Hệ thống bài tập hình học không gian

TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249
E mail:


-
Trang
1

-

Phần Hình Học
Cho hình lăng trụ tam giác
.'''
ABCABC
, ñặt
===
uuurruuurruuurr
',,
AAaABbACc
. Gọi
I là trung ñiểm của B’C’.
a. Phân tích véctơ
uur
AI
theo các vétơ
rrr
,,
abc
.
b. Phân tích vétơ
uuur

AO
theo các véctơ
rrr
,,
abc
, với O là tâm của
hình bình hành BB’C’C.
c. Phân tích vétơ
uuur
AG
theo các véctơ
rrr
,,
abc
, với G là trọng tâm
của
∆
'''
ABC
.
d. Chứng minh rằng:
(
)
(
)
=+=+
uuuuruuuuruuuuu ruuuruuuuur
11
''''''
22

MNACABABAC
, với M, N lần lượt
là trung ñiểm của AA’, B’C’.
e. Chứng minh rằng:
(
)
=+++
uuuruuu ruuuruuuuruuur
1
''
4
AOABABACAC


1/
(
)
(
)
1111
''
2222
AIABACabacabc
=+=+++=++
uuruuuu ruuuurrrrrrrr

()()
()()
()
11

'
1
22
11
4
'
22
AOACABacb
AOacb
AOACABacb

=+=++


⇒=++


=+=++


uuuruuuuruuurrrr
uuurrrr
uuuruuuruuuu rrrr

()()
11
'''
33
212
333

AGAAABACaabac
abc
=++=++++
=++
uuuruuuruuuuruuuurrrrrr
rrr

d/Chứng minh rằng:
(
)
(
)
=+=+
uuuuruuuu ruuuuuruuuruuuuur
11
''''''
22
MNACABABAC
,
với M, N lần lượt là trung ñiểm của AA’, B’C’.
Chứng minh:
(
)
(
)
11
''''''''''''
22
''''''''''
ACABABACACABACAC

ACABACABBCBC
+=+⇔+=+
⇔−=−⇔=
uuuuruuuuuruuuu ruuuuuruuuuruuuuuruuuuruu
uuur
uuuuruuuuruuuuuruuuuu ruuuuuruuuuur


2/
3/ Cho hình chóp S.ABC có AB =
2
a
, SA = SB = SC =a, SA, SB, SC
ñôi một vuông góc. Gọi H là trực tâm của
∆
ABC
.
a. Chứng minh rằng:
⊥⊥
,
SABCSBAC

b. Chứng minh rằng:
(
)
⊥
SHABC
.
c. Tính góc giữa SA và mặt phẳng (ABC).

a/ Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB và BC Ta có
SB =SC suy ra SN
⊥
BC, AH
⊥
BC suy ra BC
⊥
SA
Tương tự AC
⊥
SB
c
r

a
r

b
r

TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249
E mail:


-
Trang
2

-

Ta có
SNBC
BCSH
AHBC
⊥

⇒⊥

⊥


Tương tự AB
⊥
SH
b/ Từ câu a Suy ra
(
)
⊥
SHABC

c. Tính góc giữa SA và mặt phẳng (ABC).
Ta có
(
)
HSABC
⊥
suy ra AH là hình chiếu của AS lên (ABC)
Suy ra góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là góc giữa AH và SA
()
3

3
3
cos
2
2
3
b
AHb
SAH
a
SAa
===
Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng •
trong ñó α là góc sao cho
3
cos
2
b
a
α =

4/ Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thoi tâm O cạnh a,
(
)
⊥
SAABCD
, SA = a,
!
=°
120

BAD
.

a. Tính số ño góc của BD và SC.
b. Gọi H là trung ñiểm của SC. Chứng minh rằng:
(
)
⊥
OHABCD

c. Tính số ño của góc SB và CD.
a/ Vì ABCD là hình thoi suy ra
ACBD
⊥

(
)
SAABCD
⊥⇒
AC là hình chiếu của SC lên (ACBD)
Suy ra góc giữa chúng bằng 90
0

b/ Ta có OH là ñường trung bình của tam giác CSA suy ra HO //
SA
mà
(
)
(
)

SAABCDOHABCD
⊥⇒⊥

c/ CD//AB suy ra góc giữa SB và CD là góc giữa SB và AB
bằng 45
0
vì tam giác SAB là tam giác vuông cân tại A


5/ Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a, tâm O,
!
=°
30
BAC
,
====
SASBSCSDa
.
a. Chứng minh rằng:
(
)
⊥
SOABCD
.
b. Tính góc giữa SC và (ABCD).
c. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB và BC. Chứng minh rằng:
(
)
⊥
MNSBD

.
d. Tính khoảng cách giữa SB và AC.

a/ Vì O là trong ñiểm của AC và BD; SA= SB =SC = SD Nên
()
SOAC
SOABCD
SOBD
⊥

⇒⊥

⊥


TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249
E mail:


-
Trang
3

-

b/ Ta có
(
)
SOABCD
⊥

suy ra OC là hình chiếu của SC lên (ACBD)
vì
!
0
30
BCA =
suy ra tam giác ACD là tam giác ñều suy ra
3
2
a
CO =

!
()
!
0
3
cos30
2
OC
SCOSCO
SC
==⇒=
.Vậy góc giữa SC và (ABCD) bằng 30
0

c/ Ta có
(
)
()

()
()
SOABCDSOBD
BDSO
BDSAB
DBAC
BDSAB
MNSAB
MNAC
⊥⇒⊥
⊥

⇒⊥

⊥

⊥

⇒⊥



!

d/ Gọi H là hình chiếu của O lên SB
Ta có
(
)
ACSBDACHO
⊥⇒⊥

. Đoạn thẳng OH là ñoạn
vuông góc chung của AC và SB
Ta có tam giác SOB là tam giác vuông cân tại O suy ra OH =
2
a

7/ Cho hình chóp S.ABC có ñáy là
∆
ABC
cân tại A, ñường cao AH là ñường
cao của tam giác ABC và AH= a, góc
!
=°
120
BAC
, SA vuông góc với mặt phẳng
ñáy,
=
3
SAa
. Goi K là hình chiếu vuông góc của A lên SH.
a. Chứng minh rằng:
(
)
⊥
AKSBC
.
b. Tính góc giữa hai mặt phẳng: (SBC) và (ABC).
c. Tính khoảng cách giữa SA và BC.
a/ Ta có

(
)
SAABCSABC
⊥⇒⊥

HA là ñường cao của tg ABC suy ra
AHBC
⊥

()
()
()
AHBC
BCSAH
SABC
BCSAH
BCAK
AKSAH
⊥

⇒⊥

⊥

⊥


⇒⊥

⊂




K là hình chiếu của A lên SH suy ra
AKSH
⊥

()
AKSH
BCAKAKSBC
BCSHH
⊥


⊥⇒⊥


∩=


b/
(
)
()
()()
()()
!
(
)
!

()
!
,,
,
AHACB
SHSBC
ABCSBCSHAHAHS
SBCABCBC
SHAHBC
⊂

⊂

⇒==

∩=


⊥


0
tan360
SA
HH
AH
==⇒=

TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249
E mail:

-
Trang
4

-

Ta có AH là ñoạn vuông góc chung của SA và BC vậy k/c giữa SA
và BC bằng a
8/Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc
!
=°
60
BAD
,
=
3
2
a
SA . Hình chiếu H của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng
với trọng tâm của
∆
ABD
.
a. Chứng minh rằng:
(
)
⊥
BDSAC

. Tính SH, SC.
b. Gọi
α
là góc của (SBD) và (ABCD). Tính
α
tan

c. Tính khoảng cách giữa DC và SA.
a/ Vì H là hình chiếu của S lên (BCD) suy ra SH
⊥
BD
ABCD là hình thoi suy ra AC
⊥
BD
()
SHBD
ACBDBDSAC
SHACH
⊥


