de cuong on tap theo tung chu de toan 9
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (390.45 KB, 37 trang )
Đại số
CHủ đề 1: Căn thức rút gọn biểu thức
I. căn thức:
Kiến thức cơ bản:
1. Điều kiện tồn tại :
A
Có nghĩa
0A
2. Hằng đẳng thức:
AA =
2
3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng:
BABA =
)0;0( BA
4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng:
B
A
B
A
=
)0;0( > BA
5. Đa thừa số ra ngoài căn:
2
BABA =
)0( B
6. Đa thừa số vào trong căn:
BABA .
2
=
)0;0( BA
BABA .
2
=
)0;0( < BA
7. Khử căn thức ở mẫu:
B
BA
B
A .
=
)0( >B
8. Trục căn thức ở mẫu:
BA
BAC
BA
C
=
)(
Bài tập:
Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định:
1)
32 + x
2)
2
2
x
3)
3
4
+x
4)
6
5
2
+
x
5)
43 +x
6)
2
1 x+
7)
x21
3
8)
53
3
+
x
Rỳt gn biu thc
Bài1
1)
483512 +
2)
4532055 +
3)
18584322 +
4)
485274123 +
5)
277512 +
6)
16227182 +
7)
54452203 +
8)
222)22( +
9)
15
1
15
1
+
10)
25
1
25
1
+
+
11)
234
2
234
2
+
12)
21
22
+
+
13)
877)714228( ++
14)
286)2314(
2
+
15)
120)56(
2
16)
24362)2332(
2
++
17)
22
)32()21( ++
18)
22
)13()23( +
19)
22
)25()35( +
20)
)319)(319( +
21)
)2()12(4
2
+ xxx
22)
57
57
57
57
+
+
+
23)
)2()44(2
222
yxyxyxyx
++
Bài2:
1
1)
( ) ( )
22
2323
++
2)
( ) ( )
22
3232
+
3)
( )
( )
2
2
3535 ++
4)
1528 +
-
1528
5)
(
)
625 +
+
1528
6)
83
5
223
5
324324
+
++
các dạng bài tập rút gọn biểu thức.
bài tập 1.
Sử dụng phơng pháp phân tích nhân tử chung
3250
5
1
823
75
4
6
27
1
3
3
16
2
49
18
14
25
32
5
9
8
6
147751227
27123752
87518122503
3250
2
1
823
1121753632282
454803202125
5032518483
15063542242
108752274485
5032218423
++
+
++
+
+
++
++
+
+
+
+
+
bài tập 2.
Dạng bài toán: sử dụng hằng đẳng thức lập phơng.
3
3
3
)( ynxbma
Hoặc
Đặt
tba =
33
,rồi lập phơng chuyển về phơng
trình bậc ba ẩn t để giải.
( )
( )
33
33
33
3
3
27
847
6
27
847
6.
3152631526.
;725257.
3231526.
3324
25712
.
++
++
+
+
+
+
e
d
c
b
a
2
bài tập 3.
Dạng bài toán:
( )
2
2 yxba
( )( )
.44.,2.
32
32
32
32
.,
32
32
32
32
.,
21217
223
21217
223
.
2554
5821.549
.,222.222.84.
34710485354.,24923013.
549417,625223,9654996549
1562415831,154231528,612336615
3231732317,882421217,625625.
549,32,32,347,21217,5614,21027
65218,324,247,288,7616,625,35212.
yxyxkmnnmj
ihg
fe
dc
b
a
+++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++++
++++++
++++
++
+++
+++
++++
bài tập 4.
Sử dụng phơng pháp trục căn thức:Đa ra biểu thức
hợp lý, để liên hợp với mẫu, nhằm mục đích khử các
căn số học dới mẫu.
( )
2
33
2
333
)(
,
bababa
babaaa
hoplien
hoplienhoplien
+
32
1
;
432
1
;
1525
1
;
511
18
;
469
1
;
421
1
223223
223223
;
102252
1
;
21141510
1
632
1
;
522
31
;
765
302
;
532
32
;
332
6
532
1
;
15
15
35
35
35
35
;
35
35
35
35
234
1
234
1
;
2432
2
;
3223
6
;
37
4
36
3
33
3
3
333
33
33
33
+++++
+
++
++++++
++++++++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+++
+
Gii phng trỡnh:
1)
512 =x
2)
35 =x
3)
21)1(9 =x
4)
0502 =x
5)
0123
2
=x
6)
9)3(
2
=x
7)
6144
2
=++ xx
8)
3)12(
2
=x
3
9)
64
2
=x
10)
06)1(4
2
= x
11)
21
3
=+x
12)
223
3
= x
II. các bài toán rút gọn:
A.các b ớc thực hiên :
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu đợc)
Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại.
Quy đồng, gồm các bớc:
+ Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng.
+ Nhân nhân tử phụ với tử Giữ nguyên mẫu chung.
Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.
Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng.
Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên).
Rút gọn.
B.Bài tập luyện tập:
Bi 1 Cho biu thc : A =
2
1
x x x
x x x
vi ( x >0 v x 1)
1) Rỳt gn biu thc A.
2) Tớnh giỏ tr ca biu thc A ti
3 2 2x = +
Bi 2. Cho biu thc : P =
4 4 4
2 2
a a a
a a
+ +
+
+
( Vi a
0 ; a
4 )
1) Rỳt gn biu thc P.
2) Tỡm giỏ tr ca a sao cho P = a + 1.
Bi 3: Cho biu thc A =
1 2
1 1
x x x x
x x
+ +
+
+
1/.t iu kin biu thc A cú ngha
2/.Rỳt gn biu thc A
3/.Vi giỏ tr no ca x thỡ A< -1
Bài 4: Cho biu thc A =
(1 )(1 )
1 1
x x x x
x x
+
+
+
( Vi
0; 1x x
)
a) Rỳt gn A
b) Tỡm x A = - 1
Bài 5 : Cho biểu thức : B =
x
x
xx
+
+
1
22
1
22
1
a; Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B
b; Tính giá trị của B với x =3
c; Tìm giá trị của x để
2
1
=A
Bài 6: Cho biểu thức : P =
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
4
52
2
2
2
1
a; Tìm TXĐ
b; Rút gọn P
c; Tìm x để P = 2
Bài 7: Cho biểu thức: Q = (
)
1
2
2
1
(:)
1
1
1
+
+
a
a
a
a
aa
4
a; Tìm TXĐ rồi rút gọn Q
b; Tìm a để Q dơng
c; Tính giá trị của Biểu thức biết a = 9- 4
5
Bài 8: Cho biểu thức: M =
+
+
112
1
2
a
aa
a
aa
a
a
a/ Tìm ĐKXĐ của M.
b/ Rút gọn M
Tìm giá trị của a để M = - 4
Bài 9 : Cho biểu thức : K =
3x
3x2
x1
x3
3x2x
11x15
+
+
+
+
a. Tìm x để K có nghĩa
b. Rút gọn K
c. Tìm x khi K=
2
1
d. Tìm giá trị lớn nhất của K
Bài 10 : Cho biểu thức: G=
2
1x2x
.
1x2x
2x
1x
2x
2
+
++
+
1. Xác định x để G tồn tại
2. Rút gọn biểu thức G
3. Tính số trị của G khi x = 0,16
4. Tìm gía trị lớn nhất của G
5. Tìm x Z để G nhận giá trị nguyên
6. Chứng minh rằng : Nếu 0 < x < 1 thì M nhận giá trị dơng
7. Tìm x để G nhận giá trị âm
Bài 11 : Cho biểu thức: P=
2
1x
:
x1
1
1xx
x
1xx
2x
+
++
+
+
Với x 0 ; x 1
a. Rút gọn biểu thức trên
b. Chứng minh rằng P > 0 với mọi x 0 và x 1
Bài 12 : cho biểu thức Q=
+
+
+
+
a
1
1.
a1
1a
a22
1
a22
1
2
2
a. Tìm a dể Q tồn tại
b. Chứng minh rằng : Q không phụ thuộc vào giá trị của a
Bài 13: Cho biểu thức :
A=
x
x
xxyxy
x
yxy
x
+
+
1
1
.
22
2
2
3
a) Rút gọn A
b) Tìm các số nguyên dơng x để y = 625 và A < 0,2
Bài 14:Xét biểu thức: P=
( )
+
+
+
+
+
+ 4a
5a2
1:
a16
2a4
4a
a
4a
a3
(Với a 0 ; a 16)
1)Rút gọn P 2)Tìm a để P =-3 3)Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyên tố
5
CHủ đề 2: hàm số - hàm số bậc nhất
Các dạng bài tập th ờng gặp:
-Dng 3: Tớnh gúc
to bi ng thng y = ax + b v trc Ox
Xem lại các ví dụ ở trên.
-Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị:
Ph ơng pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b. Điểm M (x
1
; y
1
) có thuộc đồ thị không?
Thay giá trị của x
1
vào hàm số; tính đợc y
0
. Nếu y
0
= y
1
thì điểm M thuộc đồ thị. Nếu y
0
y
1
thì điểm M không thuộc đồ
thị.
-Dạng 5: Viết phơng trình đờng thẳng:
Ví dụ: Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b đi qua điểm P (x
0
; y
0
) và điểm Q(x
1
; y
1
).
Ph ơng pháp: + Thay x
0
; y
0
vào y = ax + b ta đợc phơng trình y
0
= ax
0
+ b (1)
+ Thay x
1
; y
1
vào y = ax + b ta đợc phơng trình y
1
= ax
1
+ b (2)
+ Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị của a và b.
+ Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta đợc phơng tri9nhf đờng thẳng cần tìm.
