Slide Hệ thức Viét và ứng dụng

Nếu phương trình bậc hai ax
2
+ bx +c = 0 có nghiệm thì dù đó là
hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép ta đều có thể viết các
nghiệm đó dưới dạng:
a
b
x,
a
b
x
22
21
∆−−
=
∆+−
=
H·y tÝnh : x
1
+x
2
=
x
1
. x
2
=

1 2
2 2

b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
+ = +
( )
2
2
2
b b
a
b
a
− + ∆ + − − ∆
=
−
= =
-
b
a
2 2
( ) ( )
.
1 2
2 2 2 .2
b
b b
x x
a a a a
   

 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
− − ∆
− + ∆ − − ∆
= × =
2 2 2
2 2
2
( 4 )
4 4
4
4
b b b ac
a a
ac
a
− ∆ − −
= =
= =
c
a

Bài tập 25: Đối với mỗi ph ơng trình sau, kí hiệu x
1
và x
2
là hai nghiệm (nếu có).
Không giải ph ơng trình, hãy điền vào những chỗ trống ( ):

a/ 2x
2
- 17x+1= 0, = x
1
+x
2
= ; x
1
.x
2
=
b/ 5x
2
- x- 35 = 0, = x
1
+x
2
= x
1
.x
2
=
c/ 8x
2
- x+1=0, = x
1
+x
2
= x
1

.x
2
=
d/ 25x
2
+ 10x+1= 0, = x
1
+x
2
= x
1
.x
2
=
17
2
1
2
1
5
-7
2
5

1
25
Khụng cúKhụng cú
hoạt động nhóm: bài 25 (sgk- 52 )
Nhóm 1: a, c. Nhóm 2: b, c. Nhóm 3: c, d
(-17)

2
4.2.1 = 281
(-1)
2
4.5.(-35) = 701
(-1)
2
4.8.1 = -31
10
2
4.25.1 = 0

Hoạt Động nhóm
Nhóm 1 và nhóm 2 ( Làm ?2 )
Cho ph ơng trình 2x
2
- 5x+3 = 0 .
a) Xác định các hệ số a,b,c rồi tính a+b+c.
b) Chứng tỏ x
1
= 1 là một nghiệm của ph
ơng trình.
c) Dùng định lý Vi- ét để tìm x
2.
.
Nhóm 3 và nhóm 4 (Làm ?3)
Cho ph ơng trình 3x
2
+7x+4=0.
a) Chỉ rõ các hệ số a,b,c của ph ơng

trình v tính a-b+c
b) Chứng tỏ x
1
= -1 là một nghiệm của
ph ơng trình.
c) Tìm nghiệm x
2.
1. Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì







=
=+
a
c
x.x
a

b
xx
21
21
áp dụng
Tit 59 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG

1. HÖ thøc vi Ðt
§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x
1
, x
2

lµ hai nghiÖm
cña ph ¬ng tr×nh ax
2
+ bx + c= 0 (a≠0)
th× :







=
−=+
a
c
x.x

a
b
xx
21
21
¸p dông
Tæng qu¸t 1 : NÕu ph ¬ng tr×nh
ax
2
+bx+c= 0 (a≠ 0 ) cã a+b+c=0 th× ph
¬ng tr×nh cã m«t nghiÖm x
1
=1, cßn
nghiÖm kia lµ
c
a
x
2
=
Ho¹t §éng nhãm
Nhãm 1 vµ nhãm 2 ( Lµm ?2 )
Trả lời:
Phương trình 2x
2
-5x + 3 = 0
a/ a =2 ; b = - 5 ; c = 3
a+b+c =2+(-5)+3=0
b/ Thay x=1 vào phương trình ta
được:
2+(-5)+3=0

Vậy x=1 là một nghiệm của phương
trình
c/ Ta có x
1
.x
2
= c/a = 3/2 => x
2
= 3/2
Tiết 59 BÀI 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

