Tổng hợp công thức lượng giác và bài tập Đại số 10

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 0905671232– 0989824932
E mail:


-
Trang
1

-

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A. Lý thuyết
Đường tròn lượng giác

sin
tan
cos
 
x
x
x

cos
cot
sin
 
x
x
x

Bảng giá trị của các góc đặc biệt:


Góc



GTLG

0
0

(0)
30
0

(
6

)
45
0
(
4

)
60
0
(
3


)

90
0
(
2

)

sin


0

1
2

2
2

3
2

1

cos


1


3
2

2
2

1
2

0

tan


0
1
3

1

3


cot



3

1


1
3

0

Hằng đẳng thức lượng giác


 
     

 
      
 
 
    
 

 
        
 

 
       

2 2
2
2
2

2
sin cos 1 R
tan .cot 1 k ,k Z
2
1 1
tan ;cot
cot tan
1
1 tan k ,k Z
cos 2
1
1 cotg k ,k Z
sin


Các góc cung lượng giác có liên quan đặc biệt


và –




 
 
 
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot

 
 
 
 
  
 
  
  

Hai cung đối nhau

và

-




 
 
 
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
  
  
  
  
 

  
  
  

Hai cung bù nhau

và
2




sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2

 

 

 

 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Hai cung phụ nhau

và
2




sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan

2

 

 

 

 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
  
 
 
 
  
 
 

Hai cung hơn kém
nhau
2



và

+




 
 
 
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
  
  
  
  
  
  
 
 

Hai cung hơn kém
nhau




và

+ 2k





 
 
 
sin 2 sin
cos 2 cos
tan 2 tan
cot 2 cot
k
k
k
k
  
  
  
  
 
 
 
 

Hai cung hơn kém
nhau 2




Công thức lượng giác

1. Công thức cộng:
 cos(a–b)=cosa.cosb+sina.sinb
 cos(a+b)=cosa.cosb–sina.sinb
 sin(a–b)=sina.cosb–cosa.sinb
 sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb
 tan(a–b)=
tan tan
1 tan .tan


a b
a b

 tan(a+b)=
tan tan
1 tan .tan


a b
a b


2. Công thức nhân đôi:
 sin2a=2sina.cosa
1

sina.cosa= sin2 
2
a

 cos2a=cos
2
a–sin
2
a=2cos
2
a–1=1–2sin
2
a
 tan2a=
2
2tan
1 tan

a
a

3. Công thức nhân ba:
 sin3a=3sina–4sin
3
a
 cos3a=4cos
3
a–3cosa

4.Công thức hạ bậc:

sin



2



0



3
2

cos



0





TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 0905671232– 0989824932
E mail:


-

Trang
2

-

 cos
2
a=
1 cos2
2
a


 sin
2
a=
1 cos2
2
a



2
1 cos2
tan
1 cos2





a
a

Hệquả

3
3sin sin 3
sin
4
 





3
cos 3 3cos
cos
4
 




5. Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan
2
x
:
sinx=
2

2
1
t
t

cosx=
2
2
1
1
t
t



 tanx=
2
2
1
t
t

cotx=
2
1
2
t
t



Hệ quả:
Công thức tính sin2x, cos2x,tan2x theo t=tanx:
sin2x=
2
2
1
t
t

cos2x=
2
2
1
1
t
t



 tan2x=
2
2
1
t
t

cot2x=
2
1

2
t
t



6. Công thức biến đổi tổng thành tích

a b a b
cosa cosb 2cos cos
2 2
 
   
 
   
   


a b a b
cosa cosb 2sin sin
2 2
 
   
  
   
   


a b a b
sina sinb 2sin cos

2 2
 
   
 
   
   


a b a b
sina sinb 2cos sin
2 2
 
   
 
