đề thi thử thpt quốc gia môn toán có đáp án

0
Câu1(2,0điểm). Cho hàmsố.
2
1
x
y
x
=
-
a) Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthị
( )
C
củahàmsố.
b) Xácđịnh
m
để đườngthẳng
: 2d y mx m = - +
cắt
( )
C
tạihaiđiểmphânbiệt
,A B
sao chođộdài AB ngắnnhất.
Câu2(1,0điểm).
Giảiphương trình:
sin 4 2 cos3 4sin cosx x x x + = + +
Câu3(1,0điểm).
Tính
ln 6
0
3 3 2 7

x
x x
e
I dx
e e
= ×
+ + +
ò
Câu4(1,0điểm).
a) Giảiphương trình:
1
3 18.3 29
x x + -
+ =
b) Tínhtổng
1 2 3 2015
2015 2015 2015 2015
1. 2. 3. 2015.S C C C C = + + + + L
Câu5(1,0điểm).
Chohìnhchóp .S ABCD cóđáy ABCD làhìnhv uôngcạnh a ,hìnhchiếuvuông góccủa S lên
mặt phẳng
( )
ABCD trùng với trọng tâm của tam giác ABD, cạnh SB tạo với mặt phẳng
( )
ABCD mộtgóc
0
60 .Tínhtheo a thểtíchkhốichóp .S ABCD vàkhoảngcáchgiữahaiđường
thẳng SAvà CD .
Câu6(1,0điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn

( )
2 2
: 9 18 0T x y x y + - - + = và hai điểm
( )
4;1A
( )
, 3; 1B - .Gọi ,C D làhaiđiể mthuộc
( )
T sao cho ABCD là mộthìnhb ìnhhành.Viết
phươngtrìnhđườngthẳng
CD
.
Câu7(1,0điểm).
Trongkhônggian Oxyz ,chohaimặtphẳng
( ) ( )
: 3 0, : 1 0P x y z Q x y z + + - = - + - =
Viếtph ươngtrìnhmặtphẳng
( )
R
vuônggócvới
( )
P
và
( )
Q
đồngthờikhoảngcáchtừgốctọa
độ
O
đến
( )

R
bằng 2.
Câu8(1,0điểm).
Giải hệ phươn gtrình:
3 3 2
2
6 3 3 4
6 19 2 3 4 3 5 14
x y x y x
x y x y
ì
- + - = +
ï
í
+ + = + + +
ï
î
.
Câu9(1,0điểm).
Cho , ,a b c làcácsốth ựcdương thỏamãn
2 2 2
1a b c + + =
.Chứngminhbấtđẳngthức:
( )
1 1 1
2 3a b c
a b c
æ ö
+ + - + + ³
ç ÷

è ø
 Hết
Thísinhkhôngđượcsửdụngtàiliệu.Cánbộcoithikhônggiảithíchgìthêm.
SỞGD&ĐT
TRƯỜNGTHPT
CHUYÊNVĨNHPHÚC
ĐỀKHẢOSÁTCHẤTLƯỢNG
CÁCMÔNTHITHPTQUỐCGIALẦN3NĂMHỌC2014 -2015
MÔN:TOÁNKHỐI:12D
Thờigian180phút(Khôngkểthờigiangiaođề)
Đềthigồm01trang
1
TRNGTHPTCHUYấNVNHPHC.
(Hngdnchmcú5trang)
HNGDNCHMKSCL LN3 NM 2015
Mụn:TON 12D
I.LU íCHUNG:
Hngdnchmchtrỡnhbymtcỏchgiivinhngý cbnphicú.Khichmbihcsinhlm
theocỏchkhỏcnuỳngvýthỡvnchoimtia.
imton bitớnhn0,25vkhụnglmtrũn.
Vibihỡnhhckhụnggiannuthớsinhkhụngvhỡnhhocvhỡnhsaithỡkhụngchoimtng
ngviphnú.
II. PN:
Cõu í Nidungtrỡnhby im
a
Chohms.
2
1
x
y

x
=
-
a) Khosỏtsbinthiờnvvth
( )
C cahms
1,0
ồ
ã Tpxỏcnh:Hms
2
1
x
y
x
=
-
cútpxỏcnh D =
{ }
\ 1Ă
.
ã Chiubin thiờn.
ohm:
( )
2
2
' 0, 1
1
y x
x
-

= < " ạ ị
-
Hmsnghchbintrờncỏc khong
( )
1 -Ơ v
( )
1 . +Ơ
Hmskhụngcúcctr.
0,25
Giihn timcn:
1 1
2 2 2
lim 2 lim lim .
1 1 1
x
x x
x x x
x x x
+ -
đƠ
đ đ
= = +Ơ = -Ơ
- - -
thhmscú: timcnngang 2y = , timcnng 1x =
Bngbinthiờn:
x
1 -Ơ + Ơ
y
Â
- -

y
2
+Ơ
-Ơ
2
0,25
0,25
ã th: (hcsinhtvhỡnh)
Nhnxột:giao im cahaitimcn
( )
11I ltõmixng.cath
0,25
b
Xỏc nh
m
ngthng : 2d y mx m = - + ct
( )
C
tihaiimphõnbit ,A B sao
chodi AB ngnnht.
1, 0
ồ
Phngtrỡnhhonh giaoimchunggia
( ) ( )
&C d
l:
2
2
1
x

mx m
x
= - +
-
( ) ( )
2
1
2 2 0 *
x
g x mx mx m
ạ
ỡ
ù

ớ
= - + - =
ù
ợ
0,25
1
d ct
( )
C tihaiimphõnbit ,A B phngtrỡnh
( )
* cú
2
nghimphõnbitkhỏc
( )
( )
( )

