Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án

Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án
Trường THPT Trần Đại Nghĩa ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 1 NĂM 2015
MÔN TOÁN
Tổ Toán Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1: (2 điểm)
1 / Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
3
3 2y x x= − −
2/ Tìm tọa độ của điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng (d): 9x – y -
18 = 0
Câu 2: a/ (0,5 điểm) Giải phương trình sau
3 9
log (2 1) 4log (5 2) 4 0x x− − + + =
b/ (0.5 điểm) Giải phương trình cos3x + 2 sin2x – cosx = 0
Câu 3: (1 điểm) Tính tích phân
1
2
0
.
1
xdx
x x+ +
∫
Câu 4: a/ (0.5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
( ) 2 5f x x x= + −
b/ (0.5 điểm)Biết trong số 10 vé xổ số còn lại trên bàn vé có 2 vé trúng thưởng. Khi đó một người
khách rút ngẫu nhiên 5 vé . Hãy tính xác suất sao cho trong 5 vé được rút ra có ít nhất một vé trúng
thưởng
Câu 5: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, mặt bên (SAB) nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy (ABCD), tam giác SAB vuông tại S, SA = a Hãy tính thể tích của khối chóp

S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SC theo a
Câu 6: (1 điểm) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P):
2 2 1 0x y z− + − =
và điểm A(1 ; -1; 0)
a/ Hãy viết phương trình mp
( )
α
qua điểm A và song song với mặt phẳng (P)
b/ Tìm tọa độ điềm M thuộc mp (P) sao cho MA vuông góc với mp( P )
Câu 7: (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có đường chéo AC phương trình là x+y-10=
0. Tìm tọa độ điểm B biết rằng đường thẳng CD qua điểm M (6; 2) và đường thẳng AB qua điểm N( 5; 8)
Câu 8: (1 điểm) Giải hệ phương trình
2 2
2 2
7
2 2
x xy y
x xy y x y

+ + =


− − = − +


Câu 9: (1 điểm) Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn
2 2
(3 2)( 1) 0x y x y+ + − − =
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2

8 4P x y x y x y= + + + + − −

Hết
Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án
Đáp án
Câu Nội dung Điểm
1a
1 đ
+ TXĐ D=R
+
2
' 3 3y x= −
y’=0
1
1
x
x
=

⇒

= −

+
lim ; lim
x x
y y
→+∞ →−∞
= +∞ = −∞
+ BBT: Đúng chiều biến thiên

Đúng các giới hạn và cực trị
+ KL: Hs đồng biến trong khoảng (-∞ ;-1)và (1 ; +∞); nghịch biến trong
khoảng (-1 ; 1); đạt cực đại bằng 0 tại x=-1 ; đạt cực tiểu bằng -4 tại x=1
+ Điểm đặc biệt: đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm (2; 0) và (-1;0)
có điểm uốn (0; 2)
+ Đồ thị: Vẽ đúng đồ thị qua các điểm cực trị , điểm đặc biệt và đúng
dạng
0.25
0.25
0.25
0.25
1b
1đ
+ Đường thẳng 9x – y – 18 = 0 có hệ số góc bằng 9
+ Gọi M
0
( x
0
; y
0
) là điểm mà tại đó tiếp tuyến song song đường thẳng
9x - y- 18=0
0
'( ) 9f x⇒ =

2
0
0
0
3 3 9

2
2
x
x
x
⇒ − =
=

⇔

= −

+ Với x
0
=2 y
0
= 0 M
0
( 2; 0)
x
0
= -2 y
0
= -4  M
0
( -2 ; -4 )
+ Kiểm tra lại
M
0
( 2,0)  tiếp tuyến tại M

0
có pt là y= 9(x – 2)
9 18 0x y⇔ − − =
( loại)
M
0
(-2;-4)tiếp tuyến tại M
0
có pt là
9( 2) 4y x= + −
⇔
9x-y+14=0( nhận)
0.25
0.25
0.25
0.25
2a
0.5
a/ + Đk :
1
2
x >
( )
3 9
3 3
2
3 3
3
2
4

2
2
log (2 1) 4log (5 2) 4 0
log (2 1) 2log (5 2) 4
log (2 1) log (5 2) 4
2 1
log 4
5 2
2 1
3
(5 2)
25 142 85 0
5
17
25
x x
x x
x x
x
x
x
x
x x
x
x
−
− − + + =
⇔ − − + = −
⇔ − − + = −
−

⇔ = −
+
−
⇔ =
+
⇔ − + =
=


⇔

=

0.25
Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án
2b
0.5
So với đk ta nhận x=5 và
17
25
x =
b/ 2sin2x +cos3x – cosx = 0
⇔
2 sin2x – 2 sin2x.sinx = 0
⇔
2sin2x ( 1 – sinx) = 0
sin 2 0
sin 1
2
2

2
x
x
k
x
x
π
π
π
=

⇔

=


=

⇔


= +


0.25
0.25
0.25
3
1 đ
1 1

2 2
2 2
0 0
( 1) 2 1
.
1 1
x dx x x
dx
x x
+ + +
=
+ +
∫ ∫
=
1
2
0
2
1
1
x
dx
x
 
+
 ÷
+
 
∫
=

1 1
2
0 0
2 .
1.
1
x dx
dx
x
+
+
∫ ∫
=
1
2
1
2
0
0
d(x 1)
1
x
x
+
+
+
∫
=1+
1
2

0
ln 1x +
=1+ln2
0.25
0.25
0.25
0.25
4a
0.5 đ
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
( ) 2 5f x x x= + −
+
[0;5]x∈
+
1 1
'( )
2 5
f x
x x
= −
−
+
[ ]
'( ) 0 4 0;5f x x= ⇔ = ∈
+
(0) 5; (5) 2 5; (4) 5f f f= = =
+
[ ]
[ ]
0;5

0;5
( ) 5 (4)
min ( ) 5 (0)
x
x
Maxf x f
f x f
∈
∈
= =
= =
0.25
0.25
4b
0.5 đ
+ Số phần tử của không gian mẫu:
Ω
=
5
10
C
=252
+ Biến cố A: ‘Trong năm vé rút ra có ít nhất một vé trúng thưởng’
 biến cố
A
: ‘Trong năm vé rút ra không có vé nào trúng thưởng’
Số kết quả thuận lợi cho biến cố
A
là
5

