Chuyên đề Phương trình hệ phương trình và bất phương trình

Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
- 0907894460 Trang 1
1.
2
4 2x x x 2   

2.
x 4 1 x 1 2x    

3.
2
x 4x 5 3x 17   

4.
2
3x 19x 20 4x 4   

5.
x 12 2x 1 x 3    

PHN I

PHNG TRÌNH ậ BT PHNG TRÌNH




2
B0
AB
AB








B0
AB
AB








B0
AB
AB







2
B0

A B A 0
AB



  






2
A0
B0
AB
B0
AB



















TNG QUÁT
:
i vi nhng nhng phng trình, bt phng
trình không có dng chun nh trên, ta thc hin:
- t điu kin cho cn thc có ngha,
- Chuyn v sao cho 2 v đu không âm,
- Bình phng c hai v đ kh cn.
VÍ D - BÀI TP
Ví d 1: Gii các phng trình, bt phng trình sau:








1.
2
4 2x x x 2   

 
2
2

2
x 2 0
4 2x x x 2
x2
x2
x3
x 0 x 3
x 3x 0





   






   

  




Vy:
x3

2.
x 4 1 x 1 2x    

x 4 1 x 1 2x     

iu kin
:
x 4 0
1
1 x 0 4 x
2
1 2x 0



     





2
x 4 2 3x 2 2x 3x 1      

2
2x 1 2x 3x 1    

22
2x 1 0

(2x 1) 2x 3x 1




   


22
2x 1 0
4x 4x 1 2x 3x 1




    


2
1
x
2
2x 7x 0









1
x
2
x0
7
x 0 x
2




  


   



So điu kin nhn
x0

Vy:
x0


3.
2
x 4x 5 3x 17   

2
22
2
x 4x 5 0
3x 17 0
x 4x 5 (3x 17)
x 1 x 5 x 1 x 5
17 17
xx
33
21
8x 98x 294 0
x x 7
4
x7

  

  


   



       





   



  

  




Vy:
x7


4.
2
3x 19x 20 4x 4   

2 2 2
4x 4 0 4x 4 0
3x 19x 20 0 3x 19x 20 (4x 4)
   



      

2
x1

x1
4
x 5 x
13x 51x 4 0
3







    
  




x1
4
x 5 x 1
1
3
x4
13



       


  



4
x 5 x 1 1 x 4
3
         

Vy:
4
x 5 x 1 1 x 4
3
        


5.
x 12 2x 1 x 3    

x 12 x 3 2x 1     
(*)
CÁC DNG C BN
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
- 0907894460 Trang 2
iu kin:
x 12 0
x 3 0 x 3
2x 1 0




   





(*)
x 12 x 3 2x 1     


2
2
x 12 x 3 2x 1 2 (x 3)(2x 1)
14 2x 2 (x 3)(2x 1)
(x 3)(2x 1) 7 x
(x 3)(2x 1) 0
7 x 0
(x 3)(2x 1) 49 14x x
1
x x 3
2
x7
x 9x 52 0
1
x x 3
2
1

x 7 x 3 x 4
2
x 4 x 13
        
    
    

  

  


    


   





  



   


       



  



So điu kin
3 x 4
.
Vy:
3 x 4


Ví d 2: Gii các phng trình, bt phng trình sau:














1.
6
3 x 9 5x

3x
   

(1)
iu kin:
3 x 0
9
x
9 5x 0
5







(1)
2
9 x 5x 24x 27    

22
9 x 0
81 18x x 5x 24x 27




    


2
x9
4x 6x 54 0
x9
9
x x 3
9
2
x x 3
2




  




     

   



So điu kin nhn
x3

Vy:

x3


2.
2
x 16 5
x3
x 3 x 3

  

(2)
iu kin
:
2
x 4 x 4
x 16 0
x4
x3
x 3 0
   



  






Do
x 3 0
nên quy đng b mu ta đc:
(2)
2
x 16 8 x   

2
22
x 16 0
8 x 0
8 x 0
x 16 (8 x)















  




x 4 x 4
x8
x8
16x 80

   
















x8
x5
5x8



  




So điu kin nhn
x5

Vy:
x5


3.
2
(x 1) 16x 17 8x 15x 23    
(3)
iu kin
:
17
16x 17 0 x
16
    

(3)
 
(x 1) 16x 17 (x 1) 8x 23     

 
(x 1) 16x 17 8x 23 0     

x1
16x 17 8x 23




  


2
x1
8x 23 0
16x 17 64x 368x 529









   



x1
x1
23
x

x4
8
x 2 x 4

















  



So điu kin nhn
x1
hoc
x4

Vy:

x1

hoc
x4

1.
6
3 x 9 5x
3x
   


2.
2
x 16 5
x3
x 3 x 3

  


3.
2
(x 1) 16x 17 8x 15x 23    

4.
22
(x 3) x 4 x 9   

5.

22
2x 8x 6 x 1 2x 2     

6.
2
51 2x x
1
1x




www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
- 0907894460 Trang 3
4.
22
(x 3) x 4 x 9   
(4)
iu kin
:
2
x 4 0 x 2 x 2      

(4)


2
(x 3) x 4 x 3 0     

(*)
Do ta cha bit du ca
(x 3)
nên ta chia làm 3
trng hp:
 Trng hp 1:
x3

(*)
2
x 4 x 3   

2
22
x 3 0
x 4 0
x 3 0
x 4 x 6x 9
x3
x 2 x 2
x3
6x 13
x3
13
x
13
6
3x
6
















   







   
















   

   


 Trng hp 2:
x3
tha (*)
 Trng hp 3:
x3

(*)
2
x 4 x 3   

2
x 4 x 3   

2
22
x 4 0
x 3 0

x 4 x 6x 9



  


   


x 2 x 2
x3
6x 13
   


  





x2
x 2 x 3
13
x
6




    





Vy:
13
x
6


hoc
x3


5.
22
2x 8x 6 x 1 2x 2     
(5)
iu kin
:
2
2
2x 8x 6 0
x 1 0 x 1 x 1
2x 2 0

  


      





 Trng hp 1:
x1
tha (5).
 Trng hp 2:
x1

(5)
 
2
(x 1)(2x 6) (x 1)(x 1) 2 x 1       

 
2
2
2x 6 x 1 2 x 1
2x 6 x 1 2 (2x 6)(x 1) 4(x 1)
2 (2x 6)(x 1) x 1 x 1
4(2x 6)(x 1) (x 1)
7x 18x 25 0
x1
x1
25
x
7

     
        
     
    
   



  





Vy:
x1
hoc
x1



6.
2
51 2x x
1
1x



(6)

iu kin
:
2
51 2x x 0
1 2 13 x 1 2 3
1 x 0
x1


  
     









Do ta cha bit du ca
(1 x)
nên ta chia làm 2
trng hp.
 Trng hp 1:
1 x 0 x 1   

(6)
2
51 2x x 1 x    

2
22
1 x 0
51 2x x 0
51 2x x (1 x)



   


   


x1
1 2 13 x 1 2 13
x 5 x 5



      


   


1 2 13 x 5     

 Trng hp 2:

1 x 0 x 1   

(6)
2
51 2x x 1 x    

2
1 x 0
51 2x x 0




  


x1
1 2 13 x 1 2 13





     



1 x 1 2 13    

Vy:

1 2 13 x 5    
hoc
1 x 1 2 13   






www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
- 0907894460 Trang 4
Ví d 3: Gii các phng trình, bt phng trình sau:






1.
x 3 2 x 4 x 2 x 1 1      

   
22
x 4 2 x 4 1 x 1 2 x 1 1 1
x 4 1 x 1 1 1
x 4 1 x 1 1 1 (1)
          
      

      

iu kin:
x 4 0
x4
x 1 0







(1)
x 4 1 x 1 1 1      

x 4 1 2 x 1
2 x 1 0
x 4 1 2 x 1
x 4 1 2 x 1
x5
VN do x 5 x 4 1
x 1 1 x 4
x5
x 1 1 x 4 2 x 4
x5
x5
x5
x5
x 4 1

     

  




    



     









   



   









     







   







Vy:
x5


2.
x 14x 49 x 14x 49 14     

14x 14 14x 49 14x 14 14x 49 14      
22
( 14x 49 7) ( 14x 49 7) 14      

14x 49 7 14x 49 7 14      
(2)
iu kin
:
49
14x 49 0 x
14
   

(2) t
t 14x 49 7 14x 49 t 7      

Phng trình tr thành:

t 7 7 t 14   

t t t 0    

14x 49 7 0
14x 49 7
7
14x 49 0
x
7
x7
2
14x 98
2
x7

   
  





