
I. Kiến thức:
Ơn tập các kiến thức về hệ phương trình bậc nhất, bậc hai, hệ đối xứng
II. Kĩ năng:
Học sinh vận dụng thành thạo các phương pháp, cơng thức vào làm một số dạng tốn cơ bản
III.Tư duy và thái độ
Rèn tư duy lôgic, biết quy lạ về quen
Biết hệ thống, tổng hợp, linh hoạt.
Hứng thú hơn với môn học
II. CHUÂN BỊ
I. Giáo viên: Giáo án, đồ dùng dạy học, phiếu học tập
II. Học sinh: Chuẩn bị bài trước khi lên lớp
III. PHƯƠNG PHÁP:
Sử dụng linh hoạt các phương pháp vấn đáp, gợi mở, nêu và giải quyết vấn đề
IV: NỘI DUNG BÀI HỌC
A. TÓM TẮT L THUYấT:

I)Hệ đối xứng loại I
f ( x; y ) = 0
là hệ đối xứng loại I nếu
g ( x; y ) = 0
x + y = S
2)C¸ch giải : - Đặt
. ĐK: S 2 4 P .
xy = P


1) Dạng: Hệ phơng trình

f ( x; y ) = f ( y; x)

 g ( x; y ) = g ( y; x)

- BiÓu thị hệ qua S và P .
- Tìm S ; P thoả mÃn điều kiện S 2 4 P .
Khi đó x; y là 2 nghiệm của phơng trình : t 2 − St + P = 0 . Tõ ®ã cã nghiƯm cđa hƯ ®· cho.
Chó ý 1 :
+) NÕu hƯ cã nghiƯm (a;b) th× do tÝnh chÊt ®èi xøng cđa hƯ nªn hƯ cịng cã ghiƯm (b; a). V× vËy hƯ
cã nghiƯm duy nhÊt chØ khi cã duy nhÊt x = y.
+) HƯ cã nghiƯm khi vµ chØ khi hÖ S, P cã nghiÖm S, P tháa m·n S 2 ≥ 4 P .
+) Khi S 2 = 4 P th× x = y = -S/2
VËy hƯ cã nghiÖm duy nhÊt khi chØ khi cã duy nhÊt S, P tháa m·n S 2 = 4 P .
Chó ý 2 :
NhiỊu trêng hỵp ta cã thĨ sư dơng ĐK cần để tìm giá trị của tham số sau đó thay vào hệ kiểm tra xem
có thoả mÃn hay không - (Đ/K đủ).
II)Hệ đối xứng loại I
f ( x; y ) = 0

là hệ đối xứng loại II nÕu : f ( y; x) = g ( x; y )
 g ( x; y ) = 0

1) D¹ng Hệ :
2)Cách giải :

Giỏo viờn: Nguyn Th T Nga


Năm học 2010 - 2011

Tổ Toán - Trường THPT Nam Duyờn H

+)Đối với hầu hết các hệ dạng này khi trừ 2 vế ta đều thu đợc phơng tình :
(x-y).h(x;y) = 0
x − y = 0
h( x; y ) = 0
∨
 f ( x; y ) = 0  f ( x; y ) = 0

Khi ®ã hƯ ®· cho

( Chú ý : Có những hệ đối xứng lo¹i II sau khi trõ 2 vÕ cha xt hiƯn ngay x - y = 0 mà phải suy luận
tiếp mới có điều này).
+) Phơng pháp điều kiện cần và đủ:
Phơng pháp này đợc áp dụng tốt cho hệ đối xứng với yêu cầu: Tìm giá trị tham số để hệ có nghiệm
duy nhất.
Đ/k cần:
Nhận xét rằng: do tính đối xøng cđa hƯ nªn nÕu hƯ cã nghiƯm (x 0;y0) thì (y0;x0) cũng là nghiệm của
hệ, do đó hệ có nghiƯm duy nhÊt khi x0 = y0 (1)

Thay (1) vµo một phơng trình của hệ, tìm đ/k của tham số ®Ĩ pt` cã nghiƯm x 0 duy nhÊt ,ta ®ỵc giá trị
của tham số. Đó là đ/k cần.
Đ/k đủ: thay giá trị của tham số vào hệ kiểm tra, rồi kÕt luËn.
III. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai

(1)
Ax + By + C = 0
(I)
2
2
ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0 (2)

1. Dạng : 

2/ Cách giải
• Bíc 1 : Rút y theo x ở phơng trình bậc nhất (1) rồi thế vào phơng trình bậc hai (2) , ta đợc phơng
trình bậc hai ẩn x có dạng : A1x2 + B1x + C1 = 0 (*) .
• Bíc 2 : Giải pt (*) tìm đợc x thế vào (1) ta tìm đợc y .
3/ Chú ý :
3.1.Số nghiệm cđa hƯ ( I ) phơ thc vµo sè nghiƯm của pt (*) .
ã Nếu pt (*) vô nghiệm thì hệ đà cho vô nghiệm .
ã Nếu pt (*) có nghiệm duy nhất x0 thì hệ đà cho có nghiệm duy nhÊt (x0 ; y0) .
• NÕu pt (*) cã 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì hệ đà cho có 2 nghiệm phân biệt (x1 ; y1) và
(x2 ; y2) .
3.2. Hoàn toàn tơng tự ta có thể rót x theo y ë pt bËc nhÊt (1) råi thế vào phơng trình bậc hai (2) , ta đa
về pt bËc hai Èn y : A1y2 + B1y + C1 = 0 (*)
B. BAI TP
c) Giải các hệ phơng tr×nh sau :
(1)
x - y = 1