8
C
= 56
Xác suất của biến cố
A
là P(
A
) =
56
252
Xác suất của biến cố A là P(A) =
56 7
1
252 9
− =
0.25
0.25
5 + Trong mp(SAB), dựng SH
⊥
AB, do (SAB)
⊥
(ABCD)
Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án
1 đ
( )SH ABCD⇒ ⊥
SH
⇒
là chiều cao khối chóp
.
1

.
3
S ABCD
V B h⇒ =

+ B= dt ABCD= 4a
2

+ h = SH

2 2
SB AB SA= −
=
3a

.SB SA
h SH
AB
= =
=
3
2
a
3
.
2 3
S ABCD
V a⇒ =
• d(AB,SC)
Vì AB// DC nên d (AB, SC)= d( AB, (SDC))

= d ( A, (SDC)

.
.
3
1
3. .
2
A SDC
S ABCD
V
dtSDC
V
dtSDC
=
=
• dt SDC=?
tgSAD vuông tại A nên
5SD a=
tgSBC vuông tại B nên
7SC a=
, DC= 2a
2
19
2
dtSDC a⇒ =
nên
6 57
( ,( ))
19

a
d A SDC =
0.25
0.25
0.25
0.25
6a

0.5 đ
+ Mp
( )
α
song song với (P) nên mp
( )
α
có vecto pháp tuyến là
(2; 2;1)n = −
r
mặt khác
( )
α
qua điểm A (1;-1; 0) nên :
Pt của
( )
α
là 2 (x – 1) -2 (y + 1) +1( z – 0)= 0

⇔
2x – 2y +z -4 = 0
0.25

0.25
6b + Gọi M (x; y; z)
- Do
( ) 2 2 1 0M P x y z∈ ⇔ − + − =
- Do MA
⊥
(P)
ùng phuongnMAc⇔
uuur r
Mà
(1 ; 1 ; )MA x y z= − − − −
uuur

(2; 2;1)n = −
r
nên
1 1
2 2 1
x y z− − − −
= =
−
0.25
Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án
0.5 đ
0
2 1
x y
y z
+ =


⇔

+ = −

Ta có hpt
2 2 1
0
2 1
1
3
1
3
1
3
x y z
x y
y z
x
y
z
− + =


+ =


+ = −


=




⇔ = −



= −


KL :
1 1 1
; ;
3 3 3
M
 
− −
 ÷
 
0.25
7
1 đ
+ Gọi
( ; )n a b=
r
là vecto pháp tuyến của đường thẳng AB với
2 2
0a b+ >
góc giữa đường thẳng AB và AC bằng 45
0


0
2 2 2 2
cos45
. 1 1
a b
a b
+
=
+ +
2 2
. 0
0
0
a b a b
a b
a
b
⇒ + = +
⇒ =
=

⇒

=

+ a=0 nên b ≠0  chọn b= 1 pt đt AB là 0(x – 5)+ 1( y – 8)=0
⇔
y=8

+ b=0 nên a ≠0  chọn a=1  pt đt AB là 1( x – 5) +0(y – 8)=0
⇔
x=5
* Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua AC, do AC là phân giác của góc tạo
bởi hai đường thẳng BC và DC nên M’ thuộc đường thẳng BC
 pt đt MM’ là 1( x- 6) -1(y – 2)=0
⇔
x – y – 4 = 0
+ Gọi H là giao điểm của đt MM’ và AC  H( 7;3)
+ H là trung điểm MM’  M’(8; 4 )
* Với M’(8;4) và AB : y=8 pt BC là x= 8 B=
AB BC
∩
B(8;8)
* Với M’(8,4) và AB : x= 5 pt BC là y=4  B=
AB BC
∩
 B(5;4)
0.25
0.25
0.25
0.25
8
1 đ
+
2 2
2 2
2 2
(1 ) 2 0
x xy y x y

x y x y y
− − = − +
⇔ + − − − =
có
2
(3 1)y∆ = +
nên
2
1
x y
x y
=


= − −

+ Với x=2y thế vào (1) ta có
1 2
1 2
y x
y x
= ⇒ =


= − ⇒ = −

0.25
0.25
0.25
Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án

+ Với x= -y-1 thế vào (1) ta có
3 2
2 3
y x
y x
= − ⇒ =


= ⇒ = −

Vậy hệ có 4 nghiệm (2;1); (-2;-1); (2;-3); (-3;2)
0.25
9
1 đ
+ Ta có
2 2 2
(3 2)( 1) 0 ( ) 3( ) 2x y x y x y x y xy y+ + − − = ⇔ + − + + = − −
Vì x,y không âm nên
2
( ) 3( ) 2 0 1 2x y x y x y+ − + + ≤ ⇔ ≤ + ≤
Đặt t = x+y khi đó
[ ]
1;2t ∈
Ta có
2 2 2
8 4 ( ) ( ) 8 4 ( )P x y x y x y x y x y x y= + + + + − − ≤ + + + + − +

2
8 4P t t t≤ + + −
+ Xét hàm

2
( ) 8 4f t t t t= + + −
với
[ ]
1;2t ∈
ta có
4
'( ) 2 1
4
f t t
t
= + −
−
với
[ ]
1;2t ∈
4
'( ) 3 0
2
f t⇒ > − >
với
[ ]
1;2t ∈
và f(t) liên tục trên đoạn [1;2] nên f(t) đồng biến trên đoạn [1;2]

[1;2]
( ) (2) 6 8 2 ( ) 6 8 2maxf t f f t= = + ⇒ ≤ +

6 8 2P ≤ +
, P=

6 8 2+
khi
. 0
2
x y
t
=


=

2
0
x
y
=

⇔

=

KL: Giá trị lớn nhất của P là
6 8 2+
đạt được khi x = 2 và y = 0
0.25
0.25
0.25
0.25
Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG III
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút ,không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
3
3 1y x mx= − + +
(1).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với O là gốc
tọa độ ).
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
sin 2 1 6sin cos2x x x
+ = +
.
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân
2
3
2
1
2lnx x
I dx
x
−
=
∫
.
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình
2 1

5 6.5 1 0
x x+
− + =
.
b) Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm trực nhật. Tính
xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho điểm
( )
4;1;3A −
và đường thẳng
1 1 3
:
2 1 3
x y z
d
+ − +
= =
−
. Viết phương trình mặt phẳng
( )P
đi qua
A
và vuông góc với đường thẳng
d
. Tìm
tọa độ điểm
B
thuộc

d
sao cho
27AB =
.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp
.S ABC
có tam giác
ABC
vuông tại
A
,
AB AC a
= =
,
I
là trung điểm
của SC, hình chiếu vuông góc của
S
lên mặt phẳng
( )
ABC
là trung điểm
H
của BC, mặt phẳng (SAB) tạo
với đáy 1 góc bằng
60
o
. Tính thể tích khối chóp
.S ABC
và tính khoảng cách từ điểm

