ĐỀ THI HSG GIẢI TOÁN LỚP 9

PHÒNG GD& ĐT THANH SƠN
ĐỀ THI CHON HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC: 2009 – 2010
Thời gian 150 phút
Câu 1(1,5 điểm): Cho S
n
= 3
3n + 3
- 26n – 27
a) Viết quy trình tính S
n
với n = 0, n = 1, n= 2, n= 3
b) Chứng minh S
n

M
169
∀
n
∈
N
Câu 2(1,5 điểm): Cho S =
1 1 1

2 1 1 2 3 2 2 3 100 99 99 100
+ + +
+ + +
a) Viết quy trình liên tục tính S
b) Bằng lập luận toán chứng minh máy tính đã cho kết quả đúng
Câu 3(2,5 điểm)): Cho C = 2004.2006( 2005
2

+ 1) và D = 2005
4
a) Viết quy trình tính C – D? em có nhận xét gì về kết quả trên?
b) Bằng lập luận toán tính C – D từ đó so sánh C và D
Câu 4(1,5 điểm). Tổng tất cả các góc trong và một trong các góc ngoài của đa giác là 2225
0
. Hỏi
đa giác có bao nhiêu cạnh
Câu 5 (2,5 điểm). Tìm số dư của phép chia x
5
– 6,723x
3
+ 1,857x
2
– 6,458x + 4,319 cho x + 2,318
Câu 6 (2 điểm). Cho phương trình x
2
– 5x + 14 - 4
1x +
= 0
a) Viết quy trình tìm nghiệm gần đúng của phương trình?
b) Hãy giải phương trình trên?
Câu 7(2,5 điểm). Cho 4 số tự nhiên a = 2438195760, b = 3785942160, c= 4753869120, d=
4876391520. Biết rằng 4 số đó đều chia hết cho các số tự nhiên từ 2 đến 18. Hãy viết quy trình ấn
phím để kiểm tra kết luận đó
Câu 8( 2 điểm). Tính cạnh đáy BC của tam giác cân ABC biết đường cao ứng với cạnh đáy bằng
15,6 và đường cao ứng với cạnh bên bằng 12cm
Câu 9(2,5 điểm). Dân số một nước là 65 triệu người, mức tăng dân số là 1,2 % mỗi năm.Tính dân
số nước ấy sau 15 năm?
Câu 10(1,5 điểm). Cho đa thức P(x) = x

4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d. Biết P(1) = 10, P(2) = 20, P(3) =
30 . Tính P(12) + P(-8)
( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
PHÒNG GD & ĐT THANH SƠN
HƯỚNG DẪN CHẤM
Hướng dẫn chấm dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách được thực hiện trên máy tính
CASIO – 570MS. Thí sinh sử dụng loại máy CASIO khác có tính năng tương đương mà cho kết
quả đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm từng phần ứng với thang điểm của hướng dẫn.
Giám khảo cần bám sát yêu cầu giữa phần tính và phần lý luận của bài giải của thí sinh để cho
điểm.
Tổ chấm nên chia nhỏ 0,25. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần
Câu 1.Cho S
n
= 3
3n + 3
- 26n – 27
c) Viết quy trình tính S
n
với n = 0, n = 1, n= 2, n= 3
d) Chứng minh S
n

M
169
∀

n
∈
N
Phần Hướng dẫn chấm Điểm
a)
b)
3 ^ ( 3 ALPHA A + 3 ) - 26 ALPHA A - 27
CALC 0 = kq S
0
= 0
CALC 1 = kq S
1
= 676
CALC 2 = KQ S
2
=19604
CALC 3 = KQ S
3
= 531336
Ta có S
n
= (27 . 27
n
– 27) – 26n
= 27( 27
n
– 1) – 26n
= 27 ( 27 – 1) (27
n -1
+ 27

n – 2
+ + 27 + 1) -26n
= 26( 27
n
+ 27
n – 1
+ + 27 + 1- n)
= 26 [ ( 27
n
– 1) + ( 27
n -1
– 1) + ( 27- 1)]
Ta có 26
M
13 và 27
k
– 1
M
26
M
13 nên S
n
M
169
Câu 2: Cho S =
1 1 1

2 1 1 2 3 2 2 3 100 99 99 100
+ + +
+ + +

c) Viết quy trình liên tục tính S
d) Bằng lập luận toán chứng minh máy tính đã cho kết quả đúng
Phần Hướng dẫn chấm Điểm
a)
b)
ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 ALPHA : ALPHA A
ALPHA = ALPHA A + 1: ( ( ALPHA X + 1) ALPHA
X + ALPHA X ( ALPHA X + 1 )
Lặp lại phím =
Sau 198 lần lặp được S =
9
10
Xét
1 1 1 1 1
( 1) 1 ( 1)( 1 ) ( 1) 1
n n
n n n n n n n n n n n n
+ −
= = = −
+ + + + + + + +
Áp dụng
S =
1 1 1 1 1 1

1 2 2 3 99 100
− + − + −
=
1 1 9
1 1
10 10

100
− = − =
Câu 3: Cho C = 2004.2006( 2005
2
+ 1) và D = 2005
4
c) Viết quy trình tính C – D? em có nhận xét gì về kết quả trên?
d) Bằng lập luận toán tính C – D từ đó so sánh C và D
Phần Hướng dẫn chấm Điểm
a)
b)
2004 x 2006 ( 2005 x
2
+ 1 ) – 2005 ^ 4 = KQ – 100
Đây chỉ là kết quả chưa đúng vì máy tính chỉ tính và cho kết quả
đúng vói phép tính có kết quả 10 chữ số
Ta có C= ( 2005 -1)( 2005 + 1) ( 2005
2
+ 1) - 2005
4
= ( 2005
2
– 1)(2005
2
+ 1) – 2005
4
= 2005
4
– 1 – 2005
4

