BAI GIẢNG XÁC SUẤT THÔNG KÊ

BÀI GIẢNG MÔN
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
VÀ THỐNG KÊ TOÁN
Mai Cẩm Tú
Bộ môn Toán kinh tế
1
PHẦN THỨ NHẤT
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
CHƢƠNG 1
BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT
1. MỞ ĐẦU - Nội dung chương 1
• Các khái niệm nền tảng của xác suất
• Các định nghĩa xác suất
• Hai nguyên lý cơ bản của xác suất
• Các định lý XS dùng để tìm XS của biến cố phức hợp.
2
Chương 1 2. Phép thử, biến cố
2. PHÉP THỬ VÀ CÁC LOẠI BIẾN CỐ
2.1. Phép thử và biến cố
+ Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan
sát hiện tượng nào đó có xảy ra hay không được gọi là
thực hiện phép thử.
+ Hiện tượng có thể xảy ra (hoặc không xảy ra) trong kết
quả của phép thử gọi là biến cố.
Ví dụ 1.1. Tung 1 con xúc xắc cân đối, đồng chất trên mặt
phẳng cứng.
+ Phép thử: tung 1 con xúc xắc
+ Điều kiện cơ bản: …
+ Biến cố: A
6
= “xuất hiện 6 chấm”;

B = “xuất hiện lẻ chấm”
3
Chương 1 2. Phép thử, biến cố
2. PHÉP THỬ VÀ CÁC LOẠI BIẾN CỐ
2.2. Các loại biến cố
+ Biến cố chắc chắn (U)
+ Biến cố không thể có (V)
+ Biến cố ngẫu nhiên (A, B, A
1
, A
2
,…)
Ví dụ 1.1. Tung 1 con xúc xắc
U = “xuất hiện số chấm nhỏ hơn 7”
V = “xuất hiện 7 chấm”
A
6
= “xuất hiện 6 chấm” (b/c ngẫu nhiên)
B = “xuất hiện lẻ chấm” ( )
4
Chương 1 3.Xác suất của biến cố
3. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng cho khả
năng khách quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện
phép thử.
Kí hiệu xác suất của biến cố A là P(A)
Ví dụ 1.1. Tung 1 con xúc xắc
A
6
= “xuất hiện 6 chấm” → P(A

6
) = 1/6
B = “xuất hiện lẻ chấm” → P(B) = 3/6 = 1/2 = 0,5
Theo khả năng tìm XS có thể chia biến cố thành 2 loại:
+ Biến cố đơn giản
+ Biến cố phức hợp
5
Chương 1 4. Định nghĩa cổ điển về XS
4. ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC SUẤT
4.1. Thí dụ
4.2. Định nghĩa cổ điển về xác suất
Xác suất xuất hiện biến cố A trong 1 phép thử là tỷ số giữa
số kết cục thuận lợi cho A (kí hiệu: m) và tổng số các
kết cục duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra khi thực
hiện phép thử đó (kí hiệu: n).
()
m
PA
n

4.3. Các tính chất của xác suất
0 ≤ P(A) ≤ 1; P(U) = 1; P(V) = 0
6
Chương 1 4. Định nghĩa cổ điển về XS
4. ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC SUẤT
4.4. Các phƣơng pháp tính xác suất bằng định nghĩa cổ
điển.
a. Phương pháp suy luận trực tiếp
Ví dụ 1.2. Hộp có 10 quả cầu gồm 3 quả trắng và 7 quả
đen. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 1 quả cầu. Tìm xác suất

lấy được cầu trắng.
b. Phương pháp dùng sơ đồ
• Dùng sơ đồ cây
Ví dụ 1.3. Tung 1 đồng xu đối xứng, đồng chất trên mặt
phẳng cứng 3 lần. Tìm xác suất có đúng 1 lần xuất hiện
mặt sấp.
7
Chương 1 4. Định nghĩa cổ điển về XS
b. Phương pháp dùng sơ đồ
• Dùng sơ đồ dạng bảng
Ví dụ 1.4. Tung 1con xúc xắc cân đối, đồng chất trên mặt
phẳng cứng 2 lần. Tìm xác suất
a. Tổng số chấm xuất hiện là 8.
b. Tổng số chấm xuất hiện là 8 biết rằng có (ít nhất 1) lần
xuất hiện mặt 6 chấm
• Dùng sơ Venn
Ví dụ 1.5. Một lớp có 50 học sinh, trong đó có 30 học sinh
giỏi Toán, 20 học sinh giỏi Văn, 15 học sinh giỏi cả
Toán và Văn. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Tìm xác
suất chọn được học sinh không giỏi Toán và không
giỏi Văn. (không giỏi môn nào)
8
Chương 1 4. Định nghĩa cổ điển về XS
c. Phương pháp dùng công thức của giải tích tổ hợp
• Tổ hợp chập k của n phần tử: C
n
k
(0≤ k ≤ n)
• Chỉnh hợp chập k của n phần tử: A
n

k
(0≤ k ≤ n)
• Hoán vị của k phần tử: P
k
• Chỉnh hợp lặp k của n phần tử: (0≤ k ≤ n)
Quy ước: 0! = 1
Ví dụ 1.6. Một hộp có 10 sản phẩm (6 chính phẩm và 4
phế phẩm). Lấy đồng thời 2 sản phẩm. Tìm xác suất
a. Lấy được 2 chính phẩm.
b. Lấy được đúng 1 chính phẩm
k
n
A
9
Chương 1 4. Định nghĩa cổ điển về XS
4.5. Ƣu điểm và hạn chế của định nghĩa cổ điển
• Ưu điểm: Không cần thực hiện phép thử
• Hạn chế: + Đòi hỏi số kết cục hữu hạn.
+ Các kết cục phải thỏa mãn tính duy nhất,
đồng khả năng.
c. Phương pháp dùng công thức của giải tích tổ hợp
Ví dụ 1.7. Một hộp có 10 sản phẩm (2 sản phẩm xanh, 3
màu đỏ, 5 màu vàng). Lấy đồng thời 4 sản phẩm. Tìm
xác suất
a. Lấy được 4 sản phẩm cùng màu.
b. Lấy được đủ 3 màu.
c. Lấy đồng thời 5 sản phẩm. Tìm XS lấy được đủ 3 màu.
10
Chương 1 5. Định nghĩa thống kê về XS
5. ĐỊNH NGHĨA THỐNG KÊ VỀ XÁC SUẤT

5.1. Định nghĩa tần suất
Tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử là tỷ số giữa
số phép thử trong đó biến cố xuất hiện (k) và tổng số
phép thử được thực hiện:
5.2. Định nghĩa thống kê về xác suất
Xác suất xuất hiện biến cố A trong 1 phép thử là một số p
không đổi mà tần suất f xuất hiện biến cố đó trong n
phép thử sẽ dao động rất ít xung quanh nó khi số phép
thử tăng lên vô hạn.
()
k
fA
n

11
Chương 1 6. Định nghĩa khác về XS
6. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA KHÁC VỀ XÁC SUẤT
6.1. Định nghĩa hình học về xác suất
6.2. Định nghĩa chủ quan về xác suất
6.3. Định nghĩa tiên đề về xác suất
12
Chương 1 7. Nguyên lý xác suất
7. NGUYÊN LÝ XÁC SUẤT
7.1. Nguyên lý xác suất nhỏ
+ Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ thực tế có thể cho
rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.
+ Mức xác suất được coi là nhỏ tùy thuộc vào từng bài
toán và gọi là mức ý nghĩa.
+ Nguyên lý XS nhỏ là cơ sở của phương pháp kiểm định.
7.2. Nguyên lý xác suất lớn

+ Nếu một biến cố có xác suất rất lớn thực tế có thể cho
rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ xảy ra.
+ Mức xác suất đủ lớn gọi là độ tin cậy.
+ Nguyên lý XS lớn là cơ sở của phương pháp ước lượng
bằng khoảng tin cậy.
13
Chương 1 8. Liên hệ giữa các biến cố
8. MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ
Định nghĩa 1. Biến cố A gọi là thuận lợi cho biến cố B, kí
hiệu , nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra.
Định nghĩa 2. Biến cố A gọi bằng biến cố B, kí hiệu A = B,
nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra và ngược lại.
Ví dụ 1.8. Tung 1 con xúc xắc
A
i
= “xuất hiện i chấm” (i = 1,2,…, 6)
A = “xuất hiện 1, 3 hoặc 5 chấm”
B = “xuất hiện lẻ chấm”
→ A
1
B
A = B
AB

14
Chương 1 8. Liên hệ giữa các biến cố
8.1. Tổng các biến cố
Định nghĩa 3. Biến cố C được gọi là tổng của 2 biến cố A
và B, kí hiệu C = A + B, nếu C chỉ xảy ra khi và chỉ khi
có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra.

Ví dụ 1.9. Mua lần lượt 2 sản phẩm cùng loại
A
i
= “lần thứ i mua được chính phẩm” (i=1,2)
A = “mua được ít nhất 1 chính phẩm”
= “có mua được chính phẩm”
→ A = A
1
+ A
2
15
Chương 1 8. Liên hệ giữa các biến cố
Định nghĩa 4. Biến cố A được gọi là tổng của các biến cố
A
1
, A
2
,…, A
n
nếu A xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một
trong n biến cố thành phần xảy ra.
Kí hiệu:
1
n
i
i
A


Ví dụ 1.10. Xạ thủ bắn 4 viên đạn độc lập.

A
i
= “xạ thủ bắn trúng viên thứ i” (1 = 1, 2, 3, 4)
A = “bia bị trúng đạn”
→ A = A
1
+ A
2
+ A
3
+ A
4
16
Chương 1 8. Liên hệ giữa các biến cố
8.2. Tích các biến cố
Định nghĩa 5. Biến cố C được gọi là tích của 2 biến cố A
và B, kí hiệu C = A.B, nếu C xảy ra khi và chỉ khi cả 2
biến cố A và B cùng xảy ra.
Ví dụ 1.11. Mua lần lượt 2 sản phẩm cùng loại
A
i
= “lần thứ i mua được chính phẩm” (i=1,2)
B = “mua được 2 chính phẩm”
→ B = A
1
.A
2
17
Chương 1 8. Liên hệ giữa các biến cố
Định nghĩa 6. Biến cố A được gọi là tích của các biến cố

A
1
, A
2
,…, A
n
nếu A xảy ra khi và chỉ khi tất cả n biến cố
thành phần xảy ra.
Kí hiệu:
1
n
i
i
A


Ví dụ 1.12. Xạ thủ bắn 4 viên đạn độc lập.
A
i
= “xạ thủ bắn trúng viên thứ i” (1 = 1, 2, 3, 4)
B = “xạ thủ bắn trúng cả 4 viên đạn”
→ B = A
1
.A
2
.A
3
.A
4
18

Chương 1 8. Liên hệ giữa các biến cố
8.3. Tính xung khắc của các biến cố
Định nghĩa 7. Hai biến cố A và B gọi là xung khắc với
nhau nếu chúng không thể đồng thời xảy ra trong kết
quả của một phép thử.
Trường hợp ngược lại gọi là không xung khắc.
Ví dụ 1.13. Hộp có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm. Lấy 1
sản phẩm
A = “ lấy được chính phẩm”; B = “lấy được phế phẩm”
→ A và B xung khắc.
Ví dụ 1.14. Hộp có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm. Lấy lần
lượt 2 sản phẩm. A
i
= “lần thứ i lấy được chính phẩm”
→ A
1
và A
2
không xung khắc.
19
Chương 1 8. Liên hệ giữa các biến cố
Định nghĩa 8. Nhóm n biến cố A
1
, A
2
,…, A
n
được gọi là
xung khắc từng đôi nếu bất kì 2 biến cố nào trong nhóm
này cũng xung khắc với nhau.

Ví dụ 1.15. Xạ thủ bắn 4 viên đạn độc lập
A
i
= “xạ thủ bắn trúng i viên” (i=0,1,…,4)
A = “bia bị trúng đạn”
A
0
,A
1
,…,A
4
: xung khắc từng đôi
A, A
0
, A
1
: không xung khắc từng đôi
20
Chương 1 8. Liên hệ giữa các biến cố
8.4. Nhóm đầy đủ các biến cố
Định nghĩa 9. Nhóm n biến cố A
1
, A
2
,…, A
n
được gọi là
nhóm đầy đủ các biến cố nếu trong kết quả của phép thử
sẽ xảy ra 1 và chỉ 1 trong các biến cố đó.
A

1
, A
2
,…, A
n
là nhóm đầy đủ các biến cố
xung khắc từng đôi
12
12

, , ,
n
n
A A A U
A A A
   



Ví dụ 1.16. Tung 1 con xúc xắc
A
i
= “xuất hiện i chấm” ; B = “xuất hiện lẻ chấm”
A
1
, A
2
, … , A
6
: nhóm đầy đủ

A
2
, A
4
, A
6
, B: nhóm đầy đủ
21
Chương 1 8. Liên hệ giữa các biến cố
Định nghĩa 10. Hai biến cố A và Ā gọi là đối lập nếu
chúng tạo thành nhóm đầy đủ các biến cố.
Ví dụ 1.17. Tung 1 con xúc xắc
A = “xuất hiện chắn chấm”
→ Ā = “xuất hiện lẻ chấm”
22
Chương 1 8. Liên hệ giữa các biến cố
Ví dụ 1.18. Đề thi có 3 câu hỏi.
A
i
= “học sinh trả lời đúng câu thứ i” (i = 1, 2, 3)
Biểu diễn các biến cố sau qua A
1
, A
2
, A
3
A = “học sinh trả lời đúng cả 3 câu”
B = “học sinh trả lời sai cả 3 câu”
C = “học sinh chỉ trả lời đúng câu 3”
D = “học sinh trả lời đúng 1 câu”

E = “học sinh có trả lời đúng”
Nếu trả lời đúng câu 1 được 4 điểm, các câu khác được 3
điểm, sai được 0 điểm.
G = “học sinh đạt 7 điểm trở lên”
23
Chương 1 8. Liên hệ giữa các biến cố
8.5. Tính độc lập của các biến cố
Định nghĩa 11. Hai biến cố A và B gọi là độc lập với nhau
nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không
làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia và ngược
lại.
Hai biến cố không độc lập gọi phụ thuộc.
Ví dụ 1.19. Tung một con xúc xắc 2 lần
A
i
= “ lần thứ i xuất hiện 6 chấm” → A
1
và A
2
độc lập.
Ví dụ 1.20. Hộp có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm. Lấy lần
lượt 2 sản phẩm theo phương thức không hoàn lại.
A
i
= “ lần thứ i lấy được chính phẩm”
→ A
1
và A
2
phụ thuộc.

24
Chương 1 8. Liên hệ giữa các biến cố
Định nghĩa 12. Nhóm n biến cố A
1
, A
2
,…, A
n
gọi là độc
lập từng đôi với nhau nếu mỗi cặp 2 trong n biến cố đó
là độc lập với nhau.
Định nghĩa 13. Nhóm n biến cố A
1
, A
2
,…, A
n
gọi là độc
lập toàn phần với nhau nêu mỗi biến cố độc lập với mọi
tổ hợp của các biến cố còn lại.
Chú ý: độc lập toàn phần → độc lập từng đôi
Ví dụ 1.21. Hộp có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm. Lấy lần
lượt có hoàn lại 4 sản phẩm.
A
i
= “lần thứ I lấy được chính phẩm” (i = 1, 2, 3, 4)
A
1
,…,A
4

độc lập toàn phần.
25