TOÁN-TỈ LỆ THỨC

Trng THCS Trn Quc Ton P. Giáo dc TP: H long



 tài toán 7 1 ng Th Thanh Hng

M U

1. Lý do chn  tài :
Nh chúng ta ã bit vic dy hc theo chuyên  có tác dng rt to ln i
vi vic hc, tip thu, thao tác t duy, phng pháp suy lun ca hc sinh.
 lp 7 h thng kin thc v T l thc chim s tit tng i ln, óng vai trò
quan trng trong vic gii bài tp toán lp 7 nói riêng và chng trình toán cp 2
nói chung. Hc v t l thc có li ích:
T mt t l thc có th chuyn thành mt ng thc gia hai tích. Trong
mt t l thc nu bit 3 s hng ta có th tìm c s hng th t. Khi hc v t
l thun, t l nghch ta thy t l thc là mt phng tin quan trng giúp ta gii
toán. Trong hình hc,  gii nh lý Talét, tam giác ng dng (lp 8) thì không
th thiu kin thc v t l thc.
Trong sách giáo khoa lp 7, vic trình bày h thng kin thc v t l thc
và mt s bài tp vn dng tính cht ca t l thc ã có song còn  dng n
gin ch phù hp vi i tng hc sinh i trà. Mun cho hc sinh nm vng v
kin thc toán hc  hc khá gii môn toán và  thun tin cho vic bi dng
hc sinh gii, qua kinh nghim ca bn thân và hc hi ng nghip tôi thy vic
dy hc theo chuyên  là rt tt. Mt trong các chuyên  tôi thy là cn thit
cho hc sinh khá, gii lp 7 là Gii mt s bài tp d a vào tính cht ca t l
thc.
2. Lch s ca nhng sáng kin kinh nghim :
Là mt giáo viên ging dy b môn toán  tr!ng ph" thông, trong quá
trình nghiên cu và tích lu# kinh nghim trong ging dy, tôi nhn thy i vi
chng trình i s 7 và hình hc 8 ( chng tam giác ng dng ) thì các tính

cht ca T l thc có vai trò rt quan trng, là mt công c  gii các bài toán.
3. Mc ích nghiên cu :
Là công c  gii toán ( các dng toán có  phn nhim v ca  tài )
4. Nhim v và phng pháp nghiên cu :
a, Phng pháp :
Trong quá trình làm  tài tôi ã vn dng phng pháp lý lun qua vic
c sách giáo khoa toán 7, sách giáo viên toán 7. Tham kho các loi sách có liên
quan n  tài:
1.$ hc tt $i s 7 ( Tác gi: Hoàng Chúng).
2.Toán nâng cao và các chuyên  (Nguy%n Ngc $m V& Dng Thu').
3.Tài liu bi dng S hc và $i s 7 (Nguy%n Tin Tài-$(ng Hùng Thng)
4.Mt s vn  phát trin $i s 7 ( V& Hu Bình)
5.Toán c bn và nâng cao $i s 7 ( V& Hu Bình)
6.Toán bi dng hc sinh lp 7 ( V& Hu Bình -Tôn Thân -$) Quang Thiu).
7.Tuyn chn 450 bài tp toán THCS ( Phan Ngc $c - Nguy%n Hoàng
Thanh - Nguy%n Anh D&ng).
8.Ôn tp $i s 7 ( Nguy%n Ngc $m V& Dng Thu').
$ng th!i tôi c&ng s* dng các phng pháp khác : Phng pháp quan sát
th c ti%n s phm, Phng pháp t"ng kt kinh nghim.
Trng THCS Trn Quc Ton P. Giáo dc TP: H long



 tài toán 7 2 ng Th Thanh Hng
  tài này tôi h thng li và b" sung thêm mt s lng kin thc và
bài tp cho m)i n v kin thc. M)i n v kin thc c trình bày riêng bit
 tin cho vic dy.
Khi dy i vi m)i n v kin thc tôi dy lý thuyt trc sau ó có ví d
minh ho và bài tp kèm theo. Các bài tp c phân chia thành tng dng và
cách gii cho tng dng.

Tt c các phn kin thc này tôi dy vào th!i gian thêm ca lp ti tr!ng
và dy lng ghép vào mt s tit hc có liên quan n  tài .
Sau m)i phn tôi  cho hc sinh kim tra  nm bt u, nhc im ca
hc sinh .
b, Nhim v :
Qua  tài này hc sinh s+ nm bt c mt s n v kin thc sau :
* T l thc :
- Lý thuyt :
+ $nh ngh,a t l thc .
+ Tính cht t l thc .
+ Tính cht ca dãy t s b-ng nhau .
- Bài tp :
+ Loi 1 : Lp t l thc .
+ Loi 2 : Tìm s hng ca t l thc .
+ Loi 3 : Tìm x, y, z t t l thc ho(c dãy t s b-ng nhau .
+ Loi 4 : Gii bài toán t l .
+ Loi 5 : Phng pháp chng minh t l thc .
+ Loi 6 : Tính giá tr ca biu thc .
* i lng t l thun :
- Lý thuyt :
+ $nh ngh,a .
+ Tính cht .
- Bài tp :
+ Loi 1 : Tìm giá tr ca 1 trong 2 i lng t l thun .
+ Loi 2 : Gii 1 s bài toán v i lng t l thun nh! tính cht t
l thc ho(c dãy t s b-ng nhau .
* i lng t l nghch :
- Lý thuyt :
+ $nh ngh,a .
+ Tính cht .

- Bài tp :
+ Loi 1 : Tìm giá tr ca 1 trong 2 i lng t l nghch .
+ Loi 2 : Gii 1 s bài toán v i lng t l nghch .
5. Gii hn (phm vi ) nghiên cu :
Tin hành nghiên cu trong chng trình $i s 7 .
6. im mi trong kt qu nghiên cu :
$ tài c ng dng  gii quyt nhiu dng toán. Giúp ng!i c có th
vn dng 1 các a dng trong quá trình tìm tòi c&ng nh hng d.n hc sinh gii
bài tp $i s .
Trng THCS Trn Quc Ton P. Giáo dc TP: H long



 tài toán 7 3 ng Th Thanh Hng

NI DUNG
I. T L THC:
* Lý thuyt.
1. nh ngha :
- T l thc là ng thc ca hai t s:
d
c
b
a
=
( b,d ? 0 )
- T l thc:
d
c
b

a
= còn c vit là a : b = c : d
- Trong t l thc a : b = c : d, các s a,b,c d c gi là các s hng ca t l
thc, a và d là các s hng ngoài hay ngoi t, b và c là các s hng trong hay trung
t.
2. Các tính cht ca t l thc:
Tính cht 1: ( tính cht c bn ca t l thc )
Nu
d
c
b
a
= thì a.d = b.c
Tính cht 2: ( $iu kin  4 s lp thành t l thc )
Nu ad = bc a,b,c,d ? 0 thì ta có t l thc:
d
c
b
a
= ;
d
b
c
a
= ;
a
c
b
d
= ;

a
b
b
d
= .
3. Tính cht ca dãy t s bng nhau
k
f
e
d
c
b
a
=== thì k
fdb
eca
=
±±
±
±
. ( gi thit các t s u có ngh,a )
4. Chú ý: Các s x,y,z t l vi các s a,b,c
c
z
b
y
a
x
==⇔ Ta còn vit: x: y: z = a : b :c
5. M t s kin thc m! r ng.

+ Nu: k
f
e
d
c
b
a
=== . thì: k
kfkdkb
kekcka
=
++
+
+

+ T t l thc
d
c
b
a
= , ta suy ra các t l thc:
d
dc
a
ba
+
=
+
;
d

dc
d
ba
+
=
+
;
c
dc
a
ba
+
=
+
;
c
dc
a
ba
−
=
−

d
c
c
b
a
a
+

=
+
;
d
c
c
b
a
a
+
=
−


* Bài tp
Dng 1: Lp t l thc
Bài 1: Các t s sau ây có lp thành t l thc không
a, ( - 0,3 ) : 2,7 và ( - 1,71 ) : 15,39
b, 4,86 : ( - 11,34 ) và ( - 9,3 ) : 21,6
Gii:
a, Ta có: ( 0,3 ) : 2,7 =
7
1
27
3
−
=
−

( - 1,71 ) : 15,39 =

9
1
1539
171
−
=
−
vy: - 0,3 : 2,7 = ( - 1,71 ) : 15,39
Suy ra các t s: - 0,3 : 2,7 và ( - 1,71 ) : 15,39 có lp thành mt t l thc.
Trng THCS Trn Quc Ton P. Giáo dc TP: H long



 tài toán 7 4 ng Th Thanh Hng
b, Ta có: 4,81 : ( 11,34 ) =
7
3
1134
486
−
=
−

- 9,3 : 21,6 =
72
31
216
93
−
=

−
vy 4,86 : ( 11,34 ) ? - 9,3 : 21,6
Nên các t s ã cho không lp thành mt t l thc.