2
0
1 2 0 0 **
1 2 2 0
m
m m m m
g m m m
ỡ
ạ
ù
Â
D = - - > >
ớ
ù
= - + - ạ
ợ
Khiú
( ) ( ) { }
C d A B ầ = ạ .Gi
( ) ( )
1 1 2 2
2 , 2A x mx m B x mx m - + - + vi
1 2
,x x l
0,25
2
nghiờmphngtrỡnh
( )
*
theonhlớviộttacú

1 2
1 2
2
2
.
x x
m
x x
m
+ =
ỡ
ù
ớ -
=
ù
ợ
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
1AB x x mx mx m x x ị = - + - = + -
( )
( )
2
2 2
1 2 1 2
1 4AB m x x x x
ộ ự

ị = + + -
ở ỷ
0,25
( ) ( )
2 2 2 2
2 8 1
1 2 4 1 8 16
m
AB m m m
m m m
ộ ự
-
ổ ử ổ ử
= + - = + = +
ỗ ữ ỗ ữ
ờ ỳ
ố ứ ố ứ
ở ỷ
4AB ị
dubngxyra
1m =
.
Vykhongcỏch AB ngnnhtbng
4 1m =
0,25
Giiphngtrỡnh : sin 4 2 cos3 4sin cosx x x x + = + +
1,0
ồ
Phng trỡnh 4sin cos cos 2 2 2cos 2 cos 4sinx x x x x x + = + 0,25
( )

2sin 1 cos 2 cos cos 2 cos 1 0x x x x x - + - =
( )( )
1
sin
2sin 1 1 cos 2 cos 0
2
1 cos 2 cos 0
x
x x x
x x
ộ
=
ờ
- - =
ờ
- =
ở
0,25
+
( )
1 5
sin 2 , 2 ,
2 6 6
x x k x k k
p p
= = + p = + p ẻ Â
+
( )
( )
3 2

1 cos2 cos 0 2cos cos 1 0 cos 1 2cos 2cos 1 0x x x x x x x - = - - = - + + =
( )
cos 1 0 cos 1 2 ,x x x k k - = = = p ẻÂ
0,25
2
Vyphngtrỡnh cú b a hnghim:
( )
5
2 , 2 , 2 ,
6 6
x k x k x k k
p p
= + p = + p = p ẻÂ
0,25
Tớnh
ln6
0
3 3 2 7
x
x x
e
I dx
e e
= ì
+ + +
ũ
1,0
ồ
t 3
x

e t + = .Khiú
2
3 2
x x
e t e dx tdt = - ị = .
icnKhi 0 2x t = ị = ,khi ln 6 3x t = ị =
0,25
Suyra
( )
3 3
2
2
2 2
2
2
2 3 1
3 2 3 7
t t
I dt dt
t t
t t
= ì = ì
+ +
+ - +
ũ ũ
0,25
( )( )
3 3
2 2
1 1

2 2
1 2 1 1 2 1
t
I dt dt
t t t t
ổ ử
= ì = - ì
ỗ ữ
+ + + +
ố ứ
ũ ũ
0,25
3
( ) ( )
3 3
2 2
80
2ln 1 ln 2 1 2ln 4 2ln 3 ln 7 ln 5 ln
63
t t = + - + = - - - =
0,25
a
Giiphngtrỡnh:
1
3 18.3 29
x x + -
+ =
0,5
ồ
PT

( )
2
18
3.3 29 3.3 29.3 18 0 1
3
x x x
x
+ = - + =
t
( )
3 0
x
t t = > . Thvopt
( )
1 tacphngtrỡnh:
( )
2
3 29 18 0 2t t - + =
Gii
( )
2
2
9,
3
t t ị = =
0,25
4
+
2
9 3 9 3 2

x
t x = ị = = =
+
3
2 2 2
3 log
3 3 3
x
t x = ị = =
0,25
3
Vyphngtrỡnh cú hainghim
3
2
2, log
3
x x = =
b
Tớnhtng
1 2 3 2015
2015 2015 2015 2015
1. 2. 3. 2015.S C C C C = + + + + L
0,5
ồ
Shngtng quỏtcadóytrờn l
2015
k
k C ì
vi
1, 2015k =

, ta cú
( ) ( ) ( )
( )
1
2015 2014
2015! 2014!
2015 2015 , 1,2015
! 2015 !
1 ! 2014 1 !
k k
k C k C k
k k
k k
-
ì = ì = ì = ì " =
-
- - -
0,25
pdng:
( )
0 1 2 2014
2014 2014 2014 2014
2015S C C C C = ì + + + + L
( )
2014
2014
2015 1 1 2015 2S = ì + = ì
Chỳý. Hcsinh cú thựngohm cahms tớnhtng S
0,25
Chohỡnhchúp

.S ABCD
cúỏy
ABCD
lhỡnhvuụngcnh
a
,.Tớnhtheo
a
th
tớchkhichúp
.S ABCD
vkhongcỏchgiahaingthng
SA
v
CD
.
1,0
ồ
Hỡnh v( hcsinhtv)
Gi H ltrngtõmtam giỏc ABD
( )
ã
( )
( )
0
, , 60SH ABCD SBH SB ABCD ị ^ = =
Gi
{ }
O AC BD = ầ
.Ta cú
2 2

2 1 2 5
,
2 3 6 3
a a a
OA OB OH OA BH OB OH = = = = ị = + =
0,25
5
Trongtamgiỏc
SBH
ta cú
3
0 2
.
15 1 15
.tan 60 , .
3 3 9
ABCD S ABCD ABCD
a a
SH BH S a V SH S = = = ị = =
0,25
Xỡ
( )
AB CD CD SAB ị nờnta cú
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
, , , 3 , d CD SA d CD SAB d D SAB d H SAB = = =