1. HÖ thøc vi Ðt
§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x
1
, x
2

lµ hai nghiÖm
cña ph ¬ng tr×nh ax
2
+ bx + c= 0 (a≠0) th×







=
−=+

a
c
x.x
a
b
xx
21
21
¸p dông
Tæng qu¸t 1 : NÕu ph ¬ng tr×nh
ax
2
+bx+c= 0 (a≠ 0 ) cã a+b+c=0 th× ph
¬ng tr×nh cã m«t nghiÖm x
1
=1, cßn
nghiÖm kia lµ
c
a
x
2
=
Tæng qu¸t 2: NÕu ph ¬ng tr×nh
ax
2
+bx+c=0 (a≠0 ) cã a-b+c = 0 th× ph
¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x
1
= -1, cßn
nghiÖm kia lµ

x
2
=
c
a
−
Ho¹t §éng nhãm
Nhóm 3 và nhóm 4:
Phương trình 3x
2
+7x + 4= 0
a/ a =3 ; b = 7 ; c = 4
a-b+c =3 + (- 7) + 4 = 0
b/ Thay x= -1 vào phương trình ta
được: 3+(-7)+4=0
Vậy x= -1 là một nghiệm của phương
trình
c/ Ta có x
1
.x
2
= c/a = 4/3 => x
2
= -4/3
Tiết 59 BÀI 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

1. Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x

2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì







=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
áp dụng
?4:Tính nhẩm nghiệm của ph ơng trình
a/ - 5x
2
+3x +2 =0;
b/ 2004x
2

+ 2005x+1=0
b/ 2004x
2
+2005x +1=0
có a=2004 ,b=2005 ,c=1
=>a-b+c=2004-2005+1=0
x
2
= -
1
2004
Vậy x
1
= -1,
a/ -5x
2
+3x+2=0 có a=-5, b=3, c=2
=>a+b+c= -5+3+2= 0.
Vậy x
1
=1,
2
2 2
5 5
x

= =

Tổng quát 1 : Nếu ph ơng trình
ax

2
+bx+c= 0 (a 0 ) có a + b + c = 0 thì
ph ơng trình có môt nghiệm x
1
=1, còn
nghiệm kia là
c
a
x
2
=
Tổng quát 2: Nếu ph ơng trình
ax
2
+bx+c=0 (a0 ) có a-b+c = 0 thì ph ơng
trình có một nghiệm x
1
= -1, còn nghiệm
kia là
x
2
=
c
a

Tit 59 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
Lời giải

2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P

thì hai số đó là hai nghiệm của ph ơng
trình x
2
Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S
2
-4P 0
+ Cho hai số có tổng l S và tích
bằng P. Gọi một số là x thì số kia là
x(S x) = P
Nếu = S
2
- 4P 0,
thì ph ơng trình (1) có nghiệm.Các nghiệm này
chính là hai số cần tìm.
áp dụng
Ví dụ 1: Tìm hai số, biết tổng của chúng
bằng 27, tích của chúng bằng 180.
Giải :
Hai số cần tìm là nghiệm của ph ơng trình.
x
2_
27x +180 = 0
= 27
2
- 4.1.180 = 729-720 = 9 >0
12
2
327
15

2
327
21
=

==
+
= x,x
Vậy hai số cần tìm là 15 và 12
S -x .
Theo giả thiết ta có ph ơng trình
<=> x
2
- Sx + P= 0 (1)

9
=
= 3

1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì

=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
áp dụng
Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2. Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P
thì hai số đó là hai nghiệm của ph ơng
trình x
2
Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S
2
-4P 0
áp dụng

?5. Tìm hai số biết tổng của chúng
bằng 1, tích của chúng bằng 5.
Giải
Hai số cần tìm là nghiệm của ph ơng trình
: x
2
- x + 5 = 0
= (-1)
2
4.1.5 = -19 < 0.
Ph ơng trình vô nghiệm.
Vậy không có hai số nào có tổng bằmg 1
và tích bằng 5.
Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của ph ơng
trình x
2
-5x+6 = 0.
Giải.