-Dạng 6: Chứng minh đờng thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh đồng quy:
Ví dụ: Cho các đờng thẳng :
(d
1
) : y = (m
2
-1) x + m
2
-5 ( Với m
1; m
-1 )
(d
2
) : y = x +1
(d
3
) : y = -x +3
a) C/m rằng khi m thay đổi thì d
1
luôn đi qua 1điểm cố định .
b) C/m rằng khi d
1
//d
3
thì d
1
vuông góc d
2
c) Xác định m để 3 đờng thẳng d
1
;d
2
;d
3
đồng qui
Giải:
a) Gọi điểm cố định mà đờng thẳng d
1
đi qua là A(x
0
; y
0
) thay vào PT (d
1
) ta có :
y
0
= (m
2
-1 ) x
0
+m
2
-5 Với mọi m
=> m
2
(x
0
+1) -(x
0
+y
0
+5) =0 với mọi m ; Điều này chỉ xảy ra khi :
x
0
+ 1 =0
x
0
+y
0
+5 = 0 suy ra : x
0
=-1
Y
0
= - 4
Vậy điểm cố định là A (-1; - 4)
b) +Ta tìm giao điểm B của (d
2
) và (d
3
)
:
Ta có pt hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1
Thay vào y = x +1 = 1 +1 =2 Vậy B (1;2)
Để 3 đờng thẳng đồng qui thì (d
1
)
phải đi qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = 2 vào pt (d
1
) ta có:
2 = (m
2
-1) .1 + m
2
-5
m
2
= 4 => m = 2 và m = -2
Vậy với m = 2 hoặc m = - 2 thì 3 đờng thẳng trên đồng qui.
Bài tập:
Bi 1: Cho hai ng thng (d
1
): y = ( 2 + m )x + 1 v (d
2
): y = ( 1 + 2m)x + 2
1) Tỡm m (d
1
) v (d
2
)
ct nhau .
- Dng1: Xỏc dnh cỏc giỏ tr ca cỏc h s hm s ng bin, nghch bin, Hai ng thng
song song; ct nhau; trựng nhau.
Phơng pháp: Xem lại các ví dụ ở trên.
-Dng 2: V th hm s y = ax + b
Xem lại các ví dụ ở trên.
Xỏc nh to giao im ca hai ng thng (d
1
): y = ax + b; (d
2
): y = a
,
x + b
,
Ph ơng pháp: Đặt ax + b = a
,
x + b
,
giải phơng trình ta tìm đợc giá trị của x; thay giá trị của x vào (d
1
) hoặc (d
2
) ta tính đợc
giá trị của y. Cặp giá trị của x và y là toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng.
Tớnh chu din tớch ca cỏc hỡnh to bi cỏc ng thng:
Ph ơng pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py ta go để tính độ dài các đoạn thẳng không biết trực tiếp đợc.
Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh.
+ Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S
6
2) Vi m = 1 , v (d
1
) v (d
2
)
trờn cựng mt phng ta Oxy ri tỡm ta giao im ca hai ng
thng (d
1
) v (d
2
)
bng phộp tớnh.
Bi 2: Cho hm s bc nht y = (2 - a)x + a . Bit th hm s i qua im M(3;1), hm s ng bin hay nghch bin
trờn R ? Vỡ sao?
Bi 3: Cho hm s bc nht y = (1- 3m)x + m + 3 i qua N(1;-1) , hm s ng bin hay nghch bin ? Vỡ sao?
Bi 4: Cho hai ng thng y = mx 2 ;(m
)0
v y = (2 - m)x + 4 ;
)2( m
. Tỡm iu kin ca m hai ng thng
trờn:
a) Song song.
b) Ct nhau .
Bi 5: Với giỏ tr no ca m thỡ hai ng thng y = 2x + 3+m v y = 3x + 5- m ct nhau ti mt im trờn trc tung
.Vit phng trỡnh ng thng (d) bit (d) song song vi
(d): y =
x
2
1
v ct trc honh ti im cú honh bng 10.
Bi 6: Vit phng trỡnh ng thng (d), bit (d) song song vi (d) : y = - 2x v i qua im A(2;7).
Bi 7: Vit phng trỡnh ng thng i qua hai im A(2; - 2) v B(-1;3).
Bi 8: Cho hai ng thng : (d
1
): y =
1
2
2
x +
v (d
2
): y =
2x
+
a/ V (d
1
) v (d
2
) trờn cựng mt h trc ta Oxy.
b/ Gi A v B ln lt l giao im ca (d
1
) v (d
2
) vi trc Ox , C l giao im ca (d
1
) v (d
2
) Tớnh chu vi v din tớch
ca tam giỏc ABC (n v trờn h trc ta l cm)?
Bi 9: Cho các đờng thẳng (d
1
) : y = 4mx - (m+5) với m
0
(d
2
) : y = (3m
2
+1) x +(m
2
-9)
a; Với giá trị nào của m thì (d
1
) // (d
2
)
b; Với giá trị nào của m thì (d
1
) cắt (d
2
) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2
c; C/m rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d
1
) luôn đi qua điểm cố định A ;(d
2
) đi qua điểm cố định B . Tính BA ?
Bi 10: Cho hàm số : y = ax +b
a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2)
b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc tạo bởi đờng thẳng trên với trục Ox ?
c; Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với đờng thẳng y = - 4x +3 ?
d; Tìm giá trị của m để đờng thẳng trên song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2
hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
bài tập:
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế.
=+
=+
538
24
yx
yx
=+
=
42 yx
myx
=
=+
2
623
yx
yx
=+
=
264
132
yx
yx
2 3 5
5 4 1
x y
x y
+ =
=
3 7
2 0
x y
x y
=
+ =
4 2
3 2 4
x y
x y
+ =
+ =
2
2 3 9
x y
x y
=
=
2x 3y 2
4x 6y 2
=
+ =
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số
=+
=
311110
7112
yx
yx
=
=+
72
33
yx
yx
=
=+
032
852
yx
yx
=
=+
323
223
yx
yx
=
=+
736
425
yx
yx
=+
=
564
1132
yx
yx
7
=
=+
32
123
yx
yx
=
=+
6156
252
yx
yx
=
=
346
423
yx
yx
* Giải các hệ phơng trình sau :
a)
=
=
42
22
yx
yx
b)
=
=+
20510
152
yx
yx
c)
=
=+
432
3
yx
yx
d)
=+
=+
975
432
yx
yx
x y
3x 5y 3 2x 3y 2 3u v 8
1
1. 2. 3. 4.
5 15
5x 2y 1 3x 2y 3 7u 2v 23
2x 5y 10
+ = + = + =
=
+ = = =
=
1 1 4a 5b 10 0
x 6y 17 40x 3y 10
x y 2 0
5. 6. 7. 8.
3 4
a b 1
5x y 23 20x 7y 5
0
5x y 11
5 3 3
=
= + =
+ =
+ = =
+ =
=
e)
=++
=+
0386
243
yx
yx
f)
=+
=
8
3
2
4
1
32
y
x
y
x
Đặt ẩn phụ rồi giải các hệ phơng trình sau
a)
=
=+
8
311
8
511
yx
yx
b)
=
+
=
01
2y
1
x
3
2
2y
2
x
1
c)
=
+
+
=
+
1
2
3
2
20
1
2
1
2
4
yxyx
yxyx
=++
=++
5)(2)(
4)(3)(2
yxyx
yxyx
=
=+
5
111
5
411
yx
yx
=
=
+
1
1
3
2
2
2
1
1
2
1
yx
yx
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp khác
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
6 x y 8 2x 3y 2 2x 1 1,5 3 y 2 6x
9. 10.
5 y x 5 3x 2y 11,5 4 3 x 2y 5 x
+ = + + + =
= + + =
Bài 3 : Cho hệ phơng trình
( )
=
=+
7
53
yx
yxm
B i 4: Cho hệ ph ơng trình
=+
=
12
7
2
yx
yxa
a) Giải hệ phơng trình khi a = 1
b) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là ( x , y) . Tìm các giá trị của a để x + y = 2 .
8
B i 5: Cho hệ ph ơng trình :
=+
=+
64
3
ymx
myx
a) Giải hệ khi m = 3
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x > 1 , y > 0 .
Bi 3. Vi giỏ tr no ca tham s m thỡ
a)
x y m 2
3x 5y 2m
+ = +
+ =
cú nghim nguyờn. b)
mx 2y 1
3x y 3
=
+ =
vụ nghim.
Bài 4 : Cho hệ phơng trình
=+
=
3
2
ayx
yax
a) Giải hệ phơng trình khi a = 1
b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó
c) Tìm a để hệ phơng trình vô nghiệm
Bài 5 : Cho hệ phơng trình
+=+
=
12
2
ayx
ayax
a) Giải hệ phơng trình khi a = -2
b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất, khi đó tính x ; y theo a
c) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn: x - y = 1
d) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn x và y là các số nguyên.
Bài 6 :a) Giải và biện luận hệ phơng trình:
=
=+
8050)4(
16)4(2
yxm
ymx
(I)
b) Trong trờng hợp hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất hãy tìm m để x+y lớn hơn 1
Bài 7* : Giải phơng trình sau :
a)
558 =++ xx
b)
482
22
=++ xx
Đ1. Hàm số y = ax
2
( a # 0 ).
Bài tập.
1. Cho hàm số y = -5x
2
a. Lập bảng tính giá trị của y với giá trị của x lần lợt bằng:
-2; -1;
2
1
; 0;
2
1
; 1; 2
b. Với giá trị nào của x hàm số nhận giá trị tơng ứng bằng:
0; -7,5; -0,05; 50; -120
2. Cho ba hàm số : y
1
= 0,5x
2
; y
2
= x
2
; y
3
= 2x
2
a. Tính giá trị của mỗi hàm số khi cho x các giá trị sau:
-2; -1,5; -1; -0,5; 0; 0,5; 1; 1,5; 2.
b. Tìm x khi mỗi giá trị của hàm số lần lợt bằng: 0; 1; 3.
3. Một ôtô chuyển động nhanh dần đều. Quãng đờng đi đợc liên hệ với thời gian bởi công thức y =
2
2
at
,
trong đó t là thời gian tính bằng giây, a là gia tốc tính bằng m/s
2
, còn y là quãng đờng đi đợc tính bằng
mét.
Cho biết a = 0,8 m/s
2
.
9
a. Hãy điền giá trị thích hợp vào ô trống trong bảng sau:
t 0 1 2 3 4 5 8 10
y
b. Sau bao nhiêu giây kể từ khi bắt đầu chuỷên động, ôtô đi đợc quãng đờng 176,4m; 360m?
4. Cho hàm số y = ( m
2
m )x
2
. Tìm giá trị của m để:
a. Hàm số đồng biến với mọi x > 0;
b. Hàm số nghịch biến với mọi x > 0.
5. Cho hàm số y = ( m
2
+ 2m + 3 )x
2
. Với giá trị nào của x thì:
a. Hàm số đồng biến?
b. Hàm số nghịch biến?
c. Biết x =
1
thì y = 6, tìm m.
Đ2. Đồ thị hàm số y = ax
2
( a
0)
6. Cho hàm số y = 0,4x
2
.
a. Vẽ đồ thị của hàm số;
b. Các điểm sau đây, điểm nào thuộc đồ thị của hàm số, điểm nào không thuộc đồ thị của hàm số:
A (-2; 1,6), B (3;3,5), C (
5
; 0,2) ?
7. Cho hàm số y = ax
2
. Xác định hệ số a trong mỗi trờng hợp sau:
a. Đồ thị của nó đi qua điểm A (1; 9);
b. Đồ thị của nó đi qua điểm B (- 4; 32).
8. Cho hàm số y = -0,3x
2
.
a. Biết rằng điểm A (-4; b) không thuộc đồ thị hàm số, tìm b. Hỏi điểm A(4; b) có thuộc đồ thị hàm số
không? Vì sao?
b. Biết rằng điểm C (c; -3,6) thuộc đồ thị hàm số, tìm c. Hỏi điểm C(c; 3,6) có thuộc đồ thị hàm số
không? Vì sao?
9. Cho hàm số y = ax
2
a. Tìm a, biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm A (
3
; 3). Vẽ đồ thị hàm số với giá trị tìm đợc của a.
b. Biết B(-
3
; 3) là một điểm thuộc đồ thị nói trong câu a, O là gốc toạ độ. Tam giác AOB là tam giác
gì? Vì sao?
10. Cho hai hàm số y =
2
1
x
2
và y = 2x 2.
a. Vẽ hai đồ thị của hai hàm số này trên cùng một mặt phẳng toạ độ;
b. Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị.
11. Cho hàm số y = -2x
2
.
a. Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng -16.
10
b. Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số cách đêùu hai trục toạ độ;
c. Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ gấp 4 lần hoành độ.
12. Cho hàm số y = ax
2
.
a. Xác định a, biết rằng đồ thị hàm số cắt đờng thẳng y = -3x + 4 tại điểm A có hoành độ -2;
b. Với giá trị tìm đợc của a, hãy vẽ đồ thị của hàm số y = ax
2
và y= -3x + 4 trên cùng một mặt phẳng toạ
độ.
c. Bằng đồ thị, hãy xác định toạ độ của giao điểm thứ hai của hai đồ thị vừa vẽ trong câu b.
Đ3. phơng trình bậc hai một ẩn.
13. Đa các phơng trình sau về dạng ax
2
+ bx + c = 0, rồi chỉ rõ các hệ số a, b, c:
a) 3x
2
+ 3x + 5 = 5x + 1; b)
4
3
x
2
4x 3 = 3x +
3
1
;
c) -
3
x
2
+ x 2 =
3
x +
2
; d) x
2
- 3(m + 1)x = 1- m
2
.
14. Giải các phơng trình sau:
a) x
2
12 = 0 b) 6x
2
42 = 0
c) 0,5x
2
+ 2 = 0 d) 5x
2
+
5
x = 0
e) -0,9x
2
+ 3,6x = 0 f) 3
3
x +
3
= 0.
15. Giải các phơng trình sau bằng cách biến dạng chúng thành các phơng trình với vế trái là một bình ph-
ơng còn vế phải là một hằng số:
a) 3x
2
10x + 3 = 0 b) x
2
+ 2
5
x 1 = 0
c) x
2
+ 2x + 5 = 0 d) 2x
2
- 4
2
x + 2 = 0.
16. Biến đổi các vế trái của mỗi phơng trình về dạng tích rồi giải phơng trình:
a) x
2
+ 4x 1 = 0 b) x
2
4x 32 = 0
c) 2x
2
- 4
2
-
3
x +
24
= 0 d) 5x
2
6x + 27 = 0
e) x
2
(
2
+ 8)x + 4 = 0 f) 4x
2
+ 24x + 9 = 0
Đ4. Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai
17. Không giải phơng trình hãy xác định hệ số a, b, c, tính biệt thức và xác định số nghiệm của phơng
trình sau:
a) x
2
10x + 29 = 0 b) 0,5x
2
3,5x 2,5 = 0
c)
2
1
x
2
+ 11x + 60,5 = 0
d) 5x
2
+ x 1 = 0
18. Dùng công thức nghiệm của phơng rtình bậc hai để giải các phơng trình sau:
a) 2x
2
9x + 10 = 0 b) 3x
2
+ 7x + 5 = 0 c) 0,2x
2
+ 0,4x 7 = 0
11
d) x
2
5x + 3 =0
e) x
2
-
5
x + 1 = 0 f) x
2
(1 +
3
)x +
3
= 0
19. Dùng công thức nghiệm của phơng rtình bậc hai để giải các phơng trình sau:
a) 5x
2
+
3
x 1 = 0 b) x
2
(
3
-
2
)x -
6
= 0
c) x
2
(2 -
3
)x - 2
3
= 0
d) 5x
2
- 5
2
x + 2,5 = 0
20. Với giá trị nào của n thì mỗi phơng trình sau có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
a) x
2
+ nx + 1 = 0 b) 5x
2
+ 10x + 21 = 0
c) 2x
2
+ nx + 8 = 0 d) nx
2
+ 2(n + 2)x + 9 = 0
21. Với giá trị nào của k thì mỗi phơng trình sau vô nghiệm?
a) 3x
2
+ 2kx + 4 = 0 b) 5x
2
+ 10x + k = 0
c) 3x
2
+ kx + 1 = 0
d) 2
3
x
2
- k
3
x 1 = 0
22. Với giá trị nào của m thì mỗi phơng trình sau đây có hai nghiệm phân biệt, tính nghiệm của phơng trình theo
m:
a) 4x
2
mx 15 = 0 b) x
2
8x + 4m
2
= 0
c) 4x
2
+ 3x + m 1 = 0 d) 3x
2
2(m 1)x + 3 = 0
Đ5. Công thức nghiệm thu gọn
23. Xác định a, b, c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn để giải các phơng trình sau:
a) x
2
+ 4x 1 = 0
b) x
2
- 2
5
+ 5 = 0
c) 4x
2
12x 7 = 0
d) 2x
2
- 4
2
x + 2,5 = 0
e) x
2
2(
5
- 4)x 8
5
= 0
f) (1 -
2
)x
2
2(1 +)x + 1 + 3
2
= 0
24. Tính gần đúng nghiệm của các phơng trình sau, chính xác đến chữ số thập phân thứ hai:
a) 3x
2
+ 7x + 4 = 0 b) x
2
+ 6x 1 = 0
c) 4x
2
- 4
3
x + 3 = 0 d) x
2
(1 +
3
)x +
3
= 0
e) 6x
2
- 5
2
x + 2 = 0
f) x
2
4x + 2 = 0
25. Với giá trị nào của k thì:
a) Phơng trình 2x
2
+ kx 10 = 0 có một nghiệm x = 2;
b) Phơng trình (k 5)x
2
(k 2)x + 2k = 0 có một nghiệm x = -2 ;
c) Phơng trình kx
2
kx 72 = 0 có một nghiệm x = 3?
26. Với giá trị nào của x thì hai hàm số sau có giá trị bằng nhau:
a) y = -
2
2
x
và y = 2x 1 b)
3
2
2
x
và y = - x + 2
c)
2
2
x
và y = x
2
6x 4 = 0 d)
3
2
x
và y = x +
3
4
?
27. Với giá trị nào của m thì mỗi phơng trình sau có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó:
a) x
2
4x + m =0 b) 2x
2
+ mx + 1 = 0
c) x
2
2(m 4)x + m
2
+ m + 3 = 0 d) mx
2
4x + 4m = 0
28. Với giá trị nào của m thì phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt:
a) x
2
2(m + 1)x + m
2
+ 2 = 0 b) x
2
mx + m + 3 = 0
c) 3mx
2
2(3m 2)x + 3m 5 = 0
Đ6. Hệ thức vi-et và ứng dụng.
29. Không giải phơng trình, dùng hệ thức vi-et,tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phơng trình sau:
a) 2x
2
+ 5x + 3 = 0 b) 3x
2
- 11x + 4 = 0
12
c) x
2
+ 2(1 +
3
)x +
3
= 0 d) (
5
-
2
) = 0
30. Dùng điều kiện a + b + c = 0, hoặc a - b + c = =0 để nhẩm nghiệm của mỗi phơng trình sau:
a) 3x
2
- 2x - 1 = 0 b) -0,4x + 0,3x + 0,7 = 0
c) x
2
+ (1 +
7
)x +
7
= 0
d) 3x
2
- (3 +
11
)x +
11
= 0
e) (3
3
- 1)x
2
+ 6
3
x + 3
3
+ 1 = 0
f) (3 - 2
2
)x
2
+ (2
2
+ 1)x +2 = 0
31. a) Hãy chứng tỏ phơng trình 2x
2
+ 5x + 2 = 0 có một nghiệm là - 2. Hãy tìm nghiệm kia.
b) Chứng tỏ rằng phờng trình -3x
2
+ 5x + 12 = 0 có một nghiệm là 3. Hãy tìm nghiệm kia.
c) Chứng tỏ rằng phơng trình 10x
2
+ 3x - 4 = 0 có một nghiệm là - 0,8 . Hãy tìm nghiệm kia.
32. Dùng hệ thức vi- et, tìm nghiệm x
2
rồi tìm m trong mỗi trờng hợp sau:
a) Phơng trình 3x
2
- 10x + 3m + 1 = 0, biết x
1
=
3
7
;
b) Phơng trình 4x
2
- 2x + m - 3 = 0, biết x
1
= 3;
c) Phơng trình x
2
- 8x + 2m
2
+ 7 = 0, biết x
1
= 5.
33. Tìm hai số u, v ttrong mỗi trờng hợp sau:
a) u + v = 29 và uv = 198; b) u - v = - 2 và uv = 80;
c) u + v = 3
2
và uv = 4; d) u
2
+ v
2
= 13 và uv = 6.
34. Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là hai số đợc cho trong mỗi trờng hợp sau:
a) 3 và 7
b) - 5 và
5
1
;
c) 1 +
5
và 2 -
5
d)
23
và
23
1
35. Cho phơng trình 2x
2
- 7x + 6 = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
. Không giải phơng trình để tìm x
1
, x
2,
hãy lập phơng
trình có hai nghiệm là hai số đợc cho trong mỗi trờng hợp sau:
a)
1
1
x
và
2
1
x
b) 1 + x
1
và 1 + x
2
.
36. Cho phơng trình x
2
- 12x + m = 0. Tính giá trị của m, biết rằng phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn
một trong các điều kiện sau:
a) x
1
- x
2
= - 2 b) x
1
= 1,5x
2
Các dạng toán về phơng trình bậc hai
Bài 1 : Giải các phơng trình
a) 2x
2
- 50 = 0 c)54x
2
= 27x e)y+
y
-6=0
b)
2
4
53
2
2
=
+
x
x
d) y+
y
=0 f)y-5
y
+4=0
Bài 2: Giải các phơng trình
a) 3x
2
-17x - 20 = 0
b) 2x
2
- 2007x + 2005 = 0
c) x
2
+ x + 1 = 0
d) x
2
- 4x + 4= 0
e) x
2
+ 3x - 1 = 0
f) x
2
- x +
22
= 0
Bài 3 : Giải các phơng trình sau bằng phơng pháp ẩn phụ
1) x
4
- 5x
2
- 6 = 0
2) x
4
+ 7x
2
- 8 = 0
3) x
4
+ 9x
2
+ 2 = 0
6)
( ) ( )
03222
2
2
2
=++ xxxx
13
4)
1
1
2
1
2
2
+
+=
x
x
x
5)
2
1
1
=
+
+
+
x
x
x
x
7)
( )
( )
0845yy8y5y
2
2
=++
8)
( )
6555
22
=
yy
9)
0224
22
=++
xx
Bài 4 : Với giá trị của b thì các phơng trình
a) 2x
2
+ bx - 10 = 0 có một nghiệm bằng 5. Tìm nghiệm còn lại
b) b
2
x
2
- 15x - 7 = 0 có một nghiệm bằng 7 . Tìm nghiệm còn lại
c) (b-1)x
2
+ (b+1)
2
.x - 72 = 0 có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm còn lại
Bài 5 : Cho các phơng trình ẩn x. Xác định k để các phơng trình sau có nghiệm kép:
a) x
2
+ 5x + k = 0 c) x
2
- (2k+3) + 4k + 2 = 0
b) x
2
+ kx + 2 = 0 d) (k-1) x
2
+ kx + 1 = 0
Bài 6 : Xác định k để các phơng trình ở bài 5 vô nghiệm.
Bài 7 : Xác định k để các phơng trình ở bài 5 có hai nghiệm phân biệt
Chú ý:Với những phơng trình có chứa tham số ở hệ số a ta cần xét hai trờng hợp a=0 và a 0
Bài 8 : Chứng minh rằng các phơng trình sau có nghiệm với mọi giá trị của m.
a)x
2
+(m+1)x+m=0 b) x
2
-mx + m - 4 = 0
c) -3x
2
+ 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0 d) x
2
+ 4x - m
2
+ 4m - 9 = 0
e) (m+1)x
2
+ x - m = 0
Bài 9: Tìm m để các phơng trình bậc hai sau có hai nghiệm trái dấu.
a) x
2
+ 2x + m - 1 = 0 b) x
2
+ mx + 7 = 0
c)-3x
2
+ 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0 d) 3x
2
- 2(2m+1)x+ m
2
-2 5 = 0 e) (m
2
+ 4 m +4)x
2
+ mx
- 1 = 0
Bài 10 : Cho phơng trình : (m+3)x
2
- m(m+5)x + 2m
2
= 0 (1)
a) Giải phơng trình khi m = 5
b) Chứng minh rằng : x = m là một nghiệm của phơng trình (1)
c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép
Bài 11 : Cho phơng trình ẩn x: mx
2
- 2(m-2) x + m - 3 = 0
a) Giải phơng trình khi m = 3
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm còn lại
c) Giải và biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình
Bài 12 : Lập phơng trình ẩn x có hai nghiệm là
a) 3 và 5 b) 3-
5
và 3 +
5
c) 3-
2
và 3 +
2
d)
223
1
và
223
1
+
e)
ba
+
1
và
ba
1
với a b
Bài 13 : Cho phơng trình : x
2
+ 5x - b = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
Lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y
1
và y
2
thoả mãn :
y
1
= x
1
2
+ 1 và y
2
= x
2
2
+ 1
Bài 14:Cho phơng trình : x
2
- 2010
2005
x +1 = 0
Có 2 nghiệm x
1
và x
2
.Lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y
1
và y
2
thoả mãn :
y
2
= x
1
2
+ 1 và y
1
= x
2
2
+ 1
Bài 15: Giải hệ phơng trình :
a)
=
=+
35y.x
5yx
b)
=
=
60y.x
11yx
c)
=
=+
12y.x
25yx
22
Bài 17 : Cho phơng trình : x
2
- 2x + m = 0 (m là tham số ) tìm m để phơng trình
14
1) có 2 nghiệm trái dấu
2) có 2 nghiệm cùng dấu
3) Có ít nhất 1 nghiệm dơng
4) Có 2 nghiệm cùng dấu dơng
5) Có 2 nghiệm cùng âm
Bài 18 : Tìm giá trị của m để phơng trình:
a) x
2
- 2mx + (m-1)
2
= 0 Có 2 nghiệm phân biệt cùng dơng
b) 2x
2
- 2(m+1) x + m = 0 Có 2 nghiệm phân biệt cùng âm
c) x
2
- 2x + 2m -30 = 0 Có 2 nghiệm trái dấu.
Bài 19 : Cho phơng trình : 5x
2
- 6x - 8 = 0
Không giải ph ơng trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau(x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình)
1) S = x
1
+ x
2
; P = x
1
. x
2
2) A = x
1
2
+ x
2
2
; B =
21
x
1
x
1
+
; C =
1
2
2
1
x
x
x
x
+
; D = x
1
3
+ x
2
3
E = x
1
(1-x
2
) + x
2
(1-x
1
) ; F = x
1
3
- x
2
3
Bài 20 : Cho phơng trình : x
2
- 8x + n = 0 (1) n là tham số
a) Giải phơng trình với n = 1
b) Tìm điều kiện của n để phơng trình (1) có nghiệm
c) Gọi x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình ; tìm n để phơng trình có nghiệm thoả mãn
1) x
1
- x
2
= 2 ; 3) 2x
1
+ 3x
2
= 36
2) x
1
= 3x
2
; 4) x
1
2
+ x
2
2
= 50
Bài 21 : Cho phơng trình : 3x
2
- 4x + m = 0
Tìm để phơng trình có nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn
a) Nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia
b) Hiệu hai nghiệm bằng 1
Bài 22 : Cho phơng trình x
2
- 2(m-2)x - 6m = 0 (ẩn x)
a) Giải phơng trình với m = -3
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x
1
= 5, tìm nghiệm còn lại
c) Chứng minh rằng phơng trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
d) Gọi x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình. Hãy tính A = x
1
2
+ x
1
2
theo m
từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 23 : Cho phơng trình x
2
+ (m+1)x + m = 0 (ẩn x)
a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m
b) Hãy tính x
2
1
x
2
+ x
2
2
x
1
theo m
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :E = x
2
1
x
2
+ x
2
2
x
1
d) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm gấp đôi nghiệm kia.
Bài 24 : Cho phơng trình: x
2
+ mx + m - 2 = 0 (1) (ẩn x)
a) Chứng minh rằng Phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2(x
2
1
+ x
2
2
) - x
1
(x
1
-x
2
)- x
2
(x
2
+x
1
)
Bài 25 : Cho phơng trình: x
2
- (k+1)x + k = 0 (1) ẩn x tham số k
a) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi k
b) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình (1) Tính biểu thức
A = x
2
1
x
2
+ x
2
2
x
1
+2007 theo m. Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài 26 Cho phơng trình: : x
2
+ 2mx + m
2
+ 4m + 8 = 0 (1) (ẩn x)
a)Tìm giá trị của m để phơng trình (1)có nghiệm
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của :A=x
1
+x
2
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của :B=x
1
+x
2
+x
1
.x
2
+2007
Bài 27 *: Cho phơng trình: x
2
- (m+1)x + m
2
-2m + 2 = 0 (ẩn x)
a) Tìm giá trị của m để phơng trình vô nghiệm
b) Tìm giá trị của m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm đó
c) Tìm giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt. Viết nghiệm đó theo m
d) Tìm m để A = x
2
1
+ x
2
2
đạt giá trị lớn nhất
e) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức B = x
1
+ x
2
15
Bài 28 : Cho phơng trình : 2x
2
+ 2(m+1)x + m
2
+ 4m + 3 = 0 (ẩn x)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
b) Tìm giá trị lớn nhất của A = x
1
x
2
- 2x
1
- 2x
2
Bài 29 : Cho phơng trình: x
2
- (k-3)x + 2k + 1 = 0 (1) (ẩn x)
a) Với giá trị nào của k thì phơng trình (1) có 2 nghiệm
b) Với điều kiện phơng trình (1) có nghiệm hãy tính P = x
1
+ x
2
; S = x
1
. x
2
c) Viết hệ thức liên hệ giữa x
1
; x
2
độc lập với k
Bài 30 : Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
; x
2
độc lập với m của mỗi phơng trình sau
a) x
2
- (2m+5)x + m + 3 = 0 b) x
2
-2(m-3)x - 2(m-1) = 0
c) x
2
+ (m-1) x+ m
2
+ 5m = 0 d) (m-1)x
2
- 2mx + m + 1 = 0
Bài 31 : Cho phơng trình: x
2
- (2m-1)x+ m
2
- m - 2 = 0 (1) (m là tham số)
a) Tính để chứng tỏ phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt . Tìm 2 nghiệm đó
b) Tính A = 2x
1
x
2
+ x
1
+ x
2
theo m
c) Tìm m để A 3
Bài 32 : Cho hai phơng trình : x
2
- 7x + 6 = 0
x
2
+ (m+1)x + 24 = 0
Xác định m để hai phơng trình trên có nghiệm chung
Bài 33 : Cho hai phơng trình : x
2
+ x + m = 0 và x
2
+ mx + 1 = 0
a)Với giá trị nào của m thì hai phơng trình có nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó.
b) Với giá trị nào của m thì hai phơng trình trên tơng đơng.
Bài 34 : Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung
2x
2
- (3m+2) x + 12 = 0
4x
2
- (9m-2)x + 36 = 0
Bài 35 : Xác định m và n để hai phơng trình sau tơng đơng
x
2
+(3m+2n)x - 4 = 0
x
2
+ (2m-3n)x + 2n = 0
Bài 36 : Cho hai phơng trình x
2
+ p
1
x + q
1
= 0 và x
2
+ p
2
x + q
2
= 0
Biết rằng: p
1
p
2
= 2(q
1
+ q
2
) . CMR: ít nhất một trong hai phơng trình có nghiệm.
Bài 37 : Chứng minh rằng hai phơng trình
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
và a
1
x
2
+ b
1
x + c
1
= 0 (2)
Có ít nhất một nghiệm chung thì (ac
1
- a
1
c)
2
= (ab
1
- a
1
b) (bc
1
-b
1
c)
Một số bài toán tổng hợp về phơng trình bậc hai
Bài 38: Cho phơng trình: x
2
- 2(m+1) x +m-4 = 0 (1)
a)Giải phơng trình khi m=1
b)CMR phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
c)Gọi x
1
,x
2
là nghiệm của phơng trình(1).CMR A= x
1
(1-x
2
)+ x
2
(1-x
1
) không phụ thuộc vào m.
d)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M= x
1
2
+x
2
2
Bài 39: Cho phơng trình: x
2
- (k+1) x +k = 0 (1)
a)Giải phơng trình khi k = 2004
b)CMR phơng trình luôn có nghiệm
c)Gọi x
1
,x
2
là nghiệm của phơng trình .Tính B= x
1
2
+ x
2
2
- 16 x
1
.x
2
theo k.
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của B.
d)Tìm k để phơng trình có nghiệm thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
=5
e)Tìm k để phơng trình có nghiệm kép .Tìm nghiệm đó
Bài 40:Cho phơng trình: x
2
- (a-1) x - a
2
+a - 2 = 0 (1)
1) CMR phơng trình (1)luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi a.
2)Gọi x
1
,x
2
là nghiệm của phơng trình .Tính S= x
1
2
+ x
2
2
theo a.
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của S.
3)lập hệ thức liên hệ giữa x
1
,x
2
độc lập với a.
16
4)Tìm a để nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn
1
x
1
+
2
x
1
nhận giá trị dơng
Bài 41:Cho phơng trình ẩn x : (m+1)x
2
+ 5 x +m
2
- 1= 0
a) Giải phơng trình với m =-1
b)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
c)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu trong đó có một nghiệm bằng 4.
Bài 42:Cho phơng trình ẩn x : (a+1)x
2
- 2(a-1) x - a - 3 = 0 (1)
1.Giải phơng trình khi a=1
2. CMR phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi a khác -1.
3. Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
4. Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu và nghiệm nọ gấp đôi nghiệm kia.
5.Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn một nghiệm lớn hơn 1 và
nghiệm kia nhỏ hơn 1.
Bài 43:Cho phơng trình ẩn x : x
2
+ p x +q = 0(1)
a)Không giải phơng trình tính theo p,q biểu thức
A=
2
2
2
1
)3x2(2
1
)3x2(2
1
+
+
+
theo p ,q
b)Tìm p,q để phơng trình có hai nghiệm là 1 và 2
c)lập 1 phơng trình bậc hai có nghiệm là
1x
1x
1
1
+
và
1x
1x
2
2
+
d)Giả sử p+q = 1 .CMR phơng trình (1)và phơng trình ở câu (c) có nghiệm chung .
e)CMR nếu phơng trình (1) và phơng trình: x
2
+ n x +m = 0 có nghiệm chung thì
(n+p)
2
+(m- p)(mq-np) = 0.
Bài 44: Cho phơng trình ẩn x: x
2
+ 2m x +2m-1 = 0 (1)
1)CMR phơng trình (1)luôn có nghiệm với mọi m
2)Giả sử x
1
,x
2
là các nghiệm của phơng trình (1)
a.Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
,x
2
là độc lập với m.
b. Tìm m để x
1
- x
2
=6.
c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A== x
1
2
x
2
+ x
2
2
x
1
3)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm lớn hơn 3.
4)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm nhỏ hơn 1.
5)Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mãn 1<x<3
Chuyên đề :
giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình và phơng trình
dạng toán chuyển động.
Bài 1 : Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm
mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến nơi sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đờng AB và thời gian dự định lúc đầu
17
Bài 2 : Hai ngời ở hai địa điểm cách nhau 3,6 km và khởi hành cùng một lúc, đi ngợc chiều nhau, gặp nhau ở vị trí cách
một trong hai địa điểm khởi hành 2 km. Nếu vận tốc không đổi nhng ngời đi chậm xuất phát trớc ngời kia 6 phút thì họ sẽ
gặp nhau ở chính giữa quãng đờng. Tính vận tốc ở mỗi ngời.
Bài 3 : Quãng đờng AB dài 270 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô
thứ hai 12 km/h nên đến trớc ô tô thứ hai 42 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
Bài 4 : một xe gắn máy đi từ A đến B cách nhau 90 km. Vì có việc gấp phải đến B trớc dự định là 45 phút nên ngời ấy
phải tăng vận tốc mỗi giờ là 10 km. Hãy tính vận tốc dự định của ngời đó.
Bài 5 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 24 km/h. Lúc từ B về A, ngời đó có công việc bận cần đi theo con đ-
ờng khác dễ đi nhng dài hơn lúc đi là 5 km. Do vận tốc lúc về là 30 km/h. Lên thời gian về ít hơn thời gian đi là 40 phút.
Tính quãng đờng lúc đi.
Bài 6 : một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 km sau đó 1h30 một ngời đi xe máy cũng đi từ A đến B và đến B
sớm hơn ngời đi xe đạp 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe. Biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.
Bài 7 : Hai ngời cùng khởi hành lúc 7 giờ từ hai tỉnh A và B cách nhau 44 km và đi ngợc chiều nhau họ gặp nhau lúc 8
giờ 20 phút. Tính vận tốc của mỗi ngời. biết rằng vận tốc ngời đi từ A hơn vận tốc ngời đi từ B là 3 km/h.
Bài 8 : Từ hai địa điểm cách nhau 126 km. Có một ngời đi bộ và một ngời đi ô tô cùng khởi hành lúc 6 giờ 30 phút. Nếu
đi ngợc chiều nhau họ sẽ gặp nhau lúc 10 giờ, nếu đi cùng chiều(ô tô đi về phía ngời đi bộ) thì ô tô đuổi kịp ngời đi bộ
lúc 11 giờ. Tính vận tốc ngời đi bộ và của ô tô.
Bài 9 : Hai tỉnh A và B cách nhau 150 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi ngợc chiều nhau, gặp nhau ở C cách A
90 km. Nếu vận tốc vẫn không đổi nhng ô tô đi từ B đi trớc ô tô đi từ A 50 phút thì hai xe gặp nhau ở chính giữa quãng đ-
ờng. Tính vận tốc của mỗi ô tô.
Bài 10 : Một ô tô dự định đi 120 km trong một thời gian dự định trên nửa quãng đờng đầu. Ô tô đi với vận tốc dự định.
Xong do xe bị hỏng lên phải nghỉ 3 phút để sửa. Để đến nơi đúng giờ. xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h trên nửa quãng đ-
ờng còn lại. Tính thời gian xe lăn bánh trên quãng đờng.
Bài 11 : Một ô tô đi dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian dự định sau khi đ ợc 1 giờ. Ô tô bị
chặn bởi một xe lửa 10 phút, do đó để đến B đúng giờ, xe phải tăng vận tốc 6 km/ giờ. Tính vận tốc ô tô lúc đầu.
Bài 12 : Một quãng đờng AB gồm 1 đoạn lên dốc dài 4 km, đoạn xuống dốc dài 5 km. Một ngời đi từ A đến B hết 40
phút, còn đi từ B đến A hết 41phút(vận tốc lên dốc lúc đi bằng vận tốc lên dốc lúc về. vận tốc xuống dốc đi bằng vận tốc
xuống dốc về). Tính vận tốc xuống dốc và vận tốc lên dốc.
Bài 13 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B gồm một đoạn lên dốc AC và một đoạn xuống dốc CB. Thời gian đi AB là 4 giờ
20, thời gian về BA là 4 giờ. Tính quãng đờng AC, CB. Biết vận tốc xuống dốc là 15 km/h, vận tốc lên dốc là 10 km/h
(Vận tốc lên dốc lúc đi bằng vận tốc lên dốc lúc về, vận tốc xuống dốc lúc đi bằng vận tốc xuống dốc lúc về).
Bài 14 : Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A sau 5 giờ 20 phút một ca nô chạy từ bến A đuổi theo và gặp
thuyền cách bến A 20 km. Hỏi vận tốc của thuyền. Biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền là 12 km một giờ.
Bài 15 : Một ca nô xuôi một khúc sông dài 90 km, rồi ngợc về 36 km. Biết thời gian xuôi nhiều hơn thời gian ngợc
dòng là 2 giờ, vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc ngợc dòng là 6 km/h. Hỏi vận tốc của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngợc
dòng.
Bài 16 : Một ca nô đi từ A đến B với thời gian đã định. Nếu vận tốc ca nô tăng 3 km/h thì đến sớm 2 giờ, nếu ca nô
giảm vận tốc 3 km/h thì đến chậm 3 giờ. Tính thời gian dự định và vận tốc dự định.
Bài 17 : Một ca nô xuôi trên một khúc sông từ A đến B dài 80 km và trở về từ B đến A tính vận tốc thực cuả ca nô. Biết
tổng thời gian ca nô xuôi và ngợc hết 8 giờ 20 phút và vận tốc của dòng nớc là 4 km/h.
Bài 18 : Một ca nô chạy trên một khúc sông trong 7 giờ, xuôi dòng 180 km, ngợc dòng 63 km. Một lần khác ca nô cũng
chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km, ngợc dòng 84 km. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nớc.
Bài 19 : Trên một khúc sông một ca nô xuôi dòng hết 4 giờ và chạy ngợc dòng hết 5 giờ. Biết vận tốc của dòng nớc là 2
km/h. Tính chiều dài khúc sông và vận tốc ca nô lúc nớc yên lặng.
18
Bài 20 : Hai ca nô khởi hành cùng một lúc từ A đến B , ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h, ca nô II chạy với vận tốc
24 km/h. Trên đờng đi ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó chạy tiếp. Tính chiều dài khúc sông, biết hai cô nô đến nơi cùng
một lúc.
Bài 21 : Hai ca nô khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 85 km và đi ngợc chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút 2 ca nô
gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô. Biết vận tốc ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô ngợc dòng là 9 km/h. Và
vận tốc dòng nớc là 3 km/h
Bài 22 : Hai bến sông A, B cách nhau 40 km, cùng một lúc với ca nô xuôi từ bến A có một chiếc bè trôi từ bến A với
vận tốc 3 km/h sau khi đến B ca nô trở bến A ngay và gặp bè trôi
đợc 8 km. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc riêng của ca nô không đổi.
Bài 23. Một ôtô đi từ A và cần tới B lúc 10 giờ khi còn cách B 40 km.
Ngời lái xe thấy rằng nếu giữ nguyên vận tốc đang đi thì đến B lúc 10 giờ 10 phút. Ngời đó đã tăng vận tốc thêm
10 kkm/h do đó đến B lúc 10 giờ kém 10 phút . Tính vận tốc lúc đầu của ô tô.
Bài 24. Một ôtô đi từ Hà Nội tới Hải Phòng đờng dài 100 km , lúc về vận tốc tăng 10km/h . Do đó thời gian về ít hơn
thôừi gian đi là 30 phút. Tính vận tốc lúc đi.
Bài 25. Một ca nô đi xuôi dòng 44 km rồi ngợc dòng trở lại 27 kmhết 3 giờ 30 phút . Biết vận tốc thực của ca nô là 20
km/h. Tính vận tốc dòng nớc.
Bài 26. Hai ngời cùng đi quãng đờng AB dài 450 km và cùng khởi hành một lúc . Vận tốc ngời thứ nhất ít hơn vận tốc
của ngời thứ hai.là 30 km/h, nên ngời thứ nhất đến B sau ngời thứ hai là 4 giờ . Tính vận tốc và thời gian đi quang đờng
AB của mỗi ngời.
Bài 27 . Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 km với một vận tốc xác định . Khi từ B về A ngời ấy đi vòng con đ-
ờng khác dài hơn con đờng cũ 29 km nhng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3 km/h . Tính vận tốc lúc đi .Biết rằng
thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 30 phút.
Bài 28.Hai ngời đi xe đạp xuất phát cùng một từ A đến B . Vận tốc của họ hơn kém nhau 3 km/h nên họ đến B sớm
muộn hơn nhau 30 phút . tính vận tốc mỗi ngời , biết rằng quãng đờng AB dài 30 km. Sử dụng tính chất.
Bài 29 . Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B , cùng một lúc đó có một ngời đi bộ từ bến A dọc theo bờ sông hớng đến B.
Sau khi đi dợc 24km ca nô quay lại và gặp ngời đó tại một địa điểm cách bến A 8km . Tính vận tốc của ca nô khi nớc yên
lặng , biết rằng vận tốc của ngời đi bộ và vận tốc dòng nớc đều bằng 4km/h.
II. Dạng toán chung - riêng
Bài 1 : Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong 12 ngày, họ cùng làm với nhau đợc
8 ngày thì đội 1 đợc điều động làm việc khác, đội 2 tiếp tục làm. Do cải tiến kỹ thuật, năng suất tăng gấp đôi lên đội 2 đã
làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao ngày xong công việc trên (với năng suất
bình thờng).
Bài 2 : An và Bình cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 20 phút thì xong. Nếu An làm trong 5 giờ và Bình làm
trong 6 giờ thì cả hai ngời làm đợc
4
3
công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình làm công việc đó thì trong mấy giờ xong.
Bài 3 : Hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau 1 giờ 20 thì bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ 2
chảy trong 12 phút thì đầy
15
2
bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì bao nhiêu lâu mới đầy bể.
Bài 4 : Hai vòi nớc nếu cùng chảy thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 10 giờ thì đầy bể. Hỏi nếu vòi thứ
hai chảy một mình thì trong bao lâu đầy bể.
Bài 5 : Hai lớp 9A và 9B cùng tu sửa khu vờng thực nghiệm của nhà trờng trong 4 ngày xong. Nếu mỗi lớp tu sửa một
mình muốn hành thành công việc ấy thì lớp 9A cần ít thời gian hơn lớp 9B là 6 ngày. Hỏi mỗi lớp làm một mình thì trong
bao lâu hoàn thành công việc.
Bài 6 : Hai tổ sản xuất nhận chung một công việc.Nếu làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành
3
2
công việc . Nếu để mỗi
tổ làm riêng thì tổ 1 làm xong công việc trớc tổ 2 là 5 giờ. Hỏi mỗi tổ làm một mình thì trong bao lâu xong công việc.
19
Bài 7 : Hai tổ cùng đợc giao làm một việc. Nếu cùng làm chung thì hoàn thành trong 15 giờ. Nếu tổ 1 làm trong 5 giờ,
tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm đợc 30% công việc. Hỏi nếu làm một mình mỗi tổ cần làm trong bao lâu mới hoàn thành
công việc.
Bài 8: Hai ngời làm chung một công việc thì xong trong 5 giờ 50. Sau khi làm đợc 5 giờ. Ngời thứ nhất phải điều đi
làm việc khác, nên ngời kia làm tiếp 2 giờ nữa mới xong công việc. Hỏi nếu làm một mình mỗi ngời làm trong bao lâu thì
xong.
Bài 9 : Hai ngời thợ cùng làm một công việc, nếu làm riêng mỗi ngời nửa công việc thì tổng cộng số giờ làm việc là
12h30. Nếu hai ngời làm chung thì hai ngời chỉ làm trong 6 giờ thì xong công việc. Hỏi mỗi ngời làm riêng thì mất bao
lâu xong việc.
Bài 10 : Hai vòi nớc cùng chảy vào 1 bể thì sau
5
4
4
giờ đẩy bể, môĩ giờ lợng nớc của vòi 1 chảy bằng
2
1
1
lợng nớc ở
vòi 2. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể.
Bài 11 : Hai ngời thợ dự định cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 thì xong nhng trong thực tế ngời 1 làm
trong 5 giờ và ngời 2 tăng năng xuất lên gấp đôi và làm trong 3 giờ thì cả hai ngời chỉ làm đợc
4
3
công việc. Hỏi mỗi ng-
ời làm một mình công việc đó trong bao lâu xong công việc.
Bài 12 : Hai ngời thợ cùng làm chung một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ, ngời thứ hai
làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc. Hỏi mỗi ngời làm công việc đó một mình thì trong bao lâu xong công việc.
II. tăng năng xuất :
Bài 1 : Một tổ công nhân phải làm 144 dụng cụ do 3 công nhân chuyển đi làm việc khác nên mỗi ngời còn lại phải làm
thêm 4 dụng cụ. Tính số công nhân của tổ lúc đầu (năng suất mỗi ngời nh nhau).
Bài 2 : Hai đội thuỷ lợi gồm 5 ngời đào đắp một con mơng. Đội 1 đào đợc 45 m
3
đất, đội hai đào đợc 40 m
3
. Biết mỗi
công nhân đội 2 đào đợc nhiều hơn ccông nhân đội 1 là 1m
3
. Tính số đất mỗi công nhân đội 1 đào đợc.
Bài 3 : Một máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày đội máy kéo cày đợc 52 ha. Vì vậy đội
không những đã cày xong trớc thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm đợc 4 ha nữa. Tính diện tích thửa ruộng mà đội phải cày
theo kế hoạch đã định.
Bài 4 : Một tổ dệt khăn mặt, mỗi ngày theo kế hoạch phải dệt 500 chiếc, nhng thực tế mỗi ngày đã dệt thêm đợc 60
chiếc, cho nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch trớc 3 ngày mà còn dệt thêm đợc 1200 khăn mặt so vơí kế hoạch .
Tìm số khăn mặt phải dệt theo kế hoạch lúc đầu.
Bài 5 : Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong 1 thời gian quy định thì mỗi giờ phải bơm 10 m
3
. Sau
khi bơm đợc
3
1
dung tích của bể chứa, ngời công nhân vận hành cho máy bơm với công suất lớn hơn, mỗi giờ bơm đợc
15 m
3
do đó bể đợc bơm đầy trớc 48 phút so với thời gian quy định. Tính dung tích bể chứa.
Bài 6 : Một tổ sản xuất có kế hoạch sản xuất 720 sản phẩm theo năng suất dự kiến. Thời gian làm theo năng suất tăng
10 sản phẩm mỗi ngày kém 4 ngày so với thời gian làm theo năng suất giảm đi 20 sản phẩm mỗi ngày ( tăng, giảm so với
năng suất dự kiến). Tính năng suất dự kến theo kế hoạch.
Bài 7 : trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy. Trong tháng 2, tổ một vợt mức 15%, tổ hai vợt mức 12%
nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy.
Bài 8 : Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất đợc 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai, tổ 1 sản xuất vợt mức 15%,
tổ 2 sản xuất vợt mức 20%, do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất đợc 945 chi tiết máy. Hỏi rằng trong tháng đầu, mỗi tổ
công nhân sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy ?
Bài9 . Một tàu đánh cá dự định trung bình mỗi ngày đánh bắt đợc 30 tấn cá . Nhng thực tế mỗi ngày đánh bắt thêm đợc
8 tấn nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm đợc 2 ngày mà còn đánh bắt vợt mức 20 tấn . Hỏi số tấn cá dự định
đánh bắt theo kế hoạch là bao nhiêu?
20
Bài 10. Trong một buổi lao động trồng cây, 15 học sinh nam và nữ đã trồng đợc tất cả 180 cây. Biết rằng số cây các bạn
nam trồng đợc bằng số cây các bạn nữ trồng và mỗi bạn nam trồng nhiều hơn mỗi bạn nữ là 5 cây.Tính số học sinh nam
và nữ.
IV. Toán hình học :
Bài 1 : Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10 m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 2m. Tìm các cạnh góc
vuông của tam giác.
Bài 2 : Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 280m, ngời ta làm một lối đi xung quanh vờn ( thuộc đất của vờn) rộng
2m. Diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256 m
2
. Tính các kích thớc của vờn.
Bài 3 : Tỉ số giữa cạnh huyền và một cạnh góc vuông của một tam giác vuông là 13/12 cạnh còn lại bằng 15m. Tính
cạnh huyền.
Bài 4 : Tìm hai cạnh của tam giác vuông biết cạnh huyền bằng 13 cm, hiệu hai cạnh góc vuông là 7 cm.
Bài 5 : Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 80 m. Nếu chiều rộng tăng thêm 5 m và chiều dài tăng thêm 3 m thì diện
tích sẽ tăng thêm 195 m
2
. Tính các kích thớc của miếng đất.
Bài 6 : Tìm các kích thớc của một hình chữ nhật biết chu vi bằng 120m, diện tíc bằng 875m
2
Bài 7 : Một sân hình tam giác có diện tích 180 m
2
. Tính cạnh đáy của hình tam giác biết rằng nếu tăng cạnh đáy 4m và
giảm chiều cao tơng ứng 1m thì diện tích không đổi.
Bài 8 : Một hình chữ nhật có chu vi 100 m. Nếu tăng chiều rộng gấp đôi và giảm chiều dài 10 m . Thì diện tích hình chữ
nhật tăng thêm 200m
2
. Tính chiều rộng của hình chữ nhật lúc đầu.
Bài 9 : Một tam giác vuông có chu vi 30 m, cạnh huyền 13 m. Tính mỗi cạnh góc vuông.
Bài 10 : tính các cạnh góc vuông của một tam giác vuông biết hiệu của chúng bằng 4 m và diện tích tam giác bằng 48 m
2
.
Bài 11. Tính độ dài các cạnh của một tam giác vuông , biết rằng chúng là 3 số tự nhiên liên tiếp.
Bài12 . Tính chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật biết chu vi bằng 34m , đờng cao 13 m.
Bài13. Một tam giác vuông có cạnh huyền là 15 cm và hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 3cm. Tính độ dài các cạnh của
tam giác vuông đó.
Bài14. Tính các cạnh góc vuông của một tam giác vuôngcó cạnh huyền bằng 10. Và một trong các cạnh góc vuông bằng
trung bình cộng của cạnh kia và cạnh huyền.
Bài15. Một sân tam giác có diện tích 180 m
2
.Tính cạnh đáy của tam giác biết rằng nếu tăng cạnh đáy 4m và giảm chiều
cao tơng ứng 1m thì diện tích không đổi.S
hình học
I. hệ thức trong tam giác vuông:
Bi 1: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A. Bit b = 4 cm, c = 3 cm. Gii tam giỏc ABC
Bi 2: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú b
= 7, c
= 3. Gii tam giỏc ABC?
Bi 3a: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú b = 4, b
= 3.2. Gii tam giỏc ABC?
Bi 3b: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú c = 4, b
= 3.2. Gii tam giỏc ABC?
Bi 4: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú AH = 4.8, BC =10. Gii tam giỏc ABC?
Bi 5: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú h = 4, c
= 3. Gii tam giỏc ABC?
21
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có b = 12, a = 20. Giải tam giác ABC?
Bài7: Chotam giác ABC vuông tại A có h = 4, c = 5. Giải tam giác ABC?
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông có A = 90
0
, b = 5, B = 40
0.
Giải tam giác ABC?
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có a = 15, B = 60
0
. Giải tam giác ABC?
Bài 10:Cho tam giác ABC vuông tại A có AH = 3, C = 40
0
. Giải tam giác ABC?
Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A có c
’
= 4, B = 55
0
. Giải tam giác ABC?
Bài 12: Chotam giác ABC vuông tại A, có trung tuyến ứng với cạnh huyền m
a
= 5, h = 4.
Giải tam giác ABC?
Bài13: Chotam giác ABC vuông tại A, trung tuyến ứng với cạnh huyền m
a
= 5, một góc nhọn bằng 47
0
. Giải tam giác
ABC?
Bài14: Tam giác ABC vuông tại A có h = 4, §êng ph©n gi¸c øng víi c¹nh huyÒn g
a
= 5.
Giải tam giác ABC?
Bài15: Chotam giác ABC vuông tại A có §êng ph©n gi¸c øng víi c¹nh huyÒn g
a
= 5. Góc C = 30
0
. Giải tam giác ABC?
II. § êng trßn:
Bài 1: Cho đường tròn (O) có bán kính 5 cm. M là một điểm sao cho OM = 3 cm. Vị trí tương đối của
M
đối với (O) là:
A. M nằm trên đường tròn. C. M nằm ngoài đường tròn.
a. M nằm trong đường tròn D. Không thể kết luận được.
Bài 2: Cho đường tròn (O; 5cm). A cách tâm O là 10 cm, kẻ tiếp tuyến AB, nối A với O (B là tiếp
điểm).
Tính số đo của góc A.
Bài 3: Cho đường tròn (O;5cm). Dây AB có độ dài 6 cm. Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
Bài 4: Cho đường tròn (O;3cm). Điểm M nằm ngoài đường tròn, độ dài tiếp tuyến kẻ từ M đến (O) là
4cm. .
Tính độ dài MO.
Bài 5: Cho đường tròn (O; 6cm). Từ điểm M ở ngoài đường tròn tâm O dựng tiếp tuyến MA với (O), A
là
tiếp điểm. Biết MA = 10 cm. Tính khoảng cách từ M đến O.
Bài 6. Một tam giác có độ dài 3 cạnh là 3 cm; 4cm; 5 cm. Tính bán kính của đường tròn đi qua 3 đỉnh
của
tam giác đó.
Bài 7. Một tam giác có độ dài 3 cạnh là 5cm,12cm,13cm.Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
đó.
Bài 8. Cho (O; 5cm).Dây AB cách tâm O của đường tròn một khoảng bằng 3.Tính độ dài dây AB.
Bài 9. Cho (O; 3cm) và (O’; 5cm), biết OO’ = 4. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
Bài 10 . Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cùng với hai tiếp
điểm tạo
thành tam giác gì?
Bài 11. Cho đường thẳng a cắt đường tròn (O; 10cm) tại A và B, vẽ OH ⊥a, biết OH = 6cm. Tính độ
dài
đoạn AB.
Bài 12. Cho (O; 5cm). Điểm A cách O một khoảng bằng 10cm. kẻ tiếp tuyến AB, Ac với (O) (B và C là
các
22
tiếp điểm). Tính số đo góc BAC.
Bµi TËp tỉng hỵp häc kú I:
Bµi 1 Cho tam gi¸c ABC (AB = AC ) kỴ ®êng cao AH c¾t ®êng trßn t©m O ngo¹i tiÕp tam gi¸c t¹i D
a/ Chứng minh: AD lµ ®êng kÝnh
b/ TÝnh gãc ACD
c/ BiÕt AC = AB = 20 cm , BC =24 cm tÝnh b¸n kÝnh cđa ®êng trßn t©m (O)
Bµi 2 Cho ( O) vµ A lµ ®iĨm n»m bªn ngoµi ®êng trßn . KỴ c¸c tiÕp tun AB ; AC víi ®êng trßn
( B , C lµ tiÕp ®iĨm )
a/ Chøng minh: OA
⊥
BC
b/VÏ ®êng kÝnh CD chøng minh: BD// AO
c/TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh cđa tam gi¸c ABC biÕt OB =2cm ; OC = 4 cm?
Bµi 3: Cho ®êng trßn ®êng kÝnh AB . Qua C thc nưa ®êng trßn kỴ tiÕp tun d víi ®êng trßn . G äi E , F lÇn lỵt lµ
ch©n ®êng vu«ng gãc kỴ tõ A , B ®Õn d vµ H lµ ch©n ®êng vu«ng gãc kỴ tõ C ®Õn AB. Chứng minh:
a/ CE = CF
b/ AC lµ ph©n gi¸c cđa gãc BAE
c/ CH
2
= BF . AE
Bµi 4: Cho ®êng trßn ®êng kÝnh AB vÏ c¸c tiÕp tun A x; By tõ M trªn ®êng trßn ( M kh¸c A, B) vÏ tiÕp tun thø 3 nã
c¾t Ax ë C c¾t B y ë D gäi N lµ giao ®iĨm cđa BC Vµ AO .CMR
a/
CN NB
AC BD
=
b/ MN
⊥
AB
c/ gãc COD = 90º
Bµi 5 : Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt
đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
a)CMR: NE
⊥
AB
b) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M .CMR: FA là tiếp tuyến của (O).
c) Chứng minh: FN là tiếp tuyến của đtròn (B;BA).
d/ Chứng minh : BM.BF = BF
2
– FN
2
Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, M là một điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn
( M ≠ A; B).Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn.Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba lần lượt cắt Ax và By tại
C và D.
a) Chứng minh: CD = AC + BD và góc COD = 90
0
b) Chứng minh: AC.BD = R
2
c) OC cắt AM tại E, OD cắt BM tại F. Chứng minh EF = R.
d) Tìm vò trí của M để CD có độ dài nhỏ nhất.
Bài 7: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt 2 tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O).
Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP và
cắt đường thẳng (d’) ở N.
a/ Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân.
b/ Hạ OI vuông góc với MN. Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c/ Chứng minh AM.BN = R
2
d/ Tìm vò trí của M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất. Vẽ hình minh hoạ.
Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ một điểm M trên nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy. Vẽ
AD và BC vuông góc với xy.
a/ Chứng minh rằng MC = MD.
23
b/ Chứng mihn AD + BC có giá trò không đổi khi điểm M chuyển động trên nửa đường tròn.
Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH. TÝnh sinB, sin C trong mçi trêng hỵp sau:
a) AB = 10cm, BH = 6cm b) BH = 5cm, AH = 12cm
Bµi 2. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. TÝnh sinB, tgB trong mçi trêng hỵp sau:
= =
AB 12 AB 15
a) b)
BC 13 AC 8
Bµi 3. TÝnh
−
0
0 0
0
sin17
a) b) tg83 cot g7
cos73
Bµi 4. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, AB = 6cm, AC = 8cm
a) TÝnh BC, gãc B vµ gãc C
b) §êng ph©n gi¸c cđa gãc A c¾t BC ë D. TÝnh BD, DC
c) Tõ D kỴ DE vµ DF lÇn lỵt vu«ng gãc víi AB, AC. Tø gi¸c AEDF lµ h×nh g×? TÝnh chu vi vµ diƯn tÝch tø gi¸c AEDF
Bµi 5. Gãc ë ®Ønh cđa mét tam gi¸c c©n b»ng
0
78
, c¹nh ®¸y dµi 28,5m. TÝnh c¹nh bªn vµ diƯn tÝch tam gi¸c
Bµi 6. C¹nh bªn cđa mét tam gi¸c c©n dµi 17,2m, gãc ë ®¸y cđa tam gi¸c c©n lµ
0
46
. TÝnh c¹nh ®¸y cđa tam gi¸c vµ diƯn
tÝch tam gi¸c
Bµi 7. Cho h×nh thang c©n ABCD, ®¸y lín AB = 20cm, c¹nh bªn AD = 8cm vµ t¹o víi ®¸y lín AB gãc
0
65
a) TÝnh ®êng cao CH, ®¸y nhá CD
b) TÝnh gãc ABD vµ ®êng chÐo BD
Bµi 8. Cho h×nh thang ABCD vu«ng t¹i A vµ D, AB = 30cm, CD = 18cm, BC = 20cm
a) TÝnh c¸c gãc ABC, BCD
b) TÝnh c¸c gãc DAC, ADB vµ c¸c ®êng chÐo AC, BD
Bµi 9. Cho tam gi¸c ABC, AB =10, AC = 24, BC = 26
a) Chøng minh tam gi¸c ABC vu«ng
b) TÝnh sinB, sin C
c) TÝnh chiỊu cao AH vµ c¸c ®o¹n chiỊu cao ®ã chia ra trªn c¹nh BC
Bµi 10. Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®êng cao AH vµ ®êng ph©n gi¸c AD. Cho biÕt BD = 51, DC = 85
a) TÝnh tØ sè
b'
c'
b) TÝnh ®é dµi HB, HC
Bµi 11. Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã AD = AC = 3cm, gãc D = 65
0
. H·y tÝnh:
a) ChiỊu cao AH øng víi c¹nh CD
b) DiƯn tÝch h×nh b×nh hµnh
Bµi 12. Cho h×nh thang c©n ABCD (AB//CD), AB = 5cm; CD = 13cm vµ
⊥BD BC
. VÏ ®êng cao BH
a) Chøng minh r»ng
−
=
CD AB
HC
2
b) TÝnh ®é dµi BH vµ diƯn tÝch h×nh thang
c) TÝnh c¸c gãc cđa h×nh thang
Bµi 13. TÝnh sè ®o cđa gãc nhän x biÕt:
a)
− =
0
7sin x + 13cos(90 x) 16,3
b)
− =
2 2
1
sin x cos x
2
c)
+ =
2 2
5cos x 4sin x 4,067
Bµi 14. Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, AB = 3cm, Gãc C =
α
. BiÕt
α =
2
cot g
3
, h·y tÝnh:
a) C¹nh AC, BC, ®êng cao AH
b)
α α αsin , cos , tg
Bµi 15. Cho tam gi¸c ABC nhän, ®êng cao AH. BiÕt AB = 12cm, AH = 9cm,
·
=
3
sin ACH
5
a) TÝnh BH vµ
·
ABC
24
b) Tính AC và HC
I_chứng minh tứ giác nội tiếp
Bài 1 : Chứng minh rằng các tứ giác trong các hình vẽ dới đây nội tiếp đợc một đờng tròn.
O
P
Q
E
F
x
G
H
O
A
K
M
N
A
D
C
B
A
D
C
B
A
Bài 2 : Cho đờng tròn (O) và một điểm A ở bên ngoài đờng tròn, từ A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đờng tròn (O). M là
một điểm tuỳ ý trên dây BC (MB ; M C) đờng thẳng vuông góc với OM tại M cắt AB, AC lần lợt ở D và E. CMR
a. Tứ giác ODBM và tứ giác ABOC nội tiếp một đờng tròn.
b. M là trung điểm của DE.
Bài 3 : Cho đờng tròn (O) một cung AB và S là điểm chính giữa của cung đó . Trên dây AB lấy hai điểm E và H. Các đ-
ờng thẳng SH , SE cắt đờng tròn (O) lần lợt tại C và D. CMR tứ giác EHCD nội tiếp một đờng tròn.
Bài 4 : Cho tứ giác ACDB (AB>CD) nội tiếp đờng tròn (O). Gọi S là điểm chính giữa của cung nhỏ CD.đờng thẳng AD
cắt BS ở E. đờng thẳng BC cắt AS ở F CMR
a. Tứ giác AFEB nội tiếp một đờng tròn.
b. ED.EA= ES.EB
c. DC song song với EF.
Bài 5 : Cho ABC nhọn các đờng phân giác trong của góc
B
và góc
C
gặp nhau ở S . các đờng phân giác ngoài
B
và
C
gặp nhau ở E
a> CMR: tứ giác BSCE nội tiếp đờng tròn.
b> Gọi M là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BSCE. CMR tứ giác ABMC nội tiếp
Bài 6: cho đờng tròn (0) và một điểm A ở ngoài đờng tròn. Các tiếp tuyến với đờng tròn (0) kẻ từ A tiếp xúc với đờng
tròn (0) ở B và C gọi M là một điểm tuỳ ý trên đờng tròn
( MB ; MC ).Từ M kẻ MH vuông góc với BC, MK vuông góc với AC, MI vuông góc với AB
a> chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp
b> chứng minh tam giác MIH đồng dạng với tam giác MHK
c> chứng minh MI.MK= MH
2
Bài 7: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB .M là một điểm trên đờng tròn(MA; M B).
C là một điểm trên cạnh AB (CA; C0;CB) đờng vuông góc MC tại M cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B với đờng tròn
(0) tại E va F chứng minh
a> Tứ giác BCMF nội tiếp một đớng tròn
b> Tam giác ECF vuông tại C
Bài 8: cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O , hai đờng cao BB và CC cắt nhau tại H
a)chứng minh tứ giác BCBC nội tiếp . Tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BCBC.
b)Tia AO cắt đờng tròn (O) ở D, cắt BC ở I. CMR tứ giác BIDC nội tiếp,
từ đó suy ra AO BC
c)Chứng minh H đối xứng với D qua trung điểm M của BC
Bài 9 : cho (O; R) hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau. E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. AE cắt OC ở F,
DE cắt AB ở N.
a. Chứng minh tứ giứac CFMB nội tiếp, tìm tâm đờng tròn đó
b. Chứng minh : OE ; BF ; CM đồng quy
25