   
   


sin( )
tan tan ( , , )
cos .cos 2

    
a b
a b a b k k Z
a b





sin( )
cot cot ( , , )
sin .sin

   
a b
a b a b k k Z
a b




sin( )
cot cot ( , , )
sin .sin
 
   
a b
a b a b k k Z
a b


Hệ quả

sin cos 2sin( ) 2 ( )
4 4
    a a a cos a
 



sin cos 2sin( ) 2 ( )
4 4
    a a a cos a
 


cos sin 2 ( ) 2sin( )
4 4
     a a cos a a
 

7. Công thức biến đổi tích thành tổng
 
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b
    
 
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b
    

 
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b

    

 
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
b a a b a b
    


B. Các dạng bài tập

Tính các giá trị lượng giác còn lại khi
biết một giá trị lượng giác

Tínhcácgiátrịcònlạicủagóccunglượng
giáckhibiết
a.
3
sin
5


và
0;
2


 


 
 

b.
cos 0,6


và

thuộcvàogócphântư
thứIV
c.
tan 5


và

thuộcvàogócphầntưthứ
III
d.
cot 10

 
và

thuộcvàogócphầntư
thứII
Rút gọn biểu thức
   
sin sin sin

2
A a b a b

 
    
 
 

1
os cos sin
4 4 2
B c a a a
 
   
   
   
   

 
 
   
    
   
   
os sin sin
2 2
C c a b a b

 
 




2 sin 2 sin 4
2 sin 2 sin 4
D


 

 

 
 
 
2
1 os
tan sin
sin
c
E

 
 
 
 
   
  
   
   


   
  
   
   
sin cos
4 4
sin cos
4 4
F


TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 0905671232– 0989824932
E mail:


-
Trang
3

-

 



sin 5 sin 3
2 os2
G
c

  
  
 


sin sin 3 sin 5
os + os3 os5
H
c c c




Chứng minh đẳng thức lượng giác
a.


 
os a-b
cot cot 1
os a+b co t cot 1
c
a b
c a b









   
 
2 2
2 2
.sin sin sin sin
os os
b a a b a b a b
c a c b

c.
1 osx+ os2x
cotx
sin2x-sinx
c c



d.
x
sinx+sin
x
2
tan
x
2
1+cosx+cos
2




e.

 
 
 
 
2
2 os2x-sin4x
tan
2 os2x+sin4x 4
c
x
c

f.


sin x-y
t anx-tany=
cosx.cosy

4 4
6 6
sin cos 1 2
sin cos 1 3
 
 

 

 

 
2
2 2
2 2
2 2 2
1 cos
1 cos cos sin
1 cot cot cot 1
2sin sin sin sin

  
  
   
 

 
     
 
 
4 4 4 4
3 5 7 3
sin sin sin sin
16 16 16 16 2
   
   

0 0 0 0
16sin10 .sin30 .sin 50 .sin 70 1


8 4 tan 2 tan tan cot
8 16 32 32
   
   

1 1 1 1
cot cot16
sin 2 sin 4 sin 8 sin16
x x
x x x x
    

3 0 2 0
8sin 18 8sin 18 1
 

 
4 4
1
sin cos 3 cos 4
4
x
 
  

 

1
sin 6 cos6 5 3cos 4
8
x x x
  


 
8 8
1
sin cos 35 28cos 4 cos8
64
x x x x
   

3 3 3
sin 3 .sin cos3 .cos cos 2
x x x x x
 

0 0 0 0 0
3 1
cos12 cos18 4cos15 .cos21 .cos24
2

   
0 0 0 0 0
8 3
tan 30 tan 40 tan 50 tan 60 cos 20
3

   



Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau
1.




3 3
1 cot sin 1 tan cos sin cos
     
   

2.
2 2
2
2
sin 2cos 1
sin
cot
 


 


3.
2 2

6
2 2
sin tan
tan
cos cot
 

 



4.
 
2
2
sin cos 1
2 tan
cot sin cos
 

  
 



5.
1 cos 1 cos 2cos
1 cos 1 cos sin
  
  

 
 
 

6.
1 cos 1 cos 2
1 cos 1 cos sin
 
  
 
 
 

7.
sin sin 2
tan
1 cos cos2
 

 


 

8.
1 cos cos2
cot
sin 2 sin
 


 
 



9.
sin sin 3 sin5
tan 3
cos cos3 cos5
  

  
 

 

10.
2 1
cos cos
5 5 2
 
 

11.
0 0
0 0
cos15 sin15
3
cos15 sin15





12.
2 4 6 1
cos cos cos
7 7 7 2
  
  

13.
3 3 3
sin 2 .sin 6 cos 2 .cos6 cos 4
x x x x x
 

14.
0 0 0 0
tan 20 .tan40 .tan 60 .tan80 3


15.
2 5 8 3
tan tan tan tan cos
6 9 18 3 3 9
    
   

16.
7

2 3 4 5 6 7 1
cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos
15 15 15 15 15 15 15 2
      

17.
tan .tan . tan tan3
3 3
x x x
 

   
  
   
   

18.
0 0 0 0
tan 20 tan 40 3 tan 20 tan 40 3
  

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 0905671232– 0989824932
E mail:


-
Trang
4

-

19.
0 0 0 0
tan 5 .tan 55 . tan 65 .tan 75 1




Chứng minh các đẳng thức sau không
phụ thuộc vào x
 
   
   
   
   
sin os
4 4
A x c x

 
   
   
   
   
os sin
6 3
B c x x

 
   

   
   
   
2
sin os . os
3 3
C x c x c x




1 os2x+sin2x
.cotx
1 os2x+sin2x
c
D
c





   
6 6 4 4
2 sin cos 3 sin cos
E x x x x



  

4 4
4 sin cos os4x
F x x c

4 4 2 2 2
2 cos sin sin .cos 3sin
G x x x x x
   

2 cot 1
tan 1 cot 1
x
H
x x

 
 





4 2 4 2 2 2
sin 1 sin cos 1 cos 5sin .cos 1
I x x x x x x
     





8 8 6 6 4
3 sin cos 4 cos 2sin 6sin
K x x x x x
    










2 2
cos sin 2cos sin sin
L x a x b x a x b a b
       
2 2 2
2 2 3
cos cos cos
3 3 2
M x x x
 
   
     
   
   


Áp dụng công thức lượng giác trong
tam giác
Bài tập 1: Chứngminhrằng:

ABCvớiR
làbánkínhđườngtròncủa

ABC,rlàbán
kínhđườngtrònnộitiếp

ABC,taluôn
có
4 .sin sin sin
2 2 2
A B C
r R

Bài tập 2: Chứngminhrằng:

ABCcân
khivàchỉkhithỏamãnđẳngthức
tan tan 2cot
2
A
B C 

Bài tập 3: Cho

ABCvớibagócnhọn

a.Chứngminhrằng
tan tan tan tan .tan .tan
A B C A B C
  

b.Đặt
tan tan tan
T A B C
  
.
Chứngminhrằng
3 3
T 
.Dấubằngxẩyra
khinào?
Bài tập 4: Chứngminhrằngtrongtamgiác
ABCcóbagócnhọnthì






2 2 2
2 cos 2 cos 2 cos 4
A B C
   

Bài tập 5: Chứngminhrằng


ABCvuông
khivàchỉkhithỏamãnđẳngthức
2 2 2
sin sin sin
A B C
 

Bài tập 6: Trong

ABCcócácgóclàA,
B,Cvàcáccạnhlàa,b,c.Chứngminh
rằng:


2 2
2
sin
sin
A B
a b
C c




Bài tập 7: ChotamgiácABC.Chứngminh
rằng
cos cos cos 1 4sin sin sin
2 2 2
A B C

A B C   

Bài tập 8: ChứngminhrằngtamgiácABC
vuôngkhivàchỉkhithỏamãn
2 2 2
cos cos cos 1
A B C


Bài tập 9: Trongtamgiác,Chứngminh
rằng
1
sin sin sin
2 2 2 8
A B C
     

     
     