= 25 24 = 1>0
Vì: 2+3 =5; 2.3 = 6,
nên x
1
= 2, x
2
= 3 là hai nghiệm
của ph ơng trình đã cho.
Tit 59 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG

1.Hệ thức vi ét

Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì







=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
áp dụng
Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2.Tìm hai số biết tổng và tích

của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
ph ơng trình x
2
Sx
+ P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S
2
-4P 0
Bài 27/ SGK.Dùng hệ thức Vi-ét
để tính nhẩm các nghiệm của ph
ơng trình.
a/ x
2
7x+12= 0 (1)
b/ x
2
+7x+13=0 (2)
Nửa lớp làm câu a .
Nửa lớp làm câu b.
Giải
a/ =(7)
2
4.1.12 = 49 48 =1 > 0.
Vì : 3 + 4 = 7 và 3. 4 = 12
nên x
1
=3, x
2

= 4
là hai nghi m c a ph ơng trình
(1)
Tit 59 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
b/ =(-7)
2
4.1.13 = 49 52 = -3 < 0.
V y: Ph ơng trình (2) vô nghiệm.

1.HƯ thøc vi Ðt
§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x
1
, x
2

lµ hai nghiƯm
cđa ph ¬ng tr×nh ax
2
+ bx + c= 0(a≠0) th×







=
−=+
a
c

x.x
a
b
xx
21
21
¸p dơng
Tỉng qu¸t 1 :(SGK)
Tỉng qu¸t 2:(SGK)
2.T×m hai sè biÕt tỉng vµ tÝch
cđa chóng :
NÕu hai sè cã tỉng b»ng S vµ tÝch
b»ng P th× hai sè ®ã lµ hai nghiƯm cđa
ph ¬ng tr×nh x
2
- Sx +
P = 0
§iỊu kiƯn ®Ĩ cã hai sè ®ã lµ S
2
-4P ≥0
Tiết 59 BÀI 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Hai số u và v là hai nghiệm của
phương trình: x
2
– 32x + 231 = 0
∆’ = 256 – 231 = 25 > 0
⇒ = 5
x
1
= 16 + 5 = 21

x
2
= 16 – 5 = 11
Vậy u = 21, v = 11 ho c u = 11,v = ặ
21
25
Bài tập: 28 (a) /SGK.
Tìm hai số u và v biết u +
v=32, u.v = 231.
Gi¶i

Qua bi hc ta cú th nhm nghim ca pt x
2
6x + 5 = 0 bng
my cỏch?
* Dựng iu kin a+b+c=0 hoc a-b+c=0 tớnh nhm nghim
Giải
Ta có a=1, b= - 6, c=5
=>a + b + c = 1+(- 6) + 5 = 0.
Nờn phng trỡnh cú hai nghim l:
1 2
1; 5
c
x x
a
= = =
* Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm.
Vì : 1 + 5 = 6 và 1. 5 = 5
nên x
1

=1 ,x
2
= 5 là hai nghi m c a ph ơng trình
Giải
= 9 5 = 4>0

1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét:
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của ph ơng trình
ax
2
+ bx + c= 0 (a0) thì







=
=+
a
c
x.x
a

b
xx
21
21
áp dụng
Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2.Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
ph ơng trình x
2
Sx
+ P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S
2
-4P 0
Hng dn t hc:
a) Bi va hc:
- Hc thuc nh lớ Vi-ột v
cỏch tỡm hai s bit tng v tớch.
- Nm
vng cỏch nhm nghim: a+b+c=0;
a-b+c=0
- Trng hp tng v tớch
ca hai nghim ( S v P) l nhng s
nguyờn cú giỏ tr tuyt i khụng quỏ
ln.
Tit 59 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG

BTVN : Lm cỏc phn cũn li v cỏc
bi tp phn luyn tp