    







Vy:
7
x7
2



3.
3
x 2 x 1 x 2 x 1
2
     

3
x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 1 1

2
          

   
22
3
x 1 1 x 1 1
2
      

3
x 1 1 x 1 1
2
      

3
x 1 1 x 1 1
2
      
(3)
iu kin
:
x 1 0 x 1   

(3)
1
x 1 1 x 1
2
     

1
x 1 1 x 1
2
1
x 1 1 x 1 (*)
2

    




     



(*) luôn đúng nên h đúng vi mi x tha điu kin.
Vy:
x1

Chú ý
: CÁC DNG PHNG TRỊNH – BT
PHNG TRỊNH CHA DU TR TUYT I

AB
AB
AB








B0
AB
AB
AB














A B (A B)(A B) 0    


AB
AB
AB








AB
AB
AB
















1.
x 3 2 x 4 x 2 x 1 1      

2.
x 14x 49 x 14x 49 14     

3.
3
x 2 x 1 x 2 x 1
2
     

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
- 0907894460 Trang 5



33
3
A B C

 
33
3
A B 3 A.B A B C    

Thay
33
3
A B C
ta đc:

3
A B 3 A.B.C C   


f(x) g(x) h(x) k(x)  

Mà có:
f(x) h(x) g(x) k(x)
f(x).h(x) g(x).k(x)
  





 Bin đi phng trình v dng:
f(x) h(x) k(x) g(x)



Bình phng, gii phng trình h qu

VÍ D VÀ BÀI TP
Ví d 1: Gii phng trình sau:



w

1.
33
3
x 1 x 2 x 3 0     

 
 
 
33
3
3
33
3 3 3 3
x 1 x 2 x 3
x 1 x 2 x 3
2x 3 3 x 1 x 2 x 1 x 2 x 3
      
      
          

Ta thay
33
3
x 1 x 2 x 3     

3
3
2
3 (x 1)(x 2)(x 3) 3(x 2)
(x 1)(x 2)(x 3) (x 2)

(x 2) (x 1)(x 3) (x 2) 0
(x 2)( 1) 0
x2
       
     

      

   


Th li nhn
x2

Vy:
x2


Nhn xét
:
 Khi thay
33
3
x 1 x 2 x 3     
ta ch nhn
đc phng trình h qu do phng trình đu cha
bit có nghim hay không?
 BƠi toán cng có th gii:
 
33

3
3 3 3 3
x 1 x 2 x 3
2x 3 3 x 1 x 2 x 1 x 2 x 3

     



         



2.
x 3 3x 1 2 x 2x 2     
(2)
iu kin
:
x 3 0
3x 1 0
x0
x0
2x 2 0














(2)

3x 1 2x 2 4x x 3 (*)      

22
2
5x 3 2 (3x 1)(2x 2) 5x 3 2 4x(x 3)
(3x 1)(2x 2) 4x(x 3)
6x 8x 2 4x 12x
2x 4x 2 0
x1
        
    
    
   

Th li nhn
x1

Vy:
x1


Nhn xét

:
 Do ta cha xác đnh đc 2 v phng trình
(*) đu dng nên khi bình phng ta ch thu đc
phng trình h qu.
 Bài toán vn có th gii theo cách bin đi
tng đng nhng so vi cách này thì phc tp.

3.
3
2
x1
x 1 x x 1 x 3
x3

      

(3)
iu kin
:
x1


(3)
3
2
x1
x 3 x x 1 x 1
x3

       





2
3
2
2
3
2
x1
x 3 x x 1 x 1
x3
x1
x x 1
x3


       





   


2
x 1 3
x 2x 2 0

x 1 3


    





Th li nhn
x 1 3
;
x 1 3

Vy:
x 1 3
;
x 1 3


Nhn xét chung:
 Thy trng hp phng trình cn bc ba và
phng trình cha bn cn bc hai nh trên thì ta có
th ngh đn phng trình h qu.
 Nu khi gii cách phng trình  phn trc
cm thy khó khn trong vic gii các điu kin và s
“sót điu kin” thì ta cng có th gii bng phng
trinh h qu sau đó th li.

GII PHNG TRÌNH H QU

1.
33
3
x 1 x 2 x 3 0     

2.
x 3 3x 1 2 x 2x 2     

3.
3
2
x1
x 1 x x 1 x 3
x3

      


www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
- 0907894460 Trang 6



a.f(x) b f(x) c 0; a 0.   

Phng pháp
: t
t f(x), t 0


a( A B) b(A B 2 AB) c 0     

Phng pháp
: t
t A B



       
nn
22
n
22
a. A b. AB c. B 0
a.A x bB x c A x .B x
A B mA nB

  





    


Phng pháp

: Bng cách đt n ph u, v ta đa đc
v dng phng trình:
22
u uv v 0  

 B1: Th trng hp v = 0
 B2: Xét
v0
phng trình tr thành :
2
uu
0
vv
   
   
   
   

t t =
u
v
phng trình tr thành
2
t t 0  


Tham s bin thiên

VÍ D VÀ BÀI TP
Ví d 1: Gii các phng trình, bt phng trình sau:

1.
2
(x 4)(x 1) 3 x 5x 2 6     

22
22
x 5x 4 3 x 5x 2 6
x 5x 2 3 x 5x 2 0
      
      

iu kin
:
2
x 5x 2 0  

5 17 5 17
xx
22
   
   

t
2
t x 5x 2 (t 0)   

22
22
t x 5x 2
x 5x t 2
   
   

Phng trình tr thành:
2
t1
t 3t 4 0 t 4
t4


     




Vi
t4
22
x 5x 4 2   

2
x 5x 14 0 x 2;x 7       

Vy:
x2
hoc
x7


2.
22
2x 15 x 5x 6 10x    

22
2x 10x 15 x 5x 6 0      

iu kin:
2
x 5x 6 0 x 1 x 6      

t
2
t x 5x 6 (t 0)   

22
22
t x 5x 6
x 5x t 6
   
   

Bt phng trình tr thành:

2
2(t 6) 15 t 0   

2
3
t
2t t 3 0 t 1
2
t1



      




Vi
2
t 1 x 5x 6 1    

2
x 5x 6 1   

2
x 5x 7 0
5 53 5 53
xx
22
   


   

Vy:
5 53 5 53
xx
22

  


3.
22
2x 5x 2 2 2x 5x 6 1     

iu kin:
2
2x 5x 6 0  

5 73 5 73
xx
44
   
   

t
2
t 2x 5x 6 (t 0)   

2

2x 5x 2 t 8    

Phng trình tr thành:
t 8 2 t 1  

t 8 1 2 t   

 
2
t 8 1 2 t   

4 t 7 3t  
2
7 3t 0
t1
16t (7 3t)


  




Vi
2
7
t 1 2x 5x 6 1 x 1;x
2
        

Vy:
x1
hoc
7
x
2


CÁC DNG T MT N PH
1.
2
(x 4)(x 1) 3 x 5x 2 6     

2.
22
2x 15 x 5x 6 10x    

3.
22
2x 5x 2 2 2x 5x 6 1     

4.
x x 1 3
x 1 x
2




www.MATHVN.com

www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
- 0907894460 Trang 7
4.
x x 1 3
x 1 x
2




iu kin:
x
0 x 0 x 1
x1
    


t
x
t (t 0)
x1



Bt phng trình tr thành:
13
t
t
2



2
2t 3t 2 0   

1
t t 2
2
   

Vi
1
t
2

x1
x1
2



x1
0
x 1 2
  


x 0 x 1
1x1
  




  


1 x 0   

Vi
t2
x
2
x1



x
2
x1



x 2x 2
0
x1




x2

0 1 x 2
x1

    


Vy:
1 x 0  
hoc
1 x 2


 Cách khác:
x x 1 3
x 1 x
2



(*)
iu kin
:
x
0 x 0 x 1
x1
    


(*)


2
x x 1 9
x 1 x 2








22
x x 1 5
x 1 x 2
2x 2(x 1) 5x(x 1)
0
2(x 1)x

  

   



2
x x 2
0
2(x 1)x
  



1 x 0   

hoc
1 x 2



Ví d 2: Gii các phng trình sau:




1.
2
x 1 4 x x 3x 4 5       

x 1 4 x (x 1)(4 x) 5       

iu kin:
x 1 0
1 x 4
4 x 0


   




t
t x 1 4 x (t 0)    