{ }
,DH AB M HM AB M ầ = ị ^
ltrungim AB
( ) ( ) ( )
AB SHM SAB SHM ị ^ ị ^
theogiaotuyn
SM
. K
HK SM ^ ị
( )
HK SAB ^
( )
( )
,HK d H SAB ị = ,( K SM ẻ )
0,25
1 1 1
2
3 3
2 2
a
HM HA a
ổ ử
= = =
ỗ ữ
ố ứ
,
2 2 2
15 1 1 1
3
a

SH
HK HM SH
= ị = +
2 2 2
1 9 16 15
15 12
a
HK
HK a a
ị = + ị = .
Võy khong cỏchgiahaingthng
SA
v
CD
bng
15
12
a
0,25
Trong mt phng ta Oxy cho ng trũn
( )
2 2
: 9 18 0T x y x y + - - + = sao
cho ABCD lmthỡnhbỡnhhnh.Vitphngtrỡnhngthng CD .
1,0
ồ
Ta cú
( )
2 2
1 9 10

:
2 2 4
T x x
ổ ử ổ ử
- + - =
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
nờn
( )
T
cú tõm
1 9

2 2
I
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
bỏn kớnh
10
2
R =
0,25
6
( )
1 2 , 5AB AB = - - =
uuur
, v
( )
: 2 7 0AB x y - - =

.
ngthng
( )
: 2 0CD AB CD x y m ị - + = ( iukin 7m ạ - )
0,25
Khongcỏcht I n
CD
l
2 7
2 5
m
h
-
= v
( )
2
2 2
2 7
5
2 2
2 20
m
CD R h
-
= - = -
0,25
4
Ta có
( )
( )

2
2
6
2 7
5
2 5 2 7 25
1
2 20
m
m
CD AB m
m
=
-
é
= Û - = Û - = Û
ê
=
ë
thỏamãn
( )
6 :2 6 0m pt CD x y · = - + =
( )
1 : 2 1 0m pt CD x y · = - + =
Cóhaiđườngthẳngthỏamãn: 2 6 0; 2 1 0x y x y - + = - + =
0,25
…chohaimặtphẳng
( ) ( )
: 3 0, : 1 0P x y z Q x y z + + - = - + - = .Viếtphươngtrìnhmặt
phẳng

( )
R
vuông góc với
( )
P
và
( )
Q
đồng thời khoảng cách từ gốc tọa độ
O
đến
( )
R
bằng 2.
1,0
å
( ) ( )
: 3 0, : 1 0P x y z Q x y z + + - = - + - =
VTPT củamặtphẳng
( )
P
là
( )
1
1;1;1n =
r
,VTPT củ amặtphẳng
( )
Q
là

( )
2
1; 1;1n = -
r
,
VTPT củamặtphẳng
( )
R
là
n
r
.
0,25
7
Giảthiết
( ) ( )
( ) ( )
[ ]
( )
1
1 2
2
1
, 1;0; 1
2
R P
n n
n n n
n n
R Q

^ ì
^
ì
ï
Þ Þ = = -
í í
^
^
î ï
î
r r
r r r
r r
Dođó mặtphẳng
( )
: 0R x z m - + =
0,25
Mà
( )
( )
; 2 2 2 2
2
m
d O R m = Û = Û = ±
0,25
Khi 2 2m = ta cómặtphẳng
( )
: 2 2 0R x z - + =
Khi 2 2m = - ta có mặtphẳng
( )

: 2 2 0R x z - - =
0,25
Giảihệ phươngtrình:
( )
( )
3 3 2
2
6 3 3 4 1
6 19 2 3 4 3 5 14 2
x y x y x
x y x y
ì
- + - = +
ï
í
+ + = + + +
ï
î
.
1,0
å
Đkiện
4
3
14
5
x
y
ì
³ -

ï
ï
í
ï
³ -
ï
î
.
pt
( )
1 Û
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
3 2
0
1 3 1 3 1 1 1 3 0x x y y x y x x y y
>
é ù
ê ú
- + - = + Û - - - + - + + = é ù
ë û
ê ú
ë û
14444244443
( ) ( )
1 0 1 3x y y x Û - - = Û = -
0,25
8
Thế
( )

3 vào
( )
2 tađược:
2
6 13 2 3 4 3 5 9x x x x + + = + + +
( )
4 Đ/K
4
3
x ³ -
( )
4
( )
( ) ( )
2
2 2 3 4 3 3 5 9 0x x x x x x
é ù é ù
Û + + + - + + + - + =
ë û ë û
0,25
( )
2 2
2
2 3 0
2 3 4 3 5 9
x x x x
x x
x x x x
+ +
Û + + × + × =

+ + + + + +
( )
2
0
2 3
1 0
2 3 4 3 5 9
x x
x x x x
>
é ù
ê ú
Û + + + =
ê ú
+ + + + + +
ê ú
ë û
144444424444443
0,25
5
( )
( )
3
2
3
0 1
0
1 2
x y
x x

x y
é
= ¾¾® = -
Û + = Û
ê
= - ¾¾® = -
ê
ë
( thỏa mãnđiềukiện)
Vậyhệ phương trình cóhainghiệm
( ) ( ) ( )
{ }
; 0; 1 , 1; 2x y = - - -
0,25
Cho
, ,a b c
làcácsốthựcdươngthỏamãn
2 2 2
1a b c + + =
.Chứngminhbất đẳngthức
( )
1 1 1
2 3a b c
a b c
æ ö
+ + - + + ³
ç ÷
è ø
1,0
å