⊥⇒⊥


∩=


ABCD là hình thoi cạnh a và góc
!
0

60
BAD = nên tam giác ABD là
tam giác ñều cạnh a.
33
;
62
aa
OHOAOC===

222
2
222
222
2
222
222
3232335
.
232324312
5
12
545
123123
3
2
aaaaaa
SHSAAHAO
SHa
aaa
SCSHHCAO

a
SC


=−=−=−=−=





⇒=

=+=+=+


⇒=

b/ Ta có
(
)
()()
()()
!
()
,
56
tan.5
12
3
SACBD

SACABCDACOHSO
SACSBDSO
SH
a
HO
a
α
α
⊥


∩=⇒=


∩=

===

9/ Cho hình chóp S.ABC có ñáy là
∆
ABC
ñều cạnh 2a,
(
)
⊥
SAABC
, SA
= a. Gọi I là trung ñiểm của BC.
a. Chứng minh rằng:
(

)
⊥
BCSAI

b. Tính khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SBC).
c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
a/ Ta có
(
)
SAABCSABC
⊥⇒⊥ (1)
ABC là tam giác ñều, I là trung ñiểm của BC nên AI
⊥
BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC
⊥
(SAI)
b/ Gọi H là hình chiếu của A lên (SBC)
TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249
E mail:


-
Trang
5

-

Ta có
(

)
(
)
()()
SBCSAI
HSI
SBCSAISI
⊥


⇒∈

∩



Xét tam giác vuông SAI có:
22222
111143
32
a
AH
AHAISAAHa
=+⇒=⇒=
c/ Ta có:
(
)
()()
()()
()()

()()
!
(
)
!
()
!
!
()
!
0
,,
3
tan30
3
3
2
2
BCSAI
ABCABCBC
SBCABCSIAISIA
SBCSAISI
ABCSAIAI
SAa
SIASIA
AI
a
⊥

∩=


⇒==

∩=


∩=

===⇒=

10/
Cho hình chóp S.ABC,
(
)
⊥
SAABC
,
∆
ABC
ñều. Gọi I là hình
chiếu của S lên BC, H là hình chiếu của A lên SI và
==
23,2
SAaABa
.
a. Chứng minh rằng:
(
)
⊥
AHSBC

.
b. Tính góc giữa hai mặt phẳng: (SBC) và (ABC)
c. Tính khoảng cách giữa SA và BC.

a/ Ta có
(
)
SAABCSABC
⊥⇒⊥ (1)
ABC là tam giác ñều, I là trung ñiểm của BC nên AI
⊥
BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC
⊥
(SAI)
(
)
()
BCSAI
SAAH
AHSAI
⊥

⇒⊥

⊂



23

a

H là hình chiếu của A lên SI nên
AHSI
⊥

()
SAAH
SIAHAHSBC
SIBCI
⊥


⊥⇒⊥


∩=


b/
(
)
()()
()()
()()
()()
!
()
!
()

! !
()
!
23
,,;tan2
3
2
2
BCSAI
ABCABCBC
SAa
SBCABCSIAISIASIASIA
AI
SBCSAISI
a
ABCSAIAI
α
⊥

∩=

⇒=====⇒=

∩=


∩=


Trong ñó α là góc sao cho tan α = 2

c/ khoảng cách giữa SA và BC là ñộ dài ñoạn AI =
23
a


TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249
E mail:


-
Trang
6

-




11:
Cho hình chóp S.ABC có ñáy là
∆
ABC
vuông cân với AB = BC =
a,
(
)
⊥
SAABC
, SA = a. Gọi I là trung ñiểm của AC.
a. Chứng minh rằng:

(
)
⊥
BISAC

b. Tính số ño của góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SBC).
c. Tính khoảng cách giữa SB và AC.