I
đến mặt phẳng
( )
SAB
theo
a
.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
cho tam giác
ABC
có
( )
1;4A
, tiếp tuyến tại
A
của
đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
cắt
BC
tại
D
, đường phân giác trong của
·
ADB
có phương trình
2 0x y− + =
, điểm
( )

4;1M −
thuộc cạnh
AC
. Viết phương trình đường thẳng
AB
.
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
2
2
3 5 4
4 2 1 1
x xy x y y y
y x y x

+ + − − = +


− − + − = −


Câu 9 (1,0 điểm). Cho
, ,a b c
là các số dương và
3a b c
+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
3 3 3
bc ca ab
a bc b ca c ab
P + +

+ + +
=
…….Hết……….
Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án
ĐÁP ÁN
Câu Nội dung Điểm
1 a. (1,0 điểm)
Với m=1 hàm số trở thành:
3
3 1y x x= − + +
TXĐ:
D R
=

2
' 3 3y x
= − +
,
' 0 1y x= ⇔ = ±
0.25
Hàm số nghịch biến trên các khoảng
( )
; 1
−∞ −
và
( )
1;
+∞
, đồng biến trên khoảng
( )

1;1
−
Hàm số đạt cực đại tại
1x
=
,
3
CD
y =
, đạt cực tiểu tại
1x
= −
,
1
CT
y = −
lim
x
y
→+∞
= −∞
,
lim
x
y
→−∞
= +∞
0.25
* Bảng biến thiên
x –

∞
-1 1 +
∞
y’ + 0 – 0 +
y
+
∞
3
-1 -
∞

0.25
Đồ thị:

4
2
2
4
0.25
B. (1,0 điểm)
( )
2 2
' 3 3 3y x m x m
= − + = − −


( )
2
' 0 0 *y x m
= ⇔ − =

0.25
Đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị
⇔
PT (*) có 2 nghiệm phân biệt
( )
0 **m⇔ >
0.25
Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án
Khi đó 2 điểm cực trị
( )
;1 2A m m m− −
,
( )
;1 2B m m m+
0.25
Tam giác OAB vuông tại O
. 0OAOB⇔ =
uuur uuur

3
1
4 1 0
2
m m m⇔ + − = ⇔ =
( TM (**) )
Vậy
1
2
m =
0,25

2.
(1,0 điểm)
sin 2 1 6sin cos2x x x+ = +
⇔
(sin 2 6sin ) (1 cos 2 ) 0x x x
− + − =
0.25
⇔
( )
2
2sin cos 3 2sin 0x x x
− + =
⇔
( )
2sin cos 3 sin 0x x x
− + =

0. 25
sin 0
sin cos 3( )
x
x x Vn
=

⇔

+ =

0. 25
⇔

x k
π
=
. Vậy nghiệm của PT là
,x k k Z
π
= ∈
0.25
3
(1,0 điểm)
2
2 2 2 2
2
2 2 2
1 1 1 1
1
ln ln 3 ln
2 2 2
2 2
x x x x
I xdx dx dx dx
x x x
= − = − = −
∫ ∫ ∫ ∫
0.25
Tính
2
2
1
ln x

J dx
x
=
∫
Đặt
2
1
ln ,u x dv dx
x
= =
. Khi đó
1 1
,du dx v
x x
= = −
Do đó
2
2
2
1
1
1 1
lnJ x dx
x x
= − +
∫
0.25
2
1
1 1 1 1

ln 2 ln 2
2 2 2
J
x
= − − = − +
0.25
Vậy
1
ln 2
2
I = +
0.25
4. (1,0 điểm)
a,(0,5điểm)
2 1
5 6.5 1 0
x x+
− + =
2
5 1
5.5 6.5 1 0
1
5
5
x
x x
x

=


⇔ − + = ⇔

=


0.25
0
1
x
x
=

⇔

= −

Vậy nghiệm của PT là
0x
=
và
1x
= −
0.25
b,(0,5điểm)
Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án
( )
3
11
165n CΩ = =
0.25

Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là
2 1 1 2
5 6 5 6
. . 135C C C C+ =
Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là
135 9
165 11
=
0.25
5. (1,0 điểm)
Đường thẳng d có VTCP là
( )
2;1;3
d
u = −
uur
Vì
( )
P d⊥
nên
( )
P
nhận
( )
2;1;3
d
u = −
uur
làm VTPT
0.25

Vậy PT mặt phẳng
( )
P
là :
( ) ( ) ( )
2 4 1 1 3 3 0x y z− + + − + − =

2 3 18 0x y z⇔ − + + − =
0.25
Vì
B d
∈
nên
( )
1 2 ;1 ; 3 3B t t t− − + − +
27AB =
( ) ( )
2 2
2 2
27 3 2 6 3 27AB t t t⇔ = ⇔ − + + − + =
2
7 24 9 0t t⇔ − + =
0.25
3
3
7
t
t
=



⇔

=

Vậy
( )
7;4;6B −
hoặc
13 10 12
; ;
7 7 7
B
 
− −
 ÷
 
0.25
6.
(1,0 điểm)

j
C
B
A
S
H
K
M
Gọi K là trung điểm của AB

HK AB
⇒ ⊥
(1)
Vì
( )
SH ABC⊥
nên
SH AB
⊥
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
AB SK
⇒ ⊥
Do đó góc giữa
( )
SAB
với đáy bằng góc
giữa SK và HK và bằng
·
60SKH =
o
Ta có
·
3
tan
2
a
SH HK SKH= =
0.25
Vậy

3
.
1 1 1 3
. . . .
3 3 2 12
S ABC ABC
a
V S SH AB AC SH= = =
0.25
Vì
/ /IH SB
nên
( )
/ /IH SAB
. Do đó
( )
( )
( )
( )
, ,d I SAB d H SAB=
Từ H kẻ
HM SK
⊥
tại M
( )
HM SAB⇒ ⊥
⇒
( )
( )
,d H SAB HM=