2
2
t x 1 4 x 2 (x 1)(4 x)
t5
(x 1)(4 x)
2
       

   

Phng trình tr thành:

2
t5
t5
2



2
t3
t 2t 15 0 t 3
t5


      





2
2
25
x 3x 4
2

    

22
x0
x 3x 4 2 x 3x 0
x3


         




Vy:
x0
hoc
x3


2.
2

2x 3 x 1 3x 2 2x 5x 3 16       

iu kin
:
2
2x 3 0
x 1 0 x 1
2x 5x 3 0



    


  


t
t 2x 3 x 1 (t 0)    

22
22
t 3x 4 2 2x 5x 3
3x 2 2x 5x 3 t 4
     
     

Phng trình tr thành:
2
t t 4 16  

2
t5
t t 20 0
t 4 ( )


    



loaïi

Vi
t5
2x 3 x 1 5    

22
2
2
3x 2 2x 5x 3 5 4
2 2x 5x 3 21 3x
1 x 7
x 146x 429 0
1 x 7
x3
x 3 x 143
     
    
  




  

  

  

  


Vy:
x3

1.
2
x 1 4 x x 3x 4 5       

2.
2
2x 3 x 1 3x 2 2x 5x 3 16       
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
- 0907894460 Trang 8
Ví d 3: Gii các phng trình sau:

1.
2 2 2
3 3 3
4 (x 2) 7 (4 x ) 3 (2 x) 0     
(1)

Ta có:
2 x 0 x 2   
không là nghim phng
trình. Chia 2 v cho:
2
3
(2 x)
ta đc:
(1)
2
3
3
x 2 x 2
4 7 3 0
2 x 2 x


   




t
3
x2
t
2x



phng trình tr thành:
2
t1
4t 7t 3 0
3
t
4



   




Vi
3
x 2 x 2
t 1 1 1 x 0
2 x 2 x

      



Vi
3
3 x 2 3 x 2 27 74
tx
4 2 x 4 2 x 64 91
  
      


Vy:
x0
hoc
74
x
91




 Cách khác:
2 2 2
3 3 3
4 (x 2) 7 (4 x ) 3 (2 x) 0     

t
3
u x 2
và

3
v 2 x

Phng trình tr thành:
22
4u 7uv 3v 0  

Do
v0
không là nghim phng trình. Chia 2 v
cho
v0
ta đc:
2
2
uu
4 7 3 0
vv
  
u u 3
1
v v 4
   

Vi
u
1
v

3

x 2 x 2
1 1 x 0
2 x 2 x

     


Vi
3
u x 2 3 x 2 27 74
1x
v 2 x 4 2 x 64 91
  
      


Vy:
x0
hoc
74
x
91




2.
 
23
2 x 2 5 x 1  

(2)
iu kin:
3
x 1 0 x 1    

(2)
22
2(x x 1) 2(x 1) 5 (x 1)(x x 1)        

Do
 
2
x x 1 0  
chia hai v cho
 
2
x x 1
:
22
x 1 x 1
2 2 5
x x 1 x x 1

  
   

t
2
x1
t (t 0)

x x 1




Phng trình tr thành:
2
t2
2t 5t 2 0
1
t
2



   




Vi
22
x 1 x 1
t 2 2 4 (VN)
x x 1 x x 1

    
   

Vi

22
1 x 1 1 x 1 1
t
2 x x 1 2 x x 1 4

    
   

5 37
x
2



Vy:
5 37
x
2



Nhn xét
:
 Khó khn ca ta là trong vic phân tích:
 
22
2 x 2 2(x x 1) 2(x 1)     
.
 Vic này có th thc hin d dàng do:
32

x 1 (x 1)(x x 1)    

 Bng cách đng nht h s:
 
2 2 2
(x x 1) (x 1)2 x 2 2(x 2)       

ta d dàng chn

và

.
 Mt s khai trin đa thc thành nhân t:

 
 
32
x 1 x 1 x x 1    


 
4 2 4 2 2
x x 1 x 2x 1 x     

  
22
x x 1 x x 1    


  

4 2 2
x 1 x 2x 1 x 2x 1     


  
4 2 2
4x 1 2x 2x 1 2x 2x 1     

3.
2 2 4 2
x 3 x 1 x x 1    

iu kin
:
2
x 1 0 x 1 x 1      

Ta đt:
2
ux
,
2
v x 1 (u,v 0)  
.
Phng trình tr thành :
22
u 3v u v  

2 2 2 2
u 6uv 9v u v    

2
v0
10v 6uv 0 v 0
3
vu
5



     




Vi
22
v 0 x 1 0 x 1 x 1        

Vy:
x1


1.
2 2 2
3 3 3
4 (x 2) 7 (4 x ) 3 (2 x) 0     

2.
 

23
2 x 2 5 x 1  

3.
2 2 4 2
x 3 x 1 x x 1    

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
- 0907894460 Trang 9
Ví d 4: Gii các phng trình sau:





1.
22
x 2(x 1) x x 1 x 2 0      
(1)
iu kin
:
2
x x 1 0 x    


 
22
(1) x x 1 2(x 1) x x 1 2(x 1) 1 0          

t
2
t x x 1; t 0.   
phng trình tr thành:

2
t 2(x 1)t 2x 1 0, t 0     
,
2
'x


t1
t 1 2x







Vi
2
t 1 x x 1 1 x 0; x 1.
        

Vi
2
t 1 2x x x 1 1 2x

      

22
2
1 2x 0
x x 1 (1 2x)
1
x
x0
2
3x 5x




   




  





Vy:
x0
hoc
x1

2.
 
22
x 1 x 2x 3 x 1    

 
22
x 1 x 2x 3 x 2x 3 2x 2        

iu kin
:
2
x 2x 3 0 x    

t
2
t x 2x 3  
. Phng trình tr thành:
 
2
x 1 t t 2x 2   

   
2
t2
t x 1 t 2 x 1 0
t x 1



      




Vi
2
x 1 2
t 2 x 2x 3 2
x 1 2


     





Vi
2
t x 1 x 2x 3 x 1      

22
x 1 0
(VN)
x 2x 3 x 2x 1





    


Vy:
x 1 2











Phng pháp chung
:
 t các n ph. Tìm mi liên h gia các n
ph. Kt hp vi phng trình ban đu ca bài toán
ta đc h phng trình.
 Lu ý các phng pháp gii h phng trình.
Ví d 1: Gii các phng trình sau:

1.


33
33
x 25 x x 25 x 30   

t
3
3 3 3
y 35 x x y 35    

Khi đó phng trình chuyn v h sau:
33
xy(x y) 30
x y 35






ơy lƠ h đi xng loi 1. Gii h ta tìm đc cp
nghim là
(2;3)
hoc

(3;2)

Vy:
x2
hoc
x3


2.
33
1 x 1 x 2   

t
3
3
u 1 x
v 1 x







.
Khi đó phng trình chuyn v h sau:
22
u v 2
u v 2







u v 2
uv 1







u v 1 x 0    

Vy: x = 0.

3.
3
2 x 1 x 1   

iu kin
:
x 1 0 x 1   

t
3
u 2 x
v x 1 (v 0)





  



Khi đó phng trình chuyn v h sau:
32
u + v =1
u + v =1




2
u(u u 2) 0
v 1 u

  





1.
22
x 2(x 1) x x 1 x 2 0      

2.
 
22
x 1 x 2x 3 x 1    

T N PH A V H
1.


33
33
x 25 x x 25 x 30   

2.
33
1 x 1 x 2   

3.
3
2 x 1 x 1   

4.
3
3
x 1 2 2x 1  

5.
   
22
3

2
33
3x 1 3x 1 9x 1 1
     


www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
- 0907894460 Trang 10
u0
x2
u1
x1
u2
x 10
v 1 u










  














Vy:
x2
hoc
x1
hoc
x 10


4.
3
3
x 1 2 2x 1  

t
3
3
y 2x 1 y 1 2x    
.
Khi đó phng trình chuyn v h sau:

3
3
x 1 2y
y 1 2x








3
33
x 1 2y
x y 2(y x)





  



3
22
x 1 2y
(x y)(x xy y 2) 0






    



(Do
2
2 2 2
y3
x xy y 2 x y 2 0
24

       


)
3
x 1 2y
x y 0







3

x1
x 1 2x
15
x y 0
x
2















Vy:
x1
hoc
15
x
2



5.
   
