Bài tập theo chuyên đề Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.07 MB, 69 trang )
Chuyên đề 1
Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị
Hàm Số
§1. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
Định lý 1.1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I.
• Nếu f
(x) > 0, ∀x ∈ I thì y = f(x) đồng biến trên I.
• Nếu f
(x) < 0, ∀x ∈ I thì y = f(x) nghịch biến trên I.
• Nếu f
(x) = 0, ∀x ∈ I thì y = f(x) không đổi trên I.
Lưu ý.
• Nếu f
(x) ≥ 0, ∀x ∈ I và f
(x) = 0 tại hữu hạn điểm của I thì y = f(x) đồng biến trên I.
• Khoảng I ở trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc nửa khoảng với giả thiết bổ sung: “Hàm số y = f(x) liên
tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.
B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
• Tìm tập xác định. Tính y
. Tìm các điểm tại đó y
bằng 0 hoặc không xác định.
• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
2. Điều kiện để hàm số luôn đồng biến, nghịch biến.
• Tìm tập xác định D
f
.
• Tính y
và chỉ ra y
≥ 0, ∀x ∈ D
f
(hoặc y
≤ 0, ∀x ∈ D
f
).
C. Bài Tập
1.1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau
a) y = 2x
3
− 3x
2
+ 1. b) y = −x
3
− 3x + 2. c) y = x
3
+ 3x
2
+ 3x.
d) y = x
4
− 2x
2
+ 3. e) y = −x
4
+ 2x
3
− 2x − 1.
f) y =
√
x
2
− 2x − 3.
g) y =
2x + 3
x + 2
. h) y =
x + 2
3x −1
.
i) y =
x
2
− 4x + 4
1 − x
.
1.2. Tìm m để hàm số y = x
3
+ (m − 1) x
2
+
m
2
− 4
x + 9 luôn đồng biến trên R.
1.3. Tìm m để hàm số y = −mx
3
+ (3 − m) x
2
− 2x + 2 luôn nghịch biến trên R.
1.4. Tìm m để hàm số y =
mx −2
m −x
luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
1.5. Tìm m để hàm số y =
mx −2
x + m − 3
luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
1.6. Tìm m để hàm số y = x + 2 +
m
x −1
luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
1.7. Tìm m để hàm số y =
mx + 4
x + m
nghịch biến trên (−∞; 1).
1.8. Tìm m để hàm số y =
mx −2
x + m − 3
nghịch biến trên (1; +∞).
1
1.9. Tìm a để hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ ax + a nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
1.10. Tìm m để hàm số y = −x
3
+ 3x
2
+ mx + 2 đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 3.
§2. Cực Trị Của Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
Định lý 1.2. Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x
0
. Khi đó, nếu y = f(x) có đạo hàm tại x
0
thì f
(x
0
) = 0.
Định lý 1.3. Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa x
0
và có đạo hàm trên (a; x
0
), (x
0
; b). Khi đó
• Nếu f
(x) < 0, ∀x ∈ (a; x
0
) và f
(x) > 0, ∀x ∈ (x
0
; b) thì hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x
0
.
• Nếu f
(x) > 0, ∀x ∈ (a; x
0
) và f
(x) < 0, ∀x ∈ (x
0
; b) thì hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x
0
.
Định lý 1.4. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp một trên (a; b) và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại x
0
. Khi đó
• Nếu
f
(x
0
) = 0
f
(x
0
) < 0
thì hàm số đạt cực đại tại x
0
.
• Nếu
f
(x
0
) = 0
f
(x
0
) > 0
thì hàm số đạt cực tiểu tại x
0
.
Lưu ý. Nếu y
(x
0
) = 0 thì hàm số có thể đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại x
0
.
B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm cực trị của hàm số.
• Tìm tập xác định. Tính y
. Tìm các điểm tại đó y
bằng 0 hoặc không xác định.
• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
2. Điều kiện để hàm số có cực trị, có k cực trị.
• Sử dụng ĐL 1.3 và ĐL 1.4.
3. Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại x
0
.
• Tính y
, y
. Hàm số đạt cực trị tại x
0
⇒ y
(x
0
) = 0 ⇒ m.
• Thay m và x
0
vào y
để kết luận.
Lưu ý. Nếu y
(x
0
) = 0 thì phải kiểm tra dấu của y
để kết luận.
C. Bài Tập
1.11. Tìm cực trị của các hàm số sau
a) y = 2x
3
− 3x
2
+ 1. b) y = −x
3
− 3x + 2. c) y = x
3
+ 3x
2
+ 3x.
d) y = x
4
− 2x
2
+ 3. e) y = −x
4
+ 2x
3
− 2x − 1.
f) y =
√
x
2
− 2x − 3.
g) y =
2x + 3
x + 2
. h) y =
x + 2
3x −1
.
i) y =
x
2
− 4x + 4
1 − x
.
1.12. Tìm m để hàm số y = x
3
− 3mx
2
+ 3 (2m − 1) x − 2
a) Có cực trị.
b) Đạt cực trị tại x = 0. c) Đạt cực đại tại x = 1.
1.13. Cho hàm số y =
1
3
x
3
− mx
2
+
m
2
− m + 1
x + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số
a) Đạt cực đại tại x = 1.
b) Có cực đại, cực tiểu. c) Không có cực trị.
1.14. Cho hàm số y = x
4
− 2 (m + 1) x
2
+ 2m + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số
a) Có ba điểm cực trị. b) Đạt cực tiểu tại x = 0.
c) Đạt cực trị tại x = 1.
1.15. Tìm m để hàm số y = −x
4
+ 2 (2m − 1) x
2
+ 3 có đúng một cực trị.
1.16. (B-02) Tìm m để hàm số y = mx
4
+
m
2
− 9
x
2
+ 10 có ba điểm cực trị.
1.17. Xác định giá trị của m để hàm số y =
x
2
+ mx + 1
x + m
a) Không có cực trị. b) Đạt cực tiểu tại x = 1.
c) Đạt cực đại tại x = 2.
2
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
§3. Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
Định nghĩa 1.5. Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập hợp D. Khi đó
• M = max
x∈D
f(x) ⇔
f(x) ≤ M,∀x ∈ D
∃x
0
∈ D : M = f(x
0
)
. • m = min
x∈D
f(x) ⇔
f(x) ≥ m, ∀x ∈ D
∃x
0
∈ D : m = f(x
0
)
.
Lưu ý.
• Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
• Trên khoảng hoặc nửa khoảng hàm số có thể có hoặc không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền D.
• Tính y
, y
= 0 ⇒ x
i
∈ D.
• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
2. Xét tính đơn điệu trên khoảng cho trước.
PP1:
• Tính y
và chỉ ra y
≥ 0, ∀x ∈ D (hoặc y
≤ 0, ∀x ∈ D).
• Từ y
≥ 0, ∀x ∈ D ⇒ m ≥ g(x), ∀x ∈ D.
• Lập bảng biến thiên của g(x) trên D. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
PP2:
• Tính y
. Tìm các điểm tại đó y
= 0 hoặc không xác định.
• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
Lưu ý.
• m ≥ f(x), ∀x ∈ D ⇔ m ≥ max
x∈D
f(x). • m ≤ f(x), ∀x ∈ D ⇔ m ≤ min
x∈D
f(x).
C. Bài Tập
1.18. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) y = 1 + 8x −2x
2
trên [−1;3]. b) y = x
3
− 3x
2
+ 1 trên [−2; 3]. c) y = 1 + 4x
3
− 3x
4
trên [−2;1].
d) y = x
3
− 3x
2
+ 1 trên (1; 4).
e) y = x −5 +
1
x
trên (0; +∞). f) y = x −
1
x
trên (0; 2].
g) y =
4
1 + x
2
.
h) y = x
4
+ 2x
2
− 1.
i) y = x +
√
4 − x
2
.
1.19. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau
a) y = x +
√
2 cos x trên
0;
π
2
.
b) y = 2 sin x −
4
3
sin
3
x trên [0; π].
c) y = sin
4
x −4sin
2
x + 5.
d) y = sin
4
x + cos
4
x.
e) y = 5 sin x −12 cos x −5.
f) y = sin
2
x + sin 2x + 2cos
2
x.
1.20. Cho parabol (P ) : y = x
2
và điểm A (−3; 0). Tìm điểm M ∈ (P) sao cho khoảng cách AM ngắn nhất và tính
khoảng cách đó.
1.21. Tìm m để hàm số y = x
3
+ 3x
2
− mx − 4 đồng biến trên (−∞; 0).
1.22. (BĐT-79) Tìm m để hàm số y = −
1
3
x
3
+ (m − 1) x
2
+ (m − 3) x − 4 đồng biến trên (0; 3).
1.23. Tìm m để hàm số y = mx
3
− 3 (m − 1) x
2
+ 9 (m − 2) x + 1 đồng biến trên [2; +∞).
1.24. Tìm m để hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ (m + 1) x + 4m đồng biến trên (−∞; −2) và (2; +∞).
1.25. (BĐT-50) Tìm m để hàm số y =
mx
2
+ 6x − 2
x + 2
nghịch biến trên [1; +∞).
1.26. Tìm m để hàm số y =
x
2
− 2mx + 2m
2
− 2
x −m
đồng biến trên (1; +∞).
1.27. Tìm a để hàm số y =
x
2
− 2ax + 4a
2
x −2a
đồng biến trên (2; +∞).
3
§4. Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
Định nghĩa 1.6. Đường thẳng y = y
0
được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu
lim
x→+∞
f(x) = y
0
hoặc lim
x→−∞
f(x) = y
0
.
Định nghĩa 1.7. Đường thẳng x = x
0
được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu
lim
x→x
+
0
f(x) = +∞; lim
x→x
+
0
f(x) = −∞; lim
x→x
−
0
f(x) = +∞ hoặc lim
x→x
−
0
f(x) = −∞.
Định nghĩa 1.8. Đường thẳng y = ax + b, (a = 0) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu
lim
x→+∞
[f(x) − (ax + b)] = 0 hoặc lim
x→−∞
[f(x) − (ax + b)] = 0.
B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.
• Tìm lim
x→±∞
f(x) ⇒TCN.
• Tìm lim
x→x
±
0
f(x) ⇒TCĐ.
Lưu ý. x
0
thường là một nghiệm của mẫu.
2. Tìm tiệm cận xiên.
C1: Viết lại hàm số dưới dạng y = ax + b + g(x). Chỉ ra lim
x→±∞
[y − (ax + b)] = 0 ⇒TCX.
C2: Tính a = lim
x→±∞
f(x)
x
và b = lim
x→∞
[f(x) − ax] ⇒TCX.
