Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại
học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng
TP Huế
92
BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Định nghĩa:
Giả sử hàm số
f
xác định trên miền


D D 

.
a)
0 0
( ) ,
max ( )
: ( )
D
f x M x D
M f x
x D f x M

  

 


  



b)
0 0
( ) ,
min ( )
: ( )
D
f x m x D
m f x
x D f x m

  

 

  




2. Tính chất:
a) Nếu hàm số
f
đồng biến trên
,
a b
 

 
thì
[ ; ][ ; ]
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a ba b
f x f b f x f a
  .
b) Nếu hàm số
f
nghịch biến trên
,
a b
 
 
thì
[ ; ][ ; ]
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a ba b
f x f a f x f b
  .

Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại
học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng
TP Huế
93
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
DẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Phương pháp

Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
 Tính f (x).
 Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên.
 Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn
[a; b].
 Tính f (x).
 Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x
1
, x
2
, …, x
n
trên [a; b] (nếu có).
 Tính f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
), …, f(x
n
).
 So sánh các giá trị vừa tính và kết luận.



1 2
[ ; ]
max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )
n
a b

M f x f a f b f x f x f x
 




1 2
[ ; ]
min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )
n
a b
m f x f a f b f x f x f x
 

BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tìm GTLL và GTNN (nếu có) của các hàm số sau:
3 1
)
3
x
a y
x



trên đoạn [0;2]
b)
2
2
3 1

1
x x
y
x x
 

 

Bài 2. Tìm GTLL và GTNN (nếu có) của các hàm số sau:
a)
2
4 3
y x x
  
b)
4 2
2
y x x
  c)
4 2
2 2
y x x
  

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:


2
2
x

y
x

 trên


0;


Hướng dẫn:
Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại
học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng
TP Huế
94
Hàm xác định trên tập


0;




2 0;
' 0
2
x
y
x


   
 





Bảng biến thiên

x


0 2


'
y

- +
y





8


Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại

 
0;
2, 8
x Min y

 

Hàm không có giá trị lớn nhất
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
2
5 6
y x x
   
trên đoạn [-1;6]
Hướng dẫn:
Hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại
1; 6
x x
  
và đạt giá trị lớn nhất tại
5
2
x
 

Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:


2
6 4

y x x
  
trên đoạn [0;3]
Hướng dẫn: Hàm đạt giá trị lớn nhất tại x=3, nhỏ nhất tại x=0
Bài 6. (TSĐH 2003 khối B) . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
2
4
y x x
  

Hướng dẫn:
Cách 1: Tập xác định


2;2
D  
;

2
2
1 ; 0 4
4
x
y y x x
x
 
     


Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại
học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng
TP Huế
95
2 2
0
2
4
x
x
x x



  

 



max 2 2

min 2
y
y





 



Cách 2: Đặt
2sin , ;
2 2
x u u
 
 
  
 
 


 


2 sin cos 2 2 sin 2;2 2
4
y u u u

 
     
 
;
max 2 2 ; min 2
y y
  

Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
2
1
1
x
y
x



trên đoạn [-1;2]
Hướng dẫn
Hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại x=-1 và đạt giá trị lớn nhất tại
1
x


Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
3 2
3 1
y x x
  
trên đoạn [-2;1]
Hướng dẫn
Hàm đã cho xác định trên
2;1
 

 

Đặt
3 2
( ) 3 1, 2;1
g x x x x
 
     
 
,
0
'( ) 0
2 2;1
x
g x
x


 

 
  

 


Do đó:
2;1 2;1
( ) 1; ( ) 19
Max g x Min g x
   
 

   
  

Ta có:
2;1 ( ) 19;1 ( ) 0;19
x g x g x
     
      
     



1 1
(0). ( 1) 0 0;1 : ( ) 0
g g x g x
     
. Vậy
2;1 2;1
( ) 19; ( ) 0
Max f x Min f x
   
 
   
 

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2
2

1
1
x x
y
x x
 

 
b)
3 4
4 3
y x x
 
c)
4 2
3
1
( 0)
x x
y x
x x
 
 


d)
2
2
y x x
  

e)
2
1
2 2
x
y
x x


 

Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại
học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng
TP Huế
96
f)
2
2
2 4 5
1
x x
y
x
 


g)
2

1
( 0)
y x x
x
  

Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
3 2
2 3 12 1
y x x x
   
trên [–1; 5] b)
3
3
y x x
 
trên [–2; 3]
c)
4 2
2 3
y x x
  
trên [–3; 2] d)
4 2
2 5
y x x
  
trên [–2; 2]
e)

3 1
3
x
y
x



trên [0; 2] f)
1
1
x
y
x



trên [0; 4]
g)
2
4 7 7
2
x x
y
x
 


trên [0; 2] h)
2

2
1
1
x x
y
x x
 

 
trên [0; 1]
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2
100
y x
 
trên [–6; 8] b) 2 4
y x x
   

c)
2
2
y x x
 

Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và gí trị nhỏ nhất của hàm số
3 2
72 90
y x x x   

trên đoạn
[-5;5]
Hướng dẫn: Hàm số đã cho xác định trên
5;5
 

 

Đặt
3 2
( ) 3 72 90, 5;5
g x x x x x
 
     
 

Ta có :
6 5;5
'( ) 0
4 5;5
x
g x
x

 
   
 

 
 

  
 


Với
(4) 86; ( 5) 400; (5) 70
g g g
     

Do đó:
86 ( ) 400 0 ( ) 400 0 ( ) 400
g x g x f x        
Vậy
5;5
ax ( ) 400 5
M f x khi x
 

 
  

Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
sin2
y x x
 
trên đoạn
;
2



 

 
 

Hướng dẫn:
Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại
học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng
TP Huế
97
5
'( ) 0 ; ;
6 6 6
f x x
  
   

Vậy:
; ;
2 2
5 3 5
( ) ; ( )
6 2 6 2 2
Max f x khi x Min f x khi x
 
 
   
   

 
   
   
      

Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại
học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng
TP Huế
98
DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN TÌM GTLL VÀ GTNN
Khi đặt ẩn phụ, cần chú ý một số điều sau:
 Nếu đặt
2
t x

thì
0
t

và giả sử
1;1 0;1
x t
   
   
   

 Nếu
sin

1;1
cos
t x
t
t x

 
  
 


 Nếu
2
2
sin
0;1
os
t x
t
t c x

 
 
 


BÀI TẬP MẪU
Bài 1. (Đề dự bị TSĐH 2003 khối B) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
 
3

6 2
4 1
y x x
  
trên đoạn


1;1

.
Hướng dẫn
Đặt


2
0;1
u x 
. Ta có
 
3
3 3 2
4 1 3 12 12 4
y u u u u u
       

2
2
3
9 24 12 0
2 0;1

u
y u u
u




     

 
 

 

. Từ đó ta được
4
max 4;min
9
y y
 

Bài 2. Tìm GTLN và GTNN của hàm số
6 4 2
9 1
3
4 4
y x x x
   
trên đoạn [-1;1].
Hướng dẫn

Đặt
2
0;1 , 1;1
t x t x
   
     
   
ta có:
3 2
9 1
( ) 3
4 4
f t t t t
   
liên tục trên đoạn [0;1]
1
2
'( ) 0
3
0;1
2
t
f t
t



 



 
 
 



Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại
học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng
TP Huế
99
0;1 1;1
[ 1;1]
0;1
3 3 2
( ) 0 ( )
4 4 2
1 1
( ) 0 ( ) 0
4 4
Max f t khi t hay Max f x khi x
Min f t khi t hay Min f x khi x
   

   

 
 


   
   

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
4 2
sin os 2
y x c x
  
.
Hướng dẫn
Hàm đã cho xác định trên


4 2 4 2
sin os 2 sin sin 3
y x c x x x
     

Đặt
2
sin , 0;1
t x x
 
 
 
. Xét hàm
2
( ) 3, 0,1
f t t t t
 

    
 

Vậy
0;1 0;1
11
( ) 3; ( )
4
Max f x Min f x
   
   
 
.
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
2
sinx 1
sin sinx 1
y
x


 
.
Hướng dẫn
Đặt
sin , 1;1
t x t
 
  
 

2
1
( ) 1;1
1
t
f t
t t

 
  
 
 
,
( )
f t
liên tục trên
1;1
 

 
,
'( ) 0 0
f t t
  

1;1
1;1
( ) ( ) 0 sin 1 2 ,
2

( ) ( ) 0 sin 0 ,
Max f x Max f t khi x x k k
Min f x Min f t khi x x k k



 

 
 

 
        
     



Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2 2
sin os
4 4
x c x
y  

Hướng dẫn:
Cách 1:
2 2 2 2 2
2
sin os sin 1 sin sin
sin

4
4 4 4 4 4
4
x c x x x x
x
y

     

Đặt
2
sin
4 , 0;4
x
t t
 
 
 
, xét hàm số
2
4
, 1;4
t
y t
t

 
 
 

Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại
học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng
TP Huế
100
Từ đó suy ra được:
1;4 1;1
( ) ( ) 5 ; ( ) ( ) 4
Max f x Max f t Min f x Min f t
   

   
   

Cách 2:
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân ta có:
2 2
sin os
4 4 2 4 4.
x c x
  
Đẳng thức xảy ra khi
2 2
sin os
4 4 ,
2 2
x c x
k
x k

 
    

  
2
2 2 2 2
2
sin
sin os sin os
os
4 1
4 1 4 1 0 4 4 5
4 1
x
x c x x c x
c x



      





Đẳng thức xảy ra khi
sin 0
x

hoặc

cos 0
x


Vậy 4 ; 5
4 2 2
k k
Miny khi x Maxy khi x
  
    
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2sin 1
sin 2
x
y
x



b)
2
1
cos cos 1
y
x x

 

c)
2
2sin cos 1
y x x
  
d)
cos2 2sin 1
y x x
  

Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2
4 2
1
1
x
y
x x


 
b)
2 2
4 4 3
y x x x x
     

g)
2 2

4 2 5 2 3
y x x x x
     
e)
3 3
sin cos
y x x
 

Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại
học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng
TP Huế
101
DẠNG 3: ỨNG DỤNG VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền K và có . Khi đó:
1)

Phương trình
( ) ( )
f x f m

có nghiệm
x K


( ) ( ) ( )

K K
Min f x f m Max f x
 

2)

Bất phương trình
( ) ( )
f x f m

đúng với mọi
x K


in ( ) ( )
K
M f x f m

.
3)

Bất phương trình
( ) ( )
f x f m

có nghiệm
x K


ax ( )

K
M f x

( )
f m
.
4)

Bất phương trình
( ) ( )
f x f m

đúng với mọi
x K


ax ( )
K
M f x

( )
f m

5)

Bất phương trình
( ) ( )
f x f m

có nghiệm

x K


in ( ) ( )
K
M f x f m


BÀI TẬP MẪU
Bài 1.
2
Tìm tham số m để phương trình 3 1 có n
ghiệm thực
x x m   .
Hướng dẫn:
2
2
2 2
Xét hàm số ( ) 3 1 và
Hàm số f(x) liên tục trên .
0
6 6 6
f'(x)=0 3 1 3 ,
6 6 3
3 1 9
6 6
Dựa vào bảng biến thiên,suy ra: ( ) mà ( ) , do đó m thì phư
3 3
f x x x y m
x

x x x f
x x
f x f x m
   
 



         
 

 
 


 
  

ơng trình
có nghiệm thực.

Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2
5 1 5 6
x x x x m
       
.
Hướng dẫn:
Đặt
2 2

5 1 4 2 5 6
t x x t x x
         

PT 


2
4
1;5 2;2 2
2
t
t m khi x t

 
 
    
 
 

Xét hàm số


2
4
( ) 2;2 2 ( ) 1 ( ) 0 1 2;2 2
2
t
f t t t f t t f t t


   
 
           
   

Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại
học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng
TP Huế
102
 f(t) = m có nghiệm 


2 2 1 2
m  
.
BTTT: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2
3 6 18 3 2 1
x x x x m
       

@ Nhận xét: Qua các bài trên ta thấy
 Khi đặt ẩn phụ
t
, ta cần phải tìm điều kiện của
t
tức là tìm miền giá trị của
t

, nếu
không chú ý đến điều kiện này sẽ đưa đến kết quả sai.
 Qua các bài trên ta thấy chỉ cần căn cứ trên bảng biến thiên của hàm số- để kết luận
về số nghiệm của phương trình dạng f(x)=m mà không nhất thiết phải vẽ đồ thị hàm
số.
Bài 3. Xác định m để bất phương trình
2
2 1 2 0
m x x
  
có tập nghiệm là

.
Hướng dẫn
Ta có:
2
2
2
2 1 2 0, ,
2 1
x
m x x x m x
x

        

 

Xét hàm số
2

2
( ) ,
2 1
x
g x x
x

  



 
2 2
2
'( ) 0, neân haøm nghòch bieán treân
2 1 2 1
lim ( ) 2 ; lim ( ) 2
Do ñoù: 2
x x
g x x
x x
g x g x
m
 

   
 
  

 

Bài 4. Cho hệ phương trình:
2 2
3
3
x xy y m
xy x y

  


  



a) Giải hệ phương trình khi
5
m

;
b) Định các giá trị m để hệ có nghiệm.
Hướng dẫn
a) Đặt
2
, 4 0
S x y
S P
P xy

 

 




Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại
học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng
TP Huế
103
Hệ đã cho được viết lại
 
2
2 2
3 0
(*)
3 3
3
S P m S S m
x y xy m
S P P S
xy x y

 
     
  
  
 
  

   
 
   



Khi m= 5. Hệ
   
1 4 ( )
(*) ; 1;1
2 1
S P loai
x y
S P

   
  

  


b) Để hệ có nghiệm thì hệ
2
3 0
(*)
3
S S m
P S

   



 


có nghiệm thỏa
2
4 0
S P
 

2
4 0
S P
 


2
4 12 0 ; 6 2;S S S
 
         
 

Xét hàm
2
( ) 3
f S S S
  
,



; 6 2;S
 
    
 

Hàm này nghịch biến trên

;6



và


( ) 6 45
f S f
  
;
Đồng biến trên

2;



và
( ) (2) 5.
f S f
 
Vậy

5
m


BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tìm giá trị m để phương trình sau đây có nghiệm:
1
x x m
  

Hướng dẫn
Xét hàm số
1
y x x
  
hàm số xác định trên 0;
 

 

Ta có:


'( ) 0, 0;f x x
   
. Do đó hàm tăng trên 0;
 

 

(0) 1; lim ( )
x
f f x

  

Dựa vào bảng biến thiên thì phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
0
m


Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
2 2
1 1
x x x x m
     
.
Hướng dẫn
Xét hàm số
2 2
( ) 1 1
f x x x x x
     
.
Ta có:
2 2
2 1 2 1
'( )
2 1 2 1
x x

f x
x x x x
 
 
   

Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại
học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng
TP Huế
104

2 2 2 2
(2 1)(2 1) 0
'( ) 0
(2 1) ( 1) (2 1) ( 1)
x x
f x
x x x x x x

  

 

      



1 1

2 2
0( )
x x
x l


  








'(0) 1 0,
f x R
   


HS
( )
f x
đồng biến trên R.
lim ( ) 1;lim ( ) 1
x x
f x f x
 
  

Phương trình có nghiệm khi
1 1
m
  
.
Bài 3. Tìm
m
để phương trình sau có nghiệm
0; 1 3
x
 
 
 
:


2
2 2 1 (2 ) 0 (2)
m x x x x     

Hướng dẫn
Đặt
2
2 2
t x x
  
. Lúc đó : (2) 
2
2
(1 2), [0;1 3]

1
t
m t do x
t

    


Khảo sát
2
2
( )
1
t
g t
t



với 1  t  2.
 
2
2
2 2
'( ) 0, 1;2
1
t t
g t t
t
 

 
   
 

. Vậy
g
tăng trên [1,2]
Do đó, ycbt

bpt
2
2
1
t
m
t



có nghiệm t  [1,2]


 
1;2
2
max ( ) (2)
3
t
m g t g


  

Bài 4. Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:

2 2
10 8 4 (2 1). 1
x x m x x
    

Hướng dẫn
Ta thấy:
2 2 2
10 8 4 2(2 1) 2( 1)
x x x x
     

(pt) 
2
2 2
2 1 2 1
2 2 0
1 1
x x
m
x x
   
 
  
   
 

   
. Đặt
2
2 1
1
x
t
x



Điều kiện : –2< t
5
 .
Rút m ta có: m=
2
2 2
t
t

. Lập bảng biên thiên 
12
4
5
m 
hoặc –5 <
4
m
 
.

Nhận xét: Để phân tích được
2 2 2
10 8 4 2(2 1) 2( 1)
x x x x
     
ta dùng phương pháp hệ
Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại
học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng
TP Huế
105
số bất định.
Bài 5. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm với
2:
x


2 2
3
3 5
x y
x y m

 


   



Hướng dẫn
Đặt
2 2
( ) 3 (3 ) 5
f x x x
    

2 2
3
( )
3 (3 ) 5
x x
f x
x x


 
  

2 2
2
2 3
( ) 0 6 14 (3 ) 3
2 18 27 0
x
f x x x x x x
x x

 



       

  



Phương trình thứ hai có
' 81 54 135 9.15
    
, và hai nghiệm:
1,2
9 3 15
2
x
 

Dễ kiểm tra rằng cả hai nghiệm này đều bị loại vì nhỏ hơn 2. Vậy, đạo hàm của hàm số
không thể đổi dấu trên

2;



, ngoài ra
(3) 0
f



nên
( ) 0, 2
f x x

  
. Do đó, giá trị nhỏ
nhất của
( )
f x
là
(2) 7 6
f   .
Cũng dễ thấy


lim
x
f x

 
. Từ đó suy ra: hệ phương trình đã cho có nghiệm (với
2
x

)
khi và chỉ khi
6 7
m   .
Bài 6. Giải và biện luận phương trình:
2 2 3 2

1.( 2 2) 3 4 2
mx m x mx x x x
      

Hướng dẫn
(pt) 
3 3
( 1) 1 ( 1) ( 1)
mx mx x x
      
.
Xét hàm số:
3
( )
f t t t
 
, hàm số này đồng biến trên

.

( 1) ( 1)
f mx f x
  

1 1
mx x
  

Giải và biện luận phương trình trên ta có kết quả cần tìm.


1 1
m
  
phương trình có nghiệm x =
2
1
m



 m = –1 phương trình nghiệm đúng với
1
x
 

 Các trường hợp còn lại phương trình vô nghiệm.
Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại
học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng
TP Huế
106
Bài 7. Tìm m để


4 4
2 sin cos cos4 2sin2 0
x x x x m
    
có nghiệm trên

0; .
2

 
 
 

Hướng dẫn
Ta có
4 4 2
1
sin os 1 sin 2
2
x c x x
  
và
2
os4 1 2sin 2 .
c x x
 

Do đó


2
1 3sin 2 2sin2 3
x x m
    
.
Đặt

sin2
t x

. Ta có
0; 2 0; 0;1 .
2
x x t


 
   
    
 
   
 

Suy ra


2
3 2 3 , 0;1
f t t t m t
 
     
 

Ta có bảng biến thiên

Từ đó phương trình đã cho có nghiệm trên
10

0; 2
2 3
m

 
  
 
 
hoặc –5 <
4
m
 

LUYỆN TẬP
Bài 1. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
2 2
3 2 2 2 (*)
x x x mx m      

Hướng dẫn:
(*)
2
2 2
3 2 0
3 2 2 2
x x
x x x mx m

   




      


1 2
1 2
3 2
2 ( 1) 3 2
( ) 2
1
x
x
x
m x x
f x m
x


 
 
 
 
 

  
 
 





f(x) liên tục trên
1;2
 
 
và có
 
2
5
( ) 0, 1;2
1
f x x
x

 
   
 


( )
f x

đồng biến trên
1;2
 
 

Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại
học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng
TP Huế
107
Bài tốn u cầu
1 2
(1) 2 (2)
4 3
f m f m
     

Bài 2. Tìm m để BPT:
2
2 9
m x x m
  
có nghiệm đúng
x
 


Hướng dẫn:
2
2 9
m x x m
  



2

2 9 1
m x x
  

 
2
2 9 1
x
m f x
x
 
 

Ta có:
 
 
2
2
2 2
9 2 9
2 9 2 9 1
x
f x
x x
 


  
 0 
2

2 9 9 6
x x
    

 
2
1 1
lim lim
9 2
1
2
x x
f x
x
x
 
 
 
;
 
2
1 1
lim lim
9 2
1
2
x x
f x
x
x

 
 
 
 

Nhìn BBT ta có


f x m

,
x
 




   
3 3
Min 6
4 4
x
f x f m m


      


Bài 3. Tìm m để phương trình:
( 1) 4( 1)

1
x
x x x m
x
   

có nghịêm
Hướng dẫn:
Đặt ( 1)
1
x
t x
x
  


khi đó pt cho ta m = t(t – 1) suy ra
4
m
 

Bài5
2 2
Tìm tham số m để bất phương trình 2 24
2 (1) có nghiệm trên 4;6
x x x x m
 
     
 

Hướng dẫn:
2
2
2
2 24, 4,6 thì t 0;5
ycbt tìm m để bất phương trình 24 có
nghiệm thực t 0;5
Xét hàm số f(t)= 24, liên tục trên 0;5
Đặt t x x x
t t m
t t
   
     
   
 
    
 
 
 
 

Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại
học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng
TP Huế
108
0;5
Ta có: '( ) 0, 0;5 ( ) liên tục và đồng biến trên 0;5
Vậy bpt có nghiệm thực trên đoạn 0

;5 khi ax ( ) (5) 6
f t t f t
m f t m f m m
 
 
   
   
   
 
    
 

Bài 6. Tìm m để hệ BPT:
2
3 2
3 0
2 2 4 0
x x
x x x m m

 


    


(1) có nghiệm.
Giải. (1) 
 
3 2

0 3
2 2 4
x
f x x x x m m

 


    


(2).
Ta có:
 




2
2
3 4 4 0;2
3 4 4 2;3
x x x
f x
x x x

   





   


;
(x)  0 
2
3
x

. Hàm khơng có đạo hàm tại
2
x


Nhìn BBTsuy ra:
 




0;3
Max 3 21
x
f x f

 

Để (2) có nghiệm thì
 



2
0;3
Max 4
x
f x m m

  
2
4 21
m m
 
 3  m  7
Bài 7. Tìm m để PT:
 
2
2 2sin2 1 cos
x m x
   (1) có nghiệm
,
2 2
x
 
 
 
 
 

Giải. Do

,
2 2
x
 
 
 
 
 

,
2 4 4
x
 
 


 
 
nên đặt
 
tg 1,1
2
x
t   


2
2
1
cos

1
t
x
t



;
2
2
sin
1
t
x
t


. Khi đó (1) 
   
2 2
2 sin cos 1 cos
x x m x
  


 
 
2 2
2 2
2

2
2 2
2 1 1
2 1 2 1 2
1 1
t t t
m f t t t m
t t
   
  
      
   
 
   
(2)
Ta có:
 


 
2
2 2 1 2 2 0 1; 1 2
f t t t t t t

        
Để (2) có nghiệm


1,1
t  

thì
 


 


1,1
1,1
Min 2 Max
t
t
f t m f t
 
 
 

0 2 4 0 2
m m
    
. Vậy để (1) có nghiệm
,
2 2
x
 
 
 
 
 

thì


0;2
m 
.
Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại
học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng
TP Huế
109
@ Chú ý: ở bài trên ta đã sử dụng công thức đặt
tg
2
x
t  thì
2
2
1
cos
1
t
x
t



;
2

2
sin
1
t
x
t


.
Công thức này trong SGK không có. Tuy nhiên, ta nên biết để khi nào thấy “bí” đem ra
dùng. Việc chứng minh công thức trên tương đối dễ dàng.