1/  2
 y + 2x - 5 = 0 (2)

(1)
x - y + 1 = 0
3/  2
2
6x - 3y + 4x + 3 = 0 (2)
d) Giải các hệ phơng trình sau :

x + y = 6
2
2
 x + y = 26

1/ 

Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga

9x 2 - 16y 2 = 144 (1)

2/ 
(2)
x - y = 7


(1)
x - y + 1 = 0
4/  2
 y + x - 2y - 1 = 0 (2)

 x + xy + y = - 1
2
2
 x y + xy = - 2

2/ 


Năm học 2010 - 2011

Tổ Toán - Trường THPT Nam Duyên Hà

 xy + x 2 + y 2 = 4
3/ 
 x + y + xy = 2
e) Gi¶i các hệ phơng trình sau :

x = y2 - y
1/ 
2
y = x - x
2x 2 - 3x = y 2 - 2
3/  2
2
2y - 3y = x - 2

Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga

 x y + y x = 30


4/ 
 x x + y y = 35

(x - 2) 2 + y2 = 2
2/  2
2
 x + (y - 2) = 2
2x 2 + xy = 3x
4/  2
2y + xy = 3y


Năm học 2010 - 2011

Tổ Toán - Trường THPT Nam Duyên Hà

Ngày soạn: 18/4/2011
ÔN TẬP: THỐNG KÊ
(Số tiết: 1)
I. MỤC ĐÍCH U CẦU
4. Kiến thức:
Ơn tập các kiến thức về thống kê
5. Kĩ năng:
Học sinh vận dụng thành thạo các phương pháp, cơng thức vào làm một số dạng tốn cơ bản
6. Tư duy và thái độ
Rèn tư duy lôgic, biết quy lạ về quen
Biết hệ thống, tổng hợp, linh hoạt.
Hứng thú hơn với môn học
II. CHUÂN BỊ

3. Giáo viên: Giáo án, đồ dùng dạy học, phiếu học tập
4. Học sinh: Chuẩn bị bài trước khi lên lớp
III. PHƯƠNG PHÁP:
Sử dụng linh hoạt các phương pháp vấn đáp, gợi mở, nêu và giải quyết vấn đề
IV: NỘI DUNG BÀI HỌC
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Số trung bình cộng ( x )
o Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất
1
x = ( x1 n1 + x 2 n 2 + ... + x k nk ) = f 1 x1 + f 2 x 2 + ... + f k x k
N
trong đó ni , f i lần lượt là tần số, tần suất của giá trị xi .
N là các số liệu thống kê ( n1 + n2 + ... + n k = N )
o Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp
1
x = (c1 n1 + c 2 n 2 + ... + c k n k ) = f 1c1 + f 2 c 2 + ... + f k c k
N
trong đó ci , ni , f i lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ i.
N là các số liệu thống kê ( n1 + n2 + ... + n k = N )
2. Mốt ( M 0 )
Trong bảng phân bố tần số, giá trị có tần số lớn nhất ta gọi là mốt của mẫu và được kí hiệu M 0 .
3. Số trung vị ( M e )
Sắp sếp thứ tự các số liệu thống kê thành dãy không giảm ( hoặc không tăng):
N +1
Nếu N lẻ thì giá trị đứng thứ
được gọi là số trung vị.
2
N
N
+ 1 là số trung vị.

Nếu N chẵn thì trung bình giá trị đứng thứ
và
2
2
Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga


Tổ Toán - Trường THPT Nam Duyên Hà
Năm học 2010 - 2011
2
4. Phương sai ( S x )
o Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất
1
2
Sx =
n1 ( x1 − x) 2 + n2 ( x 2 − x) 2 + ... + nk ( x k − x) 2 = f 1 ( x1 − x ) 2 + f 2 ( x 2 − x) 2 + ... + f k ( x k − x ) 2
N
trong đó ni , f i lần lượt là tần số, tần suất của giá trị xi ; N là các số liệu thống kê ( n1 + n2 + ... + n k = N ); x là
số trung bình cộng của các số liệu đã cho.
o Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp
1
2
Sx =
n1 (c1 − x) 2 + n 2 (c 2 − x) 2 + ... + nk (c k − x) 2 = f 1 (c1 − x ) 2 + f 2 (c 2 − x) 2 + ... + f k (c k − x) 2
N
trong đó ci , ni , f i lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của của lớp thứ i ; N là các số liệu thống kê (
n1 + n2 + ... + n k = N ); x là số trung bình cộng của các số liệu đã cho.