C. Bài Tập
1.28. Tìm tiệm cận (nếu có) của các hàm số sau
a) y =
2x −1
x −2
. b) y =
x −3
−x + 2
. c) y =
3 −4x
x + 1
.
d) y =
√
x
2
+ x
x −1
.
e) y =
√
x + 3
x + 1
.
f) y = 2x −1 +
1
x
.
g) y =
x
2
− 4x + 4
1 − x
.
h) y =
x
2
+ x − 1. i) y = x +
x
2
+ 2x.
1.29. Tìm m để đồ thị hàm số y =
mx
2
− 2m (m − 1) x − 3m
2
+ m − 2
x + 2
có tiệm cận xiên đi qua A (−1; −3).
1.30. Tìm m để hàm số y =
2x
2
+ (m + 1) x − 3
x + m
có giao hai tiệm cận nằm trên parabol (P ) : y = x
2
+ 2x − 1.
1.31. (A-08) Tìm m để góc giữa hai tiệm cận của hàm số y =
mx
2
+
3m
2
− 2
x − 2
x + 3m
bằng 45
0
.
1.32. Tìm m để đồ thị hàm số y =
x
2
+ mx − 1
x −1
có tiệm cận xiên tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích
bằng 4.
1.33. Tìm m để đồ thị hàm số y =
2x
2
− (5m − 1) x + 4m
2
− m − 1
x −m
có tiệm cận xiên tạo với các trục toạ độ một
tam giác có diện tích bằng 4.
1.34. Cho hàm số y =
3x −1
x −2
. Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M nằm trên đồ thị hàm số đến hai tiệm
cận không đổi.
1.35. (A-07) Cho hàm số y =
−x
2
+ 4x − 3
x −2
. Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M nằm trên đồ thị hàm số
đến hai tiệm cận là một hằng số.
1.36. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y =
3x −5
x −2
để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
1.37. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y =
x
2
+ 2x − 2
x −1
để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
4
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
§5. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Sơ đồ khảo sát tổng quát.
1. Tập xác định.
2. Sự biến thiên.
• Giới hạn, tiệm cận (nếu có).
• Bảng biến thiên (tính đạo hàm, lập bảng biến thiên, tính đơn điệu, cực trị).
3. Đồ thị.
• Tương giao với các trục.
• Tính đối xứng (nếu có).
• Điểm đặc biệt (nếu cần).
2. Điểm uốn.
Định nghĩa 1.9. Điểm U (x
0
; f(x
0
)) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng
(a; b) chứa điểm x
0
sao cho trên một trong hai khoảng (a; x
0
) và (x
0
; b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía
trên đồ thị còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.
Mệnh đề 1.10. Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa x
0
, f
(x
0
) = 0 và f
(x) đổi dấu
khi qua điểm x
0
thì U (x
0
; f(x
0
)) là một điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x).
B. Các Dạng Đồ Thị Khảo Sát
• Hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a = 0). • Hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c (a = 0).
O O
y y
x x
U U
O O
y y
x x
• Hàm số y =
ax + b
cx + d
(c = 0, ad −bc = 0).
• Hàm số y =
ax
2
+ bx + c
dx + e
(a = 0, d = 0).
O O
y y
x x
I I
O O
y y
x x
I I
C. Bài Tập
1.38. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) y = x
3
+ 3x
2
− 4. b) y = −x
3
+ 3x − 2. c) y = −x
3
+ 1. d) y = x
3
+ 3x
2
+ 3x + 1.
e) y = x
3
+ x − 2. f) y = −2x
3
− x − 3. g) y = −x
3
+ 3x
2
− 1.
h) y =
1
3
x
3
− x
2
− 3x −
5
3
.
1.39. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) y = x
4
− 2x
2
− 3. b) y = x
4
+ 2x
2
− 1.
c) y =
1
2
x
4
+ x
2
−
3
2
.
d) y = 3 −2x
2
− x
4
.
e) y = −x
4
+ 2x
2
− 2. f) y = 2x
4
− 4x
2
+ 1. g) y = −2x
4
− 4x
2
+ 1. h) y = x
4
− 4x
2
+ 3.
1.40. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) y =
4
2 −x
. b) y =
x − 3
2 − x
. c) y =
x + 3
x −1
. d) y =
−x + 2
2x + 1
.
e) y =
x −2
x + 1
. f) y =
x + 2
x − 1
. g) y =
2 −x
x + 1
. h) y =
x + 3
x −2
.
5
1.41. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) y =
x
2
+ 2x + 2
x + 1
. b) y =
x
2
− 2x − 3
x −2
. c) y =
2x
2
+ 5x + 4
x + 2
. d) y =
−x
2
− 2x
x + 1
.
e) y =
x
2
− 2x
x −1
. f) y =
2x
2
− x + 1
1 −x
.
g) y = −x + 2 +
1
x −1
. h) y = x − 1 +
1
x + 1
.
6
Chuyên đề 2
Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ
Phương Trình Đại Số
§1. Phương Trình & Bất Phương Trình Không Chứa Căn
A. Phương Pháp Giải Cơ Bản
1. Đưa về phương trình tích.
• Biến đổi đưa phương trình về dạng f(x).g(x) = 0.
• Áp dụng công thức f(x).g(x) = 0 ⇔
f(x) = 0
g(x) = 0
.
2. Đặt ẩn phụ.
• Chọn ẩn phụ t = u(x) phù hợp.
• Đưa phương trình về phương trình theo ẩn t đã biết cách giải (phương trình có thể vẫn chứa x).
3. Phuơng pháp khoảng (đối với phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối).
• Lập bảng xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.
• Xét phương trình trên từng khoảng.
Lưu ý. Nếu phương trình chỉ chứa một dấu trị tuyệt đối |f(x)| thì xét hai trường hợp f(x) ≥ 0 và f(x) < 0.
B. Bài Tập
2.1. Giải các bất phương trình sau
a) x
2
− 6x + 6 > 0. b) −4x
2
+ x − 2 ≥ 0.
c) x
4
− 4x
3
+ 3x
2
+ 8x − 10 ≤ 0. d) x
4
+ x
2
+ 4x − 3 ≥ 0.
2.2. Giải các bất phương trình sau
a)
x − 2
x
2
− 9x + 8
≥ 0.
b)
x
2
− 3x − 2
x −1
≥ 2x + 2.
c)
x + 5
2x −1
+
2x −1
x + 5
> 2. d)
1
x
2
− 5x + 4
<
1
x
2
− 7x + 10
.
2.3. Giải các phương trình sau
a) x
3
− 5x
2
+ 5x − 1 = 0.
b) x
3
− 3
√
3x
2
+ 7x −
√
3 = 0.
c) x
4
− 4x
3
− x
2
+ 16x − 12 = 0.
d) (x − 3)
3
+ (2x + 3)
3
= 18x
3
.
e)
x
2
+ 1
3
+ (1 − 3x)
3
=
x
2
− 3x + 2
3
.
f) (4 + x)
2
− (x − 1)
3
= (1 − x)
x
2
− 2x + 17
.
2.4. Giải các phương trình sau
a)
x
2
− 4x + 3
2
−
x
2
− 6x + 5
2
= 0. b) x
4
= (2x − 5)
2
.
c) x
4
+ 3x
2
+ 3 = 2x. d) x
4
− 4x − 1 = 0.
e) x
4
= 6x
2
− 12x + 8. f) x
4
= 2x
3
+ 3x
2
− 4x + 1.
2.5. Giải các phương trình sau
a) (x + 3)
4
+ (x + 5)
4
= 2. b) (x + 1)
4
+ (x + 3)
4
= 16.
c) (x + 3)
4
+ (x − 1)
4
= 82.
d) x
4
+ (x − 1)
4
=
29
8
.
2.6. Giải các phương trình sau
a) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 3. b)
x
2
+ 1
(x + 3) (x + 5) + 16 = 0.
c) (x − 1) (x −2) (x −3) (x −6) = 3x
2
.
d)
x
2
− 2x + 4
x
2
+ 3x + 4
= 14x
2
.
7
2.7. Giải các phương trình sau
a) x
4
− 4x
3
+ 6x
2
− 4x + 1 = 0. b) 2x
4
+ 3x
3
− 16x
2
− 3x + 2 = 0.
c) 2x
4
+ 3x
3
− 27x
2
+ 6x + 8 = 0. d) x
4
− 5x
3
+ 8x
2
− 10x + 4 = 0.
2.8. Giải các phương trình sau
a)
x
2
+ 5x
2
− 2
x
2
+ 5x
− 24 = 0.
b)
x
2
+ x + 1
x
2
+ x + 2
= 12.
c)
x
2
− 2x − 2
2
− 2x
2
+ 3x + 2 = 0. d) (4x + 3)
2
(x + 1) (2x + 1) = 810.
2.9. Giải các phương trình sau
a)
1
2x
2
− x + 1
+
1
2x
2
− x + 3
=
6
2x
2
− x + 7
. b)
4x
4x
2
− 8x + 7
+
3x
4x
2
− 10x + 7
= 1.
c)
x
2
+ 1
x
+
x
x
2
+ 1
= −
5
2
.
d)
x −1
x + 2
2
+
x − 3
x + 2
− 2
x −3
x −1
2
= 0.
e) x
2
+
x
x + 1
2
= 1. f)
1
x
2
+ x + 1
2
+
1
x
2
+ x + 2
2
=
13
36
.
2.10. Giải các phương trình sau
a) |x − 1| =
x
2
− 3x + 1
. b)
x
2
+ 4x − 5
=
x
2
+ 5
.
c)
x
2
− 5x + 4
− x = 4.
d)
√
x
2
+ 4x + 4 = 5 − x
2
.
e)
x
2
− 5x + 4
= x
2
+ 6x + 5. f)
x
2
− 5x + 5
= −2x
2
+ 10x − 11.
2.11. Giải các phương trình sau
a)
x
2
− x
2
+
x
2
− x
− 6 = 0. b) 3
2x −1
x + 1
2
−
x + 1
2x −1
− 6 = 0.
c)
x
2
+ 3x − 10
+
x
2
− 4
= 0. d)
x
2
+ 3x − 4
+
x
2011
+ 2011x − 2012
= 0.
2.12. Giải các bất phương trình sau
a) |x − 2| < |2x + 1|. b)
2x −3
x −3
≤ 1.
c)
x
2
− 5x + 4
≤ x
2
+ 6x + 5. d)
x
2
− 2x
+ x
2
− 4 > 0.
2.13. Giải các phương trình sau
a) |9 − x| = |6 −5x| + |4x + 3|. b)
x
2
− 5x + 4
+
x
2
− 5x
= 4.
c) |7 − 2x| = |5 −3x| + |x + 2|. d) |x − 1|− 2 |x − 2| + 3 |x − 3| = 4.
e)
√
x
2
− 2x + 1 +
√
x
2
+ 4x + 4 = 5.
f)
x + 2
√
x −1 +
x − 2
√
x − 1 = 2.
