de cuong on tap hoc ki 2(day du)

I.ĐẠI SỐ
CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Bất đẳng thức
+ BĐT Côsi
( 0, 0)
2
a b
ab a b
+
≤ ≥ ≥
Đẳng thức
2
a b
ab
+
=
xảy ra khi và chỉ khi a = b
2. Dấu của một nhị thức bậc nhất
Bảng xet dấu của một nhị thức bậc nhất.
X - ∞ x
0
+ ∞
f(x)=ax +b Trái dấu với a 0 cùng dấu với a

3. Dấu của tam thức bậc hai
Bảng xét dấu của tam thức bậc hai.
Dấu của biệt thức
∆
Dấu của f(x)
0
∆ <

af(x) 0>
,
x∀ ∈¡
0
∆ =
af(x) 0>
,
2
b
x
a
∀ ≠ −
0
∆ >
Pt
( ) 0f x =
có 2 nghiệm
1 2
x x<
af(x)<0
,
1 2
( ; )x x x∀ ∈
af(x) 0>
,
1 2
( ; ) ( ; )x x x∀ ∈ −∞ ∪ +∞
CHƯƠNG 5. THỐNG KÊ
1. Số trung bình
Số trung bình

Số trung vị và mốt.
M
e
là số đứng giữa dãy nếu số phần tử là lẻ.
là trung bình cộng hai số đứng giữa dãy nếu số phần tử là chẵn.
2. Phương sai và độ lệch chuẩn của dãy số liệu thống kê
Phương sai:
1 2
1
( )
n
x x x x
n
= + + +
1 1 2 2
1
( )
k k
x n x n x n x
n
= + + +
1 1 2 2
( )
k k
x f x f x f x= + + +
1 1 2 2 1 1 2 2
1
( )
k k k k

x n c n c n c f c f c f c
n
≈ + + + ≈ + + +
( )
2
11
2
1
2
1
22






−=
∑∑
==
N
i
i
N
i
i
x
N
x
N

s
( )
)1(
1
2
1
2
∑
=
−=
N
i
ii
xx
N
S
Độ lệch chuẩn
2
x x
S S=
CHƯƠNG 6. GĨC LƯỢNG GIÁC VÀ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Cơng thức lượng giác
1. Bảng giá trò của các góc đặc biệt
1. Bảng giá trò của các góc đặc biệt
Góc
GTLG
0
0
(0)
30

0
6
π
 
 ÷
 
45
0
4
π
 
 ÷
 
60
0
3
π
 
 ÷
 
90
0
2
π
 
 ÷
 
Sin
0
1

2
2
2
3
2
1
Cos
1
3
2
2
2
1
2
0
2. Các hệ thức lượng giác cơ bản
2. Các hệ thức lượng giác cơ bản

( )
α + α = ∀α∈
2 2
sin cos 1 R

π
 
α α = ∀α ≠ ∈
 ÷
 
tan .cot 1 k ,k Z
2


π
 
= + α ∀α ≠ + π ∈
 ÷
α
 
2
2
1
1 tan k ,k Z
cos 2

( )
= + α ∀α ≠ π ∈
α
2
2
1
1 cotg k ,k Z
sin
Hệ quả:
Hệ quả:

2 2 2 2
sin 1 cos , cos 1 sin
α α α α
= − = −

1 1

tan , tan
cot cot
α α
α α
= =
3. Giá trò các cung, góc liên quan đặc biệt
3. Giá trò các cung, góc liên quan đặc biệt
“Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, Tan Cot lệch
π
”
4. Công thức lượng giác
4. Công thức lượng giác
• Cơng thức cộng:
 cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
 cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
 sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
 sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
 tan(a – b) =
tan tan
1 tan .tan
−
+
a b
a b

 tan(a + b) =
tan tan
1 tan .tan
+
−

a b
a b

• Cơng thức nhân đơi:
 sin2a = 2sina.cosa ⇒
1
sin a.cosa = sin2a
2
 cos2a = cos
2
a – sin
2
a = 2cos
2
a – 1
= 1 – 2 sin
2
a
 tan2a =
2
2tan
1 tan−
a
a
• Cơng thức nhân ba:
 sin3a = 3sina – 4sin
3
a
 cos3a = 4cos
3

a – 3cosa
1. Cơng thức hạ bậc:
 cos
2
a =
1 cos2
2
a+

 sin
2
a =
1 cos 2
2
a−

 tg2a =
1 cos2
1 cos 2
a
a
−
+
Cơng thức biến đổi tích thành tổng:

[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b= − + +


[ ]
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b= − − +

[ ]
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b= + + −
1) C«ng thøc biÕn ®ỉi tỉng thµnh tÝch:
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
+ −

+ =
+ −
− =
+ −
+ =
+ −
− = −
II.HÌNH HỌC.
CHƯƠNG II. TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
1.Tích vơ hướng của hai vectơ.
• Cho
OA
uuur
=
a
r
va
OB
uur
=
b
r
. Khi đó góc AOB là góc giũa 2 vectơ
a
r
và
b
r
Ký hiệu (
a

r
;
b
r
)
Nếu
a
r
=
0
r
hoặc
b
r
=
0
r
thì góc (
a
r
;
b
r
) tùy ý
Nếu (
a
r
;
b
r

) = 90
0
ta ký hiệu
a
r
⊥
b
r
•
. cos( , )a b a b a b=
r r r r uurr
Bình phương vô hướng
a
r
2
= 
a
r

2
.
• Các quy tắc: Cho ∀
a
r
b
r
c
r
; ∀ k ∈R
a

r
.
b
r
=
b
r
.
a
r
( Tính giao hoán)
a
r
.
b
r
= 0 <=>
a
r
⊥
b
r
(k
a
r
,
b
r
= k (
a

r
b
r
)
a
r
(
b
r
±
c
) =
a
r
b
r
±
a
r
c
(Tính chất phân phối đối với phép cộng và trừ )
• Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
Cho
a
r
= (x, y) ,
b
r
= (x', y') ; M(x
M

, y
M
), N(x
N
, y
N
); ta có

a
r
.
b
r
= x.x' + y.y'
|
a
r
| =
22
+ yx
Cos (
a
r
,
b
r
) =
2222
'+'.+
'+'

yxyx
yyxx
a
r
⊥
b
r
⇔ xx' + yy' = 0
MN = |
MN
uuuur
| =
22
)_(+)_(
NMNM
yyxx
2. Các hệ thức lượng trong tam giác
• Các ký hiệu trong ∆ ABC
Độ dài : BC = a, CA = b, AB = c
m
a
, m
b
, m
c
: độ dài trung tuyến ứng với đỉnh A,B,C
h
a
, h
b,

h
c
: Độ dài đường cao ứng với đỉnh A,B,C
P =
2
++ cba
: nữa chu vi ∆ ABC
S : diện tích tam giác
R,r : bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ∆.
• Đònh lý Côsin : a
2
= b
2
+ c
2
- 2bc cos A
• Đònh lý sin :
R
c
c
B
b
A
a
2=
sin
=
sin
=
sin

• Công thức trung tuyến :
4
c2+b2
=
22 2
2
a
a-
m
• Công thức tính diện tích
a. S =
1
2
a.h
a
=
1
2
b.h
b
=
1
2
c.h
c

B
a
A

C
c b
h
a
m
a
b. S =
1
2
b.c. sinA =
1
2
c.a. sinB =
1
2
a.b. sinC
c. S =
R
abc
4
d. S = p.r
e. S =
c)-h)(p-(p a)-p(p
( Coâng thöùc Heâ – roâng)
CHƯƠNG III.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
1.Phng trỡnh ng thng
1 - Phơng trình tổng quát của đờng thẳng
Để viết đợc pt tổng quát của đờng thẳng ta cần biết đợc hai yếu tố sau :
+ Một VTPT :
n

r
(A ; B)
+ Một điểm M(x
0
; y
0
) thuộc
Khi đó phơng trình tổng quát của là : A(x - x
0
) + B(y - y
0
) = 0
Chú ý : Cho đờng thẳng có pttq : Ax + By + C = 0 khi đó :
n
r
(A ; B) là một VTPT
của
2 - Phơng trình tham số của đờng thẳng
Để viết đợc pt tham số của đờng thẳng ta cần biết đợc hai yếu tố sau :
+ Một VTCP :
u
r
(a ; b)
+ Một điểm M(x
0
; y
0
) thuộc
Khi đó phơng trình tổng quát của là :
0

0
x = x + at
y = y + bt



Chú ý :
* Cho đờng thẳng có ptts :
0
0
x = x + at
y = y + bt



khi đó :
u
r
(a ; b) là một VTCP của và
M(x
0
; y
0
) là một điểm thuộc .
* Mối quan hệ giữa VPPT và VTCP của một đờng thẳng
Giả sử :
n
r
và
u

r
lần lợt là VTPT và VTCP của
n
r

u
r
,
n
r
(A ; B)
u
r
(B ; - A) .
4 - Mối quan hệ giữa ba loại phơng trình
1. Pttq

Ptts
Cho : Ax + By + C = 0 Tìm VTCP
u
r
(B ; - A) và một điểm M(x
0
; y
0
)
Hoặc đặt x = t thế vào pt tìm y theo t
2. Ptts

Pttq

* Cho đờng thẳng có ptts :
0
0
x = x + at
y = y + bt



. Khử tham số t ta đợc Pttq
5 - Các loại phơng trình đờng thẳng thờng gặp
1. Đờng thẳng viết dới dạng hệ số góc : y = kx + b hsg k
2. Phơng trình đờng thẳng qua hai điểm A(x
1
; y
1
) và B(x
2
; y
2
)
+ Khi đó Vectơ
2 1 2 1
AB = (x - x ; y - y )
uuur
là VTCP của đt .
+ Điểm A hoặc B thuộc đờng thẳng .
3. §êng th¼ng
∆
qua ®iÓm M(x
0

; y
0
) cho tríc vµ song song víi mét ®êng th¼ng (d) cho tríc .
Khi ®ã ta cã :
Δ d
u = u
uur uur
.
4. §êng th¼ng
∆
qua ®iÓm M(x
0
; y
0
) cho tríc vµ vu«ng gãc víi mét ®êng th¼ng (d) cho tríc .
Khi ®ã ta cã :
Δ d
u = n
uur uur
.
6 - Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
1) Trong mp(Oxy) cho đt ∆: ax + by + c = 0 và một điểm M
o
(x
o
; y
o
). Khoảng cách từ
điểm M
o

đến đường thẳng ∆ được tính theo công thức
2 2
( , )
o o
o
ax by c
d M
a b
+ +
∆ =
+
2) Cho hai đường thẳng ∆
1
: a
1
x + b
1
y + c
1
= 0 và ∆
2
: a
2
x + b
2
y + c
2
= 0 cắt nhau. Pt hai
đường phân giác của ∆
1

và ∆
2
có dạng
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a x b y c a x b y c
a b a b
+ + + +
= ±
+ +
7 - Góc giữa hai đường thẳng.
1) Cho hai đường thẳng ∆
1
: a
1
x + b
1
y + c
1
= 0 và ∆
2
: a
2
x + b
2
y + c
2
= 0. Góc giữa hai
đường thẳng ∆

1
và ∆
2
được tính theo công thức :
cos(∆
1
, ∆
2
) =
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
.
a a bb
a b a b
+
+ +
2) Nhận xét.
• ∆
1
⊥ ∆
2
⇔
1 2
n n⊥
ur uur
⇔ a
1
.a
2

+ b
1
b
2
= 0
• ∆
1
: y = k
1
x + b, ∆
2
: y = k
2
x + c. nếu ∆
1
⊥ ∆
2
⇔ k
1
.k
2
= -1
2.Phương trình đường tròn
1. Phương trình đường tròn:
*. Trên mặt phẳng tọa độ, đường tròn (C) tâm I(x
0
; y
0
) bán kính R có phương trình:
(x – x

0
)
2
+ (y – y
0
)
2
= R
2
.
2. Nhận dạng phương trình đường tròn:
Phương trình x
2
+ y
2
+ 2ax + 2by + c = 0 với điều kiện a
2
+ b
2
– c > 0 là phương trình
của đường tròn tâm I(-a; -b), bán kính
.
22
cbaR −+=
3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
*. Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn (I; R) ⇔ d(I, ∆) = R.
*. Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến tại M ∈ (I; R) của đường tròn ⇔ ∆ đi qua M và nhận
véc tơ
IM
làm véc tơ pháp tuyến.

( ):∆
0 0 0 0
( )( ) ( )( ) 0x a x x y b y y− − + − − =
3.Phương trình đường elip
1. Định nghĩa:
*. Cho hai điểm cố định F
1
, F
2
với F
1
F
2
= 2c (c > 0).
(E) = {M  MF
1
+ MF
2
= 2a}, trong đó a là số cho trước lớn hơn c.
*. Hai điểm F
1
, F
2
gọi là các tiêu điểm, 2c là tiêu cự của elíp
2. Phương trình chính tắc của Elíp:
*. Phương trình chính tắc của elíp:
Chọn hệ trục tọa độ sao cho F
1
(-c; 0), F
2

(c; 0) thì elíp có phương trình:
(E):
( )
.,01
222
2
2
2
2
cabba
b
y
a
x
−=>>=+
*. Các bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) ∈ (E) là:
.;
11
a
cx
aMF
a
cx
aMF −=+=
3. Hình dạng của elíp:
a) Tính đối xứng của elíp:
Elíp (E):
)0(1
2
2

2
2
>>=+ ba
b
y
a
x
có nhận hai trục tọa độ làm trục đối xứng và gốc
tọa độ làm tâm đối xứng.
b) Hình chữ nhật cơ sở:
*. Các đường thẳng x = - a, x = a, y = - b, y = b cắt các trục tọa độ tại A
1
, A
2
, B
1
, B
2

gọi là các đỉnh của elíp.
*. Trục Ox (hay đoạn A
1
A
2
) được gọi là trục lớn. Trục Oy (hay đoạn B
1
B
2
) được gọi
là trục bé.

*. Các đường thẳng x = - a, x = a, y = - b, y = b cắt nhau tại các điểm P, Q, R, S tạo
thành hình chữ nhật cơ sở PQRS.
c) Tâm sai của elíp:
a
c
e =
⇒ 0 < e < 1 và
.1
2
22
e
a
ca
a
b
−=
−
=
d) Elíp và phép co đường tròn:
Đường tròn (T): x
2
+ y
2
= a
2
,
bằng phép thế x’ = x, y’ = ky có thể đưa về elíp có
phương trình (E):
).(1
2

2
2
2
kab
b
y
a
x
==+