tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

a. Thế nào là đờng trung trực của một
đoạn thẳng?
b. Cho đoạn thẳng AB, hãy dùng thớc
có chia khoảng và êke vẽ đờng trung
trực của đoạn AB.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B1 : Xác định trung điểm
M của đoạn thẳng AB
d
B2 : Qua trung điểm M dùng êke
kẻ đường thẳng d vuông góc với AB








b. Cách vẽ đường trung trực của đoạn thẳng bằng thước và êke
A B


M


Dïng thíc vµ compa dùng

®êng trung trùc cña ®o¹n
th¼ng nh thÕ nµo?
A B
?
 

1. §Þnh lý vÒ tÝnh chÊt cña c¸c ®iÓm thuéc ®êng trung trùc.
TiÕt 59: tÝnh chÊt ®êng trung trùc cña mét
®o¹n th¼ng
a. Thùc hµnh:
+ C¾t mét m¶nh giÊy, trong ®ã cã mét mÐp c¾t lµ ®o¹n th¼ng AB.
A B

A B
≡
1
+ GÊp m¶nh giÊy sao cho mót A trïng víi mót B. Ta ®îc nÕp gÊp 1.
NÕp gÊp 1 lµ ®êng
trung trùc cña ®o¹n AB
kh«ng? T¹i sao?
NÕp gÊp 1 lµ ®êng trung trùc cña ®o¹n AB v× nÕp
gÊp 1 vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iÓm cña nã.

Từ một điểm M tuỳ ý trên nếp gấp1, gấp đoạn thẳng MA ( hoặc MB )
đợc nếp gấp 2.
A B

2
1
M

Em hãy so sánh khoảng cách từ điểm M
tới điểm A và từ điểm M tới điểm B ?
Khi gấp hình A trùng với B nên MA trùng với MB hay MA = MB

VËy ®iÓm n»m trªn ®êng trung trùc
cña mét ®o¹n th¼ng cã tÝnh chÊt g×?

§iÓm n»m trªn ®êng trung trùc cña mét ®o¹n
th¼ng th× c¸ch ®Òu hai ®Çu mót cña ®o¹n th¼ng ®ã.
TiÕt 59: tÝnh chÊt ®êng trung trùc cña mét
®o¹n th¼ng
Cô thÓ: NÕu M n»m trªn ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB th× MA = MB
H·y viÕt GT, KL cña ®Þnh lý
M ®êng trung trùc cña AB
∈
MA = MB
GT
KL
d
i
A B
M

Xét MIA và MIB
IA = IB (gt)
MI cạnh chung


d
i

A B
M
Có
MIA = MIB = 90
0
Vậy MIA = MIB (c.g.c)
Do đó MA = MB
Chứng minh

: V× M thuéc ®êng trung trùc cña AB
 MB = MA = 5cm

Gäi M lµ ®iÓm n»m trªn ®êng trung trùc cña ®o¹n AB.
Cho MA = 5 cm. Hái MB =?

NÕu ®iÓm M c¸ch ®Òu hai ®Çu mót
cña ®o¹n th¼ng AB th× ®iÓm M cã
n»m trªn ®êng trung trùc cña ®o¹n
th¼ng AB hay kh«ng?
Em hãy lập mệnh đề
đảo của định lý 1?

b. Định lý 1
Điểm nằm trên đờng trung trực của một đoạn thẳng thì
cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
Tiết 59: tính chất đờng trung trực của một
đoạn thẳng
2. Định lý đảo
Định lý 2
Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm

trên đờng trung trực của đoạn thẳng đó.
Đoạn thẳng AB
MA = MB
M thuộc trung trực của đoạn
thẳng AB
GT
KL
Hãy viết GT, KL của định lý

i

a. M ∈ AB
Ta có MA = MB (gt)
 M là trung điểm của đoạn thẳng AB
Do đó M ∈ đường trung trực của AB


B


A
M
Chứng minh

b. M ∉ AB
Kẻ MH vuông góc với đoạn thẳng AB tại H (1)
 MAH =MBH (c.huyền- c.góc vuông)
AH = HB (hai cạnh tương ứng) (2)
A


B

M
H
Vậy M∈ đường trung trực của AB
Từ (1) và (2)  MH là trung trực của AB

b. Định lý 1
Điểm nằm trên đờng trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều
hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
Tiết 59: tính chất đờng trung trực của một
đoạn thẳng
2. Định lý đảo
Định lý 2
Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đ
ờng trung trực của đoạn thẳng đó.
Từ Định lý thuận và Định lý đảo. Em có
nhận xét gì về tập hợp các điểm cách
đều hai đầu mút của đoạn thẳng?
Nhận xét:
Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đ
ờng trung trực của đoạn thẳng đó.

Tiết 59: tính chất đờng trung trực
của một đoạn thẳng
1. Định lý về tính chất của các điểm thuộc đ#ờng trung trực.
2. Định lý đảo:
3. ứng dụng:
Dựa trên t/c các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn
thẳng, ta có thể vẽ đ6ợc đ6ờng trung trực của đoạn

thẳng MN bằng th6ớc và compa nh6 sau:

B2: Lấy M làm tâm vẽ cung tròn bán kính R > 1/2 MN
B1: Vẽ đoạn thẳng MN
B3: Lấy N làm tâm vẽ cung tròn có cùng bán kính.Gọi giao của
hai cung là P và Q
B4: Dùng thớc vẽ đờng thẳng PQ. Vậy PQ chính là
đờng trung trực của MN
P
Q
3. ứng dụng: !!"##$%&'!()
I
M N









Chứng minh đờng thẳng PQ
đúng là trung trực của đoạn
thẳng MN.
*: Nối PM, PN, QM, QN. Sau
đó sử dụng định lý 2
N
M
P

Q
I
Chứng minh
Theo cách vẽ có PM = PN = R suy ra P thuộc trung trực của MN
QM = QN = R suy ra Q thuộc trung trực của MN
Vậy đờng thẳng PQ là trung trực của đoạn thẳng MN



+,
-
Khi vÏ hai cung trßn, ta ph¶i lÊy b¸n kÝnh R >
1/2MN th× hai cung trßn ®ã míi cã ®iÓm chung
- Giao ®iÓm I cña ®#êng th¼ng PQ víi ®#êng th¼ng MN !
 cña ®o¹n th¼ng MN nªn c¸ch vÏ trªn còng lµ c¸ch dùng
trung ®iÓm cña mét ®o¹n th¼ng b»ng th#íc vµ compa
M
N
P
Q
I
 


Cho tam giác cân ABC, BDC, EBC có chung đáy BC.
Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.
B
C
A
E

D
GT
KL
ABC: AB = AC
DBC: DB = DC
EBC: EB = EC
A, D, E thẳng hàng
AB = AC (gt) A thuộc trung trực của BC ( ĐL 2)
Tơng tự DB = DC (gt)
EB = EC (gt)
E, D cũng thuộc trung trực của BC
A, D, E thẳng hàng ( vì cùng thuộc trung trực của BC )
Chứng minh