[

]

[

]

2
5. Độ lệch chuẩn ( S x ): S x = S x

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho bảng thống kê: Năng suất lúa hè thu (tạ/ha) năm 1998 của 31 tỉnh từ Nghệ An trở vào là:
30
30
25
25
35
45
40
40
35
45
35
25
45
30
30
30
40
30
25

45
45
35
35
30
40
40
40
35
35
35
35
a) Dấu hiệu điều tra là gì? Đơn vị điều tra?
b) Hãy lập:
6. Bảng phân bố tần số
7. Bảng phân bố tần suất
c) Dựa vào kết quả của câu b) Hãy nhận xét về xu hướng tập trung của các số liệu thống kê
Bài 2: Đo khối lượng của 45 quả táo (khối lượng tính bằng gram), người ta thu được mẫu số liệu sau:
86
86
86
86
87
87
88
88
88
89
89
89

89
90
90
90
90
90
90
91
92
92
92
92
92
92
93
93
93
93
93
93
93
93
93
94
94
94
94
95
96
96

96
97
97
a) Dấu hiệu điều tra là gì? Đơn vị điều tra? Hãy viết các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên
b) Lập bảng phân bố tấn số và tần suất ghép lớp gồm 4 lớp với độ dài khoảng là 2: Lớp 1 khoảng
[86;88] lớp 2 khoảng [89;91] . . .
Bài 3: Cho mẫu số liệu có bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp như sau:
Nhóm
Khoảng
Tần số(ni)
Tần suất (fi)
1
[86;88]
9
20%
2
[89;91]
11
24.44%
3
[92;94]
19
42.22%
4
[95;97]
6
13.34%
Tổng
N = 45
100%

Bài 1. Vẽ biểu đồ hình cột tần số
b) Vẽ biểu đồ hình cột tần suất
2. Vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số
d) Vẽ biểu đồ hình quạt
Bài 4: Đo độ dài một chi tiết máy (đơn vị độ dài là cm) ta thu được mẫu số liệu sau:
40.4 40.3 42.0 44.5 49.8 50.6 51.2 53.4 55.5 56.0 56.4 57.2
57.4 58.0 58.7 58.8 58.9 59.1 59.3 59.4 60.0 60.3 60.5 62.8
a) Tính số trung bình, số trung vị và mốt
Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga


Tổ Toán - Trường THPT Nam Duyên Hà

Năm học 2010 - 2011

b) Lập bảng tấn số ghép lớp gồm 6 lớp với độ dài khoảng là 4: nhóm đầu tiên là [40;44) nhóm thứ
hai là [44;48);...
Bài 5: Thành tích nhảy xa của 45 hs lớp 10D1 ở trường THPT Trần Quang Khải:
Tần
1) Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp, với các lớp như ở bảng bên
số
2) Vẽ biểu đồ tần số hình cột thể hiện bảng bên.
[2,2;2,4)
3
3 Nhận xét về thành tích nhảy xa của 45 học sinh lớp 10D1
[2,4;2,6)
6
[2,6;2,8)
12
[2,8;3,0)

11
[3,0;3,2)
8
[3,2;3,4)
5
Cộng
45
Bài 6: Khối lượng của 85 con lợn (của đàn lợn I) được xuất chuồng (ở trại nuôi lợn N)
Lớp thành tích

Lớp khối
lượng
[45;55)
[55;65)
[65;75)
[75;85)
[85;95)
Cộng

Tần số
10
20
35
15
5
85

1) Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp, với các lớp như ở bảng bên
2) Vẽ biểu đồ tần số hình cột thể hiện bảng bên.
3) Biết rằng sau đó 2 tháng, trai N cho xuất thêm hai đàn lợn, trong

đó:
Đàn lợn II có khối lượng TB là 78kg và phương sai bằng 100
Đàn lợn III có khối lượng TB là 78kg và phương sai bằng 110
Hãy so sánh khối lượng của lợn trong 2 đàn II và III ở trên.

Bài 7: Thống kê điểm toán của một lớp 10D1 được kết quả sau:
Điểm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tần
1
2
4
3
3
7
13
9
3
2
số
Tìm mốt ?Tính số điểm trung bình, trung vị và độ lệch chuẩn?

Bài 8: Sản lượng lúa( đơn vị tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong
bảng tần số sau đây:
Sản lượng (x)
20
21
22
23
24
Tấn số (n)
5
8
11
10
6
N=40
2.
Tìm sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng
3.
Tìm phương sai và độ lệch chuẩn

Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga


Năm học 2010 - 2011

Tổ Toán - Trường THPT Nam Duyên Hà

Ngày soạn: 21/4/2011
CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
(Số tiết: 3)

Ngày soạn: 18/4/2011
ƠN TẬP: THỚNG KÊ
(Số tiết: 1)
I. MỤC ĐÍCH U CẦU
1. Kiến thức:
Ôn tập các kiến thức về cung và góc lượng giác, giá trị lượng giác của các 1 cung, các công thức
biến đổi lượng giác
2. Kĩ năng:
Học sinh vận dụng thành thạo các phương pháp, công thức vào làm một số dạng toán cơ bản
3. Tư duy và thái độ
Rèn tư duy lôgic, biết quy lạ về quen
Biết hệ thống, tổng hợp, linh hoạt.
Hứng thú hơn với môn học
II. CHUÂN BỊ
1. Giáo viên: Giáo án, đồ dùng dạy học, phiếu học tập
2. Học sinh: Chuẩn bị bài trước khi lên lớp
III. PHƯƠNG PHÁP:
Sử dụng linh hoạt các phương pháp vấn đáp, gợi mở, nêu và giải quyết vấn đề
IV: NỘI DUNG BÀI HỌC
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Cung và góc lượng giác
c) Quan hệ giữa độ và rađian
0