§2. Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn
A. Phương Pháp Giải Cơ Bản
1. Sử dụng phép biến đổi tương đương.
•
f(x) =
g(x) ⇔
f(x) ≥ 0
f(x) = g(x)
. •
f(x) = g(x) ⇔
g(x) ≥ 0
f(x) = g
2
(x)
.
•
3
f(x) =
3
g(x) ⇔ f(x) = g(x). •
3
f(x) = g(x) ⇔ f(x) = g
3
(x).
•
f(x) < g(x) ⇔
f(x) ≥ 0
g(x) > 0
f(x) < g
2
(x)
. •
f(x) > g(x) ⇔
g(x) < 0
f(x) ≥ 0
g(x) ≥ 0
f(x) > g
2
(x)
.
2. Đặt ẩn phụ
• Dạng 1: Đặt t = u(x), đưa phương trình về ẩn t (phương trình có thể vẫn chứa ẩn x).
• Dạng 2. Đặt u = u(x); v = v(x), đưa phương trình về hệ theo ẩn u và v.
3. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
• Dự đoán nghiệm (nếu có).
• Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chỉ ra phương trình chỉ có nghiệm đã dự đoán (hoặc chỉ ra PTVN).
4. Đánh giá hai vế.
• Đánh giá f(x) ≥ A; g(x) ≤ A. Khi đó f(x) = g(x) ⇔
f(x) = A
g(x) = A
.
8
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
B. Bài Tập
2.14. Giải các phương trình sau
a) x −
√
x −1 −7 = 0. b)
√
2x + 9 =
√
4 − x +
√
3x + 1.
c)
√
3x −3 −
√
5 − x =
√
2x −4.
d)
2x +
√
6x
2
+ 1 = x + 1.
e)
3
√
2x −1 +
3
√
x − 1 =
3
√
3x + 1. f)
3
√
x + 1 +
3
√
x + 2 +
3
√
x + 3 = 0.
2.15. Giải các bất phương trình sau
a)
√
x
2
− 4x − 12 > 2x + 3. b)
√
x
2
− 4x − 12 ≤ x − 4.
c)
3
√
6x −9x
2
< 3x. d)
√
x
3
+ 1 ≥ x + 1.
2.16. Giải các bất phương trình sau
a) (CĐ-09)
√
x + 1 + 2
√
x − 2 ≤
√
5x + 1. b) (A-05)
√
5x −1 −
√
x −1 >
√
2x −4.
c)
2x +
√
6x
2
+ 1 > x + 1.
d) (A-04)
2 (x
2
− 16)
√
x −3
+
√
x − 3 >
7 −x
√
x − 3
.
2.17. Giải các phương trình sau
a) (D-05) 2
x + 2 + 2
√
x + 1 −
√
x + 1 = 4. b)
x −1 + 2
√
x + 2 −
x −1 −2
√
x + 2 = 1.
c) x +
x +
1
2
+
x +
1
4
= 9.
d)
x + 2
√
x − 1 +
x − 2
√
x −1 =
x + 3
3
.
2.18. Giải các bất phương trình sau
a)
x
4
+
√
x − 4 ≥ 8 − x.
b) (D-02)
x
2
− 3x
√
2x
2
− 3x − 2 ≥ 0.
c) (x − 2)
√
x
2
+ 4 < x
2
− 4. d) (x + 2)
√
9 − x
2
≤ x
2
− 2x − 8.
e)
√
x
2
− 3x + 2 +
√
x
2
− 4x + 3 ≥ 2
√
x
2
− 5x + 4. f)
√
x
2
+ x − 2 +
√
x
2
+ 2x − 3 ≤
√
x
2
+ 4x − 5.
2.19. Giải các phương trình sau
a) (D-06)
√
2x −1 + x
2
− 3x + 1 = 0.
b)
7 − x
2
+ x
√
x + 5 =
√
3 − 2x − x
2
.
c)
√
2x
2
+ 8x + 6 +
√
x
2
− 1 = 2x + 2.
d) 3
2 +
√
x −2
= 2x +
√
x + 6.
e) x
2
+ 3x + 1 = (x + 3)
√
x
2
+ 1.
f)
x
2
−
7
x
2
+
x −
7
x
2
= x.
2.20. Giải các bất phương trình sau
a)
1 −
√
1 − 4x
2
x
< 3.
b)
1 −
√
21 − 4x + x
2
x + 1
≥ 0.
c)
2x
√
2x + 1 − 1
> 2x + 2.
d)
x
2
1 +
√
1 + x
2
> x − 4.
2.21. Giải các phương trình sau
a) (x + 5) (2 − x) = 3
√
x
2
+ 3x.
b)
(x + 1) (2 −x) = 1 + 2x − 2x
2
.
c)
√
x + 1 +
√
4 − x +
(x + 1) (4 −x) = 5.
d)
√
3x −2 +
√
x −1 = 4x − 9 + 2
√
3x
2
− 5x + 2.
2.22. Giải các phương trình sau
a) x +
√
4 − x
2
= 2 + 3x
√
4 − x
2
.
b) (x − 3) (x + 1) + 4 (x −3)
x+1
x−3
= −3.
c)
4
x
2
+
x
2
4 −x
2
+
5
2
√
4 − x
2
x
+
x
√
4 − x
2
+ 2 = 0.
d) (B-2011) 3
√
2 + x −6
√
2 − x + 4
√
4 − x
2
= 10 −3x.
2.23. Giải các phương trình sau
a) x
2
+ 3x + 2 ≥ 2
√
x
2
+ 3x + 5. b) x
2
+
√
2x
2
+ 4x + 3 ≥ 6 − 2x.
c) x(x + 1) −
√
x
2
+ x + 4 + 2 ≥ 0.
d) x
2
− 2x + 8 − 6
(4 −x) (2 + x) ≤ 0.
e)
x
x + 1
− 2
x + 1
x
> 3.
f)
√
x + 2 +
√
x − 1 + 2
√
x
2
+ x − 2 ≤ 11 − 2x.
2.24. Giải các phương trình sau
a) x
2
− 1 = 2x
√
x
2
− 2x. b) x
2
− 1 = 2x
√
x
2
+ 2x.
c) (4x − 1)
√
x
3
+ 1 = 2x
3
+ 2x + 1. d) x
2
+ 4x = (x + 2)
√
x
2
− 2x + 24.
2.25. Giải các phương trình sau
a)
3
√
2 −x = 1 −
√
x − 1. b) (A-09) 2
3
√
3x −2 + 3
√
6 − 5x − 8 = 0.
c) 2
x
2
+ 2
= 5
√
x
3
+ 1. d) 2
x
2
− 3x + 2
= 3
√
x
3
+ 8.
9
2.26. Giải các phương trình sau
a) x
2
+
√
x + 5 = 5. b) x
3
+ 2 = 3
3
√
3x −2.
c) x
3
+ 1 = 2
3
√
2x −1.
d) x
3
√
35 −x
3
x +
3
√
35 − x
3
= 30.
2.27. Giải các phương trình, bất phương trình sau
a) (B-2012) x + 1 +
√
x
2
− 4x + 1 ≥ 3
√
x.
b) (A-2010)
x −
√
x
1 −
2 (x
2
− x + 1)
≥ 1.
c)
3
√
x
2
− 2 =
√
2 − x
3
.
d) x +
3 (1 −x
2
) = 2
1 − 2x
2
.
2.28. Giải các phương trình sau
a)
√
4x −1 +
√
4x
2
− 1 = 1.
b)
√
x −1 = −x
3
− 4x + 5.
c)
√
2x −1 +
√
x
2
+ 3 = 4 − x.
d) x
5
+ x
3
−
√
1 − 3x + 4 = 0.
e) x
3
+ 4x − (2x + 7)
√
2x + 3 = 0. f) (CĐ-2012) 4x
3
+ x − (x − 1)
√
2x + 1 = 0.
2.29. Giải các phương trình sau
a)
√
x
2
− 2x + 5 +
√
x −1 = 2.
b)
√
x −2 +
√
4 − x = x
2
− 6x + 11.
c) 2
√
x −2 −1
2
+
√
x + 6 +
√
x −2 −2 = 0.
d)
√
5x
3
+ 3x
2
+ 3x − 2 =
1
2
x
2
+ 3x −
1
2
.
§3. Hệ Phương Trình Đại Số
A. Phương Pháp Giải Cơ Bản
1. Đưa về hệ mẫu mực. (Hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II, hệ đẳng cấp)
2. Phương pháp thế.
• Loại 1: Rút một biểu thức từ một phương trình rồi thế vào phương trình kia.
• Loại 2: Giải cụ thể một phương trình rồi thế vào phương trình kia.
• Loại 3. Thế hằng số.
3. Đặt ẩn phụ.
4. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
• Nếu y = f(x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì f(u) = f(v) ⇔ u = v.
• Nếu y = f(x) luôn đồng biến trên D còn y = g(x) luôn nghịch biến hoặc không đổi trên D thì phương trình
f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trên D.
B. Bài Tập
2.30. Giải các hệ phương trình sau
a)
x
2
+ y
2
+ xy = 7
x + y + xy = 5
. b)
x + y + xy = 1
x
3
+ y
3
− 3(x − y)
2
+ 2 = 0
.
c) (DB-05)
x
2
+ y
2
+ x + y = 4
x (x + y + 1) + y (y + 1) = 2
. d)
x
2
− xy + y
2
= 3 (x −y)
x
2
+ xy + y
2
= 7(x − y)
2
.
2.31. Giải các hệ phương trình sau
a)
x
2
− 2y
2
= 2x + y
y
2
− 2x
2
= 2y + x
. b)
x −3y =
4y
x
y − 3x =
4x
y
.
c)
2x + y =
3
x
2
2y + x =
3
y
2
. d) (B-03)
3y =
y
2
+ 2
x
2
3x =
x
2
+ 2
y
2
.
2.32. Giải các hệ phương trình sau
a)
x
2
− xy = 2
2x
2
+ 4xy −2y
2
= 14
. b)
x
2
− 2xy + 3y
2
= 9
x
2
− 4xy + 5y
2
= 5
.
c)
x
3
+ y
3
= 1
x
2
y + 2xy
2
+ y
3
= 2
. d) (DB-06)
(x −y)
x
2
+ y
2
= 13
(x + y)
x
2
− y
2
= 25
.
