TỔNG HỢP CÔNG THỨC TOÁN CẤP 3

GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
NHỚ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT
Ax = B
• A ≠ 0 : phương trình có nghiệm duy nhất
A
B
x =
• A = 0 và B ≠ 0 : phương trình vô nghiệm
• A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm
Ax > B
• A > 0 :
A
B
x >
• A < 0 :
A
B
x <
• A = 0 và B ≥ 0 : vô nghiệm
• A = 0 và B < 0 : vô số nghiệm
NHỚ 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT HAI ẨN SỐ
1/. Dạng :



=+
=+
///
cybxa

cbyax
2/. Cách giải :
baab
ba
ba
D
//
//
−==
bccb
bc
bc
D
x
//
//
−==
caac
ca
ca
D
y
//
//
−==
∗ D ≠ 0 : hệ có nghiệm duy nhất








=
=
D
D
y
y
D
D
x
x
∗ D = 0 và D
x
≠ 0
Hệ vô nghiệm
D = 0 và D
y
≠ 0
∗
D = D
x
= D
y
= 0 : Hệ vô số nghiệm hay vô nghiệm tùy thuộc a, b, c, a
/
, b
/
, c

/
NHỚ 3 : PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI MỘT ẨN
ax
2
+ bx + c = 0 ( a ≠ 0)
∗
∆ = b
2
– 4ac
∆ > 0
a
b
x
2
1
∆+−
=
,
a
b
x
2
2
∆−−
=
∆ = 0
Nghiệm kép
a
b
xx

2
21
−==
∆ < 0 Vô nghiệm
∗
∆
/
= b
/ 2
– ac
∆
/
> 0
a
b
x
//
1
∆+−
=
,
a
b
x
//
2
∆−−
=
1
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97

_______________________________________________________________________________
_
∆
/
= 0
Nghiệm kép
a
b
xx
/
21
−==
∆
/
< 0 Vô nghiệm
Chú ý: a + b + c = 0 : nghiệm x
1
= 1, x
2
=
a
c
a – b + c = 0 : nghiệm x
1
= –1, x
2
=
a
c
−

NHỚ 4 : DẤU NHỊ THỨC
f(x) = ax + b ( a ≠ 0)
x
– ∞
a
b
−
+∞
f(x) Trái dấu a 0 cùng dấu a
NHỚ 5 : DẤU TAM THỨC
f(x) = ax
2
+ bx + c ( a ≠ 0) ( Nhớ : TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG)
Nếu Thì



>
<∆
0
0
a



<
<∆
0
0
a

f(x) > 0, ∀x
f(x) < 0, ∀x



>
=∆
0
0
a



<
=∆
0
0
a
f(x) > 0, ∀x ≠
a
b
2
−
f(x) < 0, ∀x ≠
a
b
2
−
∆ > 0
x – ∞ x

1
x
2
+∞
f(x) cùng 0 true 0 cùng
dấu a
NHỚ 6 : SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI
VỚI CÁC SỐ
Cho: f(x) = ax
2
+ bx + c ( a ≠ 0) và α, β là hai số thực
1/. Muốn có x
1
< α < x
2
ta phải có af(x) < 0
2/. Muốn có x
2
> x
1
> α ta phải có







>−
>

>∆
0
2
0)(
0
α
α
S
af
3/. Muốn có x
1
< x
2
< α ta phải có







<−
>
>∆
0
2
0)(
0
α
α

S
af
4/. Muốn có x
1
< α < β < x
2
ta phải có



<
<
0)(
0)(
β
α
af
af
2
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
5/. Muốn có x
1
< α < x
2
<β ta phải có




>
<
0)(
0)(
β
α
af
af
6/. Muốn có



<<<
<<<
21
21
xx
xx
βα
βα
ta phải có
0)()( <
βα
ff
7/. Muốn có α < x
1
< x
2
<β ta phải có










<<
>
>
>∆
βα
β
α
2
0)(
0)(
0
S
af
af
 Chú ý:
1/. Muốn có x
1
< 0 < x
2
ta phải có P < 0
2/. Muốn có x
2

> x
1
> 0 ta phải có





>
>
>∆
0
0
0
S
P
3/. Muốn có x
1
< x
2
< α ta phải có





<
>
>∆
0

0
0
S
P
NHỚ 7 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
1/.



=
≥
⇔=
K
K
BA
B
BA
2
2
0
2/.



≥≥
=
⇔=
)0(0
22
hayBA

BA
BA
KK
NHỚ 8 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
1/.





<
>
≥
⇔<
K
K
BA
B
A
BA
2
2
0
0
2/.











>
≥



≥
<
⇔>
K
K
BA
B
A
B
BA
2
2
0
0
0
3/.
12
12
+
+

<⇔<
K
K
BABA
NHỚ 9 : PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1/.










≥
−=



≥
=
⇔=
0
0
B
BA
B
BA

BA

2/.



−=
=
⇔=
BA
BA
BA
3
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
Chú ý:










≤
=−




≥
=
⇔=
0
)()(
0
)()(
)()(
x
xgxf
x
xgxf
xgxf
NHỚ 10 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1/.



>
<<−
⇔<
0B
BAB
BA
2/.














≥
−<



≥
>
<
⇔>
0
0
0
B
BA
B
BA
B
BA
3/.
22

BABA >⇔>
NHỚ 11 : BẤT ĐẲNG THỨC
1/. Đònh nghóa :
Dạng : A > B, A ≥ B
A < B, A ≤ B
2/. Tính chất :
a)
abba <⇔>
b)
ca
cb
ba
>⇒



>
>
c)
cbcaba +>+⇔>
d)



<<
>>
⇔>
0,
0,
cbcac

cbcac
ba
e)
dbca
dc
ba
+>+⇒



>
>
f)
bdac
dc
ba
>⇒



>>
>>
0
0
g)







<>
><
⇒>
0;
11
0;
11
abkhi
ba
abkhi
ba
ba
3/. BĐT Cô Si :
Cho n số tự nhiên không âm a
1
, a
2
, a
3
, , a
n
n
n
n
aaaa
n
aaaa

321
321
≥
++++
hay
n
n
n
n
aaaa
aaaa






++++
≤


321
321
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a
1
= a
2
= a
3
= = a

n
4/. BĐT Bunhia Côp ski :
Cho a
1
, a
2
, a
3
, , a
n
, b
1
, b
2
, b
3
, , b
n
là những số tực khi đó:
4
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
) )( () (
22
2
2
1
22
2