0.25
Ta có
2 2 2 2
1 1 1 16
3HM HK SH a
= + =
3
4
a
HM⇒ =
. Vậy
( )
( )
3
,
4
a
d I SAB =
0,25
Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án
7.
(1,0 điểm)
K
C
A
D
B
I
M
M'

E
Gọi AI là phan giác trong của
·
BAC
Ta có :
·
·
·
AID ABC BAI= +

·
·
·
IAD CAD CAI= +
Mà
· ·
BAI CAI=
,
·
·
ABC CAD=
nên
·
·
AID IAD=
⇒

DAI∆
cân tại D
⇒

DE AI⊥
0,25
PT đường thẳng AI là :
5 0x y+ − =
0,25
Goị M’ là điểm đối xứng của M qua AI
⇒
PT đường thẳng MM’ :
5 0x y− + =
Gọi
'K AI MM= ∩
⇒
K(0;5)
⇒
M’(4;9)
0,25
VTCP của đường thẳng AB là
( )
' 3;5AM =
uuuuur
⇒
VTPT của đường thẳng AB là
( )
5; 3n = −
r
Vậy PT đường thẳng AB là:
( ) ( )
5 1 3 4 0x y− − − =
5 3 7 0x y⇔ − + =
0,25

8.
(1,0 điểm).
2
2
3 5 4(1)
4 2 1 1(2)
x xy x y y y
y x y x

+ + − − = +


− − + − = −


Đk:
2
2
0
4 2 0
1 0
xy x y y
y x
y

+ − − ≥

− − ≥



− ≥

Ta có (1)
( ) ( )
3 1 4( 1) 0x y x y y y⇔ − + − + − + =
Đặt
, 1u x y v y= − = +
(
0, 0u v≥ ≥
)
Khi đó (1) trở thành :
2 2
3 4 0u uv v+ − =
4 ( )
u v
u v vn
=

⇔

= −

0.25
Với
u v=
ta có
2 1x y= +
, thay vào (2) ta được :
2
4 2 3 1 2y y y y− − + − =

0.25
Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án
( )
( )
2
4 2 3 2 1 1 1 0y y y y⇔ − − − − + − − =
( )
2
2 2
2
0
1 1
4 2 3 2 1
y
y
y
y y y
−
−
+ =
− +
− − + −
( )
2
2 1
2 0
1 1
4 2 3 2 1
y
y

y y y
 
 ÷
⇔ − + =
 ÷
− +
− − + −
 
0.25
2y⇔ =
( vì
2
2 1
0 1
1 1
4 2 3 2 1
y
y
y y y
⇔ + > ∀ ≥
− +
− − + −
)
Với
2y =
thì
5x
=
. Đối chiếu Đk ta được nghiệm của hệ PT là
( )

5;2
0.25
9.
(1,0 điểm) .
Vì a + b + c = 3 ta có
3 ( ) ( )( )
bc bc bc
a bc a a b c bc a b a c
= =
+ + + + + +
1 1
2
bc
a b a c
 
≤ +
 ÷
+ +
 
Vì theo BĐT Cô-Si:
1 1 2
( )( )
a b a c
a b a c
+ ≥
+ +
+ +
, dấu đẳng thức xảy ra
⇔
b = c

0,25
Tương tự
1 1
2
3
ca ca
b a b c
b ca
 
≤ +
 ÷
+ +
+
 
và
1 1
2
3
ab ab
c a c b
c ab
 
≤ +
 ÷
+ +
+
 
0,25
Suy ra P
3

2( ) 2( ) 2( ) 2 2
bc ca ab bc ab ca a b c
a b c a b c
+ + + + +
≤ + + = =
+ + +
,
0,25
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P =
3
2
khi a = b = c = 1.
0,25
Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án
SỞ GD - ĐT TP. ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HIỀN

(Ngày thi: 12/5/2015)
ĐỀ THI THỬ - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không tính thời gian phát đề)
Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số
3 2
( ) 3 2y f x x x
= = − +
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
0
x

, biết
( )
0
'' 3f x
= −
.
Câu 2. (1,0 điểm)
1) Giải phương trình
( )
2
2 1 2 2cosx sinx cosx sinx
+ − = +
.
2) Tìm số phức z sao cho
(1 2 )i z+
là số thuần ảo và
2. 13z z− =
.
Câu 3. (0,5 điểm) Giải phương trình
( )
2
3 1
3
log (5 3) log 1 0x x− + + =
.
Câu 4. (1,0 điểm) Giải bất phương trình
2
2
3 1
1

1
1
x
x
x
− <
−
−
.
Câu 5. (1,0 điểm) Tính tích phân
( )
4
1
( 1)I x ln x dx= + +
∫
.
Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình chữ nhật và SA = AB = 2a.
Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm M của cạnh AB, mặt bên (SCD)
hợp với đáy một góc
0
60
. Hai đường thẳng MC và BD cắt nhau tại I. Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD).
Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh
(2; 2)A −
, trọng tâm
( )
0;1G
và
trực tâm

1
;1
2
H
 
 ÷
 
. Tìm tọa độ của các đỉnh B, C và tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC.
Câu 8. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm
(1; 2; 3)A −
, đường thẳng
1 2 3
:
2 1 1
x y z
d
− − −
= =
và mặt phẳng
( ) : 2 2 4 0P x y z− + + =
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên
mặt phẳng tọa độ (Oyz) và B là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (P). Viết phương trình
mặt phẳng
( )Q
đi qua H và vuông góc với đường thẳng d. Tính diện tích mặt cầu đường kính AB.
Câu 9. (0,5 điểm) Một hộp có 5 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu vàng và 8 viên bi màu xanh. Cùng
một lần lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tìm xác suất sao cho trong 3 viên bi lấy ra không có viên bi nào là
màu đỏ.
Câu 10. (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn

0xy yz zx xyz+ + − =
. Tìm giá trị nhỏ
Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án
nhất của biểu thức
2 2 2 2
2 2
2 2
2
x y y z
z x
F
xy yz zx
+ +
+
= + +
.
HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: số báo danh:
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2015
(GỒM 4 TRANG)
Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số
3 2
( ) 3 2y f x x x= = − +
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. (1 điểm)
Hàm số
3 2
( ) 3 2y f x x x= = − +
.