= -1
Câu 4. Tổng tất cả các góc trong và một trong các góc ngoài của đa giác là 2225
0
. Hỏi đa giác có
bao nhiêu cạnh
Phần Hướng dẫn chấm Điểm
Gọi số cạnh đa giác là n( n
≥
3 và n
∈
N)
Gọi số đo một góc ngoài là m
Theo đầu bài ta có ( n – 2) 180 + m = 2225
⇒
m = 2225 – 180n + 360
⇒
m= 2585 – 180n
Vì 0 <m < 180 nên
2585 180 0 180 2585 14,36111111
2585 180 180 180 2405 13,36111111
n n
n n n
− > < <
  
⇔ ⇔
  
− < > >
  
Vậy n= 14
Câu 5. Tìm số dư của phép chia x

5
– 6,723x
3
+ 1,857x
2
– 6,458x + 4,319 cho x + 2,318
Phần Hướng dẫn chấm Điểm
Đặt f(x) = x
5
– 6,723x
3
+ 1,857x
2
– 6,458x + 4,319
Theo định lý Bơ zu dư trong phép chia đa thức f(x) cho x +
2,318là f( - 2,318)
Quy trình:
ALPHA X ^ 5 – 6, 723 ALPHA X ^ 3 + 1,857 ALPHA X X
2
– 6,458 ALPHA X + 4,319
CALC - 2,318 = KQ: 46,07910779
Câu 6. Cho phương trình x
2
– 5x + 14 - 4
1x +
= 0
c) Viết quy trình tìm nghiệm gần đúng của phương trình?
d) Hãy giải phương trình trên?
Phần Hướng dẫn chấm Điểm
a)

b)
APPHA X X
2
– 5 ALPHA X + 14 – 4 ( ALPHA X + 1
) ALPHA = 0
SHIFT SOLVE nhập một giá trị bất kỳ x
≥
1 chẳng hạn
1 = SHIFT SLOVE
kq: 2,999993313
PT
⇔
( x
2
– 6x + 9) + ( x +1 – 4
1x +
+4) = 0

⇔
( x – 3)
2
+ (
1x +
- 2)
2
= 0

⇔
3 0
3

1 2
x
x
x
− =


⇔ =

+ =


( thoả mãn điều kiện x
≥
-1)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
Câu 7. Cho 4 số tự nhiên a = 2438195760, b = 3785942160, c= 4753869120, d= 4876391520.
Biết rằng 4 số đó đều chia hết cho các số tự nhiên từ 2 đến 18. Hãy viết quy trình ấn phím để
kiểm tra kết luận đó
Phần Hướng dẫn chấm Điểm
a) BCNN ( 2,3, 18) = 2
4
.3
2
.5.7.11.13.17
Quy trình 2 ^ 4 x 3 x
2
x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 = KQ:
12252240 SHIFT STO A
2438195560 : ALPHA A = KQ: 199

3785942160 : ALPHA A = KQ: 309
4753869120 : ALPHA A = KQ: 388
4876391520 : ALPHA A = KQ:398
Câu 8. Tính cạnh đáy BC của tam giác cân ABC biết đường cao ứng với cạnh đáy bằng 15,6 và
đường cao ứng với cạnh bên bằng 12cm
Phần Hướng dẫn chấm Điểm
a) Gọi AH, BK là đường cao của tam giác ABC ta có
S = AH. BC = BK. AC

⇒
AC =
. .15,6 13
12 10
BC AH BC
BC
BK
= =
Theo định lý pi ta go trong tam giác AHC vuông tại H
⇒
AH
2
+ HC
2
= AC
2
⇒
15,6
2
+ (
2

BC
)
2
= (
13
10
BC
)
2
⇒
BC = 13cm (yêu cầu viết quy trình)
Câu 9. Dân số một nước là 65 triệu người, mức tăng dân số là 1,2 % mỗi năm.Tính dân số nước
ấy sau 15 năm?
Phần Hướng dẫn chấm Điểm
Gọi dân số ban đầu là a và mức tăng dân số là m(%)
Sau 1 năm tổng số dân là a + am = a( 1+ m)
Sau 2 năm tổng số dân là a(1+m) + a(1+m)m = a(1+m)
2
Sau 3 năm tổng số dân là a(1+m)
2
+ a(1+m)
2
.m = a(1+m)
3

Sau n năm tổng số dân là a(1+m)
n
Áp dụng với a = 65000000; m= 1,2%, n = 15
Viết quy trình KQ: 77735794,95
Vậy sau 15 năm dân só tăng từ 65 triệu đến 77 triệu 735795

người
Câu 10. Cho đa thức P(x) = x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d. Biết P(1) = 10, P(2) = 20, P(3) = 30 . Tính
P(12) + P(-8)
Phần Hướng dẫn chấm Điểm
Đặt Q(x) = P(x) – 10x
Ta có Q(1) = Q(2) = Q(3) = 0
Vì P(x) có bậc 4 hệ số cao nhất là 1 nên
Q(x) = ( x-1)(x-2)(x-3)(x-m)
⇒
P(x) = Q(x) + 10x
⇒
P(12) + P(-8) = 11.10.9(12-m) +120 + 9.10.11(8+m) -80
= 11.10.9(12-m + 8+m) +40
= 11.10.9.20 +40
Quy trình
11 x 10 x 9 x 20 + 40 = KQ: 19840