2
1
2
2211 nnnn
bbbaaabababa ++++++≤+++
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a
i
= k.b
i
, i = 1 , 2 , 3, , n
5/. BĐT BecnuLi :
Cho : a > –1, n ∈ N Ta có : (1 + a)
n
≥ 1 + na
Đẳng thức xảy ra



=
=
⇔
1
0
n
a
6/. BĐT tam giác :
BABA +≤+
Đẳng thức xảy ra ⇔ AB ≥ 0
NHỚ 12 : CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
A. HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức )

1/.
1
22
=+ xCosxSin
2/.
Cosx
Sinx
Tanx =
3/.
Sinx
Cosx
Cotx =
4/.
1. =CotxTanx
5/.
xCos
xTan
2
2
1
1 =+
6/.
xSin
xCot
2
2
1
1 =+
Điều kiện tồn tại :
• Tanx là x ≠ π/ 2 + kπ , k ∈ Z

• Cotx là x ≠ kπ , k ∈ Z
• Sinx là – 1 ≤ Sinx ≤ 1
• Cosx là – 1 ≤ Cosx ≤ 1
Chú ý :
• a
2
+ b
2
= ( a + b)
2
– 2ab
• a
3
+ b
3
= ( a + b)
3
– 3ab( a + b)
B. CÔNG THỨC CỘNG ( 8 công thức )
7/.
SinaSinbCosaCosbbaCos −=+ )(
8/.
SinaSinbCosaCosbbaCos +=− )(
9/.
CosaSinbSinaCosbbaSin +=+ )(
10/.
CosaSinbSinaCosbbaSin −=− )(
11/.
TanaTanb
TanbTana

baTan
−
+
=+
1
)(
12/.
TanaTanb
TanbTana
baTan
+
−
=−
1
)(

13/.
CotbCota
CotaCotb
baCot
+
−
=+
1
)(
14/.
CotbCota
CotaCotb
baCot
−

+
=−
1
)(
C. CÔNG THỨC NHÂN
I. NHÂN ĐÔI : ( 3 công thức)
15/.
SinaCosaaSin 22
=
5
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
16/.
aSinaCosaSinaCosaCos
2222
21122 −=−=−=
17/.
aTan
Tana
aTan
2
1
2
2
−
=
II. NHÂN BA : ( 3 công thức)
18/.
CosaaCosaCos 343

3
−=
19/.
aSinSinaaSin
3
433 −=
20/.
aTan
aTanTana
aTan
2
3
31
3
3
−
−
=
III.HẠ BẬC : ( 4 công thức)
21/.
2
21
2
aCos
aSin
−
=
⇒
aSinaCos
2

221 =−
22/.
2
21
2
aCos
aCos
+
=
⇒
aCosaCos
2
221 =+
23/.
4
33
3
aSinSina
aSin
−
=
24/.
4
33
3
aCosCosa
aCos
+
=
IV.GÓC CHIA ĐÔI : ( 3 công thức)

25/.
2
1
2
t
t
Sinx
+
=
26/.
2
2
1
1
t
t
Cosx
+
−
=
, với
2
x
Tant =
27/.
2
1
2
t
t

Tanx
−
=
D. TỔNG THÀNH TÍCH : ( 8 công thức)
28/.
22
2
ba
Cos
ba
CosCosbCosa
−+
=+
29/.
22
2
ba
Sin
ba
SinCosbCosa
−+
−=−
30/.
22
2
ba
Cos
ba
SinSinbSina
−+

=+
31/.
22
2
ba
Sin
ba
CosSinbSina
−+
=−
32/.
CosaCosb
baSin
TanbTana
)( +
=+
33/.
CosaCosb
baSin
TanbTana
)( −
=−
34/.
SinaSinb
baSin
CotbCota
)( +
=+
35/.
SinaSinb

baSin
CotbCota
)( −−
=−
E. TÍCH THÀNH TỔNG : ( 3 công thức)
36/.
( )
[ ]
)(
2
1
baCosbaCosCosaCosb ++−=
6
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
37/.
[ ]
)()(
2
1
baCosbaCosSinaSinb +−−=
38/.
[ ]
)()(
2
1
baSinbaSinSinaCosb ++−=
F. CUNG LIÊN KẾT :
Cos đối

Cos(–
α
) = Cos
α
; Sin(–
α
) = – Sin
α
Sin bù
Sin(
π
–
α
) = Sin
α
; Cos(
π
–
α
) = – Cos
α
Phụ chéo
Sin(
π
/2 –
α
) = Cos
α
; Cos(
π

/2 –
α
) = Sin
α
Khác
π
Tan
Tan(
π
+
α
) = Tan
α
; Cot(
π
+
α
) = Cot
α

Sai kém
π
/ 2
Sin(
π
/2 +
α
) = Cos
α
; Cos(

π
/2 +
α
) = – Sin
α
NHỚ 13 : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
A. CƠ BẢN :
Sinu = Sinv



+−=
+=
⇔
ππ
π
2
2
kvu
kvu
k
∈
Z
Cosu = Cosv
π
2kvu
+±=⇔
Tanu = Tanv
π
kvu

+=⇔
Cotu = Cotv
π
kvu
+=⇔
Sinu = 0
π
ku
=⇔
Sinu = 1
ππ
22/ ku
+=⇔
Sinu = –1
ππ
22/ ku
+−=⇔
Cosu = 0
ππ
ku
+=⇔
2/
Cosu = 1
π
2ku
=⇔
Cosu = – 1
ππ
2ku
+=⇔

B. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos
Dạng aSinx + bCosx = c ( a
2
+ b
2
≠ 0 )
Phương pháp :
Cách 1: Chia hai vế cho
22
ba +
Đặt :
αα
Sin
ba
b
Cos
ba
a
=
+
=
+
2222
;

Ta có
22
)(
ba
c

xSin
+
=+
α
(*)
(*) Có nghiệm khi
1
22
≤
+ ba
c
222
cba ≥+⇔
(*) Vô nghiệm khi
222
cba <+⇔
Cách 2:
• Kiểm chứng x = (2k + 1)π có phải là nghiệm của phương trình hay không?
• Xét x ≠ (2k + 1)π Đặt :
2
x
Tant =
Thế
2
2
2
1
1
;
1