• Tập xác định: R
• Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
2
y' f '(x) 3x 6x, y' 0 x 0; x 2= = − = ⇔ = =
0,25
Hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
;0−∞
và
( )
2;+∞
; nghịch biến trên khoảng
( )
0;2
+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0,
CD
y 2=
, đạt cực tiểu tại x = 2
CT
, y 2=−
+ Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
0,25
+ Bảng biến thiên (đầy đủ, đúng) 0,25
• Đồ thị:

0,25
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) (1 điểm)
Gọi M
0 0
( ; )x y
là tiếp điểm.
0 0 0
1
''( ) 6 6. ''( ) 3 6 6 3
2
f x x f x x x= − = − ⇔ − = − ⇔ =
0,25

0
1 11
2 8
y f
 
= =
 ÷
 
;
1 9
'
2 4
f
−
 
=
 ÷

 

0,25
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M:
9 1 11
4 2 8
y x
−
 
= − +
 ÷
 
;
0,25
Hay là:
9 5
4 2
y x= − +
0,25
Câu 2. (1,0 điểm) 1) Giải phương trình
( )
2
2 1 2 2cosx sinx cosx sinx
+ − = +
.(0,5 điểm)
( )
2
2 1 2 2 2 0 ( 2)(1 2 ) 0 (*)PT cosx sinx cos x cosx sinx cosx sin x⇔ + + − − − = ⇔ − + =
0,25
Do

2 0cosx
− ≠
nên
(*) 1 2 0 2 1 .
4
sin x sin x x k
π
π
⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − +
0,25
2) Tìm số phức z sao cho
(1 2 )i z+
là số thuần ảo và
2. 13z z− =
(0,5 điểm)
Giả sử
( , )z a bi a b R= + ∈
, khi đó
(1 2 ) (1 2 )( ) ( 2 ) (2 )i z i a bi a b a b i+ = + + = − + +
(1 2 )i z+
là số thuần ảo
2 0 2a b a b
⇔ − = ⇔ =
0,25
2
2. 3 2 3 13 13 1z z a bi b bi b b− = + = + = = ⇔ = ±

Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án
Có hai số phức thỏa mãn đề bài:
2z i

= +
;
2z i
= − −

0,25
Câu 3. (0,5 điểm) Giải phương trình
( )
2
3 1
3
log (5 3) log 1 0x x− + + =
.
Điều kiện:
3
5
x >
, biến đổi được
( ) ( )
2 2
1 3
3
log 1 log 1x x+ = − +
0,25
Với điều kiện trên, PT đã cho tương đương với phương trình:
( )
2
3 3
log 1 log (5 3)x x+ = −
2

1 5 3x x⇔ + = − ⇔
2
5 4 0 1; 4x x x x− + = ⇔ = =

( thỏa mãn điều kiện). Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1; x = 4
0,25
Câu 4. (1,0 điểm) Giải bất phương trình
2
2
3 1
1
1
1
x
x
x
− <
−
−
.
Điều kiện
1x <
. Bất phương trình đã cho tương đương với:

2 2 2
2 2
2 2
1 3 3
1 2 0 (1)
1 1

1 1
x x x x x
x x
x x
− +
> − ⇔ − + >
− −
− −
0,25
Đặt
2
1
x
t
x
=
−
, khi đó bất phương trình (1) trở thành:
2
1
3 2 0
2
t
t t
t
<

− + > ⇔

>


0,25
Với t < 1 thì
2
2
1 1 (2)
1
x
x x
x
< ⇔ < −
−
•
1 0:x
− < ≤
bất phương trình (2) đúng
•
0 1:x
< <
bất phương trình
2 2
2
(2) 1 0
2
x x x⇔ < − ⇔ < <
• Tập nghiệm của bất phương trình (2) là
1
2
1;
2

S
 
= −
 ÷
 ÷
 
0,25
Với t > 2 thì
2
2
2 2 1 (3)
1
x
x x
x
> ⇔ > −
−
• Bất phương trình (3)
2 2
0
2 5
5
4(1 )
x
x
x x
>

⇔ ⇔ >


> −

• Tập nghiệm của bất phương trình (3) là
2
2 5
;1
5
S
 
=
 ÷
 ÷
 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
1 2
2 2 5
1; ;1
2 5
S S S
   
= ∪ = − ∪
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
0,25
Câu 5. (1,0 điểm) Tính tích phân
( )
4
1
( 1)I x ln x dx= + +

∫
.
•
4 4
1 1
. ( 1).I x dx ln x dx= + +
∫ ∫
.
0,25
Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án
•
4 4
1
2
1
1 1
4
2 14
. . ( )
1
3 3
I x dx x dx x x= = = =
∫ ∫

0,25
•
[ ]
4 4
2
1 1

4
( 1). ( 1) ( 1) 5ln 5 2ln 2 3
1
I ln x dx x ln x dx= + = + + − = − −
∫ ∫
.
5
5ln5 2ln 2
3
I = + −

0,50
Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình chữ nhật và SA = AB = 2a. Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm M của cạnh AB, mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc
0
60
. Hai đường thẳng MC và BD cắt nhau tại I. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ I
đến mặt phẳng (SCD).

Từ giả thiết có
SAB
là tam giác đều cạnh 2a,
SM là đường cao,
( )
= =
3
SM 2a . a 3
2

0,25
Gọi N là trung điểm của CD thì có
( )
·
·
0
; ( ),( ) 60MN CD SN CD SCD ABCD MNS⊥ ⊥ ⇒ = =
0
tan 60
SM
BC MN a= = =
Thể tích khối chóp S.ABCD:
3
2 3
. . . .(2 ).( ).( 3)
3
1 1 1
.
3 3 3
ABCD
a
AB BC SM a a aV S SM = == =

0,25
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên SN thì
( ) ( ,( ))MH SCD MH d M SCD⊥ ⇒ =
2
2 2
. . 3 3
2 2

MN MS MN SM a a
MH
SN a
MN SM
= = = =
+
0,25
Từ giả thiết suy ra I là trọng tâm của tam giác ABC.
Kẻ IK // MH thì
2
, , ( )
3
K CH IK MH IK SCD∈ = ⊥
2 2 3
( ,( )) . ( ,( ))
3 3 3
a
d K SCD IK MH d M SCD⇒ = = = =
0,25
Câu 7.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh
(2; 2)A −
, trọng tâm
( )
0;1G
và trực tâm
1
;1
2
H
 

 ÷
 
.Tìm tọa độ của B, C và tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
60
0
K
N
I
A
B
C
D
M
H
S
C
Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án
(C)
K
M
H
C
B
A
I
Gọi M là trung điểm cạnh BC, ta có
3 5
. 1;
2 2
AM AG M