2.33. Giải các hệ phương trình sau
a)
x + y = −1
x
3
− 3x = y
3
− 3y
. b) (DB-06)
x
2
+ 1 + y (y + x) = 4y
x
2
+ 1
(y + x − 2) = y
.
c) (B-08)
x
4
+ 2x
3
y + x
2
y
2
= 2x + 9
x
2
+ 2xy = 6x + 6
. d) (D-09)
x (x + y + 1) − 3 = 0
(x + y)
2
−
5
x
2
+ 1 = 0
.
10
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
2.34. Giải các hệ phương trình sau
a) (B-02)
3
√
x −y =
√
x −y
x + y =
√
x + y + 2
. b) (A-03)
x −
1
x
= y −
1
y
2y = x
3
+ 1
.
c)
x
2
+ y
2
+
2xy
x+y
= 1
√
x + y = x
2
− y
. d)
6x
2
− 3xy + x + y = 1
x
2
+ y
2
= 1
.
2.35. Giải các hệ phương trình sau
a) (DB-07)
x
4
− x
3
y − x
2
y
2
= 1
x
3
y − x
2
− xy = −1
. b) (D-08)
xy + x + y = x
2
− 2y
2
x
√
2y − y
√
x −1 = 2x − 2y
.
c) (D-2012)
xy + x − 2 = 0
2x
3
− x
2
y + x
2
+ y
2
− 2xy −y = 0
. d)
x
3
+ 2y
2
= x
2
y + 2xy
2
x
2
− 2y −1 +
3
y
3
− 14 = x −2
.
2.36. Giải các hệ phương trình sau
a)
x
2
+ y
2
+ xy = 1
x
3
+ y
3
= x + 3y
. b)
x
3
+ 2xy
2
+ 12y = 0
8y
2
+ x
2
= 12
.
c) (DB-06)
x
3
− 8x = y
3
+ 2y
x
2
− 3 = 3
y
2
+ 1
. d) (A-2011)
5x
2
y − 4xy
2
+ 3y
3
− 2 (x + y) = 0
xy
x
2
+ y
2
+ 2 = (x + y)
2
.
2.37. Giải các hệ phương trình sau
a) (B-09)
xy + x + 1 = 7y
x
2
y
2
+ xy + 1 = 13y
2
. b)
2x
2
+ x −
1
y
= 2
y − y
2
x −2y
2
= −2
.
c)
8x
3
y
3
+ 27 = 18y
3
4x
2
y + 6x = y
2
. d)
x
3
− y
3
= 9
x
2
+ 2y
2
= x − 4y
.
2.38. Giải các hệ phương trình sau
a)
x (3x + 2y) (x + 1) = 12
x
2
+ 2y + 4x −8 = 0
. b)
x + y −
√
xy = 3
√
x + 1 +
√
y + 1 = 4
.
c) (CĐ-2010)
2
√
2x + y = 3 −2x −y
x
2
− 2xy −y
2
= 2
. d) (DB-05)
√
2x + y + 1 −
√
x + y = 1
3x + 2y = 4
.
e)
x
2
+ y
2
= 5
√
y − 1 (x + y −1) = (y −2)
√
x + y
. f) (A-08)
x
2
+ y + x
3
y + xy
2
+ xy = −
5
4
x
4
+ y
2
+ xy (1 + 2x) = −
5
4
.
2.39. Giải các hệ phương trình sau
a)
√
x + 10 +
√
y − 1 = 11
√
x −1 +
√
y + 10 = 11
. b)
√
x − 1 −
√
y = 8 −x
3
(x −1)
4
= y
.
c) (A-2012)
x
3
− 3x
2
− 9x + 22 = y
3
+ 3y
2
− 9y
x
2
+ y
2
− x + y =
1
2
. d) (A-2010)
4x
2
+ 1
x + (y − 3)
√
5 − 2y = 0
4x
2
+ y
2
+ 2
√
3 −4x = 7
.
§4. Phương Trình & Hệ Phương Trình Chứa Tham Số
A. Kiến Thức Bổ Sung
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên D và có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên D. Ta có:
• m = f(x) có nghiệm trên D ⇔ min
x∈D
f(x) ≤ m ≤ max
x∈D
f(x).
• m ≤ f(x) có nghiệm trên D ⇔ m ≤ max
x∈D
f(x).
• m ≥ f(x) có nghiệm trên D ⇔ m ≥ min
x∈D
f(x).
• m ≤ f(x), ∀x ∈ D ⇔ m ≤ min
x∈D
f(x).
• m ≥ f(x), ∀x ∈ D ⇔ m ≥ max
x∈D
f(x).
B. Phương Pháp Giải Cơ Bản
1. Phương pháp tam thức bậc hai.
• Dựa vào định lý về dấu tam thức bậc hai để có điều kiện phù hợp cho từng bài toán.
2. Phương pháp chiều biến thiên hàm số.
• Từ bài toán biến đổi và rút m theo f(x).
• Lập BBT của f(x). Từ BBT và các kiến thức bổ sung để rút ra KL.
3. Phương pháp điều kiện cần và đủ.
• Từ tính chất bài toán rút ra điều kiện cần để xảy ra bài toán.
• Giải điều kiện cần được m, thay lại vào bài toán để kiểm tra.
11
C. Bài Tập
2.40. Tìm m để phương trình
m −
√
5
x
2
− 3mx + m + 1 = 0.
a) Có nghiệm. b) Vô nghiệm c) Có hai nghiệm trái dấu.
2.41. Tìm m để phương trình x
2
+ 2 (m + 1) x + 9m − 5 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt.
2.42. Tìm m để phương trình (m − 2) x
2
− 2mx + m + 3 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt.
2.43. Tìm m để phương trình (m − 2) x
4
− 2 (m + 1) x
2
+ 2m − 1 = 0.
a) Có một nghiệm. b) Có hai nghiệm phân biệt. c) Có bốn nghiệm phân biệt.
2.44. (D-04) Tìm m để hệ
√
x +
√
y = 1
x
√
x + y
√
y = 1 −3m
có nghiệm.
2.45. Tìm m để bất phương trình
√
4x −2 +
√
16 − 4x ≤ m có nghiệm.
2.46. Tìm m để phương trình (x − 3) (x + 1) + 4 (x −3)
x+1
x−3
= m có nghiệm.
2.47. (DB-07) Tìm m để bất phương trình m
√
x
2
− 2x + 2 + 1
+ x (2 −x) ≤ 0 có nghiệm thuộc đoạn
0; 1 +
√
3
.
2.48. (A-07) Tìm m để phương trình 3
√
x −1 + m
√
x + 1 = 2
4
√
x
2
− 1 có nghiệm thực.
2.49. (B-06) Tìm m để phương trình
√
x
2
+ mx + 2 = 2x + 1 có hai nghiệm thực phân biệt.
2.50. (B-04) Tìm m để phương trình m
√
1 + x
2
−
√
1 − x
2
+ 2
= 2
√
1 − x
4
+
√
1 + x
2
−
√
1 − x
2
có nghiệm.
2.51. (A-08) Tìm m để phương trình
4
√
2x +
√
2x + 2
4
√
6 − x + 2
√
6 − x = m có hai nghiệm phân biệt.
2.52. (DB-07) Tìm m để phương trình
4
√
x
4
− 13x + m + x − 1 = 0 có đúng một nghiệm.
2.53. (B-07) Chứng minh rằng với mọi m > 0, phương trình x
2
+ 2x − 8 =
m (x −2) có hai nghiệm phân biệt.
2.54. Chứng minh rằng với mọi m, phương trình x
4
+ x
3
− 2x
2
+ 3mx − m
2
= 0 luôn có nghiệm.
2.55. (DB-04) Tìm m để hệ
x
2
− 5x + 4 ≤ 0
3x
2
− mx
√
x + 16 = 0
có nghiệm.
2.56. (D-2011) Tìm m để hệ
2x
3
− (y + 2) x
2
+ xy = m
x
2
+ x − y = 1 − 2m
có nghiệm.
2.57. Tìm m để hệ
√
1 − x
2
+ 2
3
√
1 − x
2
= m có nghiệm duy nhất.
2.58. Tìm m để hệ
x = y
2
− y + m
y = x
2
− x + m
có nghiệm duy nhất.
12
Chuyên đề 3
Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng
§1. Tọa Độ Trong Mặt Phẳng
A. Kiến Thức Cần Nhớ
Cho hai vectơ
−→
u (x
1
; y
1
) ,
−→
v (x
2
; y
2
) và ba điểm A (x
A
; y
A
) , B (x
B
; y
B
) , C (x
C
; y
C
). Ta có
• Hai vectơ bằng nhau:
−→
u =
−→
v ⇔
x
1
= x
2
y
1
= y
2
.
• Các phép toán vectơ:
−→
u ±
−→
v = (x
1
± x
2
; y
1
± y
2
); k
−→
u = (kx
1
; ky
1
).
• Hai vectơ cùng phương:
−→
u ,
−→
v cùng phương ⇔ ∃k = 0 :
−→
u = k
−→
v .
• Tích vô hướng của hai vectơ:
−→
u .
−→
v = x
1
x
2
+ y
1
y
2
.
• Hai vectơ vuông góc:
−→
u ⊥
−→
v ⇔
−→
u .
−→
v = 0.
• Độ dài vectơ: |
−→
u | =
x
2
1
+ y
2
1
.
• Góc giữa hai vectơ: cos (
−→
u ;
−→
v ) =
−→
u .
−→
v
|
−→
u
|
.
|
−→
v
|
.
• Tọa độ vectơ:
−−→
AB = (x
B
− x
A
; y
B
− y
A
).
• Khoảng cách giữa hai điểm: AB =
−−→
AB
=
(x
B
− x
A
)
2
+ (y
B
− y
A
)
2
.
• Tính chất trung điểm: I là trung điểm của AB ⇔ I
x
A
+ x
B
2
;
y
A
+ y
B
2
.
• Tính chất trọng tâm: G là trọng tâm ∆ABC ⇔ G
x
A
+ x
B
+ x
C
3
;
y
A
+ y
B
+ y
C
3
.
B. Bài Tập
3.1. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A (−1; 1) , B (2; 5) , C (4; 3). Tìm tọa độ điểm D sao cho
−−→
AD = 3
−−→
AB −2
−→
AC.
Tìm tọa độ điểm M sao cho
−−→
MA + 2
−−→
MB = 5
−−→
MC.
3.2. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A (2; 5) , B (1; 1) , C (3; 3). Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình
hành. Tìm tọa độ tâm hình bình hành đó.
3.3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A (−3; 2) , B (4; 3). Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Ox sao cho tam giác
MAB vuông tại M.
3.4. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (1; −1) , B (5; −3), đỉnh C thuộc trục Oy và trọng tâm G thuộc
trục Ox. Tìm tọa độ đỉnh C và trọng tâm G.