Bài 2: Lp tt c các t l thc có th có c t ng thc sau:
a, 7. ( - 28 ) = ( - 49 ) .4
b, 0,36.4,25 = 0,9.1,7
Gii:
a, Áp dng tính cht ca t l thc ta có:
7.(28 ) = ( - 49 ).4
28
4
49
7
−
=
−
 ;
28
49
4
7
−
−
= ;
4
28
7
49
−

=
−
;
49
28
7
4
−
=
b, T 0,36.4,25 = 0,9.1,7 áp dng tính cht ca t l thc ta có:

25,4
7,1
9,0
36,0
= ;
25,4
9,0
7,1
26,0
= ;
7,1
25,4
36,0
9,0
= ;
9,0
25,4
36,0
7,1

=

Bài 3: Lp tt c các t l thc có th t t l thc

4
1
29:)
2
1
6()27(:6 =−

Gii:
T
4
1
29:)
2
1
6()27(:6 =− )
2
1
6).(27(
4
1
29.6 −−=
Áp dng tính cht ca t l thc ta suy ra:
4
1
29
27

2
1
6
6
−
=
−
;
27
4
1
29
6
2
1
6
−
=
−
và
2
1
6
4
1
29
6
27
−
=

−


Bài 4: Lp tt c các t l thc có th c t các s sau: 5;25;125;625
Gii:
Ta có ng thc: 5.625 = 25.125 T ó ta có 4 t l thc:

625
125
25
5
= ;
625
25
1256
5
= ;
125
625
5
25
= ;
25
625
5
125
=
Bài 5: Lp tt c các dãy t l thc có c t trong 5 s sau ây:4;16;64;265;124.
Gii:
T 4 trong 5 s ã cho ta lp c 3 ng thc:

4.1024 = 16.256
16.1024 = 64.256
4.256 =16.64
T m)i ng thc trên ta li lp c 4 t l thc
Ví d t ng thc ( 1 ) ta có:
1024
256
16
4
= ;
1024
16
256
4
= ;
4
256
16
1024
= ;
4
16
256
1024
=
Nh vy t 4 trong 5 s ã cho có th lp c 12 t l thc.
Trng THCS Trn Quc Ton P. Giáo dc TP: H long




 tài toán 7 5 ng Th Thanh Hng
Bài tp vn dng
1, Tìm các t s b-ng nhau trong các t s sau ây ri lp thành các t l thc:
24:28 ;
2:
2
1
2
; 2:8 ;
3
2
:
2
1
; 10:3 ;
7:1,2
;
3,0:3


2. Lp tt c các dãy t l thc có c t ng thc sau:
a, 6.6,3 = 9.42.
b, 0,24.1,61 = 0,84.0,46.
3. Lp tt c các dãy t l thc có th c t t l sau:

4,11
35
1,5
15
−

=
−
.
4. T các t s sau ây có th lp thành t l thc không ?
a, 25,5:5,3 và 21:14 .
b,
5
2
52:
10
3
39
và 5,3:1,2 .
c,
19,15:61,5
và
7:3
.
d,
3
2
4:7−
và )5,0(:9,0
−
.
5. Lp tt c các t l thc có c t 4 s sau:
1,5; 2; 3,6; 4,8
6. a, Lp 8 t l thc có c t 4 s sau ây:2; 4; 8; 16 ( m)i s ch vit mt ln )
b,Lp c bao nhiêu t l thc có c t 4 trong 5 s sau:2; 4; 8; 16; 32 ( m)i
s ch vit mt ln )

7. Ch rõ ngoi t trong trung t ca các t l thc sau:
a,
4,29
2,4
21
3
−
=
−
. c, 5,3.97,45.1,7
−
=
−
.
b,
3
2
80
3
2
14
4
3
35
2
1
6
=
.
8. Các t s sau có th lp thành t l thc không ?

a, 3,15:1,5 và
21:7
. b, 75,22:)5,13(
−
và 7:)4(
−
.
c,
2
1
7:
2
1
4 và 5,4:7,2 . d, )34,11(:86,4
−
và 6,21:)3,9(
−
.
9. Có th lp c t l thc t các s sau ây không ? Nu lp c hãy vit tt c
các t l thc ó.
a, 75,1 ;
20
;
29
;
75
.
b, 3,1 ; 2,3 ; 1,2 ; 4,5 .
10. Lp tt c các t l thc có th c t ng thc sau
a,

15).9()27.(5
−
=
−
.
b, 4,0.555,316,3.45,0
=
.
c, .
2
1
6.27
4
1
29.6 −=− .
11. Lp các dãy t l thc có c t 4 trong 5 s sau:
3; 9; 27; 91; 243.
Trng THCS Trn Quc Ton P. Giáo dc TP: H long



 tài toán 7 6 ng Th Thanh Hng
Dng 2: Tìm s hng ca t l thc
Bài 1: Tìm x trong các t l thc sau
a, .
6,3
2
27
−=
x

b,
.38,16:36,9:52,0
−
=
−
x

c,
.
25,6
8
7
2
4
1
4
x
=−

Gii:
a, T: 15
6,3
7,2.2
6,3
2
27
2
=
−
=

−
= x .

b, 91,0
36,9
38,1652,0
38,16:36,9:52,0 =
−
−
−
=−=− xx .
c, T:
2
1
8
2
17
50.25
17.625
8
7
2
4
1
4.25,6
25,6
8
7
2
4

1
4
===== x
x
.
Bài 2: Tìm x bit.
a,
30900
60
15
2
±==
−
=
−
xx
x
x
.
b,
5
4
25
16
25
8
2
25
8
2

22
±==−=
−
=
−
xxx
x
x
.
Bài 3: Tìm x
a,
15
4
20
15
304
15
16.19
2.15
32.19
15
32.19
4
1
3
2
2.8,3
2
3
2

2:
4
1
)2(:8,3 ======= xxx
.
b, 8025,0:2020
125,0
6
5
.3
25,015,0:
6
5
3:)25,0( ===== xxx .
c,
2
3
32212
3
1
1
15
13
1.
7
3
1
12
3
1

1:
15
13
1
7
3
1:)12( ===−=−=− xxxxx .
d,
2
1
36476
2,0
3
2
.
5
1
1
76)76(:
3
2
5
1
1:2,0 ===+=++= xxxxx
.
Bài 4: Tìm x bit
a, 2
16
32
9

7
4072
9
40
7
72
==
+
−
+
−
=
−
=
−
xxxx
.
T ó có: 58147214722
7
72
=−==−=
−
xx
x

b, T
5
10
50
7

3
1337
7
13
3
37
7
3
13
37
==
+
+
+
−
=
+
=
−
=
+
−
xxxx
x
x
.
Trng THCS Trn Quc Ton P. Giáo dc TP: H long




 tài toán 7 7 ng Th Thanh Hng
Có:
2215375
3
37
=−==
−
x
x
.
c, 104100)4(
4
5
20
4
2
±=+=+
+
=
+
xx
x
x
.
+ Vi:
6104
=

=
+

xx
.
+ Vi: 14104
−
==

−
=
+
xx .
Vy:
6
=
x
và
14
−
=
x
.
d, .1
1
1
3
2
21
3
2
2
1

3
2
2
1
−=−=
−
−
+
+
−
−
=
+
−
=
+
−

+
−
=
+
−
x
x
xx
x
x
x
x

x
x
x
x

T ó ta có:
2
1
1221)2(11
2
1
−=−=−−=−+−=−−=
+
−
xxxxxx
x
x
.

Bài 5: Tìm x bit
)1(
6
61
24
41
18
2
x
yyyx
+

=
+
=
+
.
T (1)
.51532439
)39(2
)41(2
24
41
)39(2
82
24
41
618
612
24
41
===+
+
+
=
+

+
+
=
+


+
+
+
+
=
+
 xxx
x
yy
x
yy
x
yyxy

Bài tp vn dng
1, Tìm x trong t l thc:
a, 9,0::4,6 xx
=
.
b,
4
1
2:
3
1
7,2:3 =x .
c, 01,0:14,0:3
=
x
2. Tìm x bit

a,
x
x 3
27
−
=
−
.
b,
7
5
5
3
=
+
−
x
x
.
c, )1,0(:
3
2
8,0:
3
1
1 x= .
d, xx :916,0:
=
.
e,

4
1
2:
3
1
7,2:3 =x
.
f,
01,0:14,0:3
=
x
.
g, x1,0:25,12,0:35,1
=
.
h, 35,0:35,04,2:
3
1
3 x= .
3. Tìm x bit
a,
x
x 3
27
−
−
−
. b,
49
4

9 x
x
−
=
−
.
4. Tìm x trong các t l thc sau:
a,
7
5
5
3
=
+
−
x
x
. b,
9
1
1
7
+
=
−
x
x
.
Trng THCS Trn Quc Ton P. Giáo dc TP: H long




 tài toán 7 8 ng Th Thanh Hng
Dng 3: Tìm x,y,z t t l thc t dãy t s bng nhau
Bài 1: Tìm 2 s x,y bit
5
2
yx
=
và
21
=
+
yx
.
Gii:
Áp dng tính cht ca t l thc ta có:
3
7
21
5
2
5
2
−==
+
+
==
yxyx
.

T ó có:
153
5
63
2
−=−=
−==
y
y
x
x

Bài 2: Tìm 2 s x,y bit 7x = 3y và x- y =16.
Gii:
T:
7
3
37
yx
yx == .
Áp dng tính cht ca t l thc ta có:
4
4
16
7
3
7
3
−=
−

=
−
−
==
yxyx
.
T ó ta có:
.284
7
.124
4
−=−=
−=−=
y
y
x
x

Bài 3:Tìm 3 s x,y,z bit
a,
5
3
2
zyx
== và 90
−
=
+
+
zyx . b, zyx 532

=
=
và 33
−
=
−
+
zyx .
Gii:
a, áp dng tính cht ca dãy t s b-ng nhau ta có:
9
10
90
5
3
2
5
3
2
−=
−
=
+
+
+
+
===
zyxzyx
.
T ó có:

459
5
279
3
189
2
−=−=
−=−=
−=−=
z
z
y
y
x
x

b, T:
zyx 532
=
=
30
5
30
3
30
2 zyx
== hay:
3
11
33

6
10
15
6
10
15
−=−=
+
+
+
+
===
zyxzyx
.
.186.3
.3010.3
.4515.3
−=−=
−=−=
−
=
−
=

z
y
x

Trng THCS Trn Quc Ton P. Giáo dc TP: H long




 tài toán 7 9 ng Th Thanh Hng
Bài 4:
a,
4
3
yx
= và 1
22
=− yx .
Gii:
a, T:
4
3
yx
=
16
12
192
4.3
.
43
22
===







=







yxyx
.
T ó ta có:
.1619616
16
.1214416
9
2
2
2
2
±===
±===
yy
y
xx
x

Bài 5: Tính x, y, z bit
a,
7

5
;
3
2
zyyx
==
và
92
=
+
+
zyx
. ; b, zyx
yx
z
zx
y
zx
x
++=
−+
=
++
=
++ 211
.
Gii:
a, T:








==
==
211575
151032
zyzy
yxyx
2
46
92
21
15
10
21
15
10
==
+
+
+
+
===
zyxzyx
.
T:

422
21
302
15
202
10
==
==
==
z
z
y
y
x
x

b, Ta có: zyx
yx
z
zx
y
zx
x
++=
−+
=
++
=
++ 211
(1).

Áp dng tính cht b-ng nhau ca t l thc ta c:
)2(
)(2
zyx
zyx
zyx
++=
++
+
+
.
Nu: 0
=
+
+
zyx . Thì t (1) ta suy ra: 0;0;0
=
=
=
zyx .
Nu: 0
≠
+
+
zyx . Thì t (2) ta suy ra: zyx ++=
2
1
khi ó(1) tr thành:
2
1

2
2
1
1
2
1
1
2
1
=
−−
=
+−
=
+− z
z
y
y
x
x
.
Do ó :

.
2
1
2
3
2
.

2
1
2
3
2
.
2
1
2
3
2
−=−−=
=−=
=−=
zzz
yyy
xxx

Trng THCS Trn Quc Ton P. Giáo dc TP: H long



 tài toán 7 10 ng Th Thanh Hng
Có hai áp s: )0,0,0( và
)
2
1
;
2
1

;
2
1
( −
.

Bài 6: Tìm các s x, y, z bit
)1(
4
3
3
2
2
1
−
=
−
=
−
zyx
và .1432
=
+
−
zyx
Gii:
Cách 1: Nhân t s th hai, th ba ca (1) ln lt vi 2 và 3 ta c:

.1
8

614
12
6
2
632
12
93
6
42
2
1
4
3
3
2
2
1
=
−
=
+
−
−
+
−
=
−
=
−
=

−
=
−
=
−
=
−
zyxzyxzyx


.71.43
.51.32
.31.21
==−
==−
=

=
−
zz
yy
xx

Cách 2: $(t .34,23,12)(
4
3
3
2
2
1

+=+=+=∈=
−
=
−
=
−
kzkykxzkk
zyx

Thay (2) vào (1) Ta có:
.731.4
.521.3
.311.2
.1881468
.149124612
=+=
=+=
=+=
===+
=
+
+
−
−
+
z
y
x
kkk
kkk

Bài 7: Tìm các s a, b, c bit
cbba 75,32
=
=
và
.30573
−
=
+
−
cba

Gii:
Vì
ba 32
=
nên
2
3
ba
= hay ).1(
14
21
ba
=
cb 75
=
nên
10

14
cb
=
kt hp vi 30573
−
=
+
−
cba Ta có:
.60,84,126
−
=
−
=
−
=
cba

Bài 8: Tìm các s a
1
, a
2
, a
3
, a
9
bit

1
9

8
2
9
1
9
21
−
==
−
=
−
a
aa
và .90
921
=
+
+
+
aaa
Gii:
Áp dng tính cht ca dãy t s b-ng nhau ta có:

.1
45
4590
1

8

9
)9 21() (
1 89
9 21
1
9

8
2
9
1
921
9219
21
=
−
=
+
+
+
+++−+++
=
+++
−
+
+
−
+
−
=

−
==
−
=
−
aaa
aaaa
aa

Ta có: .101
9
1
1
1
==
−
a
a

Tng t : .10
921
=
=
=
aaa

Bài 9: Tìm các s x, y, z bit
x:y:z = 3:4:5 và 2x
2
+2y

2
-3z
2
=-100.
Gii:
Trng THCS Trn Quc Ton P. Giáo dc TP: H long



 tài toán 7 11 ng Th Thanh Hng
Ta có: 5:4:3::
=
zyx
Hay
.4
25
100
75
32
18
322
75
3
32
2
18
2
25
16
9

5
4
3
222222222
==
+
+
++
========
zyxzyxzyxzyx

T ó ta tìm c: x = 6; y = 8; z = 10.
x = - 6; y = - 8; z = -10.
Bài tp vn dng

Bài 1: Tìm 2 s x,y bit
a,
13
7
yx
= và 40
=
+
yx .
b,
21
19
yx
= và 342
=

−
yx .
c,
16
9
22
yx
=
và 100
22
=+ yx
Bài 2: Tìm các s x,y,z bit.
a,
9
3
4
zyx
== và 6243
=
+
−
zyx .
b,
4
3
3
2
2
1
−

=
−
=
−
zyx
và 1432
=
+
−
zyx .
c,
8
5
;
20
7
==
z
y
y
x
và 100252
=
−
+
zyx .
d, zyx 2085
=
=
và 3

=
−
−
zyx .
e,
zyx
5
18
2
9
11
6
==
và 120
=
+
+
−
zyx .
Bài 3: tìm a,b,c,d bit
9
7
5
3
dcba
=== và 12
=
+
+
+

dcba .

Dng 4: Dùng tính cht ca t l thc gii mt s bài toán v chia t l
Bài 1: Tìm din tích ca mt hình ch nht bit r-ng t s gia 2 cnh ca nó
b-ng 2/5 và chu vi ca nó b-ng 28m.
Gii:
Gi  dài hai cnh ca hình ch nht là a và b ( a, b>0 ; m)
Theo bài ra ta có: 1428)(2
=
+

=
+
baba .
Và
5
2
5
2 ba
b
a
== .
Áp dng tính cht t l thc ta có:
2
7
14
5
2
5
2

==
+
+
==
baba
.
T ó:
12
5
42
2
==
==
b
b
a
a

Vy chiu rng ca hình ch nht là 4m và chiu dài ca hình ch nht là 10m.
Do ó din tích ca hình ch nht là 4.10 = 40m
2
.
Trng THCS Trn Quc Ton P. Giáo dc TP: H long



 tài toán 7 12 ng Th Thanh Hng

Bài 2: S hc sinh 4 khi 6,7,8,9 t l vi các s 9,8,7,6 bit r-ng s hc sinh khi
9 ít hn s hc sinh khi 7 là 70 hc sinh. Tính s hc sinh m)i khi ?

Gii:
Gi s hc sinh ca các khi 6,7,8,9 ln lt là a, b, c, d. Theo bài ra ta có:
6
7
8
9
dcba
=== và
70
=
−
db
.
Áp dng tính cht ca dãy t s b-ng nhau ta có:

6
7
8
9
dcba
=== 35
2
70
6
8
==
−
−
=
db

.
T:

.21035
6
.24535
7
.28035
8
.31535
9
==
==
==
==
d
d
c
c
b
b
a
a

Vy s hc sinh ca các khi 6,7,8,9 ln lt là 315, 280, 245 và 210 hc sinh.

Bài tp vn dng:
Bài 1: ba hc sinh A, B, C có s im 10 t l vi các s 2, 3, 4 bit r-ng t"ng s
im 10 ca A và C hn B là 6 im 10. Hi m)i em có bao nhiêu im 10 ?
Bài 2: Tìm các góc ca mt tam giác bit r-ng các góc ó t l vi 1, 2, 3.

Bài 3: Mt khu v!n có din tích là 300m
2
. Hai cnh t l vi 4 và 3. Tính chiu
dài và chiu rng khu v!n ?
Bài 4: Tính s hc sinh ca lp 7A,7B bit r-ng lp 7A ít hn lp 7B là 5 hc
sinh và t s hc sinh ca hai lp là 8/9.

Dng 5: Phng pháp chng minh t l thc
Bài 1: Cho a, b, c, d ? 0, t t l thc
d
c
b
a
= hãy suy ra t l thc .
c
dc
a
ba
−
=
−

Gii:
Cách 1:
d
c
b
a
= −=−=
c

d
a
b
c
d
a
b
11 .
c
dc
a
ba
−
=
−

Cách 2: $(t
d
c
b
a
= .k
=
thì ., dkcbka
=
=

Ta có:
).1(
1)1(

k
k
bk
kb
bk
bbk
a
ba
−
=
−
=
−
=
−


)2(
1)1(
k
k
dk
kD
dk
ddk
c
dc
−
=
−

=
−
=
−

Trng THCS Trn Quc Ton P. Giáo dc TP: H long



 tài toán 7 13 ng Th Thanh Hng
T (1) và (2) suy ra:
.
c
dc
a
ba
−
=
−

Cách 3:Xét các tính:
).2()(
).1()(
adacadc
bcaccba
−=−
−
=
−

Ta có:
d
c
b
a
=
nên )3(bcad
=

T: .)()()3(),2(),1( adccba
−
=
−

Do ó: .
c
dc
a
ba
−
=
−


Bài 2: Chng minh r-ng nu bca =
2
Thì
c
a
ac

c
a
ba
−
+
=
−
+
( Vi a ? b và a ? c).
Gii:
Có: bca =
2
.
c
dc
a
ba
a
c
ac
c
a
ba
a
b
c
a
−
=
−


−
+
=
−
+
==

Bài 3: Chng minh t l thc
a
c
ac
b
a
ba
−
+
=
−
+
Thì: bca =
2
.
Gii:
Ta có:
ac
ac
ba
ba
−

+
=
−
+
).1()1();1()1()();( kakckbkaackacbakbak
+
−
=
−
+
−
=
−

−
=
+
−
=
+

=

.
)1(
)1(
)1(
)1(
2
bca

a
b
c
a
ka
kb
kc
ka
===
=−
=
−
=
−
=


Bài 4: Chng minh r-ng nu: .
d
b
c
a
= Thì:
a,
d
c
dc
b
a
ba

3
5
35
3
5
35
−
+
=
−
+
.
b,
dc
dc
ba
aba
3
5
35
3
5
37
2
−
+
=
−
+
.

Gii:
a, Vì:
.
d
b
c
a
=
nên
.
d
c
c
a
=

M(t khác: .
d
b
c
a
=
=
.
3
5
35
3
5
35

3
3
5
5
d
c
ba
d
c
ba
d
b
c
a
−
−
=
+
+
==
Vy:
dc
dc
ba
ba
3
5
35
3
5

35
−
+
=
−
+
.
b, Vì :
d
c
b
a
= nên: .
d
b
c
a
= Vy:
d
b
c
a
d
b
d
b
c
a
c
a

== . hay:
cd
ab
d
b
c
a
==
2
2
2
2
.
M(t khác ta li có:
cd
ab
d
b
c
a
c
a
3
3
8
8
11
11
7
7

2
2
2
2
2
2
=== . Do ó ta có:
22
2
2
2
8
11
37
3
7
37
d
c
cda
cd
c
aba
−
+
=
+
+
.
Bài 5: Cho 4 s khác 0 là:

4321
,,, aaaa tho mãn:
42
2
331
2
2
; aaaaaa == .
chng minh:
4
1
3
4
3
3
3
2
3
3
3
2
3
1
a
a
aaa
aaa
=
++
++

.
Trng THCS Trn Quc Ton P. Giáo dc TP: H long



 tài toán 7 14 ng Th Thanh Hng
Gii:
T gi thit ta có:
.
.
4
3
3
2
42
2
3
3
2
2
1
31
2
2
a
a
a
a
aaa
a

a
a
a
aaa
==
==
==
4
3
3
2
2
1
a
a
a
a
a
a

4
1
4
3
3
2
2
1
3
4

3
3
3
2
3
3
3
2
3
1
a
a
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
==
++
++

Theo tính cht ca dãy t s b-ng nhau ta có:
.
4
1
3
4

3
3
3
2
3
3
3
2
3
1
a
a
aaa
aaa
=
++
++


Bài 6: Bit .
c
bxay
b
azcx
a
cybz
−
=
−
=

−
Chng minh r-ng: .
c
z
b
y
a
x
==
Gii:
Ta có:
.
c
bxay
b
azcx
a
cybz
−
=
−
=
−
.0
222222
=
+
+
−
+

−
+
−
=
−
=
−
=
−
=
c
b
a
bcxacyabzbczacyabz
c
bcxacy
b
abzbcx
a
acyabz

.0=
−

a
cybz
nên:
.0 cybzazcx
=


=
−
hay: ).1(
z
c
y
b
=
.0=
−

b
azcx
nên: .0 azcxazcx
=

=
−
hay: ).2(
x
a
z
c
=
T (1) và (2) ta suy ra: .
z
c
y
b
x

a
==

Bài 7: Cho cba
+
=
và ).0;0( ≠≠
−
= db
d
b
bd
c Chng minh: .
d
c
b
a
=
Gii:
Vì: cba
+
=
nên: bddcbad
=
+
=
)( ).1(cd
+

Vì:

db
bd
c
−
= nên: .)( cdbcdbcbd
−
=
−
=
hay: ).2(cdbdbc
+
=

T (1) và (2): .
z
c
y
b
x
a
==

Bài 8: Cho cba
+
=
và ).0;0( ≠≠
−
= db
d
b

bd
c Chng minh: .
d
c
b
a
=
Gii:
Vì: .cba
+
=
Nên:
)1()( cdbddcbad
+
=
+
=

Nên: .)( cdbcdbcbd
−
=
−
=
Hay: ).2(cdbc
=

T(1) và (2) .
d
c
b

a
bcad ==

Bài 9: Cho: .;
22
bdcacb == Vi: .;;0,,,
333
dcbdcbdcba ≠+≠+≠ Chng minh r-ng:
.
3
333
333






−+
−+
=
−+
−+
dcb
cba
dcb
cba

Gii:
Trng THCS Trn Quc Ton P. Giáo dc TP: H long




 tài toán 7 15 ng Th Thanh Hng
T:
.
.
2
2
d
c
c
b
bdc
c
b
b
a
acb
==
==

Do ó:
3
3
3
333
333
3
3

3
3
3
3
3
3
)(
)(
)(
)(






−+
−+
=
−+
−+
=
−+
−+
=
−+
−+
===
−+
−+

===
dcb
cba
dcb
cba
dcb
cba
dcb
cba
d
c
c
b
b
a
dcb
cba
d
c
c
b
b
a

Bài 10: Chng minh r-ng nu:
)(3)(5)(2 zxzyyx
+
=
+
=

−
. Thì
5
4
zyyx
−
=
−
.
Gii:
T: )(3)(5)(2 zxzyyx
+
=
+
=
−
10
6
15
xzzyyx
+
=
+
=
+

.
Ta có:
)2(
51015

)()(
1015
)1(
4610
)()(
610
zyxzyxxzyx
yxzyxzzyxz
−
=
−
+−+
=
−
=
+
−
=
−
+
−
+
=
+
=
+

T (1) và (2):
5
4

zyyx
−
=
−
 .

Bài 11: Cho
cd
ab
d
c
ba
=
+
+
22
22
Vi dcdcba
±
≠
≠
;0,,, .
Chng minh r-ng ho(c
d
c
b
a
= ho(c
c
d

b
a
= .
Gii:
Ta có:
cd
ab
d
c
ba
=
+
+
22
22
)1(
)(
)(
2
2
2
2
2
2
2
22
22







+
+
=
+
+
=
++
++
==
dc
ba
dc
ba
cddc
abba
cd
ab

)2(
)(
)(
2
2
2
2
2
2

2
22
22
22
22






−
−
=
−
+
=
−+
−+
==
+
+
dc
ba
dc
ba
cddc
abba
cd
ab

dc
ba

T (1) và (2) suy ra:
22






−
−
=






+
+
dc
ba
dc
ba
.
Tr!ng hp 1: )3(
2
2

c
a
c
a
d
c
d
c
baba
d
c
ba
d
c
ba
==
−
+
+
−
+
+
=
−
−
=
+
+
.
)4(

2
2
d
b
d
b
d
c
d
c
baba
d
c
ba
d
c
ba
==
−
−
+
−
−
+
=
−
−
=
+
+

.
T (3) và (4) suy ra:
d
b
c
a
= hay
d
c
b
a
= .
Tr!ng hp 2: )5(
2
2
c
b
c
b
d
c
ba
d
c
ba
==
−
−
=
+

+
.
)6(
2
2
c
b
c
b
dc
ab
dc
ba
==
−
−
=
+
+
.
Trng THCS Trn Quc Ton P. Giáo dc TP: H long



 tài toán 7 16 ng Th Thanh Hng
T (5) và (6) suy ra:
d
a
c
b

=
hay
c
d
b
a
=
.

Tóm li: nu
cd
ab
d
c
ba
=
+
+
22
22
thì
c
d
b
a
d
c
b
a
== ; .

* Bài tp vn dng:
1, Bit
1
,
,
=+
b
b
a
a
và
1
,
,
=+
c
c
b
b
chng minh:
0
,,,
=+ cbaabc
.
2, Cho 4 s nguyên dng a, b, c, d trong ó b là s trung bình cng ca a và c và







+=
dbc
11
2
11
. Chng minh r-ng 4 s ó lp nên mt t l thc.
3, Chng minh r-ng nu
a
c
c
b
b
a
==
thì cba
=
=

4, Cho t l thc
d
c
b
a
= chng minh r-ng ta có các t l thc sau ( Gi thit r-ng các
t l thc phi chng minh u có ngh,a ).
a,
d
c

dc
b
a
ba
4
3
52
4
3
52
−
+
=
−
+
.
b,
2
2
)(
)(
dc
ba
cd
ab
−
−
= .
c,
22

22
d
b
ca
bd
ac
+
+
=
.
d,
33
33
3
dc
ba
dc
ba
−
−
=






+
+
.

5, Cho acb =
2
. Chng minh r-ng
a
c
c
b
ba
=
+
+
22
22
.
6, Cho
ac
ac
ba
ba
−
+
=
−
+
. Chng minh r-ng nu 3 s 0,,
≠
cba thì t 3 s cba ,, ( có mt
s c dùng mt ln ) có th lp thành mt t l thc.
7, Cho biu thc )0,( ≠
+

+
= dc
dycx
byax
M . Chng minh r-ng nu giá tr biu thc M
không ph thuc vào x, y thì 4 s a, b, c, d hp thành 1 t l thc.
8, Cho
b
y
k
b
a
x
k
a
== ; . Chng minh r-ng
y
x
b
a
=
2
2
.
9, Cho cbda
+
=
+
và )0,(
2222

≠+=+ dbcbda Chng minh r-ng 4 s dcba ,,, có th
lp thành mt t l thc.
10, Cho )6;5(
6
6
5
5
≠≠
−
+
=
−
+
ba
b
b
a
a
. Chng minh r-ng
6
5
=
b
a
.
11, Cho
d
b
y
k

c
a
x
k
== ; trong ó kdc
=
+
. Chng minh r-ng kbyax
=
+
.
12, Cho
2
34
3
42
4
23 zyxzyx
−
=
−
=
−
. Chng minh r-ng
4
3
2
zyx
== .
Trng THCS Trn Quc Ton P. Giáo dc TP: H long




 tài toán 7 17 ng Th Thanh Hng
13, Cho
d
c
c
b
b
a
==
Chng minh r-ng:
d
c
dcb
cba
=






++
++
3
.
14, Cho
1

9
9
8
4
3
3
2
2
1

a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
==== ; 0
921
≠
+
+
+
aaa . Chng minh:
921
aaa
=

=
.
15, Chng minh r-ng ta có t l thc
d
c
b
a
=
nu có 1 trong các ng thc sau:
a,
dc
dc
ba
ba
−
+
=
−
+
.
b, ))(())(( dcbadcbadcbadcb
−
−
+
−
+
−
=
−
−

−
+
+
.
16, Cho t l thc:
)0( ≠
−
−
+
−
=
−
+
+
+
b
c
b
a
cba
c
b
a
cba
. Chng minh r-ng: c = 0.

Dng 6: Tính giá tr biu thc
Bài 1: Bit 4
,,,
===

c
c
b
b
a
a
. Tính
,,,
2
3
23
c
b
a
cba
+
−
+
−
và
,,,
c
b
a
cba
+
+
+
+
.

Gii:
Có: 4
2
3
23
2
2
3
3
,,,,,,,,
=
+
−
+
−
=====
c
b
a
cba
c
c
b
b
c
c
b
b
a
a

.
Có: 4
,,,,,,
=
+
+
+
+
===
c
b
a
cba
c
c
b
b
a
a
.

Bài 2: Cho P
zyx
zyx
32
32
+−
−
+
= . Tính giá tr ca P bit các s x,y,z t l vi các s 5, 4, 3.

Gii:
Theo bài ra ta có:
.
3
2
6
4
32
32
6
32
4
32
985
32
985
32
9
3
8
2
343
==
+−
−+
=
+
−
=
−

+
=
+−
+
−
=
−+
−
+
=====
zyx
zyx
P
zyxzyxzyxzyxzyzyx

Vy: .
3
2
=P

Bài 3: Cho dãy t s b-ng nhau:
.
22222
d
dcba
c
dcba
b
dcba
a

dcba
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
Tính giá tr biu thc M,
bit: .
cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
M
+
+
+

+
+
+
+
+
+
+
+
=
Gii:
M)i t s ã cho u bt i 1 ta c:
.
2
1
2
1
2
1
22
1
2
d
dcba
c
dcba
b
dcba
a
dcba
d

dcba
c
dcba
b
dcba
a
dcba
+++
=
+++
=
+++
=
+++

−
+
+
+
=−
+
+
+
=−
+
+
+
=−
+
+

+

+ Nu 0
≠
+
+
+
dcba thì dcba
=
=
=
lúc ó: .41111
=
+
+
+

Trng THCS Trn Quc Ton P. Giáo dc TP: H long



 tài toán 7 18 ng Th Thanh Hng
+ Nu
0
=
+
+
+
dcba
thì

)();();();( cbadbadcadcbdcba
+
−
=
+
+
−
=
+
+
−
=
+
+
−
=
+
. lúc ó:
.4)1()1()1()1(
=
−
+
−
+
−
+
−
=
M

Bài 4: Cho 4 s:
dcba ,,,
sao cho
0
≠
+
+
+
dcba
.
Bit:
k
d
cba
c
dba
b
adc
a
dcb
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=

+
+
Tính giá tr ca .k
Gii:
Cng thêm 1 vào m)i t s ã cho ta c:
.
111
d
dcba
c
dcba
b
dcba
a
dcba
d
cba
c
dba
b
adc
a
dcb
+++
=
+++
=
+++
=
+++


+
+
+
=+
+
+
=+
+
+
=
+
+

vì
0
≠
+
+
+
dcba
nên
.3
3
=====
a
a
kdcba

Bài 5: Cho 3 s CBA ,, t l vi 3 s cba ,., . Chng minh r-ng giá tr ca biu thc
cbyax
CByAx
Q
++
+
+
= không ph thuc vào giá tr ca
.
,
y
x

Gii:
Ta có:
.;; kcCkbBkaA
c
C
b
B
a
A
=====

Vy: k
cbyax
cbyaxk
cbyax
kckbykax
Q =

++
+
+
=
++
+
+
=
)(

Giá tr này ca Q không ph thuc vào
.
,
y
x


Bài tp ng dng:
Cho .
a
d
d
c
c
b
b
a
=== trong ó
.0
≠

+
+
+
dcba
Tính giá tr ca biu thc:
.
2222
c
b
ad
b
a
dc
a
d
cb
d
c
ba
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−

II. "I L#$NG T L THU%N:
* Lý thuyt:
1. nh ngha:
Nu hai i lng y và x liên h vi nhau bi công thc y = kx vi k là h-ng s khác
0 thì y t l thun vi x theo h s t l k.
2. Tính cht: Nu y t l thun vi x theo h s t l k thì: k
x
y
x
y
x
y
n
n
====
2
2
1
1
.
* Bài tp:
Bài 1: Cho bit x, y là i lng t l thun, x
1
và x
2
là giá tr khác nhau ca x, y
1
và

y
2
là 2 giá tr tng ng ca y.
a, Tính x
1
bit y
1
= - 3; y
2
= - 2; x
2
= 5.
b, Tính x
2
, y
2
bit x
2
+ y
2
= 10; x
1
= 2; y
1
= 3.

Trng THCS Trn Quc Ton P. Giáo dc TP: H long




 tài toán 7 19 ng Th Thanh Hng
Gii:
a, Vì x và y là 2 i lng t l thun nên ta có:
2
1
2
1
y
y
x
x
=
.
Hay .5,7
2
15
2
)3(5
2
3
5
1
1
==
−
−
=
−
−
= x

x

b, Vì x, y là 2 i lng t l thun nên ta có:
2
1
10
32
22
11
2
1
2
1
=
+
=
+
+
==
yx
yx
y
y
x
x
. hay .6;4
2
132
22
22

==== yx
yx


Bài 2: ba lít nc bin cha 105 g mui. Hi 150 lít nc bin cha bao nhiêu Kg
mui ?
Gii:
Gi x là s Kg mui cha trong 150 lít nc bin. Vì lng nc bin và lng
mui cha trong nc bin t l thun vi nhau, nên theo tính cht ca i lng t
l thun, ta có: ).(5250
3
150.105
33
105
105
gx
x
===
Vy 150 lít nc bin ch 5250 g hay 5,25 Kg mui.

Bài 3: Chia s 480 thành 3 phn:
a, T l thun vi các s 2, 3, 5.
b, T l thun vi các s
.3,0;
4
1
;
5
1

Gii:
a, Gi
.
,
,
z
y
x
là 3 s theo th t t l thun vi .5,3,2
Ta có: .5:3:2::
=
zyx và .480
=
+
+
zyx Hay:
5
3
2
zyx
==
và .480
=
+
+
zyx
T ây ta tìm c: .240;144;96
=
=
=

zyx Ta có: .
20
6
3,0;
20
5
4
1
;
20
4
5
1
===
Gi cba ,, là 3 s t l thun vi .3,0;
3
1
;
5
1
Ta có:
20
6
20
5
20
4
cba
==
và .480

=
+
+
cba
T ây ta tìm c:
.192;160;128
=
=
=
cba


Bài 4: Mt xe ti chy t A n B mt 6 gi!, trong khi ó mt xe con chy t B n
A ch mt 3 gi!. Nu hai xe ó khi hành cùng mt lúc thì sau bao lâu s+ g(p nhau
?
Gii:
Gi quãng !ng xe ti và xe con ã i cho n khi g(p nhau ln lt là S
1
và
S
2
, Vn tc ca chúng theo th t là V
1
,V
2
.
Trong cùng th!i gian, quãng !ng i c t l thun vi vn tc nên:
t
V
S

V
S
==
2
1
2
1
( t chính là th!i gian cn tìm ).
Coi quãng !ng AB là n v quy c thì:
.
3
1
;
6
1
;1
2121
===+ VVSS

Trng THCS Trn Quc Ton P. Giáo dc TP: H long



 tài toán 7 20 ng Th Thanh Hng
Do ó:
.2
6
3
1
3

1
6
1
3
1
6
1
2121
==
+
+
===
SSSS
t

Vy sau khi khi hành 2 gi! thì hai xe g(p nhau.

Bài 5: Mc nc sinh hot nhà bn Thu c thng kê theo bng sau:

Th!i im Cui tháng 6 Cui tháng 7 Cui tháng 8 Cui tháng 9
Ch s ng h o
nc
204 220 237 250

Bit t"ng s tin nc mà nhà bn Thu phi tr trong quý 3 là 92.000 ng. Tính
tin nc nhà bn Thu phi tr trong tháng 6, 7, 8, 9 ?
Gii:
S mét khi nc mà nhà bn Thu ã dùng trong tháng 7, 8, 9 là:
220 – 204 = 16 m
3

.
237 – 220 = 17 m
3
.
250 – 237 = 13 m
3
.
Gi s tin nc trong các tháng 7, 8, 9 là: x, y, z. Ta phi chia 92.000 ng thành
ba phn t l thun vi 16, 17 và 18.
Ta có: 000.2
46
000.92
13
17
16
13
17
16
==
+
+
+
+
===
zyxzyx
.
Suy ra:
000.2613.2000
000.3417.2000
000.3216.2000

==
==
=
=
z
y
x

Vy s tin nc trong các tháng 7, 8, 9 ln lt là 32.000 ng; 34.000
ng; 26.000 ng.

Bài 6: Mt i thu li có 10 ng!i làm trong 8 ngày ào c 200m
3
t. Mt
i khác có 12 ng!i làm t"ng trong 7 ngày thì ào c bao nhiêu mét khi t
( gi thit n/ng xut m)i ng!i u nh nhau ).
Gii:
10 ng!i làm trong 8 ngày c 10.8 = 80 ( công ).
12 ng!i ào trong 7 ngày c 12.7 = 84 ( công ).
Gi s t mà 12 ng!i ào trong 7 ngày là x ( m
3
).
Vi n/ng sut không "i thì s t ào c t l thun vi s ngày công. Do ó:
.210
80
200.84200
84
80
==
x

Vy 12 ng!i làm trong 7 ngày c 210 m
3
t.

Bài 7: Hai b nc hình hp ch nht có din tích áy b-ng nhau. Bit hiu th
tích nc trong hai b là 1,8 m
3
, hiu chiu sao nc trong hai b là 0,6 m. Tính
din tích áy m)i b ?
Gii:
Gi V
1
, V
2
là th tích trong hai b, h
1
, h
2
là chiu cao nc trong hai b ó.
Khi din tích áy nh nhau thì th tích và chiu cao t l thun vi nhau, do ó:
Trng THCS Trn Quc Ton P. Giáo dc TP: H long



 tài toán 7 21 ng Th Thanh Hng
S
h
V
h

V
==
2
2
1
1
( S là din tích áy b ).
3
21
21
3
6,0
8,1
m
hh
VV
S ==
−
−
= .
Vy din tích áy b là 3 ( m
3
).

Bài 8: Vn tc riêng ca Ca nô là 21 Km/h, vn tcchy ca dòng sông là 3 Km/h.
Hi vi th!i gian  ca nô chy ngc dòng c 30 Km thì Ca nô chy xuôi
dòng c bao nhiêu Km ?
Gii:
Vn tc ca Ca nô khi xuôi dòng là: 21 + 3 = 24 ( Km ).
Vn tc Ca nô khi ngc dòng là: 21 - 3 =18 ( Km ).

Trong cùng mt th!i gian thì quãng !ng và vn tc t l thun vi nhau, theo
bài ra ta có:

.40
30
24
18
== x
x

Vy Ca nô xuôi dòng c 40 Km.

Bài tp vn dng:
1. Tìm 3 ch s bit r-ng s ó là bi ca 18 và các ch s ca nó t l theo 1:2:3.
2. Hai ng!i i xe máy khi hành cùng mt lúc t A và B cách nhau 11 Km 
n C ( 3 im A, B, C cùng  trên 1 !ng thng ). Vn tc ca ng!i i t A là
20 Km/h, ca ng!i B là 24 Km/h. Tính quãng !ng m)i ng!i ã i, bit r-ng
h n C cùng mt lúc ?
3. Chia s 210 thành 4 phn sao cho phn th nht và phn th 2 t l vi 2 và 3,
phn th 2 và phn th 3 t l vi 4và5, phn th 3 và phn th t t l vi 6và 7.
4. Nu
4
1
ca 20 là 4 thì
3
1
ca 10 s+ là bao nhiêu ?
5. Dùng 8 máy thì tiêu th ht 70 lít x/ng. Hi dùng 12 máy ( cùng loi ) thì s
x/ng thiêu th ht bao nhiêu ?
6. C 100 kg thóc thì cho 60 kg go. Hi 3 thùng thóc thì cho bao nhiêu kg go

bit r-ng m)i thùng thóc có 150 kg thóc.
7. Tìm 3 s a, b, c bit r-ng chúng t l vi 3, 5, 7 và b – a = 10.
8. Ba lp 7A, 7B, 7C c giao ch/m sóc v!n cây ca tr!ng có din tích là 95 m
2
.
Din tích nhn ch/m sóc t l vi s hc sinh ca lp, bitb t s hc sinh ca lp
7A, 7B là 4:3, t s hc sinh lp 7B, 7C là 6:5. Tính din tích v!n m)i lp ch/m
sóc ?
9. D&ng i n tr!ng vi vn tc b-ng .
4
3
vn tc ca Tun và th!i gian b-ng
7
8

th!i gian ca Tun i n tr!ng. bit r-ng !ng t nhà D&ng n tr!ng ngn
hn !ng nhà Tun n tr!ng là 200 m. Tính quãng !ng t nhà m)i ng!i
n tr!ng ?
10. Chia s 552 thành 3 phn, T l thun vi 3:4:5.
Trng THCS Trn Quc Ton P. Giáo dc TP: H long



 tài toán 7 22 ng Th Thanh Hng
11. Ba công nhân c thng 120.000 ng. mc tin thng c chia theo
mc sn xut ca m)i ng!i. Bit r-ng mc sn xut ca ba công nhân t l thun
vi 3:5:7.
13. Bit  dài tng ng ca ba cnh hình tam giác là 3:5:7. Tính  dài ca m)i
cnh ? Bit r-ng cnh nh nht ngn hn cnh ln nht là 8 m.
14. $ng bch là hp kim ca Ni ken, K+m, $ng vi m)i loi t l thun vi

3:4:13. Hi cn bao nhiêu cân Niken, K+m, $ng  sn xut c 240 Kg $ng
bch ?
15. T"ng s tin phi tr ca ba h s* dng in trong mt tháng là 550.000 ng.
Bit r-ng s tin tiêu th in n/ng này ca ba h t l thun vi 5:7:8. Tính s
tin phi tr ca m)i h ?
16. Chu vi ca mt hình ch nht là 64 m. Tính  dài m)i cnh bit r-ng chúng
t l vi 3 và 5 ?
17. Bit  dài ba cnh ca mt hình tam giác t l vi 3:4:5. Tính  dài m)i
cnh ca tam giác ó, bit r-ng cnh ln nht dài hn cnh nh nht là 6 m ?
18. Tam giác ABC có s o các góc A, B, C t l vi 3:5:7> Tính s o các góc
ca tam giác ABC ó ?
19. Ba t" hc sinh trng c 179 cây xung quanh v!n tr!ng. S cây t" 1 trng
so vi s cây t" 2 b-ng 6:11 và so vi t" 3 là 7:10. Hi s cây m)i t" á trng ?
20. Mt tr/m ba mi hc sinh lp 7A, 7B, 7C ca mt tr!ng cùng tham gia
trng cây, m)i hc sinh lp 7A, 7B, 7C theo th t trng c 2, 3, 4 cây. Hi
m)i lp có bao nhiêu hc sinh tham gia trng cây ? Bit s cây ba lp trng b-ng
nhau.
21. Trên quãng !ng AB dài 31,5 Km, Nam i t A n B và Bc i t B n A,
vn tc ca Nam so vi Bc là 2:3, n lúc gh(p nhau th!i gian ca Nam so vi
Bc ã i là 3:4. Tính quãng !ng ca m)i ng!i ã i n lúc g(p nhau ?
22. Mt s M c chia làm 3 phn sao cho phn th nht và phn th hai t l
vi nhau là 5 và 6, phn th 2 t l vi phn th 3 là 8 và 9. Bit phn th 3 hn
phn th 2 là 150. Tìm s M ?
23. Mt Ôtô chy t A n B vi vn tc là 65 Km/h, cùng lúc ó có mt xe máy
chy t B n A vi vn tc là 40 Km/h. Bit khong cách t A B là 540 Km và
M là trung im ca AB. Hi sau th!i gian bao lâu thì Ôtô cách M mt khong
b-ng
2
1
khong cách t xe máy n M ?

III. "I L#$NG T L NGH&CH
* Lý thuyt
1. nh ngha:
Nu i lng y và x liên h vi nhau bi công thc
x
a
y = vi a là mt h-ng s
khác 0 thì y t l nghch vi x theo mt h s t l là a.
2. Tính cht: Nu y t l nghch vi x theo h s t l là a thì:

.

1
2
2
1
2211
y
y
x
x
ayxyxyx
nn
=
=
=
=
=

Trng THCS Trn Quc Ton P. Giáo dc TP: H long



 tài toán 7 23 ng Th Thanh Hng
* Bài tp
Bài 1: Cho hai i lng t l nghch là x và y; ( x
1
, x
2
) là hai giá tr bt k0 ca x;
(y
1
, y
2
) là hai giá tr bt k0 ca y.
a, Tính
21
, yx
bit
.2,3;2622
2121
==−=+ xxyy

b, Tính
21
, yx
bit
.10;4;3233
1221

−
=
−
=
=
+
yxyx

Gii:
a, x, y là 2 i lng t l nghch, ta có:
.6,2
10
26
32
32
3
2
2
22
12
21
1
2
2
1
1
1
1
2
2

1
1
2
2
1
−=−=
+
+
======
xx
yy
x
y
x
y
x
y
y
x
x
y
x
x
y
y

Vy: .8,73.6,2.6,2
21
−
=

−
=
−
=
xy
b, T:
.4
8
32
23
23
2
2
3
3
12
21
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
==

+
−
=====
xx
yx
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x

vy:
.40)10.(44
.16)4.(4.4
12
21
−=−==
−
=
−
=
=
yy

xx


Bài 2: Ba i máy cày, cày trên ba cánh ng nh nhau. $i th nht hoàn thành
công vic trong 4 ngày, i th 2 hoàn thành trong 6 ngày và i th 3 hoàn thành
trong 8 ngày. Hi m)i i có bao nhiêu máy cày, bit i th nht có nhiu hn
i th 2 là 2 máy cày và công sut ca các máy là nh nhau ?
Gii:
Gi
.
,
,
x
y
x
ln lt là s máy ca i th nht, th 2 và th 3. ),,(
+
∈ Zxyx .
thì
.2
=
−
yx
.
Cày cùng mt din tích nh nhau và công sut ca các máy không thay "i thì s
máy và s ngày làm vic là 2 i lng t l nghch, ta có: .864 zyx
=
=

Hay

24
12
1
2
6
1
4
1
8
1
6
1
4
1
==
−
−
===
yxzyx
.T ó suy ra: .3,4,6
=
=
=
zyx

Bài 3: Ba n v cùng góp vn xây d ng chung mt chic cu ht 340 triu ng.
$n v th nht có 8 xe và  cách cu 1,5 Km. $n v th 2 có 6 xe và  cách cu
3 Km. $n v th 3 có 4 xe và  cách cu 1 Km. Hi m)i n v phi tr ht bao
nhiêu t vic xây d ng cu bit r-ng s tin m)i ng v phi tr t l thun vi
s xe và t l nghch vikhong cách ca m)i n v n ni xây cu.

