Đề thi chọn HSG Toán lớp 9 tỉnh Bắc Giang năm 2011

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2010 - 2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN LỚP 9
Ngày thi: 02/4/2011
Thời gian làm bài: 150 phút
(không kể thời gian giao đề)
Câu 1: ( 4 điểm)
1. Cho hai số
, 0x y >
. Rút gọn biểu thức sau:

2 2 2 2 4 4
4 4
2 2 2 2 2 2
( ) ( )
x y x y x y
A x y
x y x y x y
= + + + +
+ + +
.
2. Cho
3 3
2 2 3 2 2 3x = − + +
và
3 3
3 17 3 17y = − + +
.
Tính giá trị biểu thức:

3 3
6 6 2013.B x y x y= − + − +
Câu 2: ( 4 điểm ) Cho hệ phương trình
( )
2 2
2 2 2ax ay x y b
y x b

+ + + =


− =


(1) (
,a
b
là tham số).
1. Giải hệ phương trình (1) với
2
; 3.
3
a b= =
2. Tìm giá trị thực của b để hệ phương trình (1) có nghiệm với mọi số thực a.
Câu 3: ( 4 điểm)
1. Tìm tất cả các số tự nhiên n để
( ) ( )
2 2
2 1 2 2 1P n n n n= − + − + +
là số nguyên tố.

2. Giải phương trình nghiệm nguyên:
3 6 4
2 2 9 2011.y x x= + −
Câu 4: (6 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O; r), với BC là đường kính cố
định, điểm A thay đổi. Lấy điểm D đối xứng với điểm A qua điểm B. Kẻ AM vuông
góc với BC (
M BC∈
), Điểm N là trung điểm của đoạn MC. Đường thẳng DM cắt (O)
tại các điểm P và Q, đường thẳng AN cắt (O) tại điểm thứ hai là K. Chứng minh rằng:
1. Điểm D di động trên một đường tròn cố định.
2.
DM AN⊥
.
3. Tổng các bình phương các cạnh của tứ giác APKQ không đổi.
Câu 5: (2 điểm)
Cho
, ,a b c
là độ dài ba cạnh của một tam giác và
, ,x y z
là ba số thực thoả mãn
0ax by cz a b c+ + + + + =
. Chứng minh rằng:
2 2 2 3 0xy yz zx x y z+ + + + + + ≤
.
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:
Số báo danh:
ĐỀ CHÍNH THỨC