3.5. Trong mặt phẳng Oxy, cho A(−1; 3) , B (0; 4) , C (3; 5) , D (8; 0). Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.
3.6. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (0; 6) , B (−2; 0) , C (2; 0). Gọi M là trung điểm AB, G là trọng
tâm tam giác ACM và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh GI vuông góc với CM.
3.7. (A-04) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (0; 2) , B
−
√
3; −1
. Tìm toạ độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác OAB.
3.8. (B-03) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết M (1; −1) là trung điểm cạnh BC và
G
2
3
; 0
là trọng tâm tam giác. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác.
3.9. (D-04) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (−1; 0) , B (4; 0) , C (0; m) , m = 0. Tìm toạ độ trọng
tâm G. Tìm m để tam giác GAB vuông tại G.
3.10. (D-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A (3; −7), trực tâm là H (3; −1), tâm đường tròn
ngoại tiếp là I (−2; 0). Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương.
13
§2. Phương Trình Đường Thẳng
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Vectơ chỉ phương và pháp tuyến.
• Vectơ
−→
u =
−→
0 có giá song song hoặc trùng với ∆ gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
• Vectơ
−→
n =
−→
0 có giá vuông góc với ∆ gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.
Lưu ý.
−→
n (a; b) ⇒
−→
u (b; −a) và ngược lại.
2. Phương trình tham số của đường thẳng.
• Đường thẳng qua M (x
0
; y
0
) và có vectơ chỉ phương
−→
u (a; b) có phương trình tham số:
x = x
0
+ at
y = y
0
+ bt
.
3. Phương trình tổng quát của đường thẳng.
• Dạng: ax + by + c = 0 (a
2
+ b
2
= 0).
• Nhận xét: • Đường thẳng ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến
−→
n (a; b).
• Cho x
0
tuỳ ý ⇒ y
0
ta có điểm M (x
0
; y
0
) thuộc đường thẳng.
• Đường thẳng qua M (x
0
; y
0
) và có VTPT
−→
n (a; b) có PT: a (x −x
0
) + b (y − y
0
) = 0.
• Đường thẳng qua A(a; 0) và B (0; b) có phương trình
x
a
+
y
b
= 1 gọi là PT đoạn chắn.
• Trục Ox có phương trình y = 0 và trục Oy có phương trình x = 0.
4. Góc và khoảng cách.
• Góc giữa hai đường thẳng: cos(∆
1
; ∆
2
) =
|
−→
n
1
.
−→
n
2
|
|
−→
n
1
|. |
−→
n
2
|
.
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: d (M, ∆) =
|ax
0
+ by
0
+ c|
√
a
2
+ b
2
.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: d (∆
1
, ∆
2
) = d (M, ∆
2
), trong đó M là điểm bất kỳ trên ∆
1
.
B. Bài Tập
3.11. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A (−1; 2) , B (2; 3) và C (6; 2). Viết phương trình đường thẳng qua A và
song song với BC.
3.12. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (3; 5). Viết phương trình đường thẳng qua A cắt hai tia Ox, Oy lần lượt
tại M, N sao cho diện tích tam giác OMN bằng 30.
3.13. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (8; 6). Lập phương trình đường thẳng qua A và tạo với hai trục tọa độ
một tam giác có diện tích bằng 12.
3.14. (D-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (0; 2) và ∆ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông
góc của A trên ∆. Viết phương trình đường thẳng ∆, biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH.
3.15. (CĐ-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x + y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua
A (2; −4) và tạo với đường thẳng d một góc bằng 45
0
.
3.16. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d
1
: 2x −y + 5 = 0; d
2
: 3x + 6y −1 = 0 và điểm M (2; −1). Tìm
giao điểm A của d
1
, d
2
. Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M và cắt d
1
, d
2
lần lượt tại B, C sao cho tam giác
ABC cân tại A.
3.17. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B (−4; −5) và hai đường cao lần lượt có phương trình là
d
1
: 5x + 3y − 4 = 0 và d
2
: 3x + 8y + 13 = 0. Lập phương trình cạnh AC.
3.18. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có phương trình AB là 5x − 3y + 2 = 0; các đường cao qua đỉnh
A và B lần lượt là d
1
: 4x − 3y + 1 = 0 và d
2
: 7x + 2y − 22 = 0. Lập phương trình hai cạnh còn lại.
3.19. (CĐ-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC. Các đường thẳng BC, BB
, B
C
lần lượt có phương
trình là y −2 = 0, x −y + 2 = 0, x −3y + 2 = 0 với B
, C
tương ứng là chân các đường cao kẻ từ B, C của tam giác
ABC. Viết phương trình các đường thẳng AB, AC.
3.20. (D-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến
và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là d
1
: 7x − 2y − 3 = 0; d
2
: 6x − y − 4 = 0. Viết phương trình
đường thẳng AC.
3.21. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A (1; 3) và hai trung tuyến kẻ từ B và C lần lượt có phương
trình d
1
: x −2y + 1 = 0 và d
2
: y − 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC.
14
Chuyên đề 3. Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng
3.22. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (2; −1) và hai đường phân giác trong của góc B, C lần lượt
có phương trình là d
1
: x −2y + 1 = 0 và d
2
: x + y + 3 = 0. Lập phương trình cạnh BC.
3.23. (D-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C (−4; 1), phân giác trong góc A
có phương trình x + y −5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác bằng 24 và đỉnh A có
hoàng độ dương.
3.24. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành có hai cạnh là x + 3y −6 = 0 và 2x − 5y − 1 = 0. Biết hình bình
hành có tâm đối xứng I (3; 5), hãy viết phương trình hai cạnh còn lại của hình hành.
3.25. (A-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC
và BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y −5 = 0.
Viết phương trình đường thẳng AB.
3.26. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ :
x = −2 −2t
y = 1 + 2t
và điểm M (3; 1). Tìm điểm M (3; 1) sao cho
đoạn M B là ngắn nhất.
3.27. (B-07) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (2; 2) và các đường thẳng d
1
: x + y −2 = 0, d
2
: x + y −8 = 0. Tìm điểm
B ∈ d
1
và C ∈ d
2
sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
3.28. (B-04) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (1; 1) , B (4; −3). Tìm điểm C thuộc d : x − 2y − 1 = 0 sao cho khoảng
cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.
3.29. (B-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường thẳng ∆ : x − y − 4 = 0 và d : 2x − y − 2 = 0. Tìm tọa độ
điểm N thuộc d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.
3.30. (A-06) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba đương thẳng d
1
: x + y + 3 = 0, d
2
: x − y − 4 = 0, d
3
: x − 2y = 0. Tìm
M thuộc d
3
sao cho khoảng cách từ M đến d
1
bằng hai lần khoảng cách từ M đến d
2
.
3.31. Trong mặt phẳng Oxy, cho P (1; 6) , Q (−3; −4) và đường thẳng ∆ : 2x −y −1 = 0. Tìm toạ độ M trên ∆ sao
cho MP + MQ là nhỏ nhất. Tìm toạ độ N trên ∆ sao cho |N P −NQ| là lớn nhất.
3.32. (CĐ-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có C (−1; −2), đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao
kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5x + y −9 = 0; x + 3y − 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và B.
3.33. (A-02) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, đường thẳng chứa BC có phương trình
√
3x −y −
√
3 = 0, A và B thuộc Ox, bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm trọng tâm tam giác ABC.
3.34. (B-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B
1
2
; 1
. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC
tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm DEF . Cho D (3; 1) và đường thẳng EF có phương trình
y − 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A, biết A có tung độ dương.
3.35. (B-08) Trong mặt phẳng Oxy, tìm toạ độ đỉnh C của tam giác ABC biết hình chiếu C lên đường thẳng AB
là H(−1; −1), đường phân giác trong góc A là x −y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B là 4x + 3y − 1 = 0.
3.36. (D-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B (−4; 1), trọng tâm G (1; 1) và đường thẳng
chứa phân giác trong của góc A có phương trình x − y − 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và C.
3.37. (A-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A (6; 6); đường thẳng đi qua trung
điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y −4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E (1; −3) nằm
trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
3.38. (B-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A có đỉnh A (−1; 4) và các đỉnh B, C thuộc
đường thẳng ∆ : x − y −4 = 0. Xác định toạ độ các điểm B, C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
3.39. (B-02) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I
1
2
; 0
, AB : x−2y+2 = 0, cạnh AB = 2AD.
Tìm toạ độ các đỉnh biết A có hoành độ âm.
3.40. (A-05) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d
1
: x − y = 0, d
2
: 2x + y − 1 = 0. Tìm các đỉnh hình
vuông ABCD biết A thuộc d
1
, B thuộc d
2
và B, D thuộc trục hoành.
3.41. (D-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng AC và AD lần lượt có phương
trình là x + 3y = 0 và x − y + 4 = 0; đường thẳng BD đi qua điểm M
−
1
3
; 1
. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ
nhật ABCD.
3.42. (A-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên
cạnh CD sao cho CN = 2N D. Giả sử M
11
2
;
1
2
và đường thẳng AN có phương trình 2x − y −3 = 0. Tìm tọa độ
điểm A.
15
§3. Phương Trình Đường Tròn
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Phương trình đường tròn.
• Dạng 1: (x −a)
2
+ (y −b)
2
= R
2
(R > 0)
Có tâm I (a; b) và bán kính R =
√
R
2
.
• Dạng 2: x
2
+ y
2
− 2ax − 2by + c = 0
a
2
+ b
2
> c
Có tâm I (a; b) và bán kính R =
√
a
2
+ b
2
− c.
2. Tiếp tuyến với đường tròn.
• Tiếp tuyến tại M đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến là
−−→
IM.
• Phương trình tiếp tuyến tại M là: (x
0
− a) (x −x
0
) + (y
0
− b) (y − y
0
) = 0.
3. Bán kính đường tròn.
• Điểm M thuộc đường tròn khi và chỉ khi R = IM.
• Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi R = d (I; ∆).
B. Bài Tập
3.43. (B-06) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
− 2x − 6y + 6 = 0 và điểm M (−3; 1). Gọi T
1
, T
2
là các tiếp điểm vẽ từ M đến (C). Lập phương trình đường thẳng T
1
T
2
.
3.44. (D-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (1; 0) và đường tròn (C) : x
2
+ y
2
−2x + 4y −5 = 0. Viết phương
trình đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A.
3.45. (CĐ-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
− 2x − 4y + 1 = 0 và đường thẳng d :
4x −3y + m = 0. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho
AIB = 120
0
, với I là tâm của (C).