Gii:
Gi x, y, z là s tin mà m)i n v phi tr cho vic xây d ng cu ( tính ra triu
ng ) thì x + y +z = 340 triu.
Vì s tin t l thun vi s xe và t l nghch vi khong cách ca m)i n v
n ni xây d ng cu nên: .4:6:8;8::
=
=
zzyx
và:
.30
3
34
340
4
3
6
3
16
1:
3
1
:
3
2
:: =====
zyx
zyx
T ây ta tìm
c: .120;60;160
=

=
=
zyx


Trng THCS Trn Quc Ton P. Giáo dc TP: H long



 tài toán 7 24 ng Th Thanh Hng
Bài 4: Trên mt công tr!ng do ci tin k# tht nên n/ng sut lao ng ca công
nhân t/ng 25%. Hi nu s công nhân không thay "i thì th!i gian làm vic gim
bao nhiêu phn tr/m ?
Gii:
Gi t
1
là th!i gian hoàn thành công vic vi n/ng sut lao ng 100%.
t
2
là th!i gian hoàn thành công vic vi n/ng sut lao ng 125%.
Vì s công nhân không "i nênth!i gian hoàn thành công vic và n/ng sut lao
ng luôn là hai i lng t l nghch ta có:
%.80
5
4
1255
100
1
2
===

t
t

Vy th!i gian hoàn thành công vic gim: 100% - 80% = 20%.

Bài 5: Hai máy bay, bay cùng t thành ph A n thành ph B. Mt máy bay, bay
ht 2 gi! 30 phút, còn máy bay kia bay ht 1 gi! 20 phút. Tính vn tc trung bình
m)i máy bay , bit c m)i phút máy bay này bay nhanh hn máy bay kia là 1 Km.
Gii:
Gi V
1
, V
2
, t
1
, t
2
ln lt là vn tc và th!i gian ca máy bay th nht và th hai
bay quãng !ng AB ( V
1
, V
2
c tính là Km/phút ).
Cùng quãng !ng AB, vn tc và th!i gian là hai i lng t l nghch. Gi s*
V
1
> V
2
thì t
1

< t
2
do ó t
1
= 2 gi! 30 phút = 150 phút, còn t
2
= gi! 20 phút = 140
phút.
Theo tính cht ca hai i lng t l nghch, ta có:
10
1
140150140150140
150
2121
1
2
2
1
=
−
−
====
VVVV
t
t
V
V
Vy: V
1
= 150 phút; V

2
= 140 phút.

Bài 6: Mt s A c chia thành 3 phn t l nghch vi 5:2:4. bit t"ng các lp
phng ca 3 phn ó là 9512. Háy tìm A ?
Gii:
Gi 3 phn là x, y, z. Ta có: .5:10:4
4
1
:
2
1
5
1
:: =+=zyx
Hay:
.8
1189
9512
125
1000
64
125
1000
64
5
10
4
333333
3

==
+
+
++
======
zyxzyx
Kk
zyx

Do ó: .2
=
k
Vy: .3819.22
15
10
4
==++=
+
+
+
+
zyx
zyx


Bài 7: Mt Ôtô chy t A n B trong mt th!i gian nht nh.
Nu xe chy vi vn tc 54 Km/h thì n ni sm hn 1 gi!. nu xe chy vi vn
tc 63 Km/h thì n ni sm hn 2 gi!. Tính quãng !ng AB và th!i gian d
nh i ?
Gii:

Gi t
1
là th!i gian xe chy t A n B vi vn tc 54 Km/h.
Gi t
2
là th!i gian xe chy t A n B vi vn tc 63 Km/h.
Vy t
1
– t
2
= 1.
Vi cùng quãng !ng AB thì vn tc và th!i gian t l nghch vi nhau, do ó:
Trng THCS Trn Quc Ton P. Giáo dc TP: H long



 tài toán 7 25 ng Th Thanh Hng
.
9
1
54635463
54
212
1
2
=
−
−
==
ttt

t
t

Vy: .763.
9
1
1
==t
Quãng !ng AB dài: 54.7 = 378 Km.
Th!i gian d nh i là: 7+1 = 8 gi!.

Bài tp vn dng:
1. Vi th!i gian  mt th lành ngh làm c 11 sn ph1m thì ng! th hc
vic ch làm c 7 sn ph1m. Hi ng!i th hc vic phi dùng bao nhiêu th!i
gian  hoàn thành mt khi lng công vic mà ng!i th lành ngh làm trong
56 gi! ?
2. $ làm mt công vic trong 8 gi! cn 30 công nhân. Nu s công nhân t/ng lên
10 ng!i thì th!i gian hoàn thành công vic gim c my gi! ?
3. $ (t mt on !ng phi mt 480 thanh ray dài 8m> Nu c thay b-ng
nhng thanh ray dài 12M thì cn bao nhiêu thanh ?
4. Hai xe Ôtô i t A n B , vn tc ca xe th nht là 60 Km/h và xe th hai là
40 Km/h. Th!i gian xe th nhât i ít hn xe th hai là 30 phút. Tính th!i gian i
ca m)i xe và chiu dài quãng !ng AB ?
5. Mt Ôtô i t A n B, xe khi hành lúc 7 gi! vi vn tc 50 Km/h. $n B xe
ngh 1 gi! 30 phút ri tr v A vi vn tc 60 Km/h. xe v n A lúc 14 gi!. Tính
quãng !ng AB ?
6. Tâm i t nhà n tr!ng ht 15 phút và t tr!ng v nhà ht 20 phút. Bit vn
tc lúc i nhiu hn lúc v là 20m/phút. Tính chiu dài quãng !ng t nhà n
tr!ng ?
7. Chia s 315 thành 3 phn t l nghich 3, 5, 6.

8. Cho x, y là hai i lng t l nghch và x
1
, x
2
là hai i lng bt k0 ca x; y
1
,
y
2
là hai giá tr tng ng ca y.
a, Bit x
1
y
1
= - 45 và x
2
= 9 Tính y
2
?
b, Bit x
1
= 2, x
2
= 4 và y
1
+ y
2
= 12 Tính y
1
, y

2
?
c, Bit X
2
= 3; x
1
+ y
2
= 18 và y
1
= 12 Tính x
1
, y
2
?
9. Cho bit 36 xã viên ca mt hp tác xã nông nghip ào mt on mng .n
nc trong vòng 12 ngày. Hi phi t/ng bao nhiêu xá viên na  có th ào xong
on mng ó trong vòng 8 ngày ( n/ng sut ca các xã viên ó nh nhau ) ?
10. $,a ca 1 chic xe p có 48 r/ng, " líp có 16 r/ng, nu  d,a quay c 30
vòng, 45 vòng thì " líp quay c bao nhiêu vòng ?
11. Vi cùng mt s tin  mua 41 hp bút chì loi 1 có th mua c bao nhiêu
hp bút chì loi 2. bit r-ng giá tin mt hp bút chì lo 2 b-ng 80% giá tin hp
bút chì lo mt ?
12. Hai bánh xe ni vi nhau bi mt si dây t!i, bánh xe ln có bán kính là18
Cm, bánh nh có bán kính là 12 Cm. Vn tc quay ca bánh ln là 40 vòng/ phút.
Hi vn tc quay ca bánh nh là bao nhiêu vòng/ phút ?
13. Hai xe Ôtô i t A n B, bit vn tc ca Ôtô th nht b-ng 60% ca Ôtô th
hai và th!i giân xe th nht i t A n B nhiu hn th!i gian xe Ôtô th hai i t
A n B là 4 gi!> Tính th!i gian m)i xe i t A n B ?