10 =

Π
 180 
0
0

’
’’
rad, 1 rad = 
÷ Với Π ≈ 3,14 thì 1 ≈ 0,0175 rad và ngược lại 1 rad ≈ 57 17 45
180
 Π 

Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:
Độ
00
300
450
600
900
1200
1350
1500
π
π
π
π
2π
3π
5π
Radian 0
6

4

3

2

3

4

6

1800

3600

π

2π

d) Độ dài l của cung tròn có số đo α rad, bán kính R là l =R α
e) Số đo của các cung tròn có điểm đầu A, điểm cuối B là: sđ » = α + k 2π , k ∈ Z ,
AB
α là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu tiên là A, điểm cuối B. Mỗi giá trị K
Trong đó
ứng với một cung.
Nếu viết số đo bằng độ thì ta có: sđ » = α 0 + k 3600 , k ∈ Z
AB

Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga


Tổ Toán - Trường THPT Nam Duyên Hà

Năm học 2010 - 2011

f) Để biểu diễn cung lượng giác có số đo α trên đường tròn lượng giác, ta chọn điểm A(1; 0)
làm điểm đầu của cung vì vậy ta chỉ cần xác định điểm cuối M trên đường tròn lượng giác
sao cho cung ¼ có số đo ¼ = α
AM
AM
» ứng với một góc lượng giác (OC, OD) và ngược lại. Số đo của
g) Mỗi cung lượng giác CD
cung lượng giác và góc lượng giác tương ứng là trùng nhau.
2. Giá trị lượng giác của 1 cung
a) Các tính chất
 Với mọi α ta có : −1 ≤ sin α ≤ 1 hay sinα ≤ 1
−1 ≤ cosα ≤ 1 hay cosα ≤ 1
π
 tgα xác định ∀α ≠ + kπ  cotgα xác định ∀α ≠ kπ
2

b) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản
sin α
cos α
a)
= tan α (α ≠ 90 0 ) ;
= cot α (α ≠ 0 0 ,180 0 ) ;
cos α
sin α
b)
2α
2α

sin + cos = 1
tan α .cot α = 1
1
1
1
1
c)
cotα =
; tanα =
;1 + tan2α =
;1 + cot2α =
tan α
cot α
cos 2 α
sin 2 α
c) Giá trị lượng giác của các cung đối nhau ( α vaø -α )
cos(−α ) = cos α ;
sin(−α ) = − sin α ;
tg(−α ) = −tgα ;
cot g(−α ) = − cot gα
( Đối cos)
d) Giá trị lượng giác của các cung bù nhau ( α vaø π -α )
cos(π − α ) = − cos α ;
sin(π − α ) = sin α ;
tg(π − α ) = −tgα ;
(Bù sin)
e) Giá trị lượng giác của các cung hơn kém nhau π ( α vaø π + α )
cos(π + α ) = − cos α ;
sin(π + α ) = − sin α ;
tg(π + α ) = tgα ;

(Hơn kém π tan, cot)
π
π
f) Giá trị lượng giác của các cung hơn kém nhau
( α vaø + α )

cot g(π − α ) = − cot gα

cot g(π + α ) = cot gα

2
2
π
π
tg( + α ) = −cotgα ;
cot g( + α ) = − t gα
2
2
π
g) Giá trị lượng giác của các cung phụ nhau ( α vaø − α )
2
π
π
π
π
cos( − α ) = sin α ;
sin( − α ) = cos α ;
tg( − α ) = cotgα ;
cot g( − α ) = t gα
2

2
2
2
(Phụ chéo)
3. Các công thức lượng giác
• Cơng thức cộng:
cos(α + β ) = cos α .cos β − sin α .sin β ;
cos(α − β ) = cos α .cos β + sin α .sin β
sin(α + β ) = sin α .cos β + sin β .cos α ;
sin(α − β ) = sin α .cos β − sin β .cos α
tanα +tanβ
tanα − tanβ
tan(α +β ) =
;
tan(α − β ) =
1 − tan α .tan β
1 + tan α .tan β
• Cơng thức nhân đôi:
Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga

π
cos( + α ) = − sin α ;
2

π
sin( + α ) = cos α ;
2


Năm học 2010 - 2011

Tổ Toán - Trường THPT Nam Duyên Hà
sin 2α = 2sin α .cos α
cos 2α = cos2 α − sin 2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α
2 tan α
tan 2α =
1 − tan 2 α

• Cơng thức hạ bậc:
1 + cos 2α
1 − cos 2α
cos 2 α =
;
sin 2 α =
;
2

tan 2 α =

2

• Cơng thức biến đởi tích thành tổng:

1
[ cos(α + β ) + cos(α − β )] ;
2
1
sin α .cos β = [ sin(α + β ) + sin(α − β )]
2
cos α .cos β =

1 − cos 2α
1 + cos 2α

sin α .sin β =

1
[ cos(α − β ) − cos(α + β )]
2

•

Cơng thức biến đổi tổng thành tích:
α +β
α −β
α +β
α −β
cos α + cos β = 2 cos
.cos
;
cos α − cos β = −2sin
.sin

2
2
α +β
α −β
sin α + sin β = 2sin
.cos
;

2
2
sin(α + β )
tan α + angβ =
;
cos α cos β

2
2
α +β
α −β
sin α − sin β = 2 cos
.sin
2
2
sin(α − β )
tan α − tan β =
cos α cos β

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Dạng 1: Cung và góc lượng giác
Bài 1: Đổi các số đo góc sau ra độ:

2π 3π
3π 2π 3π 1
;
; 1;
;
;
;

3
5
10 9 16 2

Bài 2: Đối các số đo góc sau ra rađian: 350; 12030’; 100; 150; 22030’; 2250
Bài 3: Một cung tròn có bán kính 15cm. Tìm độ dài các cung trên đường tròn đó có số đo:
π
a)
b) 250
c) 400
d) 3
16

Bài 4: Trên đường tròn lượng giác, xác định các điểm M khác nhau biết rằng cung ¼ có các số đo:
AM
π
2π
π
π
(k ∈ Z )
a) k π
b) k
c) k
d) + k (k ∈ Z )
2

5

3

2. Giá trị lượng giác của một cung
Bài 1: Tính giá trị các hám số lượng giác của các cung có số đo:
a) -6900
Bài 2:

b) 4950

c) −

17π
3

−3
và 1800 < x < 2700. tính sinx, tanx, cotx
5
3
3π
b) Cho tan α = và π < α <
. Tính cot α , sin α , cos α
4
2

a) Cho cosx =

Bài 3: Cho tanx –cotx = 1 và 00Bài 4:
a) Xét dấu sin500.cos(-3000)
0 α
4.
Cho 0 < <900. xét dấu của sin( α +900)

Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga

2

d)

15π
2


Năm học 2010 - 2011

Tổ Toán - Trường THPT Nam Duyên Hà
π
Bài 5: Cho 0< α < . Xét dấu các biểu thức:
2

a)cos (α + π )

b) tan (α + π )




c) sin  α +

2π 
÷
5 




d) cos  α −

3π 
÷
8 

Bài 6: Rút gọn các biểu thức
2 cos 2 − 1
a) A =
sin x + cos x

b) B = sin 2 x(1 + cot x) + cos 2 (1 + tan x)

Bài 7: Tính giá trị của biểu thức:
cot α + tan α
3
π
a) A =
biết sin α = và 0 < α <
cot α − tan α
5
2
2sin α + 3cos α
3sin α − 2 cos α
b) Cho tan α = 3 . Tính
;
4sin α − 5cos α

5sin 3 α + 4 cos3 α
Bài 8: Chứng minh các đẳng thức sau:
a)

sin x
1 + cos x
2
+
=
1 + cos x
sin x
sin x
6

6

b) sin4x + cos4x = 1 – 2sin2x.cos2x c)

2

cos 2 x − sin 2 x
= sin 2 x.cos 2 x
e)
2
2
cot x − tan x

2

sin x + cos x = 1 – 3sin x.cos x

3. Công thức lượng giác
Bài 1: Tính giá trị lượng giác của các cung:
π
5π
a)
b)
12

12

c)

1
cos x
−
= tan x
d)
cos x 1 + sin x
1 + sin 2 x
= 1 + 2 tan 2 x
f)
2
1 − sin x

7π
12

Bài 2: Chứng minh rằng:
π

π
a)sin α + cos α = 2 cos(α − ) = 2 sin(α + );
4
4

π
π
b)sin α − cos α = 2 sin(α − ) = − 2 cos(α + )
4
4
Bài 3:
a) Biến đổi thành tổng biểu thức: A = cos 5 x. cos 3 x
5π
7π
B = cos
sin
b. Tính giá trị của biểu thức:
12
12
Bài 4: Biến đổi thành tích biểu thức: A = sin x + sin 2x + sin 3x
12
3π
π

< α < 2π
Bài 5: Tính cos  − α ÷ nếu sin α = − và
13
2
3


Bài 6: Chứng minh rằng:
1 − tan x
π

= tan  − x ÷
a)
1 + tan x
4


b)



Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức
π
π
π
π
a) A = sin .cos .cos .cos
24
24
2
0
b) B = 2 cos 75 − 1

12

6

1 + tan x
π

= tan  + x ÷
1 − tan x
4


0
0
0
0
c) C = ( cos15 − sin15 ) . ( cos15 + sin15 )

Bài 8*: Không dùng bảng lượng giác, tính các giá trị của các biểu thức sau:
π
2π
3π
2π
4π
6π
a) P = cos − cos + cos
b) Q = cos + cos + cos
7

7

Bài 9: Rút gon biểu thức:

Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga

7

7

7

7


Năm học 2010 - 2011

Tổ Toán - Trường THPT Nam Duyên Hà

4sin 2 α
1 + cos α − sin α
b)
c)
2 α
1 − cos
1 − cos α − sin α
2
Bài 10: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào α , β
a) sin 6α .cot 3α − cos 6α
b) (tan α − tan β ) cot(α − β ) − tan α .tan β
α
α
2α


c)  cot − tan ÷.tan
3
3
3

sin 2α + sin α
a) A =
1 + cos 2α + cos α

Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga

B=


T Toỏn - Trng THPT Nam Duyờn H

Phần hình học

Nm học 2010 - 2011

Ngày soạn: 21/4/2010
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC, GIẢI TAM GIÁC
( Số tiết: 2)
I. MỤC ĐÍCH YÊU CẦU
1. Kiến thức:
Ôn tập các kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác
2. Kĩ năng:
Học sinh vận dụng thành thạo các phương pháp, công thức vào làm một số dạng toán cơ bản
3. Tư duy và thái độ
Rèn tư duy lôgic, biết quy lạ về quen

Biết hệ thống, tổng hợp, linh hoạt.
Hứng thú hơn với môn học
II. CHUÂN BỊ
1. Giáo viên: Giáo án, đồ dùng dạy học, phiếu học tập
2. Học sinh: Chuẩn bị bài trước khi lên lớp
III. PHƯƠNG PHÁP:
Sử dụng linh hoạt các phương pháp vấn đáp, gợi mở, nêu và giải quyết vấn đề
IV: NỘI DUNG BÀI HỌC
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. Các hệ thức lượng trong tam giác:
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c , trung tuyến AM = ma , BM = mb , CM = mc
Định lý cosin:
a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA
b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB
c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC
Hệ quả:
b2 + c2 − a2
a2 + c2 − b2
a2 + b2 − c2
cosA =
cosB =
cosC =
2bc
2ac
2ab
a
b
c
=

=
Định lý sin:
= 2R (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC )
sin A sin B sin C
2 .Độ dài đường trung tuyến của tam giác:
b 2 + c 2 a 2 2(b 2 + c 2 ) − a 2
;
ma 2 =
−
=
2
4
4
a 2 + c 2 b 2 2(a 2 + c 2 ) − b 2
2
mb =
−
=
2
4
4
2
2
2
2
b +a
c
2(b + a 2 ) − c 2
2
mc =

−
=
2
4
4
3. Các công thức tính diện tích tam giác:
Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga


Tổ Toán - Trường THPT Nam Duyên Hà

Năm học 2010 - 2011

1
1
1
1
1
1
aha = bhb = chc
S = ab.sinC = bc.sinA = ac.sinB
2
2
2
2
2
2
abc
1
• S=

S = pr
S = p ( p − a )( p − b)( p − c) với p = (a + b + c)
2
4R
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
Bài 1: Cho ∆ ABC có c = 35, b = 20, A = 600. Tính ha; R; r
Bài 2: Cho ∆ ABC có AB =10, AC = 4 và A = 600. Tính chu vi của ∆ ABC , tính tanC
Bài 3: Cho ∆ ABC có A = 600, cạnh CA = 8cm, cạnh AB = 5cm
a. Tính BC
b) Tính diện tích ∆ ABC
c) Xét xem góc B tù hay nhọn?
b. Tính độ dài đường cao AH
e) Tính R
0
Bài 4: Trong ∆ ABC, biết a – b = 1, A = 30 , hc = 2. Tính Sin B
Bài 5: Cho ∆ ABC có a = 13cm, b = 14cm, c = 15cm
a. Tính diện tích ∆ ABC
b) Góc B tù hay nhọn? Tính B
c) Tính bánh kính R, r
d) Tính độ dài đường trung
tuyến mb
Bài 6: Cho ∆ ABC có a = 13cm, b = 14cm, c = 15cm
a) Tính diện tích ∆ ABC
b) Góc B tù hay nhọn? Tính B
c) Tính bán kính đường tròn R, r
d) Tính độ dài đường trung tuyến
Bài 7: Cho ∆ ABC có BC = 12, CA = 13, trung tuyến AM = 8. Tính diện tích ∆ ABC ? Tính góc B?
Bài 8: Cho ∆ ABC có 3 cạnh 9; 5; và 7. Tính các góc của tam giác ? Tính khoảng cách từ A đến BC
• S=

b2 + c2 − a 2
Bài 9: Chứng minh rằng trong ∆ ABC luôn có công thức cot A =
4S
Bài 10: Cho ∆ ABC

a)Chứng minh rằng SinB = Sin(A+C)
b) Cho A = 600, B = 750, AB = 2, tính các cạnh
còn lại của ∆ ABC
Bài 11: Cho ∆ ABC có G là trọng tâm. Gọi a = BC, b = CA, c = AB. Chứng minh rằng:
GA2 + GB2 +GC2 =