3.46. (D-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : (x −1)
2
+ y
2
= 1. Gọi I là tâm của (C). Xác định toạ độ
điểm M ∈ (C) sao cho
IMO = 30
0
.
3.47. (A-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x
2
+y
2
+4x+4y+6 = 0 và đường thẳng ∆ : x+my−2m+3 =
0, với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm M để ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
3.48. (A-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : x + y + 2 = 0 và đường tròn (C) : x
2
+ y
2
−4x −2y = 0.
Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C), (A, B là tiếp điểm). Tìm
tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.
3.49. (B-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : (x −2)
2
+ y
2
=
4
5
và hai đường thẳng ∆
1
: x − y = 0,
∆
2
: x − 7y = 0. Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn (C
1
), biết đường tròn (C
1
) tiếp xúc với
hai đường thẳng ∆
1
, ∆
2
và tâm K thuộc đường tròn (C).
3.50. (A-07) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (0; 2) , B (−2; −2) , C (4; −2). Gọi H là chân đường cao
vẽ từ B và M, N là trung điểm AB, BC. Viết phương trình đường tròn qua H, M, N.
3.51. (D-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : 2x − y + 3 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm
thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD = 2.
3.52. (B-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường tròn (C
1
) : x
2
+ y
2
= 4, (C
2
) : x
2
+ y
2
− 12x + 18 = 0 và
đường thẳng d : x − y −4 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C
2
) tiếp xúc với d và cắt (C
1
) tại hai
điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d.
3.53. (A-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d
1
:
√
3x + y = 0 và d
2
:
√
3x −y = 0. Gọi (T ) là đường
tròn tiếp xúc với d
1
tại A, cắt d
2
tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T),
biết tam giác ABC có diện tích bằng
√
3
2
và điểm A có hoành độ dương.
§4. Phương Trình Elip
A. Kiến Thức Cần Nhớ
O
y
x
F
1
F
2
A
1
A
2
B
1
B
2
16
Chuyên đề 3. Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng
• Phương trình chính tắc của elip:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1
b
2
= a
2
− c
2
.
• Trong đó:
Các đỉnh: A
1
(−a; 0), A
2
(a; 0), B
1
(0; −b), B
2
(0; b).
Các tiêu điểm: F
1
(−c; 0), F
2
(c; 0).
Trục lớn: A
1
A
2
= 2a.
Trục nhỏ: B
1
B
2
= 2b.
Tiêu cự: F
1
F
2
= 2c.
Tâm sai: e =
c
a
.
Bán kính qua tiêu: M F
1
= a +
cx
a
, MF
2
= a −
cx
a
.
B. Bài Tập
3.54. Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài trục lớn, độ dài trục bé của mỗi elip có phương trình sau
a)
x
2
25
+
y
2
4
= 1. b)
x
2
9
+
y
2
4
= 1.
c) x
2
+ 4y
2
= 4.
3.55. Viết phương trình chính tắc của các đường elip (E) trong mỗi trường hợp sau
a) (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai e =
√
3
2
.
b) (E) có độ dài trục bé bằng 8 và tiêu cự bằng 4.
c) (E) có một tiêu điểm là F
√
3; 0
và đi qua điểm M
1;
√
3
2
.
3.56. (A-08) Trong mặt phẳng Oxy, lập phương trình chính tắc của elip có tâm sai bằng
√
5
3
và hình chữ nhật cơ
sở có chu vi 20.
3.57. (D-05) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm C(2; 0) và elip (E) :
x
2
4
+
y
2
1
= 1. Tìm A,B thuộc (E) biết A, B đối
xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC đều.
3.58. (B-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A
2;
√
3
và elip (E) :
x
2
3
+
y
2
2
= 1. Gọi F
1
và F
2
là các tiêu điểm
của (E) (F
1
có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF
1
với (T ); N là điểm đối xứng
của F
2
qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF
2
.
3.59. (B-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và đường tròn tiếp xúc với các cạnh
của hình thoi có phương trình x
2
+ y
2
= 4. Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua các đỉnh A, B, C, D của
hình thoi. Biết A thuộc Ox.
3.60. (A-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho (E) :
x
2
4
+
y
2
1
= 1. Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E), có hoành
độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.
3.61. (A-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
= 8. Viết phương trình chính tắc của elip (E),
biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông.
17
Chuyên đề 4
Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát
Hàm Số
§1. Cực Trị Của Hàm Số
A. Kiến Thức Bổ Sung
Cách tính tung độ cực trị:
• Nếu y = f
(x).g(x) + r(x) thì y
0
= r(x
0
).
• Nếu y =
u(x)
v(x)
thì y
0
=
u
(x
0
)
v
(x
0
)
.
B. Bài Tập
4.1. Tìm m để hàm số y = x
3
− 3 (m + 1) x
2
+ 9x − m đạt cực trị tại x
1
, x
2
thỏa |x
1
− x
2
| ≤ 2.
4.2. Tìm m để hàm số y = x
3
+ 2 (m − 1) x
2
+
m
2
− 4m + 1
x + 1 đạt cực trị tại x
1
, x
2
thỏa
1
x
1
+
1
x
2
=
1
2
(x
1
+ x
2
).
4.3. (D-2012) Tìm m để hàm số y =
2
3
x
3
− mx
2
− 2
3m
2
− 1
x +
2
3
có hai điểm cực trị x
1
và x
2
sao cho x
1
x
2
+
2 (x
1
+ x
2
) = 1.
4.4. Tìm m để hàm số y = −x
3
+ (2m + 1) x
2
−
m
2
− 3m + 2
x − 4 có hai cực trị nằm về hai phía trục tung.
4.5. (DB-05) Tìm m để hàm số y =
x
2
+ 2mx + 1 − 3m
2
x −m
có hai cực trị nằm về hai phía trục tung.
4.6. (DB-04) Tìm m để hàm số y = x
3
−3 (m + 1) x
2
+ 3m (m + 2) x + 1 đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành
độ dương.
4.7. Tìm m để hàm số y =
mx
2
+ 3mx + 2m + 1
x −1
có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục Ox.
4.8. (A-02) Cho hàm số y = −x
3
+ 3mx
2
+ 3
1 − m
2
x + m
3
−m
2
. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị của hàm số.
4.9. Tìm m để hàm số y = x
3
−
3
2
mx
2
+
1
2
m
3
có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
4.10. (B-07) Tìm m để hàm số y = −x
3
+ 3x
2
+ 3
m
2
− 1
x −3m
2
−1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị cách
đều gốc toạ độ.
4.11. Tìm m để hàm số y = x
3
− 3mx − 3m + 1 có cực trị đồng thời chúng cách đều đường thẳng d : x − y = 0.
4.12. (D-2011) Tìm m để hàm số y = x
4
−2 (m + 1) x
2
+ m có ba cực trị A,B, C sao cho OA = BC, trong đó O là
gốc tọa độ và A thuộc trục tung.
4.13. Tìm m để hàm số y = x
4
− 2mx
2
+ 2m + m
4
có cực đại, cực tiểu lập thành tam giác đều.
4.14. (A-2012) Tìm m để hàm số y = x
4
− 2 (m + 1) x
2
+ m
2
có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam
giác vuông.
4.15. (A-07) Tìm m để hàm số y =
x
2
+ 2 (m + 1) x + m
2
+ 4m
x + 2
có cực đại cực tiểu đồng thời các điểm cực trị cùng
với gốc toạ độ tạo thành một tam giác vuông.
18
4.16. (B-2012) Tìm m để hàm số y = x
3
− 3mx
2
+ 3m
3
có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện
tích bằng 48.
4.17. (A-05) Tìm m để hàm số y = mx +
1
x
có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm
cận xiên bằng
1
√
2
.
4.18. (B-05) Chứng minh rằng với mọi m bất kỳ, hàm số y =
x
2
+ (m + 1) x + m + 1
x + 1
luôn có điểm cực đại, điểm
cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng
√
20.
4.19. Tìm m để hàm số y =
1
3
x
3
− mx
2
− x + m + 1 có khoảng cách giữa cực đại, cực tiểu là nhỏ nhất.
§2. Tương Giao Giữa Hai Đồ Thị
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Giao điểm của hai đồ thị.
• Hoành độ giao điểm của (C
1
) : y = f(x) và (C
2
) : y = g(x) là nghiệm của phương trình f(x) = g(x).
• Số giao điểm của (C
1
) và (C
2
) bằng số nghiệm của phương trình f(x) = g(x).
Lưu ý. Phương trình f(x) = g(x) gọi là phương trình hoành độ giao điểm.
2. Sự tiếp xúc giữa hai đồ thị.
• Đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau tại M (x
0
; y
0
) ⇔
f(x
0
) = g(x
0
)
f
(x
0
) = g
(x
0
)
.
B. Bài Tập
4.20. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = x
3
+ 3x
2
− 3x − 2 và parabol y = x
2
− 4x + 2.
4.21. Tìm m để đồ thị hàm số y = mx
3
− x
2
− 2x + 8m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
4.22. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
− 3mx
2
− 1 cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt.
4.23. Tìm a để đồ thị hàm số y = x
3
+ ax + 3 cắt đường thẳng y = 1 tại đúng một điểm.
4.24. (D-06) Gọi d là đường thẳng đi qua A (3; 20) và có hệ số góc m. Tìm m để d cắt đồ thị hàm số y = x
3
−3x + 2
tại ba điểm phân biệt.
4.25. (A-2010) Tìm m để hàm số y = x
3
− 2x
2
+ (1 − m) x + m có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có
hoành độ x
1
, x
2
, x
3
thoả mãn điều kiện x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
< 4.
4.26. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
−mx
2
+ 4x + 4m − 16 cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1.
4.27. Chứng minh rằng đồ thị hàm số y =
x − 1
x + 1
luôn cắt đường thẳng y = m −x với mọi giá trị của m.
4.28. Tìm m để đường thẳng qua A (−2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số y =
2x −1
x + 1
tại hai điểm thuộc hai
nhánh phân biệt.
4.29. (D-2011) Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị hàm số y =
2x + 1
x + 1
tại hai điểm phân biệt A, B
sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.
4.30. Chứng minh với mọi giá trị của m thì đường thẳng y = 2x + m luôn cắt đồ thị hàm số y =
x + 3
x + 1
tại hai điểm
phân biệt M, N. Xác định m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất.
4.31. (B-09) Tìm m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị hàm số y =
x
2
− 1
x
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
AB = 4.
4.32. Tìm m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị hàm số y =
x
2
− 2x + 2
x −1
tại hai điểm A, B đối xứng nhau qua
đường thẳng y = x + 3.