2
t
t
Cosx
t
t
Sinx
+
−
=
+
=
Vào phương trình ⇒ t ?
⇒ x ?
7
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
C. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:
1/. Đối với một hàm số lượng giác:
Giả sử a≠ 0
0
2
=++ cbSinxxaSin
( đặt
1, ≤= tSinxt
)
0
2
=++ cbCosxxaCos

(đặt
1, ≤= tCosxt
)
0
2
=++ cbTanxxaTan
( đặt
π
π
kxTanxt +≠=
2
,
)
0
2
=++ cbCotxxaCot
( đặt
π
kxCotxt ≠= ,
)
2/. Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx
Dạng:
0
22
=++ xcCosbSinxCosxxaSin
(1)
0
3223
=+++ xdCosxcSinxCosxCosxbSinxaSin
(2)

Phương pháp :
Cách 1:
∗ Kiểm x = π/ 2 + kπ có phải là nghiệm của phương trình ?
∗ Chia hai vế cho Cos
2
x ( dạng 1), chia Cos
3
x ( dạng 2) để đưa phương trình đã cho
về dạng phương trình bậc hai, bậc ba đối với Tanx.
Cách 2:
Dạng (1) có thể sử dụng công thức hạ bậc và
2
2xSin
SinxCosx =
thế vào
3/. Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx:
Dạng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)
Phương pháp: Đặt :
2),
4
(2 ≤+=+= txSinCosxSinxt
π
0
2
1
(*)
2
=+
−
+⇔ c

t
bat
t⇒
( nếu có)
x⇒
Chú ý: Dạng a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) giải tương tự :
Đặt :
2),
4
(2 ≤−=−= txSinCosxSinxt
π
0
2
1
(*)
2
=+
−
+⇔ c
t
bat
⇒ t ? ( nếu có) ⇒ x ?
D. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT :
1/. Tổng bình phương :
• A
2
+ B
2
+ + Z
2

= 0 ⇔ A = B = = Z = 0
• A ≥ 0, B ≥ 0, , Z ≥ 0
Ta có : A + B + + Z = 0 ⇔ A = B = = Z = 0
2/. Đối lập :
Giả sử giải phương trình A = B (*)
Nếu ta chứng minh



≥
≤
KB
KA




=
=
⇔
KB
KA
(*)
8
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
3/.






+=+
≤
≤
klBA
kB
lA




=
=
⇔
kB
lA
4/.
1,1 ≤≤ BA




=
=
⇔=
1
1
1

B
A
AB
hay



−=
−=
1
1
B
A
NHỚ 14: HỆ THỨC LƯNG
Tam giác thường ( các đònh lý)
Hàm số Cosin
•
bcCosAcba 2
222
−+=
•
bc
acb
CosA
2
222
−+
=
Hàm số Sin
•

R
SinC
c
SinB
b
SinA
a
2===
•
R
a
SinARSinAa
2
,2 ==
Hàm số Tan
•
ba
ba
BA
Tan
BA
Tan
+
−
=
+
−
2
2
Các chiếu •

cCosBbCosCa +=
Trung tuyến
•
4
)(2
222
2
acb
m
a
−+
=
Phân giác
•
2 .
2
a
A
bc Cos
l
b c
=
+
Diện tích
Diện tích
•
cba
chbhahS
2
1

2
1
2
1
===
•
abSinCacSinBbcSinAS
2
1
2
1
2
1
===
•
prS =
•
R
abc
S
4
=
•
))()(( cpbpappS −−−=
Chú ý:
•
2
)(
2
)(

2
)(
C
Tancp
B
Tanbp
A
Tanap
p
S
r −=−=−==
•
SinC
c
SinB
b
SinA
a
S
abc
R
2224
====
• a, b, c : cạnh tam giác
• A, B, C: góc tam giác
• h
a
: Đường cao tương ứng với cạnh a
• m
a

: Đường trung tuyến vẽ từ A
• R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác.
9
H
B
C
A
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
•
2
cba
p
++
=
Nữa chu vi tam giác.
Hệ thức lượng tam giác vuông:
•
ACABBCAH
CHBHAH

.
2
=
=
•
BCBHAB .
2
=

•
CBCHAC .
2
=
•
222
ACABBC +=
NHỚ 15: MỘT SỐ BÀI TÓAN CẦN NHỚ
Cho tam giác ABC :
1/.
222
4
C
Cos
B
Cos
A
CosSinCSinBSinA =++
2/.
222
41
C
Sin
B
Sin
A
SinCosCCosBCosA +=++
3/.
TanCTanBTanATanCTanBTanA =++
( tam giác ABC không vuông)

4/.
2
.
2
.
2222
C
Cot
B
Cot
A
Cot
C
Cot
B
Cot
A
Cot =++
5/.
1
2
.
22
.
22
.
2
=++
A
Tan

C
Tan
C
Tan
B
Tan
B
Tan
A
Tan
6/.
CosCCosBCosACSinBSinASin 22
222
+=++
7/.
CosCCosBCosACCosBCosACos 21
222
−=++
8/.
SinCBASin =+ )(
CosCBACos −=+ )(
;
22
C
Cos
BA
Sin =
+
22
C

Sin
BA
Cos =
+
;
22
C
Cot
BA
Tan =
+
9/.
8
33
≤SinCSinBSinA
10/.
8
1
≤CosCCosBCosA
11/.
8
33
2
.
2
.
2
≤
C
Cos

B
Cos
A
Cos
12/.
8
1
2
.
2
.
2
≤
C
Sin
B
Sin
A
Sin
13/.
4
3
222
≥++ CCosBCosACos
14/.
9
4
222
≤++ CSinBSinASin
15/.