1 2
(a + b 2 + c 2 )
3

Bài 12: Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng: a = b.cosC +c.cobB
Bài 13: Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và đường trung tuyến AM = c = AB. Chứng minh
rằng:
a. a2 = 2(b2 – c2)
b) Sin2A = 2(Sin2B – Sin2C)
Bài 14: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
a) b2 – c2 = a(b.cosC – c.cosB) b) (b2 – c2)cosA = a(c.cosC – b.cosB)
c) sinC = SinAcosB +
sinBcosA
a 2 + b2 + c2
R
Bài 15: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: cotA + cotB + cotC =
abc
·
Bài 16: Một hình thang cân ABCD có hai đáy AB = a, CD = b và BCD = α . Tính bán kính của

đường tròn ngoại tiếp hình thang.
µ
µ
Bài 17: Tính diện tích của ∆ ABC, biết chu vi tam giác bằng 2p, các góc A = 450, B = 600.
Bài 18*: Chứng minh rằng nếu các góc của ∆ ABC thỏa mãn điều kiện sinB = 2sinA.cosC, thì ∆ đó
cân.
Bài 19*: Chứng minh đẳng thức đúng với mọi ∆ ABC :
a) a 2 = b 2 + c 2 − 4S .cot A
b) a (sin B − sin C ) + b( sinC − sinA) + C ( sinA − sinB ) = 0
Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga


Tổ Toán - Trường THPT Nam Duyên Hà
c) bc(b 2 − c 2 ).cosA + ca(c 2 − a 2 ).cosB + ab(a 2 − b 2 ).cosC = 0
·
Bài 20: Tính độ dài ma, biết rằng b = 1, c =3, BAC = 600

Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga

Năm học 2010 - 2011


Năm học 2010 - 2011

Tổ Toán - Trường THPT Nam Duyên Hà

Ngày soạn: 21/4/2010
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
(Số tiết: 3)

I. MỤC ĐÍCH U CẦU
1. Kiến thức:
Ơn tập các kiến thức về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
2. Kĩ năng:
Học sinh vận dụng thành thạo các phương pháp, công thức vào làm một số dạng toán cơ bản
3. Tư duy và thái độ
Rèn tư duy lôgic, biết quy lạ về quen
Biết hệ thống, tổng hợp, linh hoạt.
Hứng thú hơn với môn học
II. CHUÂN BỊ
1. Giáo viên: Giáo án, đồ dùng dạy học, phiếu học tập
2. Học sinh: Chuẩn bị bài trước khi lên lớp
III. PHƯƠNG PHÁP:
Sử dụng linh hoạt các phương pháp vấn đáp, gợi mở, nêu và giải quyết vấn đề
IV: NỘI DUNG BÀI HỌC
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT:

1. Phương trình tham số của đường thẳng ∆ :
 x = x0 + tu1

với M ( x0 ; y0 )∈ ∆ và u = (u1 ; u 2 ) là vectơ chỉ phương (VTCP)

 y = y 0 + tu 2
2. Phương trình tởng quát của đường thẳng ∆ : a(x – x0 ) + b(y – y 0 ) = 0 hay ax + by + c = 0

(với c = – a x0 – b y 0 và a2 + b2 ≠ 0) trong đó M ( x0 ; y0 ) ∈ ∆ và n = (a; b) là vectơ pháp tuyến
• Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A(a ; 0) và B(0 ; b) là:
x y
+ =1
a b

• Phương trình đường thẳng đi qua điểm M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k có dạng :
y – y 0 = k (x – x0 )
3. Khoảng cách từ mội điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0
d(M; ∆) =

ax0 + bx0 + c
a2 + b2

4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng :
∆1 = a1 x + b1 y + c1 = 0
và ∆ 2 = a 2 x + b2 y + c2 = 0
a

a

b

 a x + b y + c =0

b

1
1
∆1 cắt ∆ 2 ⇔ 1 ≠ 1 ; Tọa độ giao điểm của ∆1 và ∆ 2 là nghiệm của hệ  1
a2 b2
a2 x + b2 y + c2 =0


c

∆1 ⁄ ⁄ ∆ 2 ⇔ 1 = 1 ≠ 1 ;
a2 b2 c2
Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga

a

b

c

∆1 ≡ ∆ 2 ⇔ 1 = 1 = 1
a2 b2 c2

(với a 2 , b2 , c2 khác 0)


Năm học 2010 - 2011

Tổ Toán - Trường THPT Nam Duyên Hà

B.CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng
Bài 1: Lập phương trình tham số và tổng quát của đường thẳng ( ∆ ) biết:
r

a) ( ∆ ) qua M (–2;3) và có VTPT n = (5; 1)
r
u = (3; 4)