4.33. Tìm m để đồ thị hàm số y = −x
4
+ 2mx
2
− 2m + 1 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
19
Chuyên đề 4. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số
4.34. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
4
− (3m + 4) x
2
+ m
2
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập
thành cấp số cộng.
4.35. (D-09) Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị hàm số x
4
− (3m + 2) x
2
+ 3m tại bốn điểm phân biệt có
hoành độ nhỏ hơn 2.
4.36. (DB-08) Tìm m để đồ thị hàm số y = x
4
− 8x
2
+ 7 tiếp xúc với đường thẳng y = mx − 9.
4.37. (D-02) Tìm m để đồ thị hàm số y =
(2m − 1) x −m
2
x −1
tiếp xúc với đường thẳng y = x.
4.38. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
4
− 2mx
2
+ m
3
− m
2
tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt.
§3. Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
• Hệ số góc của tiếp tuyến tại M (x
0
; y
0
) là k = y
(x
0
).
• Phương trình tiếp tuyến tại M (x
0
; y
0
) là y = y
(x
0
) (x −x
0
) + y
0
.
B. Bài Tập
4.39. (B-04) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị hàm số y =
1
3
x
3
−2x
2
+ 3x (C) tại tâm đối xứng và chứng
minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
4.40. (DB-08) Cho hàm số y = x
3
+ 3mx
2
+ (m + 1) x + 1. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = −1 đi
qua điểm A (1; 2).
4.41. (TN-08) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
3x −2
x + 1
tại điểm có tung độ bằng −2.
4.42. (DB-06) Cho hàm số y =
x + 3
x + 1
. Tiếp tuyến tại điểm (S) bất kỳ của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại P và
Q. Chứng minh S là trung điểm P Q.
4.43. Cho hàm số (Cm) : y = x
3
+ 1 − m (x + 1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại giao điểm của
(Cm) với Oy. Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn hai trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 8.
4.44. (TN-09) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
2x + 1
x −2
, biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng −5.
4.45. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
−x + 3
2x −1
biết tiếp tuyến song song với đường phân giác
góc phần tư thứ hai của mặt phẳng toạ độ.
4.46. (CĐ-2012) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số y =
2x + 3
x + 1
, biết d vuông góc với đường thẳng
y = x + 2.
4.47. (D-05) Cho hàm số y =
1
3
x
3
−
m
2
x
2
+
1
3
có đồ thị (Cm). Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng −1.
Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x −y = 0.
4.48. (B-06) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
x
2
+ x − 1
x + 2
(C). Biết rằng tiếp tuyến đó vuông
góc với tiệm cận xiên của (C).
4.49. (DB-07) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
x
x −1
sao cho tiếp tuyến và hai tiệm cận cắt
nhau tạo thành một tam giác cân.
4.50. Tìm m để (Cm) : y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C (0; 1) , D, E sao cho
các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.
4.51. (A-2011) Cho hàm số (C) : y =
−x + 1
2x −1
. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị
(C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k
1
, k
2
lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m
để tổng k
1
+ k
2
đạt giá trị lớn nhất.
4.52. (B-08) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 4x
3
− 6x
2
+ 1, biết tiếp tuyến qua M (−1; −9).
20
4.53. (DB-07) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
−x + 1
2x + 1
, biết tiếp tuyến qua giao điểm của tiệm
cận đứng và trục Ox.
4.54. (DB-05) Cho hàm số y =
x
2
+ 2x + 2
x + 1
có đồ thị (C). Gọi I là giao hai tiệm cận. Chứng minh rằng không có
tiếp tuyến nào của (C) đi qua I.
4.55. Tìm trên đường thẳng y = −4 các điểm kẻ được ba tiếp tuyến đến (C) : y = x
3
− 12x + 12.
§4. Biện Luận Số Nghiệm Phương Trình Bằng Đồ Thị
A. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Vẽ đồ thị hàm số y = f (|x|).
• Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) và bỏ phần đồ thị bên trái Oy.
• Đối xứng phần đồ thị bên phải Oy qua Oy.
2. Vẽ đồ thị hàm số y = |f(x)|.
• Vẽ đồ thị hàm số y = f(x).
• Đối xứng phần đồ thị dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị dưới Ox.
3. Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = k(m).
• Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = k(m) song song với Ox.
• Số nghiệm phương trình f(x) = k(m) là số giao điểm của đồ thị y = f(x) với đường thẳng y = k(m).
• Dựa vào mối tương quan trong hình vẽ để biện luận.
B. Bài Tập
4.56. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x
3
− 3x
2
− 1. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình
x
3
− 3x
2
− k = 0.
4.57. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x
3
− 3x
2
+ 1. Biện luận theo m số nghiệm phương trình
4x
3
− 6x
2
− m = 0.
4.58. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x
4
+ 2x
2
+ 3. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x
4
− 2x
2
+ m − 1 = 0.
4.59. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x
4
− 4x
2
+ 3. Tìm m để phương trình
1
2
x
4
− 2x
2
+ m = 0 có
bốn nghiệm phân biệt.
4.60. (DB-06) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =
x
2
+ 2x + 5
x + 1
. Tìm m để phương trình sau có hai
nghiệm dương phân biệt x
2
+ 2x + 5 =
m
2
+ 2m + 5
(x + 1).
4.61. (A-06) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x
3
− 9x
2
+ 12x − 4. Tìm m để phương trình sau có
sáu nghiệm phân biệt 2|x|
3
− 9x
2
+ 12 |x| = m.
4.62. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −2x
3
+3x
2
−2. Tìm m để phương trình 2|x|
3
−3x
2
+2 (m + 1) = 0
có đúng bốn nghiệm.
4.63. (DB-03) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =
2x
2
− 4x − 3
2 (x −1)
. Tìm m để phương trình 2x
2
− 4x −
3 + 2m |x −1| = 0 có hai nghiệm phân biệt.
4.64. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =
x
2
+ 3x + 3
x + 1
. Tìm m để phương trình
x
2
+3x+3
|x+1|
= m có bốn
nghiệm phân biệt.
4.65. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x
3
−3x
2
+ 4. Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân
biệt |x − 1|
3
− 3 |x −1| −m = 0.
4.66. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x
3
−3x+1. Tìm m để phương trình
x
3
− 3x + 1
−2m
2
+m = 0
có ba nghiệm phân biệt.
4.67. (B-09) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x
4
− 4x
2
. Với các giá trị nào của m, phương trình
x
2
x
2
− 2
= m có đúng sáu nghiệm thực phân biệt.
4.68. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x
4
− 4x
2
+ 3. Tìm m để phương trình
x
4
− 4x
3
+ 3
= m có
đúng tám nghiệm.
21
Chuyên đề 4. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số
§5. Đối Xứng - Khoảng Cách & Các Bài Toán Khác
4.69. Tìm m để hàm số y =
m
2
x −2
x −1
qua điểm A (2; 6).
4.70. Tìm các hệ số m, n sao cho hàm số y = −x
3
+ mx + n đạt cực tiểu tại điểm x = −1 và đồ thị của nó đi qua
điểm M (1; 4).
4.71. Chứng minh rằng điểm uốn của đồ thị hàm số (C) : y = x
3
− 6x
2
+ 9x là tâm đối xứng của nó.
4.72. Chứng minh rằng đồ thị hàm số (C) : y =
2x + 1
x + 1
nhận giao điểm I của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
4.73. (D-04) Tìm m để tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = x
3
− 3mx
2
+ 9x + 1 thuộc đường thẳng y = x + 1.
4.74. Tìm m để đồ thị hàm số y = −
x
3
m
+ 3x
2
− 2 nhận I (1; 0) làm điểm uốn.
4.75. Tìm các điểm trên đồ thị hàm số y =
2x −1
x − 1
có tọa độ là các số nguyên.
4.76. Tìm trên đồ thị hàm số y =
−x
2
+ 3x − 1
x −1
các điểm có toạ độ nguyên.
4.77. Tìm điểm cố định của họ đường cong (Cm) : y = x
3
+ 2 (m − 1) x
2
+
m
2
− 4m + 1
x − 2
m
2
+ 1
.
4.78. Chứng minh rằng với mọi m = ±1, họ đường cong (Cm) : y =
mx −1
x − m
luôn đi qua hai điểm cố định. Gọi M
là giao điểm của hai tiệm cận của (Cm), tìm tập hợp điểm M khi m thay đổi.
4.79. Cho họ đường cong (Cm) : y = mx
3
+ (1 − m) x. Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho không có
đường nào của (Cm) đi qua.
4.80. (DB-06) Tìm trên đồ thị hàm số y = −
1
3
x
3
+ x
2
+ 3x −
11
3
hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua Oy.
4.81. Tìm trên đồ thị hàm số y = x
3
+ 3x − 2 hai điểm đối xứng nhau qua M (2; 18).
4.82. Tìm trên đồ thị hàm số y =
3x + 1
x −2
hai điểm đối xứng nhau qua M (−2; −1).
4.83. Cho hàm số y =
x + 1
x −1
có đồ thị (C). Tìm trên (C) hai điểm phân biệt A, B đối xứng nhau qua đường thẳng
d : x + 2y − 3 = 0.
4.84. (B-03) Tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
− 3x
2
+ m có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ.
4.85. (DB-04) Tìm trên đồ thị hàm số y =
x
x + 1
những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng
d : 3x + 4y = 0 bằng 1.
4.86. Cho hàm số y =
4x + 1
x + 1
có đồ thị (C). Tìm trên (C) các điểm cách đều hai trục tọa độ.
4.87. Cho hàm số y =
x
2
− x + 1
x −1
. Tìm điểm M trên đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm I của
hai tiệm cận là nhỏ nhất.
4.88. Cho hàm số y =
3x −5
x −2
có đồ thị (C). Tìm điểm M trên (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là
nhỏ nhất.
4.89. Cho hàm số y =
x −1
x + 1
có đồ thị (C). Tìm điểm M trên (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ
là nhỏ nhất.
4.90. Tìm hai điểm trên hai nhánh đồ thị hàm số y =
x −2
x −1
có khoảng cách bé nhất.
22
Chuyên đề 5
Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm
Số Lôgarit
§1. Lũy Thừa
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Các định nghĩa.
• Lũy thừa với số mũ nguyên dương: a
n
= a.a a
n thừa số
(a ∈ R, n ∈ N
∗
).
• Lũy thừa với số mũ 0: a
0
= 1 (a = 0).
• Lũy thừa với số mũ nguyên âm: a
−n
=
1
a
n
(a = 0, n ∈ N
∗
).
• Căn bậc n: b là căn bậc n của a ⇔ b
n
= a.
Lưu ý: Khi n lẻ thì a có đúng một căn bậc n là
n
√
a.
Khi n chẵn thì a < 0 không có căn bậc n.
a = 0 có một căn bậc n là 0.
a > 0 có hai căn bậc n là ±
n
√
a.
• Lũy thừa với số mũ hữu tỷ: a
m
n
=
n
√
a
m
(a > 0; m, n ∈ Z; n ≥ 2).
• Lũy thừa với số mũ thực: a
α
= lim
n→+∞
a
r
n
a > 0; (r
n
) ⊂ Q; lim
n→+∞
r
n
= α
.
2. Các tính chất của lũy thừa với số mũ thực.
Cho hai số a, b > 0 và α, β là những số thực tuỳ ý. Ta có
• a
α
.a
β
= a
α+β
.
•
a
α
a
β
= a
α−β
.
• (a
α
)
β
= a
αβ
.
• (ab)
α
= a
α
.b
α
.
•
a
b
α
=
a
α
b
α
.
• Nếu a > 1 thì a
α
> a
β
⇔ α > β. • Nếu 0 < a < 1 thì a
α
> a
β
⇔ α < β.
• Nếu α > 0 thì 0 < a < b ⇔ a
α
< b
α
.
• Nếu α < 0 thì 0 < a < b ⇔ a
α
> b
α
.
B. Bài Tập
5.1. Tính giá trị các luỹ thừa sau
a) (0, 04)
−1,5
− (0, 125)
−
2
3
. b)
1
16
−0,75
+
1
8
−
4
3
.
c) 27
2
3
+
1
16
−0,75
− 25
0,5
.
d) (−0,5)
−4
− 625
0,25
−
2
1
4
−1
1
2
.
e) 81
−0,75
+
1
125
−
1
3
−
1
32
−
3
5
.
f)
10
2+
√
7
2
2+
√
7
.5
1+
√
7
.
g)
4
2
√
3
− 4
√
3−1
.2
−2
√
3
.
h)
6
25 + 4
√
6 −
3
1 + 2
√
6
3
1 − 2
√
6.
5.2. Rút gọn các biểu thức sau
a)
x
5
4
y + xy
5
4
4
√
x +
4
√
y
.
b)
a
1
3
√
b + b
1
3
√
a
6
√
a +
6
√
b
.
23
c)
√
a −
√
b
4
√
a −
4
√
b
−
√
a −
4
√
ab
4
√
a +
4
√
b
.
d)
a −b
3
√
a −
3
√
b
−
a + b
3
√
a +
3
√
b
.
e)
a
2
√
3
− 1
a
2
√
3
+ a
√
3
+ a
3
√
3
a
4
√
3
− a
√
3
.
f)
a + b
3
√
a +
3
√
b
−
3
√
ab
:
3
√
a −
3
√
b
2
.
g)
a −1
a
3
4
+ a
1
2
.
√
a +
4
√
a
√
a + 1
.a
1
4
+ 1.
h)
a +
b
3
2
a
1
2
a
1
2
− b
1
2
a
1
2
+
b
1
2
a
1
2
− b
1
2
−
2
3
.
5.3. Hãy so sánh các cặp số sau
a)
3
√
10 và
5
√
20. b)
4
√
13 và
5
√
23.
c) 3
600
và 5
400
.
d)
3
√
7 +
√
15 và
√
10 +
3
√
28.
5.4. Tính A =
a + b + c + 2
√
ab + bc +
a + b + c − 2
√
ab + bc, (a, b, c > 0, a + c > b)
§2. Lôgarit
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Định nghĩa. α = log
a
b ⇔ a
α
= b (a, b > 0; a = 1).
2. Tính chất.
• log
a
1 = 0. • log
a
a = 1.
• a
log
a
b
= b.
• log
a
(a
α
) = α.
• Khi a > 1 thì log
a
b > log
a
c ⇔ b > c. • Khi 0 < a < 1 thì log
a
b > log
a
c ⇔ b < c.
3. Quy tắc tính.
• log
a
(bc) = log
a
b + log
a
c.
• log
a
b
c
= log
a
b − log
a
c.
• log
a
1
b
= −log
a
b.
• log
a
b
α
= αlog
a
b.
• log
a
n
√
b =
1
n
log
a
b.
• log
a
b = log
a
c.log
c
b.
• log
a
b =
1
log
b
a
.
• log
a
α
b =
1
α
log
a
b.
4. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên.
• Lôgarit thập phân: Là lôgarit có cơ số a = 10. Ký hiệu: log x hoặc lg x.
• Lôgarit tự nhiên: Là lôgarit có cơ số a = e. Ký hiệu: ln x.
B. Bài Tập
5.5. Tính
a) log
3
4
√
3.
b) 2log
27
log 1000. c) log
25
8.log
8
5.
d) log 45 − 2 log 3.
e) 3log
2
log
4
16 + log
1
2
2.
f) log
2
48 −
1
3
log
2
27.
g) 5ln e
−1
+ 4 ln
e
2
√
e
.
h) log 72 − 2 log
27
256
+ log
√
108.
i) log 0, 375 − 2 log
√
0, 5625.
5.6. Đơn giản biểu thức
a)
log
2
4 + log
2
√
10
log
2
20 + log
2
8
.
b)
log
2
24 −
1
2
log
2
72
log
3
18 −
1
3
log
3
72
. c)
log
7
2 +
1
log
5
7
log 7.
d) log
a
a
2
.
3
√
a.
5
√
a
4
4
√
a
.
e) log
5
log
5
5
5
5
√
5
n dấu căn
.
f) 9
2log
3
4+4log
81
2
.
g) 16
1+log
4
5
+ 4
1
2
log
2
3+3log
5
5
.
h)
81
1
4
−
1
2
log
9
4
+ 25
log
125
8
49
log
7
2
. i) 72
49
1
2
log
7
9−log
7
6
+ 5
−log
√
5
4
.
5.7. So sánh các cặp số sau:
a) log
3
6
5
và log
3
5
6
.
b) log
1
2
e và log
1
2
π.
c) log
2
10 và log
5
30.
d) log
5
3 và log
0,3
2.
e) log
3
5 và log
7
4. f) log
3
10 và log
8
57.
5.8. Tính log
4
1250 theo a, biết a = log
2
5.
5.9. Tính log
54
168 theo a, b, biết a = log
7
12, b = log
12
24.
5.10. Tính log
140
63 theo a, b, c, biết a = log
2
3, b = log
3
5, c = log
7
2.
5.11. Tính log
3
√
25
135 theo a, b, biết a = log
4
75, b = log
8
45.
5.12. Chứng minh rằng ab + 5 (a −b) = 1, biết a = log
12
18, b = log
24
54.
5.13. Cho y = 10
1
1−log x
, z = 10
1
1−log y
. Chứng minh rằng x = 10
1
1−log z
.
5.14. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng (abc)
a+b+c
3
≤ a
a
b
b
c
c
.
24
Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit
§3. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Hàm số luỹ thừa.
• Dạng: y = x
α
(α ∈ R).
• Tập xác định:
Nếu α nguyên dương thì D = R.
Nếu α = 0 hoặc nguyên âm thì D = R\{0}.
Nếu α không nguyên thì D = (0; +∞).
• Đạo hàm: y
= αx
α−1
.
• Tính chất: (Xét trên (0; +∞))
α > 0: Hàm số luôn đồng biến.
α < 0: Hàm số luôn nghịch biến.
O O
y y
x x
α > 0 α < 0
2.
Hàm số m
ũ.
• Dạng: y = a
x
(0 < a = 1).
• Tập xác định: D = R.
• Đạo hàm: y
= a
x
ln a.
• Tính chất:
a > 1: Hàm số luôn đồng biến.
a < 1: Hàm số luôn nghịch biến.
O O
y y
x x
a > 1 0 < a < 1
1 1
3. Hàm số lôgarit.
• Dạng: y = log
a
x (0 < a = 1).
• Tập xác định: D = (0; +∞).
• Đạo hàm: y
=
1
x ln a
.
• Tính chất:
a > 1: Hàm số luôn đồng biến.
a < 1: Hàm số luôn nghịch biến.
O O
y y
x x
a > 1 0 < a
< 1
1 1
4. Đạo hàm của
hàm số lũy thừa, mũ và lôgarit.
• (x
α
)
= αx
α−1
. • (u
α
)
= αu
α−1
.u
. • (e
x
)
= e
x
. • (e
u
)
= u
e
u
. • (a
x
)
= a
x
ln a.
• (a
u
)
= u
a
u
ln a.
• (lnx)
=
1
x
.
• (lnu)
=
u
u
.
• (log
a
x)
=
1
x ln a
.
• (log
a
u)
=
u
u ln a
.
B. Bài Tập
5.15. Tìm tập xác định của các hàm số sau
a) y =
x
2
− 2
−2
.
b) y =
2 −x
2
2
7
.
c) y =
x
2
− x − 2
√
2
.
d) y = log
2
(5 −2x). e) y = log
3
x
2
− 2x
.
f) y = log
0,4
3x+2
1−x
.
5.16. Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) y =
3x
2
− 4x + 1
√
2
.
b) y = 3x
2
− ln x + 4 sin x.
c) y = 2xe
x
+ 3 sin 2x.
d) y = log
x
2
+ x + 1
.
e) y = ln
e
x
1+e
x
.
f) y =
x
2
−
1
4
e
2x
.
g) y =
e
4x
+ 1 − ln x
π
.
h) y =
2 ln x+1
4 ln x−5
.
i) y = ln
2e
x
+ ln
x
2
+ 3x + 5
.
5.17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
a) y = x − e
2x
trên [0;1]. b) y = e
2x
− 2e
x
trên [−1;2]. c) y = (x + 1) e
x
trên [−1;2].
d) y = ln
3 + 2x − x
2
trên [0;2].
e) y = ln
4 −3x
2
− x
4
.
f) y = x
2
− ln (1 − 2x) trên [−2; 0].
g) y = x
2
e
−x
trên [0; ln 8]. h) y = x
2
ln x trên [1; e]. i) y = 5
x
+ 5
1−x
trên [0; log
5
8].
§4. Phương Trình & Bất Phương Trình Mũ
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Phương trình mũ cơ bản.
• Dạng: a
x
= b (0 < a = 1).
• Cách giải:
b ≤ 0: Phương trình vô nghiệm.
b > 0: a
x
= b ⇔ x = log
a
b.
2. Bất phương trình mũ cơ bản.
• Dạng: a
x
> b (0 < a = 1).
• Cách giải:
b ≤ 0: S = R.
b > 0, a > 1: a
x
> b ⇔ x > log
a
b.
0 < a < 1: a
x
> b ⇔ x < log
a
b.
Lưu ý. Các dạng a
x
≥ b; a
x
< b; a
x
≤ b dựa vào dấu để có cách giải tương ứng.
25