9
222
≥++ CTanBTanATan
16/.
1
2224
3
222
<++≤
C
Sin
B
Sin
A
Sin
17/.
4
9
222
2
222
≤++<
C
Cos
B
Cos
A
Cos
18/.
1

222
222
≥++
C
Tan
B
Tan
A
Tan
10
222
111
ACABAH
+=
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
19/.
9
222
222
≥++
C
Cot
B
Cot
A
Cot
20/.
2

33
222 ≤++ CSinBSinASin

21/.
2
3
222 −≥++ CCosBCosACos
NHỚ 16 : HÀM SỐ LIÊN TỤC
Đònh nghóa 1:Hàm số
)(xfy =
gọi là liên tục tại điểm x = a nếu :
1/.
)(xf
xác đònh tại điểm x = a
2/.
)()(lim afxf
ax
=
→
Đònh nghóa 2:
)(xf
liên tục tại điểm x = a
)()(lim)(lim afxfxf
axax
==⇔
−+
→→
Đònh lý : Nếu
)(xf
liên tục trên [a, b] và

0)().( <bfaf
thì tồn tại ít nhất một điểm c∈ (a, b)
sao cho
0)( =cf
NHỚ 17 : HÀM SỐ MŨ
1/. Đònh nghóa : Cho a > 0, a
≠
1 ( cố đònh). Hàm số mũ là hàm số xác đònh bởi công thức :
y = a
x
( x
∈
R)
2/. Tính chất :
a) Hàm số mũ liên tục trên R
b) y = a
x
> 0 mọi x ∈ R
c) a > 1 : Hàm số đồng biến
21
21
xxaa
xx
<⇔<
d) 0 < a < 1 : Hàm số nghòch biến
21
21
xxaa
xx
>⇔<

Chú ý :
)10(
21
21
≠<=⇔< axxaa
xx
3/. Đồ thò :
(a> 1) y ( 0 < a < 1) y

1 1



NHỚ 18 : HÀM SỐ LOGARIT
1/. Đònh nghóa :
a) Cho
0,1,0 >≠> Naa

Logarit cơ số a của N là số mũ M sao cho : a
M
= N
Ký hiệu : log
a
N = M
b) Hàm số logarit theo cơ số a ( a > 0, a
≠
1 ) của đối số x là hàm số được cho bởi công
thức: y = log
a
x ( với x > 0, a > 0, a

≠
1)
2/. Tính chất và đònh lý cơ bản về logarit :
Giả sử logarit có điều kiện đã thỏa mãn
TC1 : log
a
N = M ⇔ a
M
= N
TC2 : log
a
a
M
= M ,
Ma
M
a
=
log
TC3 : log
a
1 = 0, log
a
a = 1
TC4 : log
a

(MN) = log
a
M + log

a
N
11
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
TC5 :
NM
N
M
aaa
logloglog −=
TC6 : Đổi cơ số
a
b
a
N
N
b
a
c
c
a
log
1
log;
log
log
log ==
3/. Đồ thò :

(a> 1) y ( 0 < a < 1) y

1 1
0 x 0 x

4/. Phương trình Logarit :
)()()(log)(log xgxfxgxf
aa
=⇔=

( f(x) hoặc g(x) > 0 , 0 < a
≠
1 )
5/. Bất phương trình Logarit :
(*))(log)(log xgxf
aa
<




<
>
→←
>
)()(
0)(
(*)
1
xgxf

xf
a




>
>
 →←
<<
)()(
0)(
(*)
10
xgxf
xg
a

NHỚ 19 : ĐẠO HÀM
I/. Đònh nghóa đạo hàm :
Cho hàm số y = f(x) , xác đònh trên ( a, b) , x
0

∈
( a, b). Ta nói f(x) có đạo hàm tại x
0
nếu
giới hạn
0→∆
∆

∆
xkhi
x
y
tồn tại.
x
xfxxf
x
y
xf
xx
∆
−∆+
=
∆
∆
=
→∆→∆
)()(
limlim)(
00
00
0
'
∗ Đạo hàm bên trái :
x
y
xf
x
∆

∆
=
−
→∆
−
0
0
'
lim)(
( tồn tại )
∗ Đạo hàm bên phải :
x
y
xf
x
∆
∆
=
+
→∆
+
0
0
'
lim)(
( tồn tại )
 Cho y = f(x) xác đònh trên (a, b)
y = f(x) có đạo hàm tại x
0

∈
(a, b)
⇔
f
‘
(x
0
+
) = f
’
(x
0
–
)
II/. Qui tắc tính đạo hàm :
1/.
''''
) ( cbacba +++=+++
2/.
'''
)( babaab +=

''''
)( cbacbacbaabc ++=
3/.
2
''
'
b
abba

b
a −
=






( b
≠
0)

)(.)(
''
Rcuccu ∈=

2
'
'
1
u
u
u
−=







III/. Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản :
TT Hàm số Đạo hàm
12
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
1
y = c y
’
= 0
2
y = x y
’
= 1
3
α
xy =
α
uy =
1'
.
−
=
α
α
xy
'1'
uuy
−

=
α
α
4
x
y
1
=
xy =
uy =
2
'
1
x
y −=
x
y
2
1
'
=
u
u
y
2
'
'
=
5
Sinuy

Sinxy
=
=
Cosuuy
Cosxy
.
''
'
=
=
6
Cosxy =
Cosuy =
Sinxy −=
'
Sinuuy .
''
−=
7
Tanxy =
Tanuy =
xCos
y
2
'
1
=
uCos
u
y

2
'
'
=
8
Cotxy =
Cotuy =
xSin
y
2
'
1
−=
uSin
u
y
2
'
'
−=
9
arcSinxy =
2
'
1
1
x
y
−
=

10
arcCosxy =
2
'
1
1
x
y
−
−=
11
arcTanxy =
2
'
1
1
x
y
+
=
12
arcCotxy =
2
'
1
1
x
y
+
−=

13
x
ay =
u
ay =
Lnaay
x
=
'
Lnaauy
u

''
=
14
u
ey =
u
ey =
x
ey =
'
u
euy
''
=
15
Lnxy =
Lnuy =
x

y
1
'
=
u
u
y
'
'
=
16
xLny =
uLny =
x
y
1
'
=
u
u
y
'
'
=
17
xy
a
log=
xLna
y

1
'
=
13
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
NHỚ 20 : ĐỊNH LÝ LAGRĂNG
Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì tồn tại ít nhất một điểm
x = c , c
∈
(a, b)
f(b) – f(a) = f
‘
(c)(b – a)
NHỚ 21 : BẢNG TÍCH PHÂN
1/. Công thức NewTon _ Leibnitz :
[ ]
∫
−==
b
a
b
a
aFbFxFdxxf )()()()(
với F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a, b}
2/. Tích phân từng phần :
∫ ∫
−=
b

a
b
a
b
a
vduvuudv ].[
với u, v liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a, b]
3/. Đổi cơ số :
[ ]
∫∫
=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxf
b
a
)(.)()(
'
với x =
ϕ
(t) là hàm số liên tục và có đạo hàm
ϕ
’
(t) liên tục trên [a, b] ,
α

≤
t
≤

β

a =
ϕ
(
α
), b =
ϕ
(
β
), f[
ϕ
(t)] là hàm số liên tục trên [
α
,
β
]
4/. Tính chất :
a)
∫ ∫
−=
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
b)
0)( =
∫

a
a
dxxf
c)
∫∫∫
+=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
d)
∫ ∫∫
±=±
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
e)
∫ ∫
∈=
b
a
b
a

RKdxxfKdxxKf ,)()(
f) Nếu m ≤ f(x) ≤ M thì
)()()( abMdxxfabm
b
a
−≤≤−
∫
5/. Bảng tích phân :
TT Công thức
1
)1(
1
1
−≠+
+
=
+
∫
α
α
α
α
c
x
dxx
2
c
bax
a
dxbax +

+
+
=+
∫
+
1
)(
.
1
)(
1
α
α
α
3
∫
≠+
−
−=
−
)1(
)1(
11
1
α
α
αα
c
x
dx

x
14
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
4
∫
≠+
+−
−=
+
−
)1(
))(1(
1
)(
1
α
α
αα
c
baxabax
dx
5
∫
+= cxLn
x
dx
6
∫

++=
+
cbaxLn
abax
dx 1
7
∫
∈+= RKcKxKdx ,
8
∫
+= cedxe
xx
9
∫
+=
++
ce
a
dxe
baxbax
1
10
∫
+= c
Lna
a
dxa
x
x
11

∫
+−= cCosxSinxdx
12
∫
++−=+ cbaxCos
a
dxbaxSin )(
1
)(
13
∫
+= cSinxCosxdx
14
∫
++=+ cbaxSin
a
dxbaxCos )(
1
)(
15
∫
+= cTanx
xCos
dx
2
16
∫
+−= cCotx
xSin
dx

2
17
∫
+=
+
carcTanx
x
dx
1
2
18
∫
+=
+
c
a
x
arcTan
a
ax
dx 1
22
19
∫
+
+
−
=
−
c

ax
ax
Ln
a
ax
dx
2
1
22
20
∫
+
−
+
=
−
c
xa
xa
Ln
a
xa
dx
2
1
22
21
∫
>+=
−

)0(
22
ac
a
x
arcSin
xa
dx
22
chxxLn
hx
dx
+++=
+
∫
2
2
23
∫
>++−=− )0(
22
2
2222
ac
a
x
arcSin
a
xa
x

dxxa
24
chxxLn
h
hx
x
dxhx +++++=+
∫
222
22
NHỚ 22 : HOÁN VỊ _ TỔ HP _ CHỈNH HP
1/. Hoán vò :
!nP
n
=
2/. Tổ hợp :
)!(!
!
KnK
n
C
K
n
−
=

Kn
n
K
n

CC
−
=
15
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_

1
0
==
n
n
n
CC

K
n
K
n
K
n
CCC =+
−
−−
1
11

nn
nnn

CCC 2
10
=+++
3/. Chỉnh hợp :
)0(
)!(
!
nK
Kn
n
A
K
n
≤≤
−
=
NHỚ 23 : SỐ PHỨC
1/. Phép tính :
∗ Cho z = a + bi
z’ = a’ + b’i
z
±
z’ = ( a
±
a’) + ( b
±
b’)i
z.z’ = (a.a’ – b.b’) + ( a.b’ + a’.b)i
∗ z = r.(Cos
α

+ i.Sin
α
)
z’ = r’(Cos
β
+ i.Sin
β
) z, z’
≠
0
z.z’ = r.r’[Cos(
α
+
β
) + i.Sin(
α
+
β
)]
)]()([
''
βαβα
−+−= iSinCos
r
r
z
z
2/. MoaVrơ :
)()]([
αααα

iSinnCosnriSinCosr
nn
+=+
3/. Căn bậc n của số phức z = r.( Cos
α
+ i.Sin
α
) :
)
2
.
2
(
n
K
Sini
n
K
CosrZ
n
K
παπα
+
+
+
=
với K = 0, 1, 2, , n – 1
NHỚ 24 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
A. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :
•

→→→
+=⇔
21
),( yexeOMyxM
• Cho A( x
A
, y
A
)
B( x
B
, y
B
)
1).
),(
ABAB
yyxxAB −−=
→
2).
2
),(
ABAB
yyxxAB −−=
3). Tọa độ trung điểm I của AB :








+
=
+
=
2
2
BA
BA
yy
y
xx
x
4). Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ 1 :







−
−
=
−
−
=
k
yky

y
k
xkx
x
BA
BA
1
.
1
.
•
Phép toán : Cho
),(
21
aaa =
→
),(
21
bbb =
→
1).



=
=
⇔=
→→
22
11

ba
ba
ba
16
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
2).
),(
2211
bababa ±±=±
→→
3).
),(.
21
mamaam =
→
4).
2211
bababa +=
→→
5).
2
2
2
1
aaa +=
→
6).
0

2211
=+⇔⊥
→→
bababa
7).
2
2
2
1
2
2
2
1
2211
.
,
bbaa
baba
baCos
++
+
=






→→
B. ĐƯỜNG THẲNG

1/. Phương trình tham số :



+=
+=
tayy
taxx
20
10
Vectơ chỉ phương
),(
21
aaa =
→
2/. Phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 ( A
2
+ B
2

≠
0)
•
Pháp vectơ
),( BAn =
→

y

•

Vectơ chỉ phương
),( ABa −=
→
( hay
),( ABa −=
→
)
•
Hệ số góc
)0( ≠−= B
B
A
K

0

x
3/. Phương trình pháp dạng :
0
222222
=
+
+
+
+
+ BA
C
y
BA
B

x
BA
A
4/. Phương trình đường thẳng qua M( x
0
, y
0
) có hệ số góc K :
)(
00
xxKyy −=−
5/. Phương trình đường thẳng qua A(x
A
, y
A
) và B(x
B
, y
B
) :
(x – x
A
)(y
B
– y
A
) = (y – y
A
)(x
B

– x
A
)
hay
AB
A
AB
A
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
6/. Phương trình đường thẳng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( đọan chắn)
1=+
b
y
a
x
7/. Phương trình chính tắc :
b
yy
a
xx
00
−

=
−







=
→
),(),,(
00
baayxM
* Quy ước :
0
0
0
00
=−⇔
−
=
−
xx
b
yyxx
0
0
0
00

=−⇔
−
=
−
yy
yy
a
xx
8/. Phương trình đường thẳng qua A(a, 0), B(0, b) ( đoạn chắn ) :
1=+
b
y
a
x

9/. Khoảng cách từ một điểm M(x
0
, y
0
) đến Ax + By + C = 0 :
17
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
22
00
BA
CByAx
+
++

10/. Vò trí tương đối của hai đường thẳng : d
1
: A
1
x + B
1
y + C
1
= 0
d
2
: A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
2
1
2
1
B
B
A
A
D =
2
1
2

1
B
B
C
C
D
x
−
−
=
2
1
2
1
C
C
A
A
D
y
−
−
=
* d
1
cắt d
2


0≠⇔ D

*



≠
=
⇔
0
0
//
21
x
D
D
dd
hay



≠
=
0
0
y
D
D
*
0
21
===⇔≡

yx
DDDdd
Chú ý : A
2
, B
2
, C
2

≠
0
d
1
cắt d
2


2
1
2
1
B
B
A
A
≠⇔
2
1
2
1

2
1
21
//
C
C
B
B
A
A
dd ≠=⇔
2
1
2
1
2
1
21
C
C
B
B
A
A
dd ==⇔≡
11/. Góc của hai đường thẳng d
1
và d
2
:

Xác đònh bởi công thức :
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
BABA
BBAA
Cos
++
+
=
ϕ
12/. Phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi d
1
và d
2
:
2
2
2
2
222
2
1
2

1
111
BA
CyBxA
BA
CyBxA
+
++
±=
+
++
* Chú ý :
Dấu của
→→
21
nn
Phương trình đường phân
giác góc nhọn tạo bởi d
1
, d
2
Phương trình đường phân
giác góc tù tạo bởi d
1
, d
2
– t
1
= t
2

t
1
= – t
2
+ t
1
= – t
2
t
1
= t
2
C. ĐƯỜNG TRÒN :
1/. Đònh nghóa : M ∈ (c) ⇔ OM = R
2/. Phương trình đường tròn tâm I( a, b) bán kính R :
Dạng 1 :
2 2 2
( ) ( )x a y b R− + − =
Dạng 2 :
2 2
2 2 0x y ax by c+ − − + =
Với
2 2 2
0R a b c= + − ≥
3/. Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại M( x
0
, y
0
)
(x

0
– a).(x – a) + (y
0
– b).(y – b) = R
2
( Dạng 1)
x
0
x + y
0
y – a(x
0
+ x) – b(y
0
+ y) + c = 0 ( Dạng 2)
D. ELIP
18
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
PT chính tắc
Lý thuyết
2 2
2 2
2 2
1
( )
x y
a b
a b

+ =
>
2 2
2 2
2 2
1
( )
x y
a b
a b
+ =
<
Trục lớn, độ dài Ox, 2a Oy, 2b
Trục nhỏ, độ dài Oy, 2b Ox, 2a
Liên hệ a, b, c c
2
= a
2
– b
2
c
2
= b
2
– a
2
Tiêu điểm F
1
(– c, 0), F
2

( c, 0) F
1
(0,– c), F
2
( 0, c)
Đỉnh
A
1,2
( ± a, 0)
B
1,2
(0, ± b)
A
1,2
( ± a, 0)
B
1,2
(0, ± b)
Tâm sai
c
e
a
=
c
e
b
=
Đường chuẩn
a
x

e
= ±
b
y
e
= ±
Bán kính qua tiêu
MF
1
= a + ex
MF
2
= a – ex
MF
1
= b + ey
MF
2
= b – ey
Pt tiếp tuyến tại
M(x
0
, y
0
)
0 0
2 2
1
x x y y
a b

+ =
0 0
2 2
1
x x y y
a b
+ =
Pt hình chữ nhật cơ
sở
x a
y b
= ±


= ±

x a
y b
= ±


= ±

Điều kiện tiếp xúc
với Ax + By + C = 0
A
2
a
2
+ B

2
b
2
= C
2
A
2
a
2
+ B
2
b
2
= C
2
E. HYPEBOL
PT chính tắc
Lý thuyết
2 2
2 2
1
x y
a b
− =
2 2
2 2
1
y x
b a
− =

Trục thực, độ dài Ox, 2a Oy, 2b
Trục ảo, độ dài Oy, 2b Ox, 2a
Liên hệ a, b, c c
2
= a
2
+ b
2
c
2
= a
2
+ b
2
Tiêu điểm F
1
(– c, 0), F
2
( c, 0) F
1
(0,– c), F
2
( 0, c)
Đỉnh A
1,2
( ± a, 0) B
1,2
(0, ± b)
Tâm sai
c

e
a
=
c
e
b
=
Đường chuẩn
a
x
e
= ±
b
y
e
= ±
Tiệm cận
b
y x
a
= ±
b
y x
a
= ±
Bán kính qua tiêu
M
∈
nhánh phải
MF

1
= ex + a
MF
2
= ex – a
M
∈
nhánh trái
MF
1
= – (ex + a)
MF
2
= – (ex – a)
M
∈
nhánh phải
MF
1
= ey + b
MF
2
= ey – b
M
∈
nhánh trái
MF
1
= – (ey + b)
MF

2
= – (ey – b)
Pt tiếp tuyến tại
M(x
0
, y
0
)
0 0
2 2
1
x x y y
a b
− =
0 0
2 2
1
y y x x
b a
− =
Điều kiện tiếp xúc
với Ax + By + C = 0
A
2
a
2
– B
2
b
2

= C
2
B
2
b
2
– A
2
a
2
= C
2
19
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
F. PARAPOL
Pt chính tắc
Lý thuyết
y
2
= 2px y
2
= – 2px y
2
= 2py y
2
= – 2py
Tiêu điểm
,0

2
p
F
 
 ÷
 
,0
2
p
F
 
−
 ÷
 
0,
2
p
F
 
 ÷
 
0,
2
p
F
 
−
 ÷
 
Đường chuẩn

2
p
x = −
2
p
x =
2
p
y = −
2
p
y =
Điều kiện tiếp xúc
với Ax + By + C = 0
B
2
p = 2AC B
2
p = – 2AC A
2
p = 2BC A
2
p = – 2BC
NHỚ 25 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :
•
( )
1 2 3
, ,M x y z OM x e y e z e
→ → → →

⇔ = + +
•
1 2 3 1 1 2 2 3 3
( , , )a a a a a a e a e a e
→ → → → →
= ⇔ = + +
• Cho
( , , ), ( , , )
A A A B B B
A x y z B x y z
1).
( , , )
B A B A B A
AB x x y y z z
→
= − − −
2).
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z= − + − + −
3). Tọa độ trung điểm I của AB :
2
2
2
A B
A B
A B
x x
x

y y
y
z z
z
+

=


+

=


+

=


4). Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ 1 :
1
1
1
A B
A B
A B
x kx
x
k
y ky

y
k
z kz
z
k
+

=

−

+

=

−

+

=

−

• Phép toán : Cho
1 2 3
( , , )a a a a
→
=
1 2 3
( , , )b b b b

→
=
1).
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
→ →
=


= ⇔ =


=

2).
1 1 2 2 3 3
( , , )a b a b a b a b
→ →
± = ± ± ±
3).
1 2 3
( , , )m a ma ma ma
→
=
4).
1 1 2 2 3 3

a b a b a b a b
→ →
= + +
5).
2 2 2
1 2 3
a a a a
→
= + +
20
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
6).
1 1 2 2 3 3
0a b a b a b a b
→ →
⊥ ⇔ + + =
7).
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
,
.
a b a b a b
Cos a b
a a a b b b
→ →
+ +
 

=
 ÷
 
+ + + +
8). Tích vô hướng của hai Vectơ
3 3
2 1 1 2
2 3 3 1 1 2
, , ,
a a
a a a a
a b
b b b b b b
→ →
 
 
=
 ÷
 
 ÷
 
 
Điều kiện đồng phẳng :
, ,a b c
→ → →
Đồng phẳng
, 0a b c
→ → →
 
⇔ =

 
 
* Diện tích tam giác ABC :
1
,
2
S AB AC
→ →
 
=
 
 
B. PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG :
1/. Phương trình tham số :
0 1 1 1 2
0 2 1 2 2 1 2
0 3 1 3 2
,( , )
x x a t b t
y y a t b t t t R
z z a t b t
= + +


= + + ∈


= + +

Cặp Vectơ chỉ phương ( VCP)

1 2 3 1 2 3
( , , ), ( , , )a a a a b b b b
→ →
= =
2/. Phương trình tổng quát :
Ax + By + Cz + D = 0
( , , )n A B C
→
=
Vectơ pháp tuyến ( VPT)
Đặc biệt :
• By + Cz + D = 0 song song trục ox
• Cz + d = 0 song song mặt phẳng oxy
• Ax + By + Cz = 0 qua gốc tọa độ
• By + Cz = 0 chứa trục ox
• z = 0 mặt phẳng oxy
3/. Phương trình mặt phẳng qua M( x
0
, y
0
, z
0
) ,có VPT
( , , )n A B C
→
=
là:
A(x – x
0
) + B(y – y

0
) + C(z – z
0
) = 0
4/. Phương trình mặt phẳng theo các đoạn chắn tên các trục tọa độ:
1
x y z
a b c
+ + =
5/. Cho α : A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
β: A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
a/. Góc giữa 2 mặt phẳng : Tính bởi công thức :
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2
.
A A B B C C
Cos
A B C A B C
ϕ
+ +
=
+ + + +
b/. Vuông góc :
1 2 1 2 1 2
0A A B B C C
α β
⊥ ⇔ + + =
c/. Vò trí tương đối :
• α cắt β
1 1 1 2 2 2
: : : :A B C A B C⇔ ≠
•
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
α β
≡ ⇔ = = =
21
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
•

1 1 1 1
2 2 2 2
//
A B C D
A B C D
α β
⇔ = = ≠
Với A
2
, B
2
, C
2
, D
2
≠ 0
d/. Phương trình của chùm mặt phẳng có dạng
1 1 1 1 2 2 2 2
( ) ( ) 0m A x B y C z D n A x B y C z D+ + + + + + + =
Với m
2
+ n
2
≠ 0 và α cắt β
C. PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG:
1/. Phương trình tham số :
0 1
0 2
0 3
,

x x a t
y y a t t R
z z a t
= +


= + ∈


= +

Với
1 2 3
( , , )a a a a
→
=
Vectơ chỉ phương
2/. Phương trình tổng quát :
1 1 1 1
2 2 2 2
0
:
0
A x B y C z D
d
A x B y C z D
+ + + =


+ + + =


Với
1 1 1 2 2 2
: : : :A B C A B C≠
2 2 2
1 1 1
0A B C+ + >
2 2 2
2 2 2
0A B C+ + >
d có Vectơ chỉ phương là
1 2
,a n n
→ → →
 
=
 
 
3/. Phương trình đường thẳng qua A(x
A
, y
A
, z
A
), B(x
B
, y
B
, z
B

) là
A A A
B A B A B A
x x y y z z
x x y y z z
− − −
= =
− − −
D. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
1/. Hai đường thẳng :
d qua M(x
0
, y
0
, z
0
) có Vectơ chỉ phương
1 2 3
( , , )a a a a
→
=

'
d
qua
' ' '
0 0 0
( , , )N x y z
có Vectơ chỉ phương
1 2 3

( , , )b b b b
→
=
* d, d’ cùng nằm trong mặt phẳng
, . 0a b MN
→ → →
 
⇔ =
 
 
* d chéo d’
, . 0a b MN
→ → →
 
⇔ ≠
 
 
* Góc giữa d và d’ là :
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
a b a b a b
Cos
a a a b b b
ϕ
+ +
=
+ + + +
2/. Đường thẳng và mặt phẳng :

• d qua M(x
0
, y
0
, z
0
) có Vectơ chỉ phương
1 2 3
( , , )a a a a
→
=
• mặt phẳng (
α
) : Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến
( , , )n A B C
→
=
* d // (
α
)
0 0 0
. 0
0
a n
Ax By Cz D
→ →


=
⇔


+ + + ≠


* d cắt (
α
)
. 0a n
→ →
⇔ ≠
22
d
a
b
β
α
d
a
β
α
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
* d
α
⊂
0 0 0
. 0
0
a n

Ax By Cz D
→ →


=
⇔

+ + + =


* d
α
⊥
1 2 3
: : : :a a a A B C⇔ =
* Góc của đường và mặt phẳng : được tính bởi công thức
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
.
a A a B a C
Sin
a a a A B C
ϕ
+ +
=
+ + + +
E. KHOẢNG CÁCH :
1/. Khoảng cách từ một điểm M(x
0

, y
0
, z
0
) đến Ax + By + Cz + D = 0
0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
A B C
+ + +
+ +
2/. Khoảng cách từ một điểm N(x’
0
, y’
0
, z’
0
) đến một đường thẳng d qua M(x
0
, y
0
, z
0
)
và có VCP là
1 2 3
( , , )a a a a
→
=
là :

,MN a
a
→ →
→
 
 
 
3/. Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau d và d’ :
,
,
a b MN
a b
→ → →
→ →
 
 
 
 
 
 
F. MẶT CẦU :
Phương trình mặt cầu tâm I(a, b, c), bán kính R
•
(x – a)
2
+ (y – b)
2
+ (z – c)
2
= R

2
•
x
2
+ y
2
+ z
2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0
Với R
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
– d ≥ 0
NHỚ 26 : MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ THƯỜNG DÙNG TRONG VIỆC GIẢI
TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.
TT HÌNH VẼ KIẾN THỨC
1
// //
//
d
d
a b
d a
a
d b

b
α β
α β
β
α
∩ =





⇒ ≡


⊂


≡


⊂

2 a//
α
nếu và chỉ nếu trên
α
có a’ , a’//a
3
//
//

d
a a d
a
α β
β
α
∩ =


⊂ ⇒



4
d
a
β
α
// //
//
d
a a d
a
α β
α
β
∩ =


⇒




23
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
5
a
b
β
α
Nếu
α
chứa a và b cắt nhau, trong đó a//
β
, b//
β
thì
α
//
β
6
//
//
P a
P b a b
α
β
α β

∩ =


∩ = ⇒



7
C'
B'
A'
C
B
A
R
Q
P
b
a
Nếu P // Q // R thì chúng sẽ chắn tr6n hai cát
tuyến bất kỳ a, b những đoạn thẳng tỉ lệ.
' '
' '
AB A B
BC B C
=
8
R
Q
P

b
d
a
// //
//
P Q d
R P a
a b d
R Q b
d R
∩ =


∩ =

⇒

∩ =



9 Nếu
a
α
⊥
thì
a b
⊥
,
b

α
∀ ⊂
10
a
α
⊥
nếu và chỉ nếu a vuông góc với hai
đường thẳng b, c cắt nhau trong
α
11
b
a
α
• Nếu a//b và
a
α
⊥
thì
b
α
⊥
• Nếu
a
α
⊥
thì
b
α
⊥
thì a//b

12
a
β
α
•
//
α β
và
a
α
⊥
thì
a
β
⊥
• Nếu
a
α
⊥
và
a
β
⊥
thì
//
α β
13
b
α
a

b
a
β
α
Nếu a chéo b
* Có mộ tvà chỉ một đường vuông góc
chung
* Có một và chỉ một mặt phẳng chứa đường
thẳng này và song song với đường kia
* Có hai mặt phẳng song song và mỗi mặt
chứa một đường
14
H
O
A'
B
A
α
ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN
* Đoạn vuông góc chung OH là đoạn ngắn nhất
* Hai đoạn xiên dài bằng nhau có hình chiếu dài
bằng nhau và ngược lại.
OA = OA’
⇔
HA = HA’
*Hai đoạn xiên có độ dài khác nhau thì đoạn
xiên dài hơn có hình chiếu dài hơn và ngược
lại.
OB > OA
⇔

HB > HA
24
P
b
a
β
α
a
d
β
α
P
d
βα
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
15
b'
a
b
α
ĐỊNH LÝ 3 ĐƯỜNG VUÔNG GÓC
a
α
⊂
và đường xiên b có hình chiếu vuông
góc trên
α
là b’ , ta có :

'
a b a b⊥ ⇔ ⊥
16
•
a
a
α
α β
β
⊂

⇒ ⊥

⊥

•
Nếu
α β
⊥
và
d
α β
∩ =
thì với mọi
a
α
⊂
mà
a d
⊥

thì
a
β
⊥
•
d
P d P
P
α β
α
β
∩ =


⊥ ⇒ ⊥


⊥

17 S : Diện tích của một hình phẳng H
S’: Diện tích của hình chiếu vuông góc của H
là H’
α
: Góc giữa mặt phẳng chứa H và mặt phẳng
chứa H’

'
.S S Cos
α
=

18
C'
B'
A'
C
B
A
HÌNH LĂNG TRỤ
1/. Đònh nghóa : Hình lăng trụ là một hình đa
diện có hai mặt nằm trong hai mặt song song
gọi là hai đáy và các cạnh không thuộc hai
đáy đều song song nhau
2/. Các loại :
* Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các
cạnh bên vuông góc với đáy
* Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có
mỗi đáy là đa giác đều.
Ngoài ra còn có lăng trụ xiên
3/. S
xq
, S
TP
, V :
* S
xq
bằng tổng diện tích các mặt bên
* S
xq
bằng chu vi thiết diện thẳng nhân với
độ dài cạnh bên.

* S
xq
lăng trụ đứng hay đều bằng chu vi đáy
nhân độ dài cạnh bên
* S
TP
= S
xq
+ 2S
đáy

* V = B.h
B : diên tích đáy
h : chiều cao
19
D
S
C
B
A
HÌNH CHÓP
1/. Đònh nghóa : Hình chóp là một hình đa diện
có một mặt là một đa giác, các mặt còn lại
đều là những tam giác có chung một đỉnh
* Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa
giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau
* Hình chóp cụt là phần của hình chóp nằm
giữa đáy và một thiết diện song song với đáy
25