Nhậnxét:
( )
2
1 4 3
2 3 , 1
3
a a
a
- + ³ - + vớimọi
0 1a < <
dấubằngkhi
3
3
a =
thật
vậy
( )
( ) ( )
2
3 2
1 6 3 4 3 0 3 1 2 3 0a a a a a Û - - + ³ Û - + ³
luôn đúng với mọi
0 1 a < <
dấubằngkhi
3
3
a =
0,25
0,25
9

Tươngtự:
( )
2
1 4 3
2 3 , 2
3
b b
b
- + ³ - + dấu bằngkhi
3
3
b =
( )
2
1 4 3
2 3 , 3
3
c c
c
- + ³ - + dấubằngkhi
3
3
c =
0,25
Từ:
( )
( )
2 2 2
1 1 1 4 3
2 3 3

3
a b c a b c
a b c
æ ö
- + + + + + ³ - + + + ×
ç ÷
è ø
( )
1 1 1
2 3a b c
a b c
æ ö
Û + + - + + ³
ç ÷
è ø
.Dấubằngxẩyrakhi
3
3
a b c = = =
0,25
Chúý: đểtìmravếphảicủa (1) tasửdụngphương pháptiếptuyến
1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH ĐĂK NÔNG

KỲ THI KHẢO SÁT LỚP 12 NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút;
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (2.0 điểm) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
có đồ thị
( )C
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
, biết tiếp tuyến có hệ số góc 1k = .
Bài 2. (1.0 điểm) Tính tích phân
1
2
0
( 1)I x x dx= −
∫
Bài 3. (1.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz

cho điểm
(1; 2;3)M −
và mặt
phẳng
( )P
có phương trình
2 2 5 0x y z− + − =
.
1. Tính khoảng cách từ điểm
M
đến mặt phẳng
( )P
.
2. Viết phương trình mặt phẳng
( )Q
đi qua điểm
M
và song song với mặt phẳng
( )P
.
Bài 4. (1.0 điểm) Cho lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
, có đáy
ABC
là tam giác vuông cân
tại B . Biết
3 AB cm=
, ' 3 2 BC cm= .
1. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho;
2. Tính góc hợp bởi đường thẳng

'BC
và
( ' ')mp ACC A
.
Bài 5. (1.0 điểm) Giải phương trình
2
sin 2 sin
4 4 2
x x
π
π
   
− + + =
   
   
.
Bài 6. (1.0 điểm) Với các chữ số của tập hợp
{
}
0;1;2;3;4;5 , viết được bao nhiêu số tự
nhiên gồm 5 chữ số, trong đó có hai chữ số 1, ba chữ số còn lại khác nhau từng đôi và
khác 1.
Bài 7. (1.0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm
( 2; 2)A
,
(2 2;0)B
và
( 2; 2)C −
. Các đường thẳng (d
1

) và (d
2
) cùng đi qua gốc tọa độ và hợp với nhau góc
45
o
. Biết rẳng (d
1
) cắt đoạn AB tại M và (d
2
) cắt đoạn BC tại N. Khi tam giác OMN có
diện tích bé nhất, hãy tìm M và viết phương trình các đường thẳng (d
1
) và (d
2
)
Bài 8. (1.0 điểm) Giải hệ phương trình sau
( )
2 2
3 2 4 3 4
4 2 2 2
x y xy x y
x y x y xy

+ + = −


+ + = + −


.

Bài 9. (1.0 điểm) Với các số dương x và y có tổng bé hơn 1.
Chứng minh rằng
1 4 9
36
1x y x y
+ + ≥
− −
.
ĐỀ CHÍNH THỨC
1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH ĐĂK NÔNG
KỲ THI KHẢO SÁT LỚP 12 NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút;
(không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài

Đáp án Điểm
1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số
2 1
1
x
y
x

+
=
+
.
1,0
Tập
xác định:
{
}
\ 1
D = −»
Giới hạn: lim 2
x
y
→+∞
= , lim 2
x
y
→−∞
= , suy ra 2y = là tiệm cận ngang của đồ thị
1 1
lim , lim
x x
y y
+ −
→− →−
= −∞ = +∞ , suy ra
1x = −
là tiệm cận đứng của đồ thị
0,25

Đạo hàm:
( )
2
1
' 0, 1
1
y x
x
= > ∀ ≠ −
+

Bảng biến thiên:
2
-∞
+∞
+
+∞
-1
2
+
-∞
y
y'
x
Hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
; 1−∞ − và
( )
1;− +∞
Hàm số không có cực trị

0,25
Đồ thị:
Với x = 0 ta có y = 1
Với x = – 2 ta có y = 3
0,5
ĐỀ CHÍNH THỨC
2

2. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
, biết tiếp tuyến có hệ số góc 1k = .
1,0
Giả sử
( )
0 0
;
M x y
là tọa độ tiếp điểm.
Theo giả thiết ta có
( )
0
0
2
0
0
0
1
'( ) 1 1
2
1

x
y x
x
x
=

= ⇔ = ⇔

= −
+

0,5
Với
0 0
0 1x y= ⇒ = . Phương trình tiếp tuyến là:
1y x= +

0,25
Với
0 0
2 3x y= − ⇒ = . Phương trình tiếp tuyến là:
5y x= +

0,25
2
Tính tích phân
1
2
0
( 1)I x x dx= −

∫
1
,0
Ta có
1
3 2
0
( 2 )I x x x dx= − +
∫
0,25
1
4 3 2
0
2
4 3 2
x x x
 
= − +
 
 
0,5
1
12
I =
0,25
3
1. Khoảng cách từ điểm
M
đến mặt phẳng
( )P

là:
( )
( )
1 2( 2) 2.3 5
, 2
1 4 4
d M P
− − + −
= =
+ +
(đơn vị độ dài)
0,5
2. Viết phương trình mặt phẳng ( )Q đi qua điểm
M
và song song với mặt
phẳng ( )P .
0,5
Mặt phẳng
( )P
có véctơ pháp tuyến
( )
1; 2;2n = −