 
= ⇒ −
 ÷
 
uuuur uuur
3
;3
2
AH
−
 
=
 ÷
 
uuur
hay
( )
1; 2n = −
r
là pháp vectơ của đường
thẳng BC.
0,25

Phương trình
: 2 6 0 2 6BC x y x y− + = ⇔ = −
Vì B và C đối xứng với nhau qua M nên gọi
(2 6; )B m m−
thì có
(4 2 ; 5 )C m m− −
0,25

( )
2 8; 2AB m m= − +
uuur
;
7
2 ; 4
2
HC m m
 
= − −
 ÷
 
uuur
. Ta có:
. 0AB HC =
uuur uuur
( 4)(5 5 ) 0 4; 1m m m m⇒ − − = ⇔ = =
.Vậy có
(2;4), ( 4;1)B C −
hoặc
( 4;1), (2;4)B C−

0,25
Kẻ đường kính AK của đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC
Tứ giác BHCK có BH//KC và BK//HC nên BHCK là hình bình hành. Suy ra: HK và BC cắt
nhau tại M là trung điểm của BC và M cũng là trung điểm của HK.
Ta có
1
;1
2

H
 
 ÷
 
,
5
1;
2
M
 
−
 ÷
 
5
;4
2
K
 
⇒ −
 ÷
 
. Bán kính
1 15
2 4
R AK= =

* Ghi chú: Có thể tìm tọa độ tâm I của đường tròn (C) bằng hệ thức Ơ-le
2GH GI= −
uuur uur
( Thí

sinh phải trình bày chứng minh hệ thức này). Sau đó tính
R IA=

0,25
Câu 8.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm
(1; 2; 3)A −
, đường thẳng
1 2 3
:
2 1 1
x y z
d
− − −
= =
và mặt phẳng
( ) : 2 2 4 0P x y z− + + =
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt
phẳng tọa độ (Oyz) và B là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt phẳng
( )Q
đi qua H và vuông góc với đường thẳng d. Tính diện tích mặt cầu đường kính AB.
Hình chiếu của A trên mp (Oyz) là H(0; -2; 3). Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
(2;1;1)u =
r
0,25
Mặt phẳng (Q) đi qua H. Vì
( )Q d⊥
nên
( )Q
nhận
(2;1;1)u =

r
làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình của (Q):
2( 0) 1( 2) 1( 3) 0 2 1 0x y z x y z
− + + + − = ⇔ + + − =
0,25
(1 2 ; 2 ; 3 )B d B t t t∈ ⇒ + + +
. Tọa độ của B ứng với giá trị của t thỏa mãn:
2(1 2 ) (2 ) 2(3 ) 4 0 2t t t t+ − + + + + = ⇔ = −
. Từ đó có
( 3;0;1)B −
( Hoặc giải hệ PT:
2 5 3
1 2 3
1 0
2 1 1
2 2 4 0
2(2 5) ( 1) 2 4 0 1
x z x
x y z
y z y
x y z
z z z z
= − = −
 
− − −

= =
  
⇔ = − ⇔ =

  
  
− + + =
− − − + + = =

 
)
0,25
Mặt cầu đường kính AB có bán kính
1
6
2
R AB= =
.
Diện tích của mặt cầu:
2 2
( )
4 4 ( 6) 24
mc
S R
π π π
= = =
(đvdt)
0,25
Câu 9.(0,5 điểm) Một hộp có 5 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu vàng và 8 viên bi màu xanh. Cùng một lần lấy
Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án
ngẫu nhiên 3 viên bi. Tìm xác suất sao cho trong 3 viên bi lấy ra không có viên bi nào là màu đỏ.
Số phần tử của không gian mẫu:
3
20

1140=C
phần tử
Gọi A là biến cố: " Trong 3 viên bi lấy ra không có viên bi nào là màu đỏ", nghĩa là trong 3 viên
bi lấy ra hoặc là toàn bi vàng, hoặc là toàn bi xanh, hoặc là có cả bi xanh và bi vàng
0,25
Ta có
3
7
C =
35 cách lấy 3 viên bi vàng, có
3
8
56=C
cách lấy 3 viên bi xanh, có
2 1 1 2
7 8 7 8
. .C C C C+ =
364 cách lấy 3 viên có cả vàng và xanh.
Do đó:
3 3 2 1 1 2
7 8 7 8 7 8
. .
455 91
( )
1140 1140 228
C C C C C C
P A
+ + +
= = =
0,25

Cách khác gọn hơn: Gọi A là biến cố: " Trong 3 viên bi lấy ra không có viên bi nào là màu đỏ",
nghĩa là 3 viên bi được lấy ra từ 15 viên bi ( vàng và xanh). Số cách chọn
3
15
455C =
455 91
( )
1140 228
P A = =
0,25
Câu 10.(1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn
0xy yz zx xyz+ + − =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
2 2 2 2
2 2
2 2
2
x y y z
z x
F
xy yz zx
+ +
+
= + +
.
Biến đổi:
2 2
2 2
2 2 2 2

2
2 1 1
2.
x y
x y
xy x y y x
+
+
= = +
. Đặt
1 1 1
, ,a b c
x y z
= = =
. Giả thiết đề bài:

, , 0 , , 0
0 1
x y z a b c
xy yz zx xzy a b c
> >
 
⇔
 
+ + − = + + =
 
; và
2 2 2 2 2 2
2 2 2F b a c b a c= + + + + +
0,25

Áp dụng bất đẳng thức hiển nhiên
( )
( )
2
2
.u v u v≥
r r r r
, với
(1;1;1), ( ; ; )u v b b a= =
r r
ta có:
2 2 2 2 2 2 2
3(2 ) 3( ) ( ) (2 )b a b b a b b a b a+ = + + ≥ + + = +

2 2
1
2 (2 ) (1)
3
b a b a⇒ + ≥ +
0,25
Tương tự, ta có
2 2 2 2
1 1
2 (2 ) (2); 2 (2 ) (3)
3 3
c b c b a c a c+ ≥ + + ≥ +
0,25
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta có:
2 2 2 2 2 2
1

2 2 2 (3 3 3 ) 3
3
F b a c b a c a b c= + + + + + ≥ + + =
Đẳng thức xảy ra
1
3
3
a b c x y z⇔ = = = ⇔ = = =
Kết luận: F có giá trị nhỏ nhất bằng
3

0,25
HẾT
Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2
——————
KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT VÀ THI TS ĐẠI HỌC LẦN 1
NĂM HỌC: 2014 -2015
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời giao đề.
Đề thi gồm: 01 trang.
———————
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
2 4
1
x
y
x
−

=
+
có đồ thị là (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng
( ) :3 2 2 0d x y− + =
.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình :
sin 3 2 1 2sin . 2x cos x x cos x
+ = +
.
Câu 3 (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2 4y x x= − + −
.
Câu 4 (1,0 điểm). Trong một cái hộp có 20 viên bi gồm 12 bi đỏ khác nhau và 8 bi xanh khác nhau. Xét phép
thử ngẫu nhiên lấy 7 viên bi từ hộp, tính xác suất để 7 viên bi lấy ra có không quá 2 bi đỏ.
Câu 5 (1,0 điểm). Tìm m để phương trình:
2
3 1x m x+ = +
có hai nghiệm thực phân biệt.
Câu 6(1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
, 2 ,AB a AD a= =

( )SA ABCD⊥
và
SA a
=
. Tính theo a thể tích chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBM) với
M là trung điểm của CD.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy
, cho hình bình hành
ABCD
có
( 6; 6)D
− −
. Đường trung trực
của đoạn DC có phương trình
1
: 2 3 17 0x y∆ + + =
và đường phân giác của góc BAC có phương trình
2
:5 3 0x y∆ + − =
. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành
ABCD
.
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:
3 2 3
2 3
12 2 8 8
8 2 5
x y x y y
x y y x

+ + + = +


+ + =



( , )x y R∈
Câu 9 (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

3 2 2 2 2 2 2
2( ) 27 3( ) 6( )P ab bc ca a b c a b c ab bc ca= − + + + − + + + + +

trong đó a,b,c là các số thực không âm và thỏa mãn
3a b c+ + =
.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh : ; Số báo danh:
Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án
Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án
ĐÁP ÁN KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT VÀ THI TS ĐẠI HỌC LẦN 1
NĂM HỌC: 2014 -2015 ; MÔN: TOÁN
Lưu ý khi chấm bài:
-Đáp án trình bày một cách giải gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh.
Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
-Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
-Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.
-Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
Câu ý Nội dung trình bày Điểm
Câu 1 2,0
a)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 4

1
x

y
x
−
=
+
1,0
• Tập xác định: D =
{ }
\ 1R −
• Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
,
2
6
0,
( 1)
y x D
x
= > ∀ ∈
+
Hàm số đồng biến trên các khoảng
( ; 1)−∞ −
và
( 1; )− +∞
0,25
- Giới hạn và tiệm cận:
lim lim 2
x x
y y
→−∞ →+∞

= =
→
tiệm cận ngang: y=2

( 1) ( 1)
lim , lim
x x
y y
− +
→ − → −
= +∞ = −∞
→
tiệm cận đứng: x=-1
0,25
- Bảng biến thiên:

+∞


−∞
0,25
• Đồ thị:
Đồ thị cắt trục hoành tại điểm
( )
2;0
, cắt trục tung tại điểm (0;-4)
Đồ thị nhận giao điểm 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng
0,25
2
2

-1
−∞
+∞
x
y’
y
+ +
Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với
đường thẳng
( ) :3 2 2 0d x y− + =
1,0
Gọi
0 0
( ; ) ( )M x y C∈
(với
0
1x ≠ −
) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm. Từ giả thiết ta
có hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại M là
3
2
k =

0,25
Ta có pt:
0
2
0
2

0
0
1
6 3
( 1) 4
3
( 1) 2
x
x
x
x
=

= ⇔ + = ⇔

= −
+

0,25
Với
0
1 (1; 1)x M= ⇒ −
. Ta có PTTT cần tìm là:
3 5
2 2
y x= −
0,25
Với
0
3 ( 3;5)x M= − ⇒ −

. Ta có PTTT cần tìm là:
3 19
2 2
y x= +
KL: Vậy có hai TT thỏa mãn ycbt
3 5
2 2
y x= −
;
3 19
2 2
y x= +
0,25
Câu 2
Giải phương trình :
sin 3 2 1 2sin . 2x cos x x cos x
+ = +
1,0
Phương trình
sin 3 2 1 sin 3x cos x x sinx
⇔ + = + −
0,25

2
2sin 0x sinx⇔ − =
0,25
sin
1
s
2

x=0
inx


⇔

=

Với
sin 0 ( )x x k k Z
π
= ⇔ = ∈
0,25
Với
2
1
6
sin ( )
5
2
2
6
x k
x k Z
x k
π
π
π
π


= +

= ⇔ ∈


= +


Vậy phương trình có 3 họ nghiệm
2 ;
6
x k
π
π
= +
5
2 ;
6
x k
π
π
= +
( )
x k k Z
π
= ∈
0,25
Câu 3
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
( ) 2 4y f x x x= = − + −

1,0
Tập xác định: D =
[ ]
2;4
0,25
'
1 1
2 2 2 4
y
x x
= −
− −
;
[ ]
'
0 2 4 3 2;4y x x x= ⇔ − = − ⇔ = ∈
0,25
Ta có:
(2) (4) 2; (3) 2f f f= = =
0,25
Vậy
[ ]
2;4
( ) 2
x
Max f x
∈
=
khi x=3;

[ ]
2;4
( ) 2
x
Min f x
∈
=
khi x=2 và x=4 0,25
Câu 4 Trong một cái hộp có 20 viên bi gồm 12 bi đỏ khác nhau và 8 bi xanh khác nhau. Xét
phép thử ngẫu nhiên lấy 7 viên bi từ hộp, tính xác suất để 7 viên bi lấy ra có không
quá 2 bi đỏ.
1,0
Số cách chọn 7 bi từ hộp là
7
20
77520C =
(cách), suy ra
( ) 77520n Ω =
0,25
Các trường hợp lấy được 7 viên bi có không quá 2 bi đỏ là:
Lấy được 7 bi đều xanh: có
7
8
8C =
(cách)
Lấy được 1 bi đỏ, 6 bi xanh: có
1 6
12 8
336C C =
(cách)

0,25
Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án
Lấy được 2 bi đỏ, 5 bi xanh: có
2 5
12 8
3696C C =
(cách)
Goi A là biến cố : ‘ Trong 7 viên bi lấy ra có không quá 2 bi đỏ’
Ta có
( )n A =
8+336+3696 = 4040
0,25
Do đó
( ) 4040 101
( )
( ) 77520 1938
n A
P A
n
= = =
Ω
0,25
Câu 5
Tìm m để phương trình
2
3 1x m x+ = +
có hai nghiệm thực phân biệt
1,0
Vì
2

