Đề thi HSG toán lớp 9 (2)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1:
a. Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 1 thì số
n
3
2 1
+
chia hết cho 3
n+1

nhưng không chia hết cho 3
n+2
.
b. Tìm tất cả các số nguyên x, y biết x > y > 0 thỏa mãn x³ + 7y = y³ +
7x
Câu 2: Giải phương trình
x 3 2 x 4 x 4 x 4 a− − − + − − =
(a là tham số).
Câu 3: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R kẻ hai tiếp
tuyến PA, PB với A, B là các tiếp điểm. Gọi H là chân đường vuông góc
hạ từ điểm A đến đường kính BC. Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung
điểm của AH; Tính AH theo R và PO = d.
Câu 4: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức P = ab + c(b – c + 1).
Câu 5:
a. Giải phương trình:
3
2
3

4(y 1). y 1 4
x 1
x
(y 1)
− − +
+
+
−
= 10
b. Giải hệ phương trình
2 2 2
2
x y 8xy 16 8 y
xy x 2

− + = −


= +


Câu 6: Trên đường thẳng 8x – 13y + 6 = 0, hãy tìm các điểm có tọa độ
nguyên nằm giữa hai đường thẳng x = –10 và x = 50. Tìm số tự nhiên n,
biết rằng khi bỏ đi ba chữ số tận cùng bên phải của nó thì được số mới
có giá trị bằng
3
n
.
Câu 7: Cho các số thực x > 0, y ≥ 0 thỏa mãn x³ + y³ = x – y. Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức P = x² + y².

Câu 8: Cho tam giác IDC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Kẻ đường thẳng
AB tiếp xúc với (O) tại M và song song với CD (A thuộc ID, B thuộc
IC). Kẻ đường kính MN của đường tròn (O). Gọi giao điểm của IN với
AB là M’. Chứng minh rằng: AM’.CN = BM’.DN; AM’ = BM.
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1:
1. Rút gọn biểu thức:
3
3( ab b) ( a b) 2a a b b
A
a b
a a b b
− − + +
= +
−
+
với a > 0, b > 0
và a ≠ b.
2. Tính giá trị của biểu thức:
2
(x 3) 3
y
x x 1
−
=
− +
với
x 2 3= +

.
Câu 2:
1. Cho biểu thức: B = (3x – 2y)² + (y + z)² + (z – x)². Tìm các số nguyên
x, y, z để 0 ≤ B ≤ 1.
2. Cho –1 ≤ x ≤ 1 và n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: (1 + x)
n
+
(1 – x)
n
≤ 2
n
Câu 3:
1. Giải phương trình:
2
(x 3) 10 x
+ −
= x² – x – 12
2. Giải bất phương trình:
4x 3 4 x 1 9x 16 30 x 1 2− + − > + − − +
.
Câu 4:
1. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Đường
thẳng qua A vuông góc với BM cắt BC tại D tính tỉ số
DC
DB
.
2. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC kéo dài về phía C lấy một
điểm M. Một đường thẳng d qua điểm M cắt AC và AB theo thứ tự tại N
và P. Chứng minh rằng:
BM CM

BP CN
−
không đổi khi M và d thay đổi.
Câu 5: Chứng minh rằng với mọi x, y khác nhau và khác 0 thì:
2 2 2 2
2
x y (x y) y
x
( ) 1
xy x y x y
−
+ − =
−
.