22
3
2
33
3x 1 3x 1 9x 1 1     

t:
3
u 3x 1
và
3
v 3x 1

Khi đó phng trình chuyn v h sau:
22
33
u v u.v 1
u v 2

  






u v 2 u v 2     

Do đó:
   
2
2
v 2 v v v 2 1    

 
2
2
3v 6v 3 0
3 v 1 0
v 1 u 1
   
  
    

3
3
u 3x 1 1
x0
v 3x 1 1

  

  

   



Vy:
x0




Ví d 2: Gii các phng trình sau:











1.
2
x3
2x 4x
2



Cách 1:
2
x3

2x 4x
2


(1)
iu kin
:
x3
.
(1)
2
(x 1) 2
2(x 1) 2
2

   

2
1 x 1
(x 1) 1 1
22

    
.
t
2
t
y1
x 1 t
t x 1;y 1 1

2
22
y0




      




.
Khi đó phng trình chuyn v h sau:
2
2
1
t 1 y
2
1
y 1 t
2











ty
1
(t y)(t y ) 0
1
2
yt
2



     

  


Vi
2
2
t
t1
2t t 2 0
ty
2
t0
t y 0




  

  







1 17 3 17
tx
44
  
   
(tha).
Vi
2
2
1t
(t ) 1
4t 2t 3 0
1
22
yt
1
1
2
t
t

2
2


  
  


    








1 13 5 13
tx
44
   
   
(tha)
Vy:
3 17 5 13
x ;x
44
   

.

1.
2
x3
2x 4x
2



2.
2
x x 1000 1 8000x 1000   

3.
2
4x 7x 1 2 x 2   

4.
32
3
4
81x 8 x 2x x 2
3
    

5.
2 2 2
3
7x 13x 8 2x . x(1 3x 3x )    

6.
22
4x 11x 10 (x 1) 2x 6x 2     

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
- 0907894460 Trang 11
Cách 2:
2
x3
2x 4x
2


(1)
iu kin:
x3
.
t
2
x3
t 1 x 3 2t 4t 2
2

      

Khi đó phng trình chuyn v h sau:
2
2

2x 4x t 1
2t 4t x 1

  


  



ơy lƠ h đi xng loi 2. Gii vƠ so điu kin ta
nhn nghim
3 17 5 13
x ;x
44
   


Cách 3:
2
x3
2x 4x
2



iu kin:
x3
.

 
2
2
2
2x 4x 0
x3
2x 4x
2










432
432
22
x 2 x 0
x3
4x 16x 16x
2
x 2 x 0
8x 32x 32x x 3 0 (*)
x 2 x 0
5 3 3 1
8 x x x x 0 (**)

2 4 2 2
   





  


   



    

   




  
    
  

  


x 2 x 0
3 17 5 13

xx
44
3 17 5 13
xx
44
   




   
  


   
   

Nhn xét:
Vi hai cách gii cách 1 và cách 2 ta đu chuyn
phng trình v mt h phng trình đi xng loi 2
đ gii quyt bài toán.
Cách 3 cho ta mt cách gii t nhiên nht kh cn
bng cách bình phng hai v. Vn đ đt ra là khi
đa v phng trình (*) bc 4 có nghim không đp và
ta phi tách thƠnh tích hai phng trình (**). Vy làm
th nào chúng ta có th tách đc ??? Có 2 phng
pháp gii quyt vn đ này:
 Phng pháp 1: (kh nng phn x tính toán)
Gi s phng trình bc 4:
x

4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
và có phân tích thành
(x
2
+ a
1
x + b
1
) ( x
2
+ a
2
x + b
2
) = 0
Lúc đó, bng đng nht h s ta có:
12
1 2 1 2
1 2 2 1
12
a a a
a a b b b
a b a b c
b b d




  








Ta thng nhm tìm h s
1 2 1 2
a ;a ;b ;b
(vi các
1 2 1 2
a ;a ;b ;b
là s nguyên hoc hu t “đp”)
Tr li ví d trên:
432
432
8x 32x 32x x 3 0
13
x 4x 4x x 0
88
    
     

Ta có:
3 3 1 3 1 1 3 1 3

. . . .
8 2 4 2 4 2 4 2 4
   
    

Vy ta đc các cp
12
b ;b

Bng “mt chút nhy bén” vƠ tính toán ta chn
đc h s nh bƠi trên.
 Phng pháp 2: (kh nng bm máy tính b túi)
S dng phng pháp nhm nghim bng máy
tính. (CALC).
 Nhp biu thc:
432
8x 32x 32x x 3   

 Chn các khong nghim và tìm nghim.
 Ta tìm đc các nghim.
A 1.780776406
B 0.280776406
C 0.348612181
D 2,151387819





Ta có:

A.B 0,49999 0.5
A B 1.5
C.D 0.749999 0.75
C D 2.5
   
  

  

T đó, phơn tích đc phng trình (*) thƠnh (**)

Vi cách 1 cho ta cách nhìn tng quát ca bài toán.
 Dng tng quát ca bài toán:
 
n
n
f(x) b a af(x) b  

Cách gii
: t
n
t f(x);y af(x) b  

Ta có h:
n
n
t b ay
y b at








.
ơy lƠ h đi xng loi II vi hai n t và y.
Sáng to
: Khi thay
a,b,f(x)
là các s ta có đc
các bài toán v phng trình.
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
- 0907894460 Trang 12
2.
2
x x 1000 1 8000x 1000   
(2)
iu kin
:
1
x
8000


(2)
2
4x 4x 4000 4000 4000(2x 1) 3999     

2
(2x 1) 4001 4000 4000(2x 1) 4001     

t
4001
u 2x 1 ;v 1 8000x 0
4000
      

Khi đó phng trình chuyn v h sau:
2
2
u 4001 4000v
v 4001 4000u








2
22
u 4001 4000v
u v 4000(v u)






  



2
u 4001 4000v
(u v)(u v 4000) 0




   


Do
u v 4000 0  
nên
2
u 4001 4000v
u v 0







2

u 4000u 4001 0
u 4001
uv

  
  



(do
u0
)
Vi
u 4001 x 2000  
.
Vy:
x 2000
.

3.
32
3
4
81x 8 x 2x x 2
3
    

32
3
27 27.3x 8 27x 54x 36x 54     

3
3
27 27.(3x 2) 46 (3x 2) 46     

t
3
3
t 3x 2;y 27t 46 y 27t 46      

Khi đó phng trình chuyn v h sau:
3
3
27y t 46
27t y 46








 
3
22
27y t 46
27(y t) (t y) t ty y






    



 
3
22
27y t 46
(t y) t ty y 27 0





    



Do
22
t ty y 27 0   
nên
3
x0
t2
27y t 46
3 2 6

t y 0
t 1 2 6
x
3







  












Vy:
x0
;
3 2 6
x
3





4.
2
4x 7x 1 2 x 2   
(2)
iu kin:
x2

(2)
2
(2x 1) 3x 2 2(2x 1) 3x     

t
2
y 3x 2t
t 2x 1;y 2t 3x
y0


    




Khi đó phng trình chuyn v h sau:
2
2

t 3x 2y
y 3x 2t








yt
(t y)(t y 2) 0
y t 2


     

  


Vi
2
t 2t 3x 0
yt
t0

  






2
4x 3x 1 0
1
x
1
4
x
2

  

  





Vi
2
t 3x 2(t 2) 0
y t 2
t2

   
   




2
4x 11x 7 0
3
x
2

  






7
x
4
  
.
Vy:
71
x ;x
44
  
.


Nhn xét:
 Ta có th thay b trong dng toán tng quát
bng mt biu thc cha x.

 VƠ tng t ta cng có th thay a trong dng
tng quát bng mt biu thc cha x.

5.
2 2 2
3
7x 13x 8 2x . x(1 3x 3x )    

Ta thy
x0
không là nghim ca phng trình.
Chia hai v phng trình cho
3
x
ta đc:
3
2 3 2
7 13 8 1 3
23
x x x x x
    
.
t
1
t
x

. Phng trình tr thành:
3
3 2 2

8t 13t 7t 2 t 3t 3    

3 2 2
3
(2t 1) (t t 1) 2 2(2t 1) t t 1         
.
t
2
3
u 2t 1, v 2(2t 1) t t 1      

Khi đó phng trình chuyn v h sau:
32
33
32
u t t 1 2v
u v 2v 2u
v t t 1 2u

   

   

   



22
(u v)(u uv v 2) 0     

3
2
u v 2t 1 t 3t 3      

32
8t 13t 3t 2 0    

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
- 0907894460 Trang 13
2
(t 1)(8t 5t 2) 0    

2
t1
t1
5 89
8t 5t 2 0
t
16










  





Th li nhn ba nghim t.
Vi
t 1 x 1  

Vi
5 89 16
tx
16
5 89

  


Vy:
16
x 1; x
5 89


.

6.
22
4x 11x 10 (x 1) 2x 6x 2     

2
(2x 3) x 1 (x 1) (x 1)(2x 3) x 1         

t
u 2x 3; v (x 1)(2x 3) x 1      
,
Khi đó phng trình chuyn v h sau:
2
2
u x 1 (x 1)v
v x 1 (x 1)u

   


   



22
u v (x 1)(v u)    

(u v)(u v x 1) 0     

Vi
2
u v u x 1 (x 1)u     

2

(2x 3) x 1 (x 1)(2x 3)      

2
2x 6x 7 0   
(VN)
Vi
2
u v 1 x 2x 3 2x 6x 2 1 x         

2
2x 6x 2 4 3x    

2
4
x
3
7x 18x 14 0






  

(VN)
Vy: phng trình vô nghim.

 Các công thc thng dùng:
Biu thc Biu thc liên hip Tích
AB

AB

AB

33
AB

33
22
3

A AB B

AB

33
AB

33
22
3
A AB B

AB

 Mt s lu ý:
 Thng d đoán nghim vƠ dùng nhơn lng
liên hip đ xut hin nhân t chung.
 Cách đánh giá v trái, v phi đ chng minh
phng trình vô nghim.
Ví d 1: Gii phng trình, bt phng trình sau:








1.
22

x 12 5 3x x 5    

iu kin
:
x

Nhn xét ta d dàng nhm đc
x2
là nghim
phng trình nên tách vƠ nhơn liên hp ta đc:
22
x 12 4 3x 6 x 5 3      

 
22
22
x 4 x 4
3 x 2
x 12 4 x 5 3

   
   

 
22
x 2 x 2
x 2 3 0
x 12 4 x 5 3



    

   


22
x2
x2
x 2 x 2
30
x 12 4 x 5 3



  


  

   


Do
22
x 2 x 2
x 12 4 x 5 3


   

22
x 2 x 2
3 0, x
x 12 4 x 5 3

     
   


Vy:
x2


2.
x3
4x 1 3x 2
5

   

iu kin
:
4x 1 0
2
x
3x 2 0
3








Ta có
4x 1 3x 2 0   
. Nhân 2 v cho
4x 1 3x 2  
ta đc phng trình:
NHÂN LNG LIÊN HIP
1.
22
x 12 5 3x x 5    

2.
x3
4x 1 3x 2
5

   

3.
2
2
2x
x 21
(3 9 2x)



4.
22
9(x + 1) (3x + 7)(1 - 3x + 4)

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
- 0907894460 Trang 14
x3
x 3 ( 4x 1 3x 2)
5

    

(x 3)( 4x 1 3x 2 5) 0      

x 3 (l)
4x 1 3x 2 5




   


4x 1 3x 2 5    
(*)
2
22
2

2 12x 5x 2 26 7x
2 26
x
37
4(12x 5x 2) (26 7x)
2 26
x
37
x 344x 684 0
x2
    






   







  



Vy:

x2


Nhn xét:

 T (*) ta có th gii bng cách kt hp:
4x 1 3x 2 5
x3
4x 1 3x 2
5

   



   



 Ta cng có th gii bài toán bng cách thêm
bt nh bƠi toán 1:
x3
4x 1 3x 2
5

   

 
x3
4x 1 3 2 3x 2 1

5
4x 8 4 3x 2 x 2
5
4x 1 3 2 3x 2
4 3 1
x 2 0
5
4x 1 3 2 3x 2
x 2 0 x 2
4 3 1
0 (*)
5
4x 1 3 2 3x 2

       
   
  
   

    

   

   




  


   


Do
4 3 1 2
x;
53
4x 1 3 2 3x 2

    

   

nên
(*) vô nghim.
Vy:
x2

 Tuy nhiên, cách làm này thì vic chng minh
(*) vô nghim tng đi khó khn (dƠnh cho bn đc).



3.
2
2
2x
x 21
(3 9 2x)




iu kin
:
9
9 2x 0
x
2
3 9 2x 0
x0








  






Ta nhân c t và mu ca v trái vi
2
(3 9 2x)
ta đc :

2
(3 9 2x)
x 21
2



7
9 2x 4 x
2
    

So điu kin ta đc
97
x
22


và
x0

Vy:
97
x
22


và
x0

4.
22
9(x 1) (3x 7)(1 3x 4)    

iu kin
:
4
3x 4 x
3

  

Ta nhân c hai v ca phng trình vi biu thc
2
(1 3x 4)
ta đc:

2 2 2
9(x 1) (1 3x 4) (3x 7).9(x 1)     

22
9(x 1) (1 3x 4) 3x 7 0

      

(*)
Trng hp 1:
x1


tha.
Trng hp 2:
4
x
3
x1








ta có:
(*)
2 3x 4 2 x 1     
.
So điu kin ta đc
4
x1
3

  

Vy:
4
x1
3


  


Ví d 2: Gii phng trình sau:










1.
2
x 2 4 x 2x 5x 1     
(1)
iu kin:
x 2 0
4 x 0






2
x4

(1)
2
x 2 1 4 x 1 2x 5x 3        

1.
2
x 2 4 x 2x 5x 1     

2.
2
2
1 x 2x x
x 1 x




3.
33
22
33
x 2 x 1 2x 2x 1     

4.
22
x x 1 (x 2) x 2x 2     

5.
3
x 24 12 x 6   

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
- 0907894460 Trang 15
x 3 x 3
(x 3)(2x 1)
x 2 1 4 x 1

    
   

x 3 0
11
2x 1
x 2 1 4 x 1





  

   


x 3 0
11
2x 1 (*)
x 2 1 4 x 1






  

   


Ta có:
1
1
x 2 1
1
2x 1 5
4 x 1



  


  



nên (*) vô nghim.
Vy:
x3

2.
2
2
1 x 2x x
x 1 x



(2)
iu kin:
1x
0 0 x 1
x

   

(2)
22
(1 x ) 1 x (2x x ) x    

2
x ( 1 x x) ( 1 x 2x x) 0      

23
x (1 2x) 1 x 4x
0
1 x x 1 x 2x x
  

  
   

22
x (1 2x) (1 2x)(2x x 1)
0
1 x x 1 x 2x x
   
  
   

22
x 2x x 1
(1 2x)( ) 0
1 x x 1 x 2x x

   
   

1
x
2

(do biu thc còn li luôn dng)
Vy:
1
x
2


3.
33
22
33
x 2 x 1 2x 2x 1     

33
22
33
2x x 2 2x 1 x 1 0       

2
3
2 2 2 2
33
2
33
4 2 2
3
2x x 1
(2x 1) (x 2) 2x 1 (x 2)
2x x 1
0
4x (x 1) 2x (x 1)


     



   

2
x1
2x x 1 0
1
x
2



    




Vy:
x1
hoc
1
x
2





4.
22
x x 1 (x 2) x 2x 2     

22
x 2x 7 3(x 2) (x 2) x 2x 2 0         

22
x 2x 7 (x 2)(3 x 2x 2 0        

2
2
2
(x 2)(x 2x 7)
x 2x 7 0
x 2x 2 3
  
    
  

2
2
x2
(x 2x 7)(1 ) 0
x 2x 2 3

    
  

 
2
2
2

(x 1) 1 (x 1)
x 2x 7 0
x 2x 2 3

   

   

  


2
x 2x 7 0 x 1 2 2      

Vy:
x 1 2 2


5.
3
x 24 12 x 6   
(5)
iu kin
:
12 x 0 x 12   

(5)
3
x 24 3 12 x 3 0      

2
3
3
x 3 3 x
0
12 x 3
(x 24) 3 x 24 9

  

   

2
3
3
2
3
3
(x 3)( 12 x (x 24) 3 x 24 6) 0
x3
12 x (x 24) 3 x 24 6 0 (*)
        




      


(*) kt hp vi phng trình đu ta có:

2
3
3
3
12 x (x 24) 3 x 24 6 0
x 24 12 x 6

      


   



2
3
3
3
x 24
(x 24) 4 x 24 0
x 88
x 24 12 x 6


   








   



Vy:
x 24
hoc
x 88

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
- 0907894460 Trang 16


Phng pháp: Ch yu bng cách s dng công c
đo hàm hoc s dng bt đng thc đ tìm nghim
ca phng trình.
Các hng gii quyt:
 Hng 1:
 Chuyn phng trình v dng:
f(x) k

 Xét hàm s
y f(x)

 Nhn xét:
 Vi
00
x x f(x) f(x ) k   
do đó
0
x
là
nghim
 Vi
00
x x f(x) f(x ) k   

do đó
phng trình vô nghim
 Vi
00
x x f(x) f(x ) k   
do đó
phng trình vô nghim
 Vy
0
x
là nghim duy nht ca phng trình
 Hng 2:
 Chuyn phng trình v dng:
f(x) g(x)

 Dùng lp lun khng đnh rng
f(x)
và g(x) có
nhng tính cht trái ngc nhau vƠ xác đnh
0
x
sao cho
00
f(x ) g(x )

 Vy
0
x
là nghim duy nht ca phng trình.
 Hng 3:

 Chuyn phng trình v dng
f(u) f(v)

 Xét hàm s
y f(x)
, dùng lp lun khng
đnh hàm s đn điu
 Khi đó
f(u) f(v) u v  

Ví d 1: Gii phng trình sau:













1.
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x       

2 2 2
3(x 1) 4 5(x 1) 9 5 (x 1)        

iu kin
:
D
 

Mà:
 
 
2
2
2
3(x 1) 4 5 x 1 9 4 9 5
5 x 1 5

       



  


Du “bng” xy ra khi
 
2
x 1 0 x 1    

Vy:
x1

2.
22
x 6x 11 x 6x 13    

2
4
x 4x 5 3 2    

22
2
4
(x 3) 2 (x 3) 4
(x 2) 1 3 2
     
    

Mà:
2 2 2
4
(x 3) 2 (x 3) 4 (x 2) 1       

2 4 1 3 2    

Du “bng”xy ra
2
(x 3) 0
x 2 0







(vô lý)
Vy: phng trình vô nghim.

3.
2 2 2
7
x 3x (x 2x 2)(x 4x 5)
2
      

Ta có:
22
22
22
2
x 2x 2 (x 1) 1 0
x 4x 5 (x 2) 1 0
7 (x 2x 2) (x 4x 5)
x 3x
22
     
     
    
  

Áp dng bt đng thc Côsi cho 2 s dng

22
a x 2x 2;b x 4x 5     
ta có:
ab
ab
2



2 2 2
7
x 3x (x 2x 2)(x 4x 5)
2
       

Du “bng” xy ra khi và ch khi:
22
(x 2x 2) (x 4x 5)    
2x 3
3
x
2


Vy: x=
3
2
.

4.

   
22
22
13 x 3x 6 x 2x 7

    



 
2
2
5x 12x 33  

Áp dng bt đng thc Bunhiacôpxki cho 4 s :

  
2 2 2 2 2
a b c d (ac bd)   

Du “bng” xy ra khi và ch khi:
ad bc

Vi
22
a 2;b 3;c x 3x 6;d x 2x 7       

     
22
2 2 2 2

2 3 x 3x 6 x 2x 7

     



   
2
22
2 x 3x 6 3 x 2x 7

     


   
22
22
13 x 3x 6 x 2x 7

     



 
2
2
5x 12x 33  

Du “bng” xy ra khi và ch khi:
22

3(x 3x 6) 2(x 2x 7)    

PHNG PHÁP ÁNH GIÁ
1.
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x       

2.
22
x 6x 11 x 6x 13    

2
4
x 4x 5 3 2    

3.
2 2 2
7
x 3x (x 2x 2)(x 4x 5)
2
      

4.
   
22
22
13 x 3x 6 x 2x 7

    




 
2
2
5x 12x 33  

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
- 0907894460 Trang 17
22
2
3x 9x 18 2x 4x 14
x 5x 4 0 x 1;x 4
     
      

Vy:
x 1;x 4


Ví d 2: Gii phng trình sau:

1.


 


22
3x 2 9x 3 4x 2 1 x x 1 0       



 


22
3x 2 9x 3 2x 1 (2x 1) 3 2        

Nhn xét: Phng trình ch có nghim trong
1
;0
2





t

u 3x;v 2x 1. u,v 0    
.
Phng trình tr thành:




22
u 2 u 3 v 2 v 3    

Xét hàm s:


2
f(t) t 2 t 3  

3
42
2t 3t
f '(t) 2 0, t 0
t 3t

     


f(u) f(v) u v   
1
3x 2x 1 x
5
      

Vy:
1
x
5



2.
2
4x 1 4x 1 1   

iu kin:
2
4x 1 0
1
x
2
4x 1 0







Xét hàm s:
2
y 4x 1 4x 1 1    

1
D;
2

 




2
2 4x 1
y' 0, x
2
4x 1
4x 1
    



Do đó phng trình nu có nghim thì đó lƠ
nghim duy nht.
Nhm nghim đc
1
x
2


Vy:
1
x

2




3.
2
3 x 1 3x 8x 3   
(1)
iu kin:
x 1 0 x 1    

(1)
2
3 x 1 3x 8x 3 0     

Xét hàm s:
2
y 3 x 1 3x 8x 3    
trên


D 1;  

3
y' 6x 8
2 x 1
  


 
3
3
y'' 6 0, x D
4 x 1
     


Do đó
y' 0
có nhiu nht 1 nghim
y0
có
nhiu nht hai nghim.
Nhm nghim đc
x 0;x 3

Vy:
x 0;x 3


4.
22
x 2x 3 x 6x 11 3 x x 1        

iu kin
:
x 1 0
1 x 3
3 x 0



  




22
x 2x 3 x 1 3 x x 6x 11         

   
22
x 1 2 x 1 3 x 3 x 2
         

Xét hàm s:
2
y t 2 t  

 
2
t1
y' 0 x 1;3
2t
t2
    


Khi đó:
   

f x 1 f 3 x x 1 3 x x 2        

Vy:
2x3
























1.



2
3x 2 9x 3

 


2
4x 2 1 x x 1 0     

2.
2
4x 1 4x 1 1   

3.
2
3 x 1 3x 8x 3   

4.
22
x 2x 3 x 6x 11 3 x x 1        
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
- 0907894460 Trang 18
PHN II

H PHNG TRÌNH

 T mt phng trình ta đi tính y theo x hoc x
theo y.
 Th vƠo phng trình còn li gii tìm x hoc y.

Ví d: Gii các h phng trình sau đơy:







1.
2
2x 3y 1
x xy 24






2
2x 1
y
3
2x 1
x 24
3

x
















2
2x 1
y
3
x x 72 0



  






19
x 9 y
3
x 8 y 5
    

  





Vy: nghim h là
 
19
9, ; 8,5
3






2.
22
2
x (y 1)(x y 1) 3x 4x 1 (1)
xy x 1 x (2)


     


  



Do
x0
không là nghim h phng trình nên
(2)
2
x1
y1
x

  
thay vƠo (1) ta đc:
22
22
x 1 x 1
x x 3x 4x 1
xx


   



  

  
 
 
  
   
22
32
x 1 2x 1 x 1 3x 1
x 1 2x 2x x 1 x 1 3x 1
x0
x 1 2x x 2 0 x 1
x2
     
       



     





Vi
x 1 y 1   

Vi
5
x 2 y
2

    

Vy: nghim h là
 
1; 1 ; 2;
5
2
  






 Bng cách bin đi đa mt phng trình v
dng tích ta tính đc x theo y
 Th vƠo phng trình còn li gii tìm
nghim.
Ví d: Gii các h phng trình sau:

1.
22
xy x y x 2y (1)
x 2y y x 1 2x 2y (2)

   


   



iu kin
:
x 1;y 0

(1)
22
x xy 2y (x y) 0     

   
 
  
22
x xy 2xy y x y 0
x y x 2y 1 0
      
    

x 2y 1 0   

( Do có đk có
x y 0
)
x 2y 1  

Thay vƠo phng trình (2) ta đc:
 
2y 1 2y y 2y 2(2y 1) 2y    

   
2y y 1 2 y 1   

 
 
y 1 2y 2 0 y 2     
( Do y

0)
Vi
y2
ta có
x5

Vy: nghim h là
(5;2)


Nhn xét
:
 Ta có th kim tra phng trình (1) có nhóm

đc nhân t chung hay không bng phng pháp
tham s bin thiên.

22
xy x y x 2y   

22
x (y 1)x 2y y 0      

Ta có:
22
(y 1) 8y 4y    
 
2
2
9y 6y 1 3y 1    

T đơy ta có th tính đc:
xy
hoc
x 2y 1


2.
  
2
22
y 5x 4 4 x (1)
y 5x 4xy 16x 8y 16 0 (2)


  


     



T phng trình (2) bng phng pháp tham s bin
thiên xem y là n ta có:
22
y 5x 4xy 16x 8y 16 0     

PHNG PHÁP TH
1.
2
2x 3y 1
x xy 24






2.
22
2
x (y 1)(x y 1) 3x 4x 1
xy x 1 x

     



  



1.
22
xy x y x 2y
x 2y y x 1 2x 2y

   


   



2.
  
2
22
y 5x 4 4 x
y 5x 4xy 16x 8y 16 0

  


     




3.
33
22
x 7x y 7y
x y x y 2

  


   



PHNG PHÁP TệCH S
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
- 0907894460 Trang 19
(y x 4)(y 5x 4) 0
y 4 x
y 5x 4
     







Vi
y 4 x
thay vƠo (1) ta đc:
    
2
x 4 y 0
4 x 5x 4 4 x
x 0 y 4
  

    

  


Vi
y 5x 4
thay vƠo (1) ta đc
    
2
5x 4 5x 4 4 x   

4
x y 0
5
x 0 y 4

   




  


Vy: nghim h là
   
4
0;4 ; 4;0 ; ;0
5






3.
33
22
x 7x y 7y
x y x y 2

  


   



 

33
22
x y 7 x y 0
x y x y 2

   



   



 
 
22
22
x y x xy y 7 0
x y x y 2

    



   



22
2

22
xy
x xy y 7 0 (VN)
2x 2x 2
x y x y 2


   





   




15
xy
2
15
xy
2













Vy: nghim h là
1 5 1 5 1 5 1 5
; ; ;
2 2 2 2
   
   
   
   
   














Dng:

f(x,y) 0
g(x, y) 0





vi
f(x,y) f(y,x)
g(x,y) g(y,x)






Cách gii: t
S x y
P xy





vi
2
S 4P

Ví d: Gii các h phng trình sau:

1.
22
x y xy 5
x y 5
  





t:
S x y
P xy





(iu kin: S
2
– 4P ≥ 0)
H
2
S P 5

S 2P 5







 
2
P 5 S
S 2 5 S 5





  



2
P 5 S
S 2S 15 0




  


S 5 P 10
S 3 P 2
   



  


Ti đơy ta có hai cách gii:
Cách 1: Có tng, tích nên áp dng đnh lý Viet đo:
x, y là nghim ca phng trình:
2
X SX P 0  


S 5 P 10   
:
H phng trình vô nghim (do S
2
– 4P = -15 < 0)

S 3 P 2  

x, y là nghim ca phng trình:
2
X 3X 2 0  

X 1;X 2  
nên

x 1 x 2
;
y 2 y 1







Cách 2: Gii bình thng bng phng pháp th:

S 5 P 10   

 
x 5 y
x y 5
y 5 y 10 (VN)
xy 10
  

  




  







S 3 P 2  

x y 3
xy 2






 
x 3 y
y 1 x 2
y 3 y 10
x 2 y 1





  
  






Vy: h phng trình có 2 nghim là:
   
1,2 , 2,1

H I XNG LOI I
1.
22
x y xy 5
x y 5
  





2.
2x 2y
3
yx
x y xy 3





  


www.MATHVN.com

www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
- 0907894460 Trang 20
2.
2x 2y
3
yx
x y xy 3





  


iu kin
:
xy 0

H
2x 2y
49
yx
x y xy 3

  





  


 
22
2 x y 5xy 0
x y xy 3

  



  



Cách 1: a v h đi xng loi 1.
t
u x;v y  

H
 
22
2 u v 5uv 0
u v uv 3

  




  



t
S u v;P uv  

H
 
2
2 S 2P 5P 0
S P 3

  







S 1 u 2 u 1
P 2 v 1 v 2
3
u 3 3
S
u
2
2

3
9
v
v3
P
2
2

   
  

  

    
  










  


  



  








x 3 3
x 2 x 1
x
2
3
y 1 y 2
y
y3
2


  



   
   
  







Cách 2: Gii trc tip.
H
 
 
2
2 x y 2xy 5xy 0
x y xy 3

   




  


x y 1
x 2 x 1
;
xy 2
y 1 y 2
3
x 3 3
xy
x
2

;
2
3
9
y
y3
xy
2
2
  

   








  







  






  

  



  










Vy: H phng trình có 4 nghim
   
33
2;1 , 1; 2 , 3; , ,3
22
   
   
   
   

Dng:
f(x,y) 0
g(x, y) 0





vi
f(x,y) g(y,x)
g(x,y) f(y,x)






Cách gii:
f(x;y) g(x;y) 0
f(x;y) 0






(x y)h(x;y) 0
f(x;y) 0







x y 0
f(x;y) 0






hay
h(x;y) 0
f(x;y) 0






Ví d: Gii các h phng trình sau:

1.
22
22
x 2y 2x y (1)
y 2x 2y x (2)

  


  



Tr tng v (1) và (2) ta có:
H
2 2 2 2
22
x 2y (y 2x ) 2x y (2y x)
x 2y 2x y

      


  


22

3(x y)(x y) x y
x 2y 2x y
   



  


22
(x y)(3x 3y 1) 0
x 2y 2x y
   



  


22
x y 0
x 2y 2x y




  

hoc
22

3x 3y 1 0
x 2y 2x y
  


  


2
xy
x 3x 0






hoc
2
3x 1
y
3
9x 3x 5 0





  



(vn)
x y 0
x y 3




  


Vy: h có hai nghim
(0;0); ( 3; 3)


2.
2x 3 4 y 4 (1)
2y 3 4 x 4 (2)

   


   



iu kin
:
3
x,y ;4

2





Tr tng v (1) và (2) ta có:
H I XNG LOI II
 Đ  
1.
22
22
x 2y 2x y
y 2x 2y x

  


  



2.
2x 3 4 y 4
2y 3 4 x 4

   


   




www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
- 0907894460 Trang 21
2x 3 4 y 4
2x 3 4 y 2y 3 4 x 0

   



       



2x 3 4 y 4
2(x y) x y
0
2x 3 2y 3 4 x 4 y

   







     


Do
21
0
2x 3 2y 3 4 x 4 y

     

2x 3 4 y 4
x y 0

   







2x 3 4 x 4
xy

   








x 7 2 2x 3 4 x 16
xy

    








x y 3
11
xy
9







Vy: H có 2 nghim là
 
11 11
3;3 , ;
99





Nhn xét:
Ta phi kh cn bng cách nhơn lng liên
hip đ xut hin nhân t
 
xy
.

Dng
:
22
1 1 1 1
22
2 2 2 2
a x b xy c y d
a x b xy c y d

  


  



Cách gii
:
 Xét y = 0.
 Xét
y0
khi đó đt

x ty
và gii phng
trình bc hai n t
Ví d: Gii các h phng trình sau:







1.
22
22
3x 2xy y 11
x 2xy 3y 17

  


  



Xét y = 0. Ta có
2
2
3x 11
x 17








(mâu thun)
Vy y = 0 không là nghim h phng trình.
t x = ty thay vào h ta có:
22
22
y (3t 2t 1) 11(1)
y (t 2t 3) 17(2)

  


  



Ly (1) chia (2)
Kh y ta đc: 10t
2
+ 3t – 4 = 0
41
t ;t
52

  

Vi t = -
4
5
thay vào (1)
2
25 5
yy
3
3
    

 y =
54
x
33
  
;
 y = -
54
x
33


Vi t =
1
2
thay vào (1)
2
y 4 y 2    

 y = 2
x1
;
 y = - 2
x1  

Vy: Nghim h:
4 5 4 5
( ; ),( ; ), (1;2),( 1; 2)
3 3 3 3
   


2.
 
2
33
x y y 2
x y 19








Do
x0

không là nghim ca h.
H NG CP
 Đ  
1.
22
22
3x 2xy y 11
x 2xy 3y 17

  


  



2.
 
2
33
x y y 2
x y 19








www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
- 0907894460 Trang 22
t
y tx

H
 
 
 
2
3
2
33
3 3 3
x 1 t t 2
x tx tx 2
x 1 t 19
x t x 19















Ly (1) chia (2)
Kh x ta đc:
32
3
t 2t t 2
1 t 19




2
2
t t 2
t t 1 19




2
21
21t 17t 2 0 t t
37
       

Vi
2

t
3

3
19
x 19 x 3 y 2
27
     

Vi
3
33
1 342 7 1
t x 19 x y
7 343
18 18
      

Vy: H có hai nghim
 
33
71
3;2 , ;
18 18





Nhn xét

:
 Nu h gm phng trình trên vƠ phng trình
di đng bc thì ta có th gii theo phng pháp nƠy.

Ví d 1: Gii các h phng trình sau:











1.
 
 
 
2
2
x 1 y y x 4y
x 1 y x 2 y

   



   



Do
y0
không là nghim phng trình. Chia hai
v cho y ta đc:
H
 
2
2
x1
x y 4
y
x1
y x 2 1
y


  






  




t
2
x1
u ;v x y 2
y

   
ta đc:
H
u v 2 u 1
uv 1 v 1
  






2
x1
1
y
x y 2 1











2
x 1 y
y 3 x







2
x x 2 0
y 3 x

  





x 1 y 2
x 2 y 5
  




   


Vy: H có 2 nghim
(1;2),( 2;5)


2.
1
x x y 3 3
y
1
2x y 8
y

    




  



iu kin:
x y 3 0
1
x0
y

y0

  










PHNG PHÁP N PH
1.
 
 
 
2
2
x 1 y y x 4y
x 1 y x 2 y

   


   



2.
1
x x y 3 3
y
1
2x y 8
y

    




  



www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
- 0907894460 Trang 23
t
1
u x ;v x y 3
y
    

H
1
x x y 3 3

y
1
x x y 3 5
y

    





    




22
u v 3
u 2 v 1
u 1 v 2
u v 5

  





  





Vi
u 2;v 1
ta có h:
1
1
x2
x4
y
y
x y 4
x y 3 1










  



y 1 x 3
y 1 x 5

  



   


Vi
u 1;v 2
ta có h:
1
1
x1
x1
y
y
x y 7
x y 3 2










  




y 3 10 x 4 10
y 3 10 x 4 10

    



    



So điu kin nhn 4 cp nghim trên.
Vy: H có 4 nghim
   
   
3;1 ; 5; 1 ; 4 10;3 10 ; 4 10;3 10    









 
2 4 2 4 2
2

2 x y 2xy y 1 2 3 2 x y (1)
x y x 3 (2)

      



  


Gii (2):
2
x y x 3  

2 2 2 2
3 x 0 3 x 0
x y 9 6x x y x 7x 9
   



       


Gii (1): Bng phng pháp tham s bin thiên coi
2
y
là n ta phơn tích đc:
 
2 4 2 4 2

2 x y 2xy y 1 2 3 2 x y      

  
 
2 2 2
2 (x 1)y 1 (x 1)y 1 2 3 2 x y        


  
2 2 2 2
xy y 1 xy y 1
    

 
 
22
2 1 3 2 y xy
   

t
22
u xy 1; v y  
. Phng trình tr thành:
  
 
 
u v u v 2 u 3 2 v    

 
 

22
u v 2 u 3 2 v    

 
   
2
2 2 2 2
u 3 2 v 0
u v 4 u 2 3 2 uv 3 2 v

  




     





 
   
 
22
u 3 2 v
3u 8 3 2 uv 45 24 2 v 0 **






    



Do
2
v y 0
không là nghim nên
 
 
2
uu
** 3 8 3 2 45 24 2 0
vv

     



u u 8 2
35
v v 3
    

22
22
xy 1 xy 1 8 2
35

y y 3

    

2 2 2 2
82
xy 1 3y xy 1 5 y
3

      




2
y (x 3) 1 0   
do (
 
u 3 2 v
)
Thay
22
y x 7x 9   
ta đc:
 
 
2
x 7x 9 x 3 1 0     

2

2
x 2 y 1 y 1
x 4 2 y 1 2 y 1 2
x 4 2(l)

     

         






Vy: Nghim h phng trình
   




2;1 ; 2; 1 ; 4 2; 1 2 ; 4 2; 1 2     

Ví d 2: (D2-10). Gii h phng trình sau:
 
2 4 2 4 2
2
2 x y 2xy y 1 2 3 2 x y
x y x 3

      



  


www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
- 0907894460 Trang 24


Ví d: Gii h phng trình sau:

1.
2
2
3 x 2 x 3 y
3 y 2 y 3 x

   


   



iu kin
:
x,y 0

Tr v cho v ca hai phng trình ta đc:
22
3 x 3 x 3 y 3 y    

Xét hàm s
2
y f(t) 3 t 3 t   

2
t3
y' 0, t 0
2t
3t
    


Khi đó:
f(x) f(y) x y  

Thay vƠo phng trình đu:
2
3 x 2 x 3 x   

2
3 x x 3 0    

Xét hàm s:
2
G(x) 3 x x 3   

2
t1
G'(x) 0, x 0
2x
3x
    


Mà
G(1) 0

Do đó phng trình có 1 nghim duy nht
x 1 y 1  

Vy: Nghim h
(1;1)


2.
33
84
x 5x y 5y
x y 1

  






Nhn xét:
Do
84
x y 1
nên
 
x1

x,y 1;1
y1



  





Xét hàm s:
3
y f(t) t 5t  

 
2
y' 3t 5 0, t 1;1     

Do đó
33
x 5x y 5y x y    

Thay vƠo phng trình di:
4
84
4
15
x
2

x x 1
15
x
2





  






Do
 
x 1;1
nên nhn
4
4
1 5 1 5
x x y
22
   
   

Vy: Nghim h
44

1 5 1 5
;
22

   




PHNG PHÁP ÁNH GIÁ
1.
2

2
3 x 2 x 3 y
3 y 2 y 3 x

   


   



2.
33
84
x 5x y 5y
x y 1

  






www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM
- 0907894460 Trang 25
Ví d 1: Tìm m đ phng trình sau có 2 nghim
thc phân bit:

2
x mx 2 2x 1   

Ví d 2: Tìm m đ phng trình sau có nghim
thuc
0;1 3






 
2
m x 2x 2 1 x 2 x 0     




I. Kin thc cn nh
Cho hàm s
 
y f x
liên tc trên tp
D

Yêu cu Khai thác
 
f x m
có nghim

   
xD
xD
minf x m maxf x




 
f x m
có nghim
 
xD
minf x m



 
f x m
có nghim
 
xD
maxf x m



 
f x m
có nghim
 

xD
maxf x m



 
f x m
có nghim
 
xD
minf x m



II. PHNG PHÁP GII
 gii bài toán tìm giá tr ca tham s m sao
cho phng trình, bt phng trình, h phng trình
có nghim ta lƠm nh sau:
 Bc 1: Bin đi phng trình, bt phng
trình v dng:
   
f x g m
hoc
   
f x g m
hoc
   
f x g m

 Bc 2: Tìm TX

D
ca hàm s
 
y f x

 Bc 3: Lp bng bin thiên ca hàm s
 
y f x
trên
D

 Bc 4: Tìm
   
xD
xD
minf x ;maxf x



 Bc 5: Kt lun giá tr m cn tìm.



2
x mx 2 2x 1   

 
2
2
2x 1 0

x mx 2 2x 1





   



 
2
1
x
2
mx 3x 4x 1 *






  


Xét phng trình
 
*

Vi

x 0 0.x 1   
(vô nghim).
Vi
1
x 0 3x 4 m
x
    
.
Xét hàm s
 
1
f x 3x 4
x
  
trên tp
 
1
; \ 0
2

 




 
2
1
f ' x 3 0
x

  
vi
 
1
x ; \ 0
2

   




Gii hn:
 
x 0 x 0
1
lim f x lim 3x 4
x



    



;
 
xx
1
lim f x lim 3x 4

x
 

    



Bng bin thiên:
x
1
2

0


f’(x) + -


f(x)






9
2



S nghim ca phng trình (1) bng s giao đim
ca đ th hàm s
 
1
f x 3x 4
x
  
vƠ đng thng
ym
trên min
 
1
; \ 0
2

 




Da vào bng bin thiên ta đc giá tr ca m tha
mãn yêu cu bài toán là
9
m
2


Vy:
9
m

2








 
2
m x 2x 2 1 x 2 x 0     

t
2
t x 2x 2  
 
2
x 2 x t 2    
.
2
x1
t' ,t' 0 x 1
x 2x 2

   


Bng bin thiên :

x
t’
t
0
+
-
13

1
0
2

1
2
PHNG TRÌNH ậ BT PHNG
TRÌNH ậ H PHNG TRÌNH
CHA THAM S
www.MATHVN.com
www.mathvn.com