1 0x x+ ≠ ∀
nên
2
3
1
x
Pt m
x
+
⇔ =
+
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số
( )
2
3
1
x
y f x
x
+
= =
+
tại hai điểm phân biệt
0,25
Ta có:
( )
( )
3
2
3 1 1

'( ) ; ' 0
3
1
x
f x f x x
x
− +
= = ⇔ =
+
0,25
BBT của hàm f(x) 0,25
Từ BBT suy ra
1 10m< <
Vậy với
1 10m< <
thì pt đã cho có hai nghiệm thực phân biệt
0.25
Câu 6
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
, 2 ,AB a AD a= =

( )SA ABCD⊥
và
SA a
=
. Tính theo a thể tích chóp S.ABCD và khoảng cách từ A
đến mặt phẳng (SBM) với M là trung điểm của CD.
1,0
A
B

D
C
M
N
S
H
Ta có
2
. .2 2
ABCD
S AB AD a a a= = =
0,25
x
+∞
−∞
1
3
'
( )f x
( )f x
+ 0 -
10
1
1
−
Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án
Do đó :
3
2
.

1 1 2
. . .2
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V SA S a a= = =
(đvtt) 0,25
Dựng
( )AN BM N BM⊥ ∈
và
( )AH SN H SN⊥ ∈
Ta có:
BM AN
BM AH
BM SA
⊥

⇒ ⊥

⊥

và
( )
AH BM
AH SBM
AH SN
⊥

⇒ ⊥


⊥

Do đó
( ,( ))d A SBM AH=
0,25
Ta có:
2
2
ABM ABCD ADM
S S S a= − =
Mà
2
2
1 2 4
.
2
17
ABM
a a
S AN BM a AN
BM
= = ⇒ = =
Trong tam giác vuông SAN có
2 2 2
1 1 1 4
33
a
AH
AH AN SA
= + ⇒ =

Vậy
4
( ,( ))
33
a
d A SBM AH= =
0,25
Câu 7
Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, cho hình bình hành
ABCD
có
( 6; 6)D
− −
. Đường trung
trực của đoạn DC có phương trình
1
: 2 3 17 0x y∆ + + =
và đường phân giác của góc
BAC có phương trình
2
:5 3 0x y∆ + − =
. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình
bình hành
ABCD
.
1,0
Gọi I là trung điểm của CD, do
1

2 17
( ; )
3
a
I I a
− −
∈∆ ⇒
nên
1 2
( 6; )
3
a
DI a
−
= +
uuur
, đường thẳng
1
∆
có VTCP
1
( 3;2)u −
ur
vì
1
. 0 4DI u a= ⇔ = −
uuurur
do đó
( 4; 3)I − −
suy ra

( 2;0)C −
0,25
Gọi C’ đối xứng với C qua
2
∆
. Ta có phương trình CC’: x-5y+2=0
Gọi J là trung điểm của CC’. Tọa độ J là nghiệm hệ
5 2 0
1 1
( ; )
5 3 0
2 2
x y
J
x y
− + =

⇒

+ − =

nên
'
(3;1)C
0,25
Đường thẳng AB qua C’ nhận
DC
uuur
làm VTCP có phương trình: 3x-2y-7=0 .\
Tọa độ A là nghiệm hệ:

3 2 7 0
(1; 2)
5 3 0
x y
A
x y
− − =

⇒ −

+ − =


0,25
Do ABCD là hình bình hành nên
AB DC=
uuur uuur
suy ra
(5;4)B
Vậy
(1; 2)A −
,
(5;4)B
,
( 2;0)C −
0,25
Câu 8
Giải hệ phương trình:
3 2 3
2 3

12 2 8 8 (1)
8 2 5 (2)
x y x y y
x y y x

+ + + = +


+ + =


( , )x y R∈
1,0
Ta có
3 3
(1) (2 1) (2 1)x x y y⇔ + = − + −
(*)
0,25
Xét hàm số
( ) ( )
3 2
, , 3 1 0f t t t t f t t t
′
= + ∀ ∈ = + > ∀ ∈¡ ¡
. Vậy hàm số
( )
f t
đồng
biến trên
¡

. Từ
( )
*
ta có
( ) ( )
2 1 2 1f x f y x y= − ⇔ = −
0,25
Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn toán kèm đáp án
Thế
2 1x y= −
vào (2) ta được phương trình:
2 3
2 3 2
5
8
(2 1) 8 8 5
(2 1) 8 (8 5)
y
y y y
y y y

≥

− + = − ⇔

− + = −


3 2 2
5 5

8 8
8 60 76 24 0 ( 1)(8 52 24) 0
y y
y y y y y y
 
≥ ≥
 
⇔ ⇔
 
− + − = − − + =
 
 
5
8
1
1
6
6
1
2
y
y
y
y
y
y

≥




=


=
⇔ ⇔



=


=



=




0,25
Với
1 1y x= ⇒ =
Với
6 11y x= ⇒ =
Vậy hệ phương trình có nghiệm
(1;1)
và
(11;6)

0,25
Câu 9 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
3 2 2 2 2 2 2
2( ) 27 3( ) 6( )P ab bc ca a b c a b c ab bc ca= − + + + − + + + + +
trong đó a,b,c là các số thực không âm và thỏa mãn
3a b c+ + =
.
1,0
Ta có:
3
3 . .ab bc ca ab bc ca+ + ≥

⇒
2 2 2 3
27 ( )a b c ab bc ca≤ + +
Lại có:
2 2 2 2 2 2
3( ) 3( )a b c ab bc ca a b c ab bc ca+ + ≥ + + ⇒ − + + ≤ − + +
0,25
Do đó
3 3
( ) 3( ) 3 ( )P ab bc ca ab bc ca t t f t≤ − + + + + + = − + =
với
2
( )
0 1
3
a b c
t ab bc ca
+ +

≤ = + + ≤ =
0,25
Ta có bảng bt của hàm số f(t) trên
[ ]
0;1

0,25
Từ BBT ta có:
[ ]
0;1
ax ( ) 2
t
M f t
∈
=
khi t=1
Từ đó ta có GTLN của P bằng 2 khi
1
3
a b c= = =
0,25
t 0 1
f’(t) + 0
f(t)
0
2