b) ( ∆ ) qua M (2; 4) và có VTCP

Bài 2: Lập phương trình đường thẳng ( ∆ ) biết: ( ∆ ) qua M (2; 4) và có hệ số góc k = 2
Bài 3: Cho 2 điểm A(3; 0) và B(0; –2). Viết phương trình đường thẳng AB.
Bài 4: Cho 3 điểm A(–4; 1), B(0; 2), C(3; –1)
a) Viết pt các đường thẳng AB, BC, CA
b) Gọi M là trung điểm của BC. Viết pt tham số của đường thẳng AM
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆
Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1, d2 có phương trình
lần lượt là: 13x – 7y +11 = 0, 19x +11y – 9 = 0 và điểm M(1; 1).
Bài 6: Lập phương trình đường thẳng ( ∆ ) biết: ( ∆ ) qua A (1; 2) và song song với đường thẳng x + 3y
–1 = 0
Bài 7: Lập phương trình đường thẳng ( ∆ ) biết: ( ∆ ) qua C ( 3; 1) và song song đường phân giác thứ (I)
của mặt phẳng tọa độ
Bài 8: Cho biết trung điểm ba cạnh của một tam giác là M 1(2; 1); M2 (5; 3); M3 (3; –4). Lập phương
trình ba cạnh của tam giác đó.
Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác với M (–1; 1) là trung điểm của một cạnh, hai cạnh kia có
phương trình là: x + y –2 = 0, 2x + 6y +3 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.
Bài 10: Lập phương trình của đường thẳng (D) trong các trường hợp sau:
a) (D) qua M (1; –2) và vuông góc với đt ∆ : 3x + y = 0.
b) (D) qua gốc tọa độ và vuông
 x = 2 − 5t
 y = 1+ t

góc với đt 

Bài 11: Viết pt đường thẳng đi qua gốc tọa độ và cách điểm M(3; 4) một khoảng lớn nhất.
Bài 12: Cho tam giác ABC có đỉnh A (2; 2)
a) Lập phương trình các cạnh của tam giác biết các đường cao kẻ từ B và C lần lượt có phương
trình:
9x –3y – 4 = 0 và x + y –2 = 0

b) Lập phương trình đường thẳng qua A và vuông góc AC.
Bài 13: Cho ∆ ABC có phương trình cạnh (AB): 5x –3y + 2 = 0; đường cao qua đỉnh A và B lần lượt
là: 4x –3y +1 = 0; 7x + 2y – 22 = 0. Lập phương trình hai cạnh AC, BC và đường cao thứ ba.
Dạng 2: Chuyển đổi các dạng phương trình đường thẳng
 x = 3 + 2t
, t là tham số. Hãy viết phương trình tổng quát của d.
 y = −1 − t

Bài 1: Cho đường thẳng d : 

Bài 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng: 2x – 3y – 12 = 0
Bài 3: Viết phương trình tổng qt, tham số, chính tắc (nếu có) của các trục tọa độ
Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga


Năm học 2010 - 2011

Tổ Toán - Trường THPT Nam Duyên Hà

Bài 4: Viết phương trình tham số của các đường thẳng y + 3 = 0 và x – 5 = 0
Dạng 3: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Bài 1: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:
a) d1: 2x – 5y +6 = 0 và d2: – x + y – 3 = 0
–7=0
 x = −1 − 5t
 y = 2 + 4t

c) d1: 

 x = −6 + 5t

 y = 2 − 4t

và d2: 

b) d1: – 3x + 2y – 7 = 0 và d2: 6x – 4y

d) d1: 8x + 10y – 12 = 0 và d2:

 x = −6 + 5t

 y = 6 − 4t

Dạng 4: Góc và khoảng cách
Bài 1: Tính góc giữa hai đường thẳng
• d1: 2x – 5y +6 = 0 và d2: – x + y – 3 = 0

b) d1: 8x + 10y – 12 = 0 và d2:

 x = −6 + 5t

 y = 6 − 4t

c)d1: x + 2y + 4 = 0 và d2: 2x – y + 6 = 0
Bài 2: Cho điểm M(1; 2) và đường thẳng d: 2x – 6y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua
M và hợp với d một góc 450.
Bài 3: Viết pt đường thẳng đi qua gốc tọa độ và tạo với đt Ox một góc 600.
Bài 4: Viết pt đường thẳng đi M(1; 1) và tạo với đt Oy một góc 600.
Bài 5: Điểm A(2; 2) là đỉnh của tam giác ABC. Các đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh B, C nằm trên
các đường thẳng có các pt tương ứng là: 9x – 3y – 4 = 0, x + y – 2 = 0. Viết pt đường thẳng qua A và
tạo với AC một góc 450.

Bài 6: Cho 2 điểm M(2; 5) và N(5; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cách điểm N một
khoảng bằng 3.
Bài 7: Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và cách điểm M(1; 2) một khoảng bằng 2.
Bài 8: Viết phương trình đường thẳng song2 và cách đều 2 đường thẳng x + 2y – 3 = 0 và x + 2y + 7 =
0.
Bài 9*: (ĐH Huế khối D –1998) Cho đường thẳng d: 3x – 4y + 1 viết pt đt d’song 2 d và khoảng cách
giữa 2 đường thẳng đó bằng 1.
Bài 10: Viết pt đường thẳng vuông góc với đường thẳng d: 3x – 4y = 0 và cách điểm M(2; –1) một
khoảng bằng 3.
Bài 11*: Cho đường thẳng ∆ : 2x – y – 1 = 0 và điểm M(1; 2).
a) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ’) đi qua M và vng góc với ∆ .
b) Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên ∆ .
c) Tìm điểm M’ đối xứng với M
qua ∆ .

Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga