sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin vào một số bài toán biên phi tuyến 6_2

97
Chương 5

KẾT LUẬN


Trong luận án nầy chúng tôi sử dụng phương pháp Galerkin để khảo sát
một số bài toán biên có liên quan đến các vấn đề trong Khoa học ứng dụng. Cụ
thể chúng tôi khảo sát các phương trình sóng phi tuyến liên kết với các loại điều
kiện biên khác nhau, xuất hiện trong các bài toán mô tả dao độâng của một vật
đàn hồi với các ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự va chạm
của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tựa trên một nền đàn nhớt, phương
trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff-Carrier.
Những kết quả mới thu được trong luận án bao gồm:
1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình sóng phi tuyến thuộc
dạng
),,,,,(
txxxtt
uuutxfuu =−

với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất
,0),1(),1(),0(),0(
10
=+=− tuhtutuhtu
xx

hoặc không thuần nhất
),(),0(),0(
00

tgtuhtu
x
=−

),(),1(),1(
11
tgtuhtu
x
=+

trong đó,
10
, hh
là các hằng số cho trước,
10
,, ggf
là các hàm số cho trước.
2. Khai triển tiệm cận của nghiệm đến cấp
1+N
theo tham số bé
ε
cho
phương trình sóng phi tuyến bò nhiễu
),,,,,(),,,,(
txtxxxtt
uuutxguuutxfuu
ε
+=−

liên kết với điều kiện biên như trên.

3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình sóng phi tuyến thuộc
dạng
.2,),,(
22
≥=++−
−−
βαλ
βα
txfuuuuKuu
ttxxtt



98
với điều kiện biên liên hệ với một bài toán Cauchy tuyến tính cho phương trình vi
phân thường cấp hai. Trong trường hợp
,2==
βα
chúng tôi thu được tính trơn của
nghiệm phụ thuộc vào tính trơn của dữ kiện và cũng thu được một khai triển tiệm
cận của nghiệm đến cấp
1+N
theo hai tham số
,K .
λ

4. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình sóng phi tuyến chứa
toán tử Kirchhoff-Carrier thuộc dạng
),,,,,()(
2

txxxxtt
uuutxfuuBu =−

với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất. Nếu phương trình nầy bò nhiễu theo dạng
),,,,,(),,,,(])()([
1
2
1
2
txtxxxxxtt
uuutxfuuutxfuuBuBu
εε
+=+−

liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất chúng tôi thu được một khai triển
tiệm cận của nghiệm đến cấp hai theo tham số bé
.
ε

Các kết quả của luận án đã được công bố trong ([D1]-[D3]) và đã tham gia
báo cáo trong các hội nghò
- Tối ưu và điều khiển, tại Qui Nhơn (27/5 - 1/6/1996).
- Hội thảo Toán Học Việt-Pháp, tại Thành phố Hồ Chí Minh (3 - 8/3/1997).
- Hội nghò Toán Học Việt Nam toàn quốc lần 5, tại Hà Nội (17 - 20/9/1997) và
lần thứ 6, tại Huế, 7-10/9/2002.
- Hội nghò Khoa học trường ĐHKH Tự Nhiên Tp. HCM lần 2, tháng 5-2000 và
lần 3, 24/10/ 2002.
- Hội Nghò Khoa học, Khoa Toán-Tin học, Đại học Sư Phạm Tp. HCM,
22/12/2000 và 21-22/ 12/2002.