Bài tập 10: ChotamgiácABCkhôngphải
làtamgiácvuông.Chứngminhrằng
2 2 2
cot cot cot tan .tan .tan
sin2 sin2 sin2
A B C A B C
A B C
     
Bài tập 11:CácgóccủatamgiácABCthỏa
mãnđiềukiện



2 2 2 2 2 2
sin sin sin 3
A B C cos A cos B cos C
    
ChứngminhrằngtamgiácABClàtamgiác
đều
Bài tập 12: TínhgócCcủatamgiácABC
nếu:




1 cot 1 cot 2
A B
  

Bài tập 13: Cho tam giác ABC. Chứng
minhrằngnếu
2
2
tan sin
tan sin
B B
C C

, thì tam giác ABC vuông
hoặccân.
Bài tập 14: Chứng minh rằng tam giác

ABC là tam giác đều nếu điều kiện sau
đượcthỏamãn
3 3 3
2
2 cosa b C
b c a
a
b c a




 


 


TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 0905671232– 0989824932
E mail:


-
Trang
5

-

Bài tập 15: Chotamgiác,cóđộdàicácBC,
CA,



,
a b
 theo thứ tự lập thành cấp số
cộng.Tínhgiátrịcủabiểuthức

cot cot
2 2
A C
P 

Bài tập 16: Cho tam giác ABCcóba góc
thỏa mãn điều kiện
sin cos sin cos sin cos 1
A A B B C C
     
.
ChứngminhrằngtamgiácABClàtamgiác
vuông
Bài tập 17: ChoA,B,Clàbagóccủatam
giácABC.Chứngminhrằng
tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
  

Bài tập 18: ChotamgiácABCcóbacạnh
tươngứngvớicác góclàa,b,cvàđường
caoứngvớigócAlà

a
h
.Chứngminhrằng
nếu
3
2
a
a
h b c
  
 thì tam giác ABC là
tamgiácđều
Bài tập 19: ChotamgiácABCthỏamãn
điềukiện
 
2 2
2
sin
a b
A B
c

 

ChứngminhrằngtamgiácABCcânhoặc
vuông
Bài tập 20: Chứngminhrằngnếutamgiác
ABCthỏamãnđiềukiện
 
2 3 3 3

2
sin sin sin
3
S R A B C
  
thìtamgiác
ABClàtamgiácđều
Bài tập 21: ChotamgiácABCthỏamãn
điềukiện
sin sin 2sin
2 2 2
A C B



Chứngminhrằng
1
tan tan tan tan
2 2 2 2 3
A B B C
 

Bài tập 22: Chứngminhrằngvớimọitam
giácABCtađềucó
     
cot cot cot 0
2 2 2
C A B
a b b c c a
     


Bài tập 23: ChotamgiácABCcócáccạnh
thỏamanchệthức
2
b a c
 
.Chứngminh
rằng
cot cot 3
2 2
A C


Bàitập24:Chứngminhrằngtrongmọi
tamgiáctacócácđẳngthứcsau:
a.
3 cos cos cos
tan tan tan
2 2 2 sin sin sin
A B C A B C
A B C
  
  
 
sin sin sin
2 2 2
2
cos cos cos cos cos cos
2 2 2 2 2 2
A B C

B C C A B A
  

Bàitập25:ChotamgiácABCtrongđó
cot ,cot ,cot
2 2 2
A B C
theothứtựđólậpthành
cấpsốcộng.Chứngminhrằng
cot .cot 3
2 2
A C




Để thực hiện tốt các bài tập này học sinh cần
nắm vững các kiến thức sách giáo khoa và
các bài tập trong đó. Bạn cũng có thể tham
khảo tất cả các bài hướng dẫn giải trên
Xuctu.com thông qua hình ảnh hoặc Video.
Chương trình được thực hiện bởi Xuctu.com
website chuyên nghiệp về toán học kết hợp với
Trung tâm giáo viên & gia sư tại Huế.

Biên soạn: Nguyễn Quốc Tuấn