. Vì
( )
//( )
Q P nên
( )
1; 2;2n = −


cũng là một véctơ pháp tuyến của
( )Q
.
0,25
Phương trình của mặt phẳng
( )Q
là:
1.( 1) 2.( 2) 2( 3) 0x y z− − + + − =

Hay
2 2 11 0x y z− + − =

0,25
4 1. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho;
0,5
Vẽ hình: 0,5
3

H
C'
B'
A'
C
B
A
Diện tích đáy của khối lăng trụ:
9
2
S = (cm
2

)
Chiều cao của khối lăng trụ:
2 2
' ' 3h CC BC BC= = − = (cm)
0,25
Thể tích của khối lăng trụ đã cho:
( )
3
9 27
. .3
2 2
V S h cm= = =
0,25
2. Tính góc hợp bởi đường thẳng
'BC
và
( ' ')mp ACC A
.
0,5
Gọi H là trung điểm của cạnh
AC
, suy ra
'HC
là hình chiếu của
'BC
lên
mặt phẳng
( )
' 'ACC A .
0,25

Do đó
( )
( )

( )

', ' ' ', 'BC ACC A BC HC=
0,25
Ta có tam giác
'BHC
vuông tại H , cạnh
3 2
2
BH cm= .
0,25
Ta có
 
1
sin ' ' 30
' 2
o
BH
HC B HC B
BC
= = ⇒ = . Vậy
( )
( )

', ' ' 30
o

BC ACC A =
0,25
5 Biến đổi phương trình đã cho thành
sin 2 sin sin
4 4 4
x x
π
π π
   
− − = − +
   
   

0,25đ
⇔
( )
2cos sin sin
4 4
x x x
π
π
   
− − = − +
   
   
⇔
( )
2cos sin cos
4 4
x x x

π
π
   
− = −
   
   
0,25đ
Với
cos 0
4
x
π
 
− =
 
 
, ta có
4 2
x k
π
π
π
− = + hay là
4
x k
π
π
= − +
0,25đ
4

Với
( )
1
sin x
2
=
, ta có
2
6
5
2
6
x k
x k
π
π
π
π

= +



= +


Ta có 3 họ nghiệm
4
2

6
5
2
6
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π

= − +



= +



= +


0,25đ
6 Trường hợp trong số tự nhiên có chữ số 0:
Có
2 2
4 4

4. . 288C A = số tự nhiên
(Có 4 cách đưa số 0 vào các hàng của số tự nhiên, mỗi cách chọn số 0 ta
có
2
4
C cách đưa số 1 vào hai hàng của số tự nhiên. Còn lại 2 hàng, có
2
4
A cách chọn 2 chữ số (trong các chữ số 2, 3, 4, 5) để đưa vào).
0,5đ
Trường hợp trong số tự nhiên không có chữ số 0:
Có
2 3
5 4
. 240C A = số tự nhiên.
Kết quả có 528 số tự nhiên.
0,5đ
7 Gọi α là góc giữa (d
1
) với chiều dương trục hoành, β là góc giữa (d
2
) với
chiều dương trục hoành, với α + β = 45
o
.
Ta có
2
cos
2
cos

OM
ON
α
β

=




=


.
Như vậy tam giác OMN có diện tích là
1
. . .sin45
2
o
S OM ON=
Hay là
2
2cos .cos
S
α
β
=
Hay là
( )
2

cos45 cos
o
S
α
β
=
+ −
0,25đ
Tam giác OMN có diện tích bé nhất với điều kiện
( )
cos 1
α
β
− =
, tức là
α
β
= .
Và ta có
8
π
α
β
= =
0,25đ
Lúc này (d
1
) là phân giác của góc

AOB

, do đó điểm M chia đoạn AB theo
tỷ số
1
2
OA
k
OB
= − = −
Tọa độ điểm M sẽ là
2
2( 2 1)
M
M
x
y
=



= −


0,25đ
5
Phương trình đường thẳng
1
( ) : tan
8
d y x
π

= hay là
( )
1
( ) : 2 1d y x= −
,
Đường thẳng (d
2
) đối xứng với (d
1
) qua trục hoành nên phương trình
đường thẳng
( )
2
( ) : 2 1d y x= − +
.
0,25đ
Xét hệ phương trình sau
( )
2 2
3 2 4 3 4
(*1)
(*2)
4 2 2 2
x y xy x y
x y x y xy

+ + = −


+ + = + −



.
Ta phân tích phương trình (*1):
2 2
3 2 4 3 4x y xy x y+ + = −
T
rở thành
( )( )
3 2 2 1 0x y y x+ − + =
Hay là
3 2 0
2 1 0
x y
y x
+ =


− + =

0,25đ
Còn phương trình (*2):
( )
4 2 2 2x y x y xy+ + = + −
được phân tích thành
( )
2
2 0x y+ − =
Hay là
2 0x y+ − =

0,25đ
Xét hệ
3 2 0
2
x y
x y
+ =



+ =


, ta có hệ vô nghiệm
0,25đ
Xét hệ
2 1 0
2
y x
x y
− + =



+ =


, ta có
23 8 7
11 4 7

x
y

= −


= +


0,25đ
Đặt
1 x y z− − =
, ta có
1x y z+ + =
, ta cần chứng minh
1 4 9
36
x y z
+ + ≥
.
0,25đ
Do
1x y z+ + =
, nên ta đặt lại
a
x
a b c
=
+ +
,

b
y
a b c
=
+ +
và
c
z
a b c
=
+ +
, với a, b và
c là các số dương. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
4( ) 9( )
36
a b c a b c a b c
a b c
+ + + + + +
+ + ≥
0,25đ
Hay là
4 4 9 9
1 4 9 36
b c a c a b
a a b b c c
+ + + + + + + + ≥
Hay là
4 4 9 9
22
b c a c a b

a a b b c c
+ + + + + ≥
0,25đ
Hay là
4 9 4 9
22
b a c a c b
a b a c b c
     
+ + + + + ≥
     
     

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si 3 lần ta có điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra:
1 4 9
36
x y z
+ + =
khi và chỉ khi
4 9 4 9
22
b a c a c b
a b a c b c
     
+ + + + + =
     
     

Như vậy

2
3
b a
c a
=


=

. Lúc này
1
6
1
3
x
y

=




=


.
0,25đ

TRNGTHPTS3BOTHNG THI THPTQUCGIA NM2015
NgyThi:19032015 Mụn:TON

THITHLN1 Thigianlmbi:180phỳt,khụngkthigianphỏt
Cõu1(2,0i m) Chohms
2 1
1
x
y
x
-
=
- +
cúth(C)
1. Khosỏtvvthcahms(C)
2. Tỡmm ngthng 2y x m = - + ctth(C)tihaiimphõnbitcúhonh
1 2
,x x saocho
1 2 1 2
7
4( )
2
x x x x - + =
Cõu2(1,0i m) Giiphngtrỡnh
2
x
sinx 2 3 os + 3
2
0
2sin 3
c
x
-

=
+
Cõu3(1,0i m) Tớnhtớchphõn
( )
2
1
ln
1 2 ln
e
x
I dx
x x
=
+
ũ
Cõu 4(1,0im)
1. Chosphczthamón iukin
1 3
(1 2 ) 2
1
i
i z i
i
-
- + = -
+
.Tớnhmụuncaz.
2.
Tỡmh
skhụngchaxtrongkhaitrin

15
3
2
( )f x x
x
ổ ử
= +
ỗ ữ
ố
ứ
Cõu 5(1,0im) Trongkhụnggian vihtaOxyz,cho ( 12 1)A - - vmtphng
( )
: 2 2 1 0x y z a + - - = . Vit phng trỡnh mt phng
( )
b song song vi mt phng
( )
a sao cho
khongcỏchtimAtimtphng
( )
a bng khongcỏchtimAtimtphng
( )
b
Cõu6(1,0im)ChohỡnhchúpS.ABCDcú ỏyABCDlhỡnh thoicnhbnga. SABltamgiỏc cõn tiSv
nmtrongmtphngvuụnggúcviỏy ,gúcgiacngSCvmtphng(ABCD)bng
0
60
,cnhAC=a.Tớnh
theo a thtớchkhichúp S.ABCD vkhongcỏcht A nmtphng(SBC).
Cõu 7(1,0im) Giihphngtrỡnh:
3 3 2

2 1 3 1 2
3 2 2
x y y x x y
x x y y
ỡ
- - + + = + +
ù
ớ
- + = -
ù
ợ
Cõu8(1,0im)TrongmtphngtaOxychohỡnhvuụngABCDcútõm
7 3

2 2
O
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.im
( )
66M
thuccnhABv

( )
8 2N - thuccnhBC.Tỡmtacỏcnhcahỡnhvuụng.
Cõu 9(1,0im)
Chox, y,z lcỏcsthc thuc
( )
01 thamón iukin
( )
3 3
( ) (1 )(1 )x y x y xy x y + + = - -
.Tỡmgiỏtr
ln nhtcabiuthc :
2 2
2 2
1 1
3 ( )
1 1
P xy x y
x y
= + + - +
+ +


HT
ĐÁPÁNVÀHƯỚNGDẪNCHẤM
Câu Ý Đápán Điểm
I
1
1,0
− TXĐ:D=R
−Sựbiếnthiên

+Chiềubiếnthiên
( )
2
1
' 0, 1
1
y x
x
= > " ¹
- +
Vậy:Hàmsốđồngbiếntrênmỗikhoảng( ¥ ;1)và(1;+ ¥ )
0,25
+Cựctrị:
Hàmsốkhôngcócựctrị
+Giớihạn:
lim 2; lim 2 2
x x
y y y
®-¥ ®+¥
= - = - => = -
làđườngtiệmcậnngang
1 1
lim ; lim 1
x x
y y x
- +
® ®
= +¥ = -¥ => =
làđườngtiệmcậnđứng
0.25

+Bảngbiếnthiên:
0,25
· Đồthị:
−Đồthị:
ĐồthịhàmsốgiaovớiOx:(
1
2
;0)
ĐồthịhàmsốgiaovớiOy:(0;1)
0,25
2
1,0
2
2 ( 4) 1 0 (1)
2 1
2
1
1
x m x m
x
x m
x
x
ì
- + + + =
-
= - + Û
í
- +
¹

î
Đường thằng 2y x m = - + cắt(C)tạihaiđiểmphânbiệt Û phươngtrình(1)có
hainghiệmphânbiệtkhác1
0,25
( )
2
2
4 8( 1) 0
8 0,
1 0
m m
m m
ì
+ - + >
ï
Û Û + > "
í
- ¹
ï
î
0,25
Vậy
m "
đườngthẳng
y x m = +
luôncắtđồthị(C)tạihaiđiểmphânbiệtcó
hoànhđộ
1 2 1 2
, ,x x x x ¹
Theoviet:

1 2 1 2
4 1
, .
2 2
m m
x x x x
+ +
+ = =
0.25
1 2 1 2
7 1 4 7 22
4( ) 4( )
2 2 2 2 3
m m
x x x x m
+ +
- + = Û - = Û = -
Vậy
22
3
m = - thìđườngthẳng 2y x m = - + cắtđồthị(C)tạihaiđiểmphânbiệt
cóhoànhđộ
1 2
,x x
và
1 2 1 2
7
4( )
2
x x x x - + =

0,25
2 1.0
ĐK:
3
sin
2
x ¹
;
2
x
sinx 2 3 os + 3
2
0 sinx 3 osx=0
2sin 3
c
c
x
-
= Û -
+
0.25
1 3
sinx osx=0 os x+ 0
2 2 6
c c

p

æ ö
Û - Û =

ç ÷
è ø
0.25
x= ,
3
k k Z

p
p
Û + Î 0.25
KếthợpĐKtacó x k2 ,k Z
3
p
= + p Î lànghiệmcủa phươngtrình 0.25
3 1.0
( )
( )
( )
2
1 1 1
2ln 1
1 4ln 1 1 1 1
4 1 2ln 4 4 1 2ln
e e e
x dx
x dx
I dx
x x x x x
-
- +

= = +
+ +
ò ò ò
0.25
( ) ( )
( )
( )
1 1
2ln 1
1 1
2ln 1 2ln 1
8 8 1 2ln
e e
d x
x d x
x
+
= - - +
+
ò ò
0.25
( ) ( )
2
1 1
1 1
2ln 1 ln 1 2ln
16 8
e e
x x
æ ö

= - + +
ç ÷
è ø
0.25
1
ln 3
8
= 0.35
4 1.0
1 3 1 7
(1 2 ) 2
1 5 5
i
i z i z i
i
-
- + = - Û = +
+
0,25
2z => =
0,25
15
15 5
15 15
5
3
3 62
15 15
0 0
2

( ) . .2 .2 . ,(0 15, )
k k
k
k k k k
k k
f x x C x x C x k k Z
x
-
-
-
= =
æ ö
= + = = £ £ Î
ç ÷
è ø
å å
0,25
Hệsốkhôngchứaxứngvớikthỏamãn:
5
5 0 6
6
k
k - = Û = =>
hệsố:320320
0,25
5
1,0
( )
4
( , )

3
d A a = 0,25
Vì
( )
b //
( )
a nênphươngtrình
( )
b códạng:
2 2 0, 1x y z d d + - + = ¹ -
0,25
( ) ( )
5
4
( , ) ( , )
3 3
d
d A d A
+
a = b Û = Û
0,25
1
9
9
d
d
d
= -
é
Û = -

ê
-
ë
(d=1loại)=>
( )
b : 2 2 9 0x y z + - - =
0,25
6
1,0
Gi I l trung im ca on AB => ,( ) ( ) ( )SI AB SAB ABCD SI ABCD ^ ^ => ^
nờn
ã
( )
ã
0
, ( ) 60 ,SCI SC ABCD = =
0
3 3
tan 60
2 2
a a
CI SI CI= => = =
GiMltrungimcaonBC,NltrungimcaonBM
3 3
2 4
a a
AM IN = => =
Tacú
2 2 3
.

3 1 3 3 3
2 . .
2 3 2 2 4
ABCD ABC S ABCD
a a a a
S S V
D
= = => = =
0.5
tacú
, ( )BC IN BC SI BC SIN ^ ^ => ^
Trongmtphng(SIN)k ( ),IK SN K SN ^ ẻ .Tacú
( ) ( ,( ))
IK SN
IK SBC d I SBC IK
IK BC
^
ỡ
=> ^ => =
ớ
^
ợ
Licú:
2 2 2
1 1 1 3 13 3 13 3 13
( ,( )) ( ,( ))
26 26 13
IS
a a a
IK d I SBC d A S BC

IK IN
= + => = => = => =
0.5
7 1.0
K:
2 1 0
2 0
0
1
3
x y
x y
x
y
- -
ỡ
ù
+
ù
ù
> ớ
ù
ù
-
ù
ợ
(1) 2 1 3 1 2 0
1 1
0
2 1 3 1 2

x y x y x y
x y x y
x y x y x y
- - - + + - + =
- - - -
- =
- - + + + +
( )
1 1
1
2 1 3 1 2
x y
x y x y x y
ổ ử
- - -
ỗ ữ
ỗ ữ
- - + + + +
ố ứ
1 (3)
2 1 3 1 2 (4)
y x
x y x y x y
= -
ộ

ờ
- - + = + + +
ờ
ở

0,25
1
(4) 2 1 3 1 2 3 1 (5)
3
x
x y x y x y x y y
-
- - + = + + + = + =
0,25
A
B
C
D
S
I
M
N
K
T(3)v(2)tacú:
( )
2 3 2 2
1
( 1) ( 2) 2( 1) ( 1) ( 1) 5 0
5
x
x x x x x x
x
=
ộ
- + = - - - - - =

ờ
=
ở
1 0 5 4x y x y = => = = => =
0,25
T(5)v(2)tacú:
( )
2 3 2 2
2 1
( 1) ( 2) ( 1) ( 1) ( 1) 25 59 0 1
27 9
x x x x x x x - + = - - - - + = = (dox>0)
Vyhóchocúnghim:( ) (10)( ) (54)x y x y = =
0,25
8
1
1,0
GiGlimixngcaMquaO (1 3)G CD => = - ẻ
GiIlimixngcaNquaO
( 15)I AD => = - ẻ
0,25
PhngtrỡnhcnhMOquaMvcúVTCP MO
uuuur
l: 9 5 24 0x y - - =
=>PhngtrỡnhcnhNEquaNvvuụnggúcMOl: 5 9 22 0x y + - =
GiElhỡnhchiucaNtrờnMG=>
163 39

53 53
E NE MG E

ổ ử
= ầ => =
ỗ ữ
ố ứ
0,25
Licú
( 0, ) ( 13)
NJ MG
NE MG k k R J
NE k NJ
=
ỡ
ù
^ => ạ ẻ => -
ớ
=
ù
ợ
uuur uuur
(Vỡ
,NE NJ
uuur uuur
cựngchiu)
SuyraphngtrỡnhcnhAD:
9
1 0
2
x OK + = => = .VỡKA=KO=KDnờn
K,O,DthucngtrũntõmK ngkớnhOK
ngtrũntõmKbỏnkớnhOKcúphngtrỡnh:

( )
2
2
3 81
1
2 4
x y
ổ ử
+ + - =
ỗ ữ
ố ứ
0,25
VytaimAvDlnghimcah:
( )
2
2
1
3 81
6
1
2 4
1
1 0
3
x
y
x y
x
x
y

ộ = -
ỡ
ỡ
ớ
ờ
ổ ử
=
+ + - =
ù ợ
ờ
ỗ ữ

ớ
ố ứ
ờ
= -
ỡ
ù
ờ
+ =
ớ
ợ
= -
ờ
ợ
ở
Suyra ( 16) ( 1 3) (8 3) (86)A D C B - - - => - .Trnghp ( 16) ( 1 3)D A - - -
loidoMthuc CD.
0,25
9 1,0

( )
2 2
3 3
( ) (1 )(1 ) ( ) (1 )(1 ) (1)
x y
x y x y xy x y x y x y
y x
æ ö
÷
ç
÷
+ + = - - Û + + = - -
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
Tacó:
2 2
( ) 4
x y
x y xy
y x
æ ö
÷
ç
÷
+ + ³

ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
và
(1 )(1 ) 1 ( ) 1 2x y x y xy xy x y - - = - + + £ - +
1
1 2 4 0
9
xy xy xy xy => - + ³ Û < £
0.25
Dễchứngminh:
( )
2 2
1 1 1
; ; (0;1)
1
1 1
x y
xy
x y
+ £ Î
+
+ +
2 2
2 2
1 1 1 1 2 2

2 2
1
1 1
1
1 1
xy
x y
xy
x y
æ ö
æ ö
+ £ + £ =
ç ÷
ç ÷
+
+ +
+
è ø
+ + è ø
0.25
2 2 2
3 ( ) ( )xy x y xy x y xy - + = - - £
2 2 1
, , 0
9
1 1
P xy t t xy t
xy t
æ
ö

=> £ + = + = < £
ç ÷
+ + è ø
0.25
Xéthàmsố
2 1 1 6 10 1 1
( ) , 0 max ( ) ( ) , 0;
9 9 10 9 9
1
f t t t f t f t
t
æ ö æ
ù
= + < £ => => = = + Î
ç ÷ ç
ú
+
è ø è û
0.25
__________HẾT__________

Cõu
1 (2,0 im). Cho hm s
2
x
m
y
x

(C
m
)
a) Kho
sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m=1.
b) Tỡm cỏc giỏ tr thc ca tham s m ng thng d: 2x+2y -1= 0 ct th (C
m
)
ti hai i
m
phõn
bit A, B sao cho tam giỏc
OA
B

cú din tớch bng 1 (O l gc to ).
Cõu 2 (1,0 im).
a)
T
ỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm
s
2
x
x 1
f
(x)
x

1




trờn on
1
;
2
2





.

b) Tớnh tớch
phõn:
0
2
1
2
dx
I
(
x 1) 3 2x x

.
Cõu 3 (2,0 im). Gii cỏc phng trỡnh sau:
a)




2
1x2log1xlog
3
2
3


.

b)
3
sin 2x 2 sin x
2
s
in 2x cos x


.
Cõu
4 (1,0 im).
a)

Cho s phc z tha m
ón:
1
i
(2
i)z 5 i.
1 i





Tớnh mụ un ca s phc
2
w
z z


.

b) Một lớp
học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Thầy giáo chủ nhiệm chọn ra 5 học sinh để
lập một tốp ca hát chào mừng ngày thành lập Quân đội nhân dân Việt Nam(22 tháng 12).
Tính xác suất sao cho trong đó có ít nhất một học sinh nữ.
Cõu 5 (1,0 im). Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a, mt bờn SAB l tam
giỏc vuụng cõn ti nh S v nm trong mt phng vuụng gúc vi mt phng ỏy. Tớnh theo a th
tớch khi chúp S.ABC v khong cỏch gia hai ng thng SB v AC.
Cõu 6 (1,0 im). Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD. im
11
F

;3
2





l
trung im ca cnh AD. ng thng EK cú phng trỡnh
19x 8y 18 0


vi E l trung im ca
cnh AB, im K thuc cnh DC v KD = 3KC. Tỡm ta im C ca hỡnh vuụng ABCD bit
im E cú honh nh hn 3.
Cõu 7 (1,0 im). Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng


P
: 2x 2y z 4 0



v
mt cu


2
2 2
S

: x y z 2x 4y 6z 11 0


. Chng minh rng mt phng (P) ct mt cu (S) theo
mt ng trũn. Xỏc nh to tõm v tớnh bỏn kớnh ca ng trũn ú.
Cõu 8 (1,0 im). Cho
, ,
a b c
l
ba s thc dng. Chng minh rng:
2 2 2
2 2 2
1
1 1 1 1 1
4
4 4
a
b c
b
c a a b b c c a





.
Hết

đề thi thử kỳ thi thpt quốc gia năm 2015

Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
S
GD & T THI NGUY
ấN

TR
NG THPT LNG NGC QUYN