De HK2 K12-2010-2011(THPT)

TRƯỜNG THPT HIẾU TỬ ĐỀ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2010 – 2011
TỔ TOÁN – TIN Môn Thi: TOÁN – LỚP 12, THPT
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
I. PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ 2 BAN ( 5 điểm)
Câu 1 ( 3 điểm)
Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
- +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng
2-
và
trục oy.
Câu 2 ( 2 điểm)
a. Tính tích phân
2
1
ln
3
x
I dx=
ò
b. Tính tích phân
7
3

0
2
1
x
J dx
x
+
=
+
ò
II. PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN ( 5 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần sau ( phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu 3a (3,0 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 7;1) và B(4;2;0), mặt phẳng (P) có phương
trình
2 2 1 0x y z+ - + =
.
a. Viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng (P). Tìm tọa độ giao điểm
của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
b. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P).
c. Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính bằng 9, (S) có tâm I thuộc AB và (S) tiếp xúc với mặt
phẳng (P).
Câu 4a (2,0 điểm)
a. Cho số phức
1 3z i= +
.Tính
2 2
( )z z+
b. Hãy xác đònh phần thực, phần ảo của số phức sau

1
1
1 2
i
z i
i
-
= + +
+
B. Theo chương trình nâng cao :
Câu 3b (3,0 điểm )
Cho hai đường thẳng
1
:
x t
d y t
z t
ì
ï
= -
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
= -
ï
ï

ỵ
và
2
: 1
'
x t
d y t
z t
ì
ï
¢
=
ï
ï
ï
¢ ¢
= - +
í
ï
ï
=
ï
ï
ỵ
a. Tính khoảng cách giữa d và d’
b. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và song song với d’
c. Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d’
Câu 4b (2,0 điểm )
a. Viết dạng lượng giác của số phức
1 3z i= -

b. Tìm số n nguyên dương và
1, 10n
é ù
Ỵ
ê ú
ë û
để số phức
( )
1 3
n
z i= +
là số thực.
HẾT
TRƯỜNG THPT HIẾU TỬ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2010 – 2011
TỔ TOÁN – TIN Môn Toán – Lớp 12 , THPT.
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
1a(2đ)
2 1
1
x
y
x
+
=
- +
. Tập xác đònh: D =
¡
\
{ }
1

0,25
Sự biến thiên:
lim 2
x
y
- ¥®
= -
và
lim 2
x
y
+ ¥®
= -
Þ
Tiệm cận ngang là
2y = -
1
lim
x
y
-
®
= + ¥
và
1
lim
x
y
+
®

= - ¥
Þ
Tiệm cận đứng là
1x =
0,25
( )
2
3
0
1
y x D
x
¢
= > " Ỵ
- +
0,25
0,25
Hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
;1- ¥
và
( )
1;+ ¥

Hàm số không có cực trò.
Đồ thò (Đồ thò nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng)
Đồ thò qua
( )
0;1
;

1
; 0
2
ỉ ư
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
0,25
0,75
x
y’
y
– ∞ + ∞1
-2
-2
+ +
+ ∞
– ∞
y
x
0
1
1

-2
-1
-1-2
1b(1đ)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng
2-
có dạng:
( ) ( )
0 0 0
y f x x x y
¢
= - +
0
2x = -
0
1y = -Þ
,
( )
( )
0
2
0
3 1
3
1
f x
x
¢
= =
- +

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng
2-
là:
( )
1 1 1
2 1
3 3 3
y x y x= + - = -Û
0,25
Dựa vào hình vẽ thì diện tích cần tìm là
0
2
2 1 1 1
1 3 3
x
S x dx
x
-
ỉ ư
ỉ ư
+
÷
֍
ç
÷
÷
= - -ç
ç
÷
÷

ç
ç
÷
÷
ç
÷
ç
- +
è ø
è ø
ò
0,25
S
0 0
2 2
3 1 1 3 1 5
2
1 3 3 1 3 3
x dx x dx
x x
- -
ỉ ư ỉ ư
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
= - + - + = - -
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷

ç ç
- + - +
è ø è ø
ò ò
0
2
2
1 5
3 ln 1
3 2 3
x
x x
-
ỉ ư
÷
ç
÷
= - - + - -
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
8
3 ln 3
3
= -
0,5
2a(1đ)

Đặt
3
ln
1
u x
dv dx
x
ì
ï
=
ï
ï
ï
í
ï
=
ï
ï
ï
ỵ
2
1
1
2
du dx
x
v
x
ì
ï

ï
=
ï
ï
ï
Þ
í
ï
ï
=
ï
ï
-
ï
ỵ
0,25
2
2 2
3 2 2
1
1 1
ln 1 1 1
ln
2 2
x
I dx x dx
x
x x x
= = -
- -

ò ò
0,25
2
3
1
1 1 1
ln 2
8 2
dx
x
= - +
ò
2
2
1
1 1 1 1 3
ln 2 ln 2
8 2 8 16
2x
ỉ ư
÷
ç
÷
= - + = - +
ç
÷
ç
÷
ç
-

è ø
0,5
2b(1đ)
Đặt
3
1t x= +
3
1t x= +Þ
2
3t dt dx=Þ
7 2x t= =Þ
0 1x t= =Þ
0,25
J=
2
3
2
1
1
3
t
t dt
t
+
ò
0,25
( )
2
2
5 2

4
1
1
231
3 3
5 2 10
t t
t t dt
ỉ ư
÷
ç
÷
= + = + =
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
ò
0,5
3a.1
(1đ)
Đường thẳng d vuông góc với mp(P) nên d có véc tơ chỉ phương là
( )
1;2; 2u = -
r
0,25
Do đó đường thẳng d có phương trình là
1

7 2
1 2
x t
y t
z t
ì
ï
= +
ï
ï
ï
= +
í
ï
ï
= - -
ï
ï
ỵ
0,25
Xét phương trình
( ) ( ) ( )
1 2 7 2 2 1 2 1 0t t t+ + + - - - + =
2t = -Û
0,25
Thế
2t = -
vào phương trình của d ta có
1
3

3
x
y
z
ì
ï
= -
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
=
ï
ï
ỵ
, vậy giao điểm cần tìm là
( )
1; 3; 3-
0,25
3a.2
(1đ)
Gọi mặt phẳng cần tìm là (Q)
Do (Q) chứa điểm AB và vuông góc với mặt phẳng (P) nên (Q) có cặp véc tơ chỉ
phương là
( )
3; 5;1A B = -
uuur

, và
( )
1;2; 2
P
n = -
uur

Suy ra (Q) có véc tơ pháp tuyến là
( )
, 8;7;11
P
n AB n
é ù
= =
ê ú
ë û
ur uuur uur
0,5
Vậy mp(Q) qua A(1; 7;1) và có véc tơ pháp tuyến là
( )
8; 7;11n =
ur
nên mp(Q) có
phương trình là:
( ) ( ) ( )
8 1 7 7 11 1 0x y z- + - + + =
8 7 11 46 0x y z+ + - =Û
0,5
3a.3
(1đ)

Đường thẳng AB qua A(1; 7;1) và có véc tơ chỉ phương là
( )
3; 5;1A B = -
uuur
nên AB có
phương trình:
1 3
7 5
1
x t
y t
z t
ì
ï
= +
ï
ï
ï
= -
í
ï
ï
= - +
ï
ï
ỵ
0,25
I thuộc AB nên
( )
1 3 ;7 5 ; 1I t t t+ - - +

0,25
(S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên
( )
( )
,d I P R=
( ) ( ) ( )
1 3 2 7 5 2 1 1
9
1 4 4
t t t+ + - - - + +
=Û
+ +
1
5
t
t
é
= -
ê
Û
ê
=
ê
ë
0,25
Với
1t = -
thì
( )
2;12; 2I - -

,
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 2 12 2 81S x y z+ + - + + =
Với
5t =
thì
( )
16; 18;4I -
,
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 16 18 4 81S x y z- + + + - =
0,25
4a.1
(1đ)
1 3z i= +
( )
2
2
1 3 2 2 3.z i i= + = - +Þ
0,25
1 3z i= -
( )
( )
2
2
1 3 2 2 3.z i i= - = - -Þ
0,25
( ) ( )

2 2
( ) 2 2 3. 2 2 3. 4z z i i+ = - + + - - = -
0,5
4a.2
(1đ)
( )
1 1 3 4 2
1 1
1 2 5 5 5 5
i
z i i i i
i
ỉ ư
-
÷
ç
÷
= + + = - - + + = +
ç
÷
ç
÷
ç
+
è ø
0,75
Phần thực:
4
5
; phần ảo:

2
5
0,25
3b.1
(1đ)
d qua
( )
1;0;0M
có véctơ chỉ phương là
( )
1;1; 1a = − −
r
d’ qua
( )
' 0; 1;0M −
có véctơ chỉ phương là
( )
' 2;1;1a =
uur
0,25
Ta có:
 
 
r ur
, 'a a
 − − − − 
=
 ÷
 
1 1 1 1 1 1

; ;
1 1 1 2 2 1
( )
2; 1; 3= − −
0,25
'MM
uuuuur
( )
1; 1;0= − −
⇒
 
= −
 
r ur uuuuur
, ' ' 1a a MM
0,25
( )
, 'd d d
 
 
=
 
 
r ur uuuuur
r ur
, ' '
, '
a a MM
a a
1

1 14
14
4 1 9 14
−
= = =
+ +
0,25
3b.2
(1đ)
Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm,
( )
( )
( )
1;0;0
:
; ' 2; 1; 3



 
= = − −

 

r r uur
M
P
n a a
0,5
⇒

( ) ( ) ( ) ( )
− − − − − =:2 1 0 3 0 0P x y z
Û
( )
− − − =:2 3 2 0P x y z
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là
( )
− − − =:2 3 2 0P x y z
0,5
3b.3
(1đ)
Giả sử đường vng góc chung của d và d
/
đi qua A,B với
/ /
, à ,A d B d v A B d A B d^ ^Ỵ Ỵ
vì
A dỴ
nên
( )
1 ; ;A t t t- -
vì
/
B dỴ
nên
( )
/ / /
2 ; 1 ;B t t t- +
do đó:
( )

/ / /
2 1 ; 1 ;A B t t t t t t= - + - + - +
uuur
A B d^
Û
. 0 3 2 0A B a t t
¢
= - - =Û
uuur r
/
A B d^
Û
/
. 0 2 6 3 0A B a t t
¢
= + - =Û
uuur ur
0,25
/
/
7
3 2 0
3
9
2 6 3
14
t
t t
t t
t

ì
ï
ï
= -ì
ï¢
ï
- - =
ï
ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ =
ï ï
ï
ỵ
=
ï
ï
ï
ỵ
10 3 3
; ;
7 7 7
A
ỉ ư
÷
ç
÷

-Þ
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
;
9 5 9
; ;
7 14 14
B
ỉ ư
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
0,25
Vậy đường vng góc chung của d và d
/
là đường thẳng đi qua
10 3 3
; ;
7 7 7

A
ỉ ư
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
và có véc
tơ chỉ phương
1 1 3
; ;
7 14 14
A B
ỉ ư
÷
ç
÷
= -
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
uuur

0,25
Phương trình đường vng góc chung cần tìm là
10 1
7 7
3 1
,
7 14
3 3
7 14
x l
y l l R
z l
ì
ï
ï
= -
ï
ï
ï
ï
ï
ï
= - + Ỵ
í
ï
ï
ï
ï
ï
= +

ï
ï
ï
ỵ
0,25
4b.1
(1đ)
1 3
1 3 2 2 cos sin
2 2 3 3
z i i i
p p
ỉ ư
é ù
ỉ ư ỉ ư
÷
ç
÷ ÷
ç ç
÷
ê ú
ç
÷ ÷
= - = - = - + -
ç ç
÷
ç
÷ ÷
÷ êú
ç ç

÷ ÷
ç ç
ç
÷
è ø è ø
ç
ê ú
è ø
ë û
1
4b.2
(1đ)
Tìm số n nguyên dương và
1, 10n
é ù
Ỵ
ê ú
ë û
để số phức
( )
1 3
n
z i= +
là số thực.
( )
1 3
1 3 2 2 cos sin 2 cos sin
2 2 3 3 3 3
n
n

n n n
n n
z i i i i
p p p p
ỉ ư
ỉ ư ỉ ư
÷
ç
÷ ÷
ç ç
÷
ç
÷ ÷
= + = + = + = +
ç ç
÷
ç
÷ ÷
÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
ç
÷
è ø è ø
ç
è ø
0,5
Z là số thực khi
sin 0 3 1,10

3 3
n n
k n k
p p
p
é ù
= = =Û Û Ỵ
ê ú
ë û
{ }
3, 6, 9